2016-2017学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)
1.(5分)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=n2+1,则a5=()
A.7 B.9 C.11 D.12
3.(5分)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
4.(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线的斜率为()
A.±2 B.C.D.
5.(5分)函数y=f(x)在定义域(﹣,3)内的图象如图所示.记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为()
A.[﹣,1]∪[2,3)B.[﹣1,]∪[,]
C.[﹣,]∪[1,2)D.(﹣,﹣]∪[,]∪[,3)
6.(5分)若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()
A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
7.(5分)下列命题中错误的是()
A.命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”
B.命题“已知x、y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1是真命题”
C.已知命题p和q,若p∨q为真命题,则命题p与q中必一真一假
D.命题p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x0∈R,x02+x0+1≥0
8.(5分)已知a,b同号,二次不等式ax2+2x+b<0的解集为,且,,则m+n的最大值是()
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
9.(5分)如图所示的程序框图中,若f(x)=sinx,g(x)=cosx,x∈[0,],且h(x)≥m恒成立,则m的最大值是()
A.1 B.C.D.0
10.(5分)已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为()
A.2 B.C.D.
11.(5分)设A1,A2分别为双曲线的左右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.B.C.D.(0,3)
12.(5分)已知函数f(x)=(x﹣a)2+(e x﹣a)2(a∈R),若存在x0∈R,使得f(x0)≤
成立,则实数a的值为()
A.B.C.D.
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分)
13.(5分)函数f(x)=ln(x+1)+(x﹣2)0的定义域为.
14.(5分)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,S n是数列{a n}的前n项的和,则S10﹣S4=.
15.(5分)设由不等式表示的平面区域为4,若直线kx﹣y+1=0(k∈R)平
分A的面积,则实数k=.
16.(5分)已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(﹣2,0),(2,0),离心率为,若P为椭圆C上的任意一点,过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q,M为线段QP的中点,则点M 的轨迹方程为.
三、解答题(本大题6小题,共70分)
17.(10分)已知命题p:?m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立;命题q:x2+ax=2=0有两个不同的实数根,若p∨q为真,且p∧q为假,求实数a的取值范围.
18.(12分)设数列{a n}满足a1=2,a2+a5=14,且对任意n∈N*,函数f(x)=a n+1x2﹣(a n+2+a n)x满足f′(1)=0.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=,记数列{b n}的前n项和为S n,求证S n<.
19.(12分)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E、F分别是BC、CC1的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若D为AB中点,∠CA1D=45°且AB=2,求三棱锥F﹣AEC的表面积.
20.(12分)已知函数.
(1)试将函数f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式,并求该函数的对称中心;(2)若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且f(A)=0,求的取值范围.
21.(12分)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短轴
长为直径的圆与直线x﹣y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆上.
22.(12分)已知函数f(x)=1++lnx+,且曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣y+4=0平行.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)记g(x)=,试证明:当x>1时,f(x)>(e+1)g(x).
2016-2017学年江西省景德镇市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)
1.(5分)(2012?上海)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证,再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn>0,即可得到结论.
【解答】解:当mn>0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆,
例如:当m=n=1时,方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m,n都是负数,曲线表示的也不是椭圆;
故前者不是后者的充分条件;
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,应有m,n都大于0,且两个量不相等,得到mn>0;由上可得:“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故选B.
【点评】本题主要考查充分必要条件,考查椭圆的方程,注意对于椭圆的方程中,系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题.
2.(5分)(2016秋?江西期末)已知数列{a n}的前n项和为S n,S n=n2+1,则a5=()A.7 B.9 C.11 D.12
【分析】利用数列的求和公式,求解a5即可.
【解答】解:数列{a n}的前n项和为S n,S n=n2+1,则a5=S5﹣S4=25+1﹣16﹣1=9.
故选:B.
【点评】本题考查数列的前n项和,数列递推关系式的应用,考查计算能力.
3.(5分)(2016秋?江西期末)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()
A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x D.y2=8x
【分析】利用抛物线的简单性质,转化求解p,即可得到抛物线方程.
【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,
可得+2=4,解得p=4,
则抛物线的标准方程为y2=8x.
故选:D.
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法,考查计算能力.
4.(5分)(2015?惠州模拟)若双曲线的离心率为,则其渐近线的斜率为()A.±2 B.C.D.
