专题39 数列与数学归纳法
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数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.
1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可.证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始
（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性
（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系
4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立.
5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳
法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.
【经典例题】
例1.【2018届重庆市第一中学5
______. 【答案】
【解析】分析：由题意首先求得. 详解：由题意结合
以下用数学归纳法进行证明：
，
综上可得数列的通项公式是正确的.
据此可知：
利用等差数列前n
结合对勾函数的性质可知，当或
点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
例2. 设S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＝2a n－2 (n∈N*)
（1{a n}的通项公式a n；
（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【答案】（1（2）见解析.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.
由此猜想：(n∈N*)．
(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，
那么n＝k＋1时，
a k＋1＝S k＋1－S k＝2a k＋1－2a k
∴a k＋1=2a k，
这表明n＝k＋1时，猜想成立，
由①②知猜想成立．
点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
例3
的值；
的通项公式.
【答案】
.
由此猜想
下面用数学归纳法证明之：
∴当时，结论成立.
点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：
1；
第二步：归纳递推（即假设；
3
得到的形式应与前面的完全一致.
例4.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列
．
（1
（2
（3，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2
（3）由（2
求和公式可证结论.
（2
所以，数列
（3）由（2
时，
例5.已知函数()()2ln ,10b
f x ax x f x
=-
-= （1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'211
11n n a f n a n +?
?=-+ ?-+??
，已知14a =，
求证：22n a n ≥+
（2）在（1）的条件下，求证：
12
11
12
11
15
n a a a +++
<+++ 【答案】见解析
下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立
假设()
n k k N *
=∈成立，则1n k =+时
()121k k k a a a k +=-+ 22k a k ≥+ ()()1222145212k a k k k +∴≥+?+=+>++
1n k ∴=+时，不等式成立
,22n n N a n *∴?∈≥+
（2）
()2
12121n n n n n a a na a a n +=-+=-+
由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+
()11111
1211
21
n n n n a a a a ++∴+≥+?
≤
?
++ 2112111111
11
12121
21
n n n n a a a a ---∴
≤?≤?≤≤
?
---+ 12
11111111111122n
n a a a a ??
??∴+++<+++?? ?++++??
????
1112121211152512
n n
a ??
??-?? ??????
?????=?<-
?+??????- 例6．【浙江省绍兴市2018届5
（1
（2
，证明：
【答案】（1）见解析；（2）见解析
详解：（1
②假设当
，
综上所述.
（2）由（1
即
点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．
例7．【福建省南平市2018届5
（Ⅱ）-1，，
的最大整数．证明：
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.
详解：
1上为增函数；
2
同理可得.
（Ⅱ）-1，
时
（未证明，直接得出不扣分）
猜想当时，
下面用数学归纳法证明猜想正确.
1.
2.
时，有
由（Ⅰ）知
例8.
为常数且，
（1
（2
（3）用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1（2；（3）证明见解析．
（2），则，
，，
由此猜想数列的通项公式应为．
（3）①当时，猜想显然成立，
②假设时，猜想成立，即，
则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，对一切正整数都成立．
例9.
(1)
(2)
.
【答案】（1）（2时，时，
证明见解析.
详解：(1) 设数列{b n}的公差为d,
由题意得,∴b n=3n－2 .
(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a a =log a ［)…(1+ ］
a b n+1=log a
于是，比较S n a b n+1 的大小
的大小
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有
推测 (1+1)(1+*
)
①当n=1时，已验证(*
)式成立
②假设n=k(k ≥1)时(*
)式成立，即则当n=k+1时，
即当n=k+1时，(*
)式成立
由①②知，(*
)式对任意正整数n 都成立 于是，当a ＞1时，S n a b n+1 ,当 0＜a ＜1
时，S n a b n+1 .
例10.【2018年浙江省高考模拟】已知数列{}n x 满足： 111,1n n x x x +==. 证明：当*
n N ∈时， （1）10n n x x +<<；
（2）1
1323
n n n n x x x x ++-<
； （3）1
2
2233n n n x --????≤≤ ?
?
??
??
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
由数列的递推式，以及（2）的结论可得
111
31103
23n n x x +??
-≥-> ???
，根据等比数列的通项公式即可证明2
32n n x -??
≤ ?
??
，再结合已知可得113
12
n n n x x x ++=≤
，即可证明不等式成立.
详解：（1）数学归纳法证明： 0n x > 当1n =时， 110x =>成立
假设n k =时0k x >，成立，那么1n k =+时，假设10k x +≤，
则110k k x x +=+
≤，矛盾
所以10k x +>，故0n x >得证
所以111n n n x x x ++=>，故10n n x x +<< （2
）由11n n x x +=
得1196n n n n x x x x ++-+ (
2111646n n n x x x +++=++- 设()(
2646(0)f x x x x x =++->
则 (
)'24f x x =-
2
5149
2248?=+-??
（3）由（2）得111
3110
323n n x x +??-≥
-> ???
，则11
3n x -≥ 1
2
11133322n n x --??????
-= ? ? ?????
??
所以2
32n n x -??
≤ ?
??
()1102x x ≤
≥
11
12
n x +≤
，所以11312n n n x x x ++=≤，故12
3
n n x x +≥
所以1
23n n x -??
≥ ?
??，所以1
2
2233n n n x --????≤≤ ?
?
??
??
【精选精练】
1
__________ .
【答案】
点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项
为8，公差为6，因此第n
3
（1
（2）根据（1
（3
【答案】（1（2），证明见解析；（3
（2
下面用数学归纳法加以证明：
1
，结论成立，即.
（3）由（2
4，且满足
（1，根据计算结果，猜想
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】分析：（1，，，根据计算结果，猜想（2）用数学归纳法证明猜想的结论.
由此猜想
（2
②假设当
由题意得
∴当时猜想也成立，
由①和②，可知猜想成立，即
点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的
设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2
式解题.
5
（1
（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
由此猜想
（2
②假设当
由题意得
由①和②，可知猜想成立，即
6
（1的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．
【答案】（1（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1
的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于纳法证明即可.①当
7
的值．
【答案】（1（2.
）可猜想：，证明：当，等式成立，假设
，则当
时，等式也成立，综上所述，对任意自然数