【分析】由双曲线的离心率为,可得,解得即可.
【解答】解:∵双曲线的离心率为,∴,解得.
∴其渐近线的斜率为.
故选:B.
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.
5.(5分)(2013?曲靖一模)函数y=f(x)在定义域(﹣,3)内的图象如图所示.记y=f (x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为()
A.[﹣,1]∪[2,3)B.[﹣1,]∪[,]
C.[﹣,]∪[1,2)D.(﹣,﹣]∪[,]∪[,3)
【分析】根据导数大于0时函数单调递增,导数小于0时原函数单调递减确定函数f(x)的单调性
【解答】解:由图象可知,即求函数的单调减区间,从而有解集为,
故选A.
【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,解题的关键是识图,属于基础题.
6.(5分)(2010?聊城一模)若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
【分析】先求导数,函数有极值,则说明f'(x)=0有解,然后适当对参数进行检验.
【解答】解:函数的导数为f'(x)=e x+m,
由f'(x)=e x+m=0,得m=﹣e x,
因为e x>0,所以m=﹣e x<0,
即实数m的取值范围是m<0.
故选B.
【点评】本题考查函数的极值与导数之间的关系,若函数取得极值,则在极值点的导数f'(x)=0.注意进行转化.
7.(5分)(2016秋?江西期末)下列命题中错误的是()
A.命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”
B.命题“已知x、y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1是真命题”
C.已知命题p和q,若p∨q为真命题,则命题p与q中必一真一假
D.命题p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x0∈R,x02+x0+1≥0
【分析】根据命题为“若p则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,可判定A真假,根据条件判断B的真假,根据复合命题的真假判定C,根据全称命题特称命题判断D.
【解答】解:对于A,命题“若x2﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x2﹣5x+6≠0”,正确,
对于B,命题“已知x、y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1是真命题,正确,
对于C,已知命题p和q,若p∨q为真命题,则命题p与q中至少一个为真,故错误,
对于D,命题p:?x0∈R,x02+x0+1<0,则¬p:?x0∈R,x02+x0+1≥0,正确,
故选:C.
【点评】本题主要考查了命题的真假判断,以及逆否命题、复合命题的真假、全称命题特称命题,同时考查了分析问题的综合能力,属于基础题.
8.(5分)(2016秋?江西期末)已知a,b同号,二次不等式ax2+2x+b<0的解集为,
且,,则m+n的最大值是()
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
【分析】根据一元二次不等式ax2+2x+b<0的解集得出△=0,且a<0,再利用基本不等式求出m+n的最大值.
【解答】解:a,b同号,二次不等式ax2+2x+b<0的解集为,
∴方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根﹣,
∴△=4﹣4ab=0,
解得ab=1;
又a<0,
,,
∴m+n=a+b++=a+b+b+a=2(a+b)=﹣2(﹣a﹣b)≤﹣2×2=﹣4,
当且仅当a=b=﹣时,取“=”,
∴m+n的最大值是﹣4.
故选:D.
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系与应用问题,也考查了基本不等式的应用问题,是基础题.
9.(5分)(2016?江西校级三模)如图所示的程序框图中,若f(x)=sinx,g(x)=cosx,x∈[0,],且h(x)≥m恒成立,则m的最大值是()
A.1 B.C.D.0
【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数:h(x)
=的值,分类讨论即可求出h(x)的最小值,可得答案.
【解答】解:由已知中的程序框图可得该程序的功能是:
计算并输出分段函数:h(x)=的值,
利用正弦函数,余弦函数的图象和性质可知:
当x∈[0,)时,f(x)=sinx∈[0,),g(x)=cosx∈(,1],g(x)>f(x),
由题意:h(x)=cosx∈(,1],
当x∈[,],f(x)=sinx∈[,1],g(x)=cosx∈[0,],g(x)≤f(x),
由题意:h(x)=sinx∈[,1],
综上,可得x∈[0,]时,h(x)的最小值为sin=,
又∵h(x)≥m恒成立,
∴m的最大值是,
故选:B.
【点评】本题主要考查了程序框图,分段函数的应用,考查了函数恒成立的应用,属于基本知识的考查.
10.(5分)(2016?平度市三模)已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为()
A.2 B.C.D.
【分析】几何体是四棱锥,结合其直观图,利用四棱锥的一个侧面与底面垂直,作四棱锥的高线,求出棱锥的高,代入棱锥的体积公式计算.
【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,其直观图如图:
四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直,过S作SO⊥AB,垂足为O,
∴SO⊥底面ABCD,SO=2×,
底面为边长为2的正方形,
∴几何体的体积V=×2×2×=.
故选:B.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键.
11.(5分)(2016?太原校级二模)设A1,A2分别为双曲线的左右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率,则双曲线C的离心率的取值范围为()
A.B.C.D.(0,3)
【分析】由题意可得A1(﹣a,0),A2(a,0),设M(m,n),代入双曲线的方程,运用直线的斜率公式,化简整理可得b2<2a2,由a,b,c的关系和离心率公式,计算即可得到所求范围.
【解答】解:由题意可得A1(﹣a,0),A2(a,0),
设M(m,n),可得﹣=1,
即有=,
由题意,
即为?<2,
即有<2,即b2<2a2,
c2﹣a2<2a2,即c2<3a2,
c<a,即有e=<,
由e>1,可得1<e<.
故选:B.
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用点满足双曲线方程和直线的斜率公式,考查运算能力,属于中档题.
12.(5分)(2016?运城模拟)已知函数f(x)=(x﹣a)2+(e x﹣a)2(a∈R),若存在x0∈R,使得f(x0)≤成立,则实数a的值为()
A.B.C.D.
【分析】把函数看作是动点M(x,e x)与动点N(a,a)之间距离的平方,利用导数求出曲线y=e x上与直线y=x平行的切线的切点,得到曲线上点到直线距离的最小值,结合题意可得
只有切点到直线距离的平方等于,然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值.
【解答】解:函数f(x)可以看作是动点M(x,e x)与动点N(a,a)之间距离的平方,
动点M在函数y=e x的图象上,N在直线y=x的图象上,
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离,
由y=e x得,y′=e x=1,解得x=0,
∴曲线上点M(0,1)到直线y=x的距离最小,最小距离d=,
则f(x)≥,
根据题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=,此时N恰好为垂足,
由k MN==﹣1,解得a=.
故选:D.
【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率,考查了数形结合和数学转化思想方法,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题.
二、填空题(每小题5分,共4小题,共20分)
13.(5分)(2016秋?江西期末)函数f(x)=ln(x+1)+(x﹣2)0的定义域为(﹣1,2)∪(2,+∞).
【分析】由对数式的真数大于0,0指数幂的底数不为0联立不等式组得答案.
【解答】解:由,解得x>﹣1且x≠2.
∴函数f(x)=ln(x+1)+(x﹣2)0的定义域为(﹣1,2)∪(2,+∞).
故答案为:(﹣1,2)∪(2,+∞).
【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.
14.(5分)(2016秋?江西期末)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,S n是数列{a n}的前n项的和,则S10﹣S4=2016.
【分析】设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q>0,由a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,可得2(a4+2)=a2+a5,即2(2q3+2)=2q+2q4,解得q.再利用去韩国是即可得出.
【解答】解:设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q>0,
∵a2,a4+2,a5成等差数列,a1=2,
∴2(a4+2)=a2+a5,
∴2(2q3+2)=2q+2q4,
解得q=2.
∴S10﹣S4==2016.
故答案为:2016.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15.(5分)(2016秋?江西期末)设由不等式表示的平面区域为4,若直线kx
﹣y+1=0(k∈R)平分A的面积,则实数k=.
【分析】确定三条直线的交点坐标,根据直线kx﹣y+1=0过(0,1),若其将三角形ABC分为面积相等的两部分,只需将线段BC平分即可,求出BC的中点的坐标代入kx﹣y+1=0,即可求得k的值.
【解答】解:由题意,直线l1:x﹣y+1=0与直线l2:x+y﹣1=0的交点为A(0,1)
直线l1:x﹣y+1=0与直线l3:2x﹣y﹣2=0的交点为B(3,4)
直线l2:x+y﹣1=0与直线l3:2x﹣y﹣2=0的交点为C(1,0)
直线kx﹣y+1=0显然过点A(0,1),若其将三角形ABC分为面积相等的两部分,只需将线段BC平分即可.
设BC的中点为D,可得D的坐标为(2,2).
代入kx﹣y+1=0可得k=,
故答案为:.
【点评】本题考查线性规划知识,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是将三角形ABC 分为面积相等的两部分,只需将线段BC平分即可,属于中档题.
16.(5分)(2016秋?江西期末)已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(﹣2,0),(2,0),离
心率为,若P为椭圆C上的任意一点,过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q,M为线段
QP的中点,则点M的轨迹方程为.
【分析】利用焦点坐标qcc,离心率求出a,然后求解b,求出椭圆方程,然后设出M坐标,转化为P,代入求解即可.
【解答】解:椭圆C的左右焦点坐标分别是(﹣2,0),(2,0),离心率为,
可得c=2,a=2,则b=2,
椭圆C的方程为:,
设M(x,y)则P(2x,y)代入:,
可得:.
则点M的轨迹方程为:.
故答案为:.
【点评】本题考查轨迹方程的求法,转化思想的应用,考查计算能力.
三、解答题(本大题6小题,共70分)
17.(10分)(2016秋?江西期末)已知命题p:?m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立;命题q:x2+ax=2=0有两个不同的实数根,若p∨q为真,且p∧q为假,求实数a的取值范围.
【分析】先求出当p真、q真时,a的取值范围,由p、q一真一假列式计算即可,
【解答】解:命题p真:?m∈[﹣1,1],不等式a2﹣5a+7≥m+2恒成立?a2﹣5a+7≥(m+2)
=3?a≤1或a≥4;
max
命题q真:x2+ax=2=0有两个不同的实数根?△=a2﹣8>0?a<﹣或a;
若p∨q为真,且p∧q为假,则p、q一真一假,
当p真q假时,?﹣2≤a≤1
当p假q真时,?2<a<4
∴实数a的取值范围为:?﹣2≤a≤1或2<a<4.
【点评】本题考查了复合命题的真假的应用,属于基础题.
18.(12分)(2016秋?江西期末)设数列{a n}满足a1=2,a2+a5=14,且对任意n∈N*,函数f (x)=a n
x2﹣(a n+2+a n)x满足f′(1)=0.
+1
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=,记数列{b n}的前n项和为S n,求证S n<.
【分析】(1)求出函数的导数,由条件可得2a n
=a n+2+a n,由等差数列的性质可得数列{a n}为
+1
等差数列,设公差为d,运用等差数列的通项公式,可得d=2,即可得到通项公式;
(2)由b n==(﹣),运用裂项相消求和,由不等式的性质,即可得证.
【解答】(1)解:函数f(x)=a n
x2﹣(a n+2+a n)x的导数为f′(x)=2a n+1x﹣(a n+2+a n),
+1
=a n+2+a n,
由f′(1)=0,可得2a n
+1
由等差数列的性质可得数列{a n}为等差数列,设公差为d,
则a1=2,a2+a5=2a1+5d=14,
解得d=2,
即有a n=a1+2(n﹣1)=2n.
(2)证明:b n===(﹣),
则S n=(1﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)<.
则S n<.
【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式,以及数列的求和方法:裂项相消求和,考查不等式的性质,属于中档题.
19.(12分)(2016秋?江西期末)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E、F分别是BC、CC1的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若D为AB中点,∠CA1D=45°且AB=2,求三棱锥F﹣AEC的表面积.
【分析】(1)由B1B⊥平面ABC,可得B1B⊥AE,利用△ABC是等边三角形,可得AE⊥BC,可得AE⊥平面BCC1B1,即可证明平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,CD⊥A1D,再利用等边三角形的性质、勾股定理可得AA1,
FC.利用直角三角形的面积计算公式即可得出.
【解答】证明:(1)如图,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是正三角形,
∴B1B⊥平面ABC,AE?平面ABC,
∴AE⊥BB1,
∵E、F分别是BC、CC1的中点,∴AE⊥BC,
∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面B1BCC1,
∵AE?平面AEF,
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
解:(2)由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,A1D?平面ABB1A1,
∴CD⊥A1D,
∵AB=AC=BC=2,D是AB的中点,E是BC的中点,
∴AE=CD=,AD=CE=1,
∵∠CA1D=45°,∴A1D=CD=,
∴AA1==,
∵F是C1C的中点,FC=AA1=.
∴三棱锥F﹣AEC的表面积:
S=+
=.
【点评】本题考查了空间位置关系、等边三角形的性质、直角三角形的面积计算公式、勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20.(12分)(2016秋?江西期末)已知函数.
(1)试将函数f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式,并求该函数的对称中心;(2)若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且f(A)=0,求的取值范围.
【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式,利用余弦函数的对称中心求解即可.
(2)通过函数的值,求出A的值,然后利用正弦定理化简函数的表达式,利用角的范围,求
解的取值范围
【解答】解:(1)由条件得
=,
由,解得,
于是所求的对称中心(+,1)k∈Z.
(2)f(A)=0,可得﹣2sin(2A+)+1=0,解得A=,B+C=,
所以===,
又△ABC为锐角三角形,故,
所以,
于是的取值范围是.
【点评】本题考查两角和与差的三角函数,正弦定理的应用,考查计算能力.
21.(12分)(2016秋?江西期末)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为
圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆上.
【分析】(1)以原点为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+2=0相切,可得=b,解得b.又=,a2=b2+c2,解出即可得出椭圆C的标准方程.
(2)设M(x0,y0),N(﹣x0,y0),可得直线PM的方程为:x+1,直线QN的方程
为:x+2,设T(x,y),联立基础代入椭圆方程即可得出.
【解答】(1)解:∵以原点为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+2=0相切,
∴=b,解得b=.
又=,a2=b2+c2,解得a2=8,c=,
∴椭圆C的标准方程为:.
(2)证明:设M(x0,y0),N(﹣x0,y0),可得直线PM的方程为:x+1,直线QN
的方程为:x+2,
设T(x,y),联立解得x0=,y0=,
∵=1,∴+=1,
化为:.
∴点T在椭圆上.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
22.(12分)(2016?太原校级二模)已知函数f(x)=1++lnx+,且曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣y+4=0平行.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)记g(x)=,试证明:当x>1时,f(x)>(e+1)g(x).
【分析】(1)求出f(x)的导数,根据f′(1)=1,求出a的值即可;
(2)求出f(x)的导数,根据导函数的单调性求出f′(x)>0,从而求出f(x)在(0,+∞)递增;
(3)根据函数的单调性分别得出>,g(x)<,从而证出结论.
【解答】解:(1)f′(x)=,(x>0),
令f′(1)=1,得2﹣a=1,解得a=1;
(2)由(1)知,
f(x)=1++lnx+,f′(x)=,
再令ω(x)=x﹣lnx 则ω′(x)=,
当x>1时,ω′(x)>0,ω(x)递增,
当0<x<1时,ω′(x)<0,ω(x)递减,
∴ω(x)在x=1处取得唯一的极小值,即为最小值,
即ω(x)≥ω(1)=1>0,
∴f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)要证f(x)>(e+1)g(x),
即证>g(x),
x>1时,f(x)是增函数,
故f(x)>f(1)=2,
故>,
g′(x)=,
∵x>1,∴1﹣e x<0,∴g′(x)<0,
即g(x)在(1,+∞)递减,
∴x>1时,g(x)<g(1)=,
∴>>g(x),
即f(x)>(e+1)g(x).
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查曲线的切线方程问题,是一道中档题.
2019高二(下)期末数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.在复平面内,复数z 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,则复数z=( ) A .﹣1﹣i B .1+i C .2i D .﹣1+i 2.某年龄段的女生体重y (kg )与身高x (cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x ﹣85.71,给出下 列结论,则错误的是( ) A .y 与x 具有正的线性相关关系 B .若该年龄段内某女生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kg C .回归直线至少经过样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n )中的一个 D .回归直线一定过样本点的中心点(,) 3.设随机变量ξ~N (2,9),若P (ξ>c +3)=P (ξ<c ﹣1),则实数c 的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .0 4.定积分 dx 的值是( ) A . +ln2 B . C .3+ln2 D . 5.下列说法正确的是( ) A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B .“?x ∈R ,x 3﹣x 2+1≤0”的否定是“?x ∈R ,x 3﹣x 2+1>0” C .命题“若a 2+b 2=0,则a ,b 全为0”的逆否命题是“若a ,b 全不为0,则a 2+b 2≠0” D .若命题“¬p”与“p 或q”都是真命题,则命题q 一定是真命题 6.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为,则h=( ) A . B . C . D . 7.“x <2”是“ln (x ﹣1)<0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
【一】选择题:本大题共12小题,每题5分,总分值60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的. 1.命题〝假设2x =,那么2 320x x -+=〞的逆否命题是〔 〕 A 、假设2x ≠,那么2320x x -+≠ B 、假设2320x x -+=,那么2x = C 、假设2320x x -+≠,那么2x ≠ D 、假设2x ≠,那么2 320x x -+= 2.〝直线l 垂直于ABC △的边AB ,AC 〞是〝直线l 垂直于ABC △的边BC 〞的 〔 〕 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分也非必要条件 3 .过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点.假设AB 中点M 到抛物线 准线的距离为6,那么线段AB 的长为〔 ) A 、6 B 、9 C 、12 D 、无法确定 4.圆 042 2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) A 、023=-+y x B 、043=-+y x C 、043=+-y x D 、023=+-y x 5.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 〔 〕 A 、0 122 2 =+--+y x y x B 、041 222=- --+y x y x C 、0 122 2 =+-++y x y x D 、 041222=+ --+y x y x 6.在空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2),(2,2,0), (0,2,0),(2,2,2).那么该四面体在xOz 平面的投影为〔 〕
高二下学期数学期末考试试卷(文科) (时间:120分钟,分值:150分) 一、单选题(每小题5分,共60分) 1.把十进制的23化成二进制数是( ) A. 00 110(2) B. 10 111 (2) C. 10 110 (2) D. 11 101 (2) 2.从数字,,,,中任取 个,组成一个没有重复数字的两位数,则这个两 位数大于 的概率是( ) A. B. C. D. 3.已知命题 p :“1a ,有2 60a a 成立”,则命题 p 为( ) A. 1a ,有260a a 成立 B. 1a ,有2 60a a 成立 C. 1a ,有2 60a a 成立 D. 1a ,有2 60a a 成立 4.如果数据x 1 ,x 2 ,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2 , 则5x 1+2,5x 2+2,…,5x n +2的平均数和方差分别为( ) A. x ,s 2 B. 5x +2,s 2 C. 5x +2,25s 2 D. x ,25s 2 5.某校三个年级共有24个班,学校为了了解同学们的 心理状况,将每个班编号,依次为1到24,现用系统抽样法,抽取4个班进行调查,若抽到的最小编号为 3,则抽取的最大
编号为( ) A. 15 B. 18 C. 21 D. 22 6.按右图所示的程序框图,若输入 81a ,则输出的i =( ) A. 14 B. 17 C. 19 D. 21 7.若双曲线2 2 221(,0)y x a b a b 的一条渐近线方程为 34 y x ,则该双曲线的离 心率为( ) A. 43 B. 53 C. 169 D. 259 8.已知 01,0,a a x 且,命题P :若11a x 且,则log 0a x ,在命 题P 、P 的逆命题、P 的否命题、P 的逆否命题、P 这5个命题中,真命题的个数 为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.函数f(x)= ln 2x x x 在点(1,-2)处的切线方程为( ) A. 2x -y -4=0 B. 2x +y =0 C. x -y -3=0 D. x +y +1=0 10.椭圆 2 2 1x my 的离心率是 32 ,则它的长轴长是( ) A. 1 B. 1或2 C. 4 D. 2或4 11.已知点P 在抛物线2 4x y 上,则当点P 到点1,2Q 的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )
高二数学(文)选修1-2测试题(60分钟) 满分:100分 考试时间:2018年3月 姓名: 班级: 得分: 附:1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -==+++++++ 一、 单项选择题(每题4分,共40分。每题只有一个选项正确,将答案填在下表中) 1、下列说法不正确的是( ) A .程序图通常有一个“起点”,一个“终点” B .程序框图是流程图的一种 C .结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成 D .流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2. 给出下列关系:其中具有相关关系的是( ) ①考试号与考生考试成绩; ②勤能补拙; ③水稻产量与气候; ④正方形的边长与正方形的面积。 A .①②③ B .①③④ C .②③ D .①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第n 个图案中的白色地面砖有( ). A .4n -2块 B .4n +2块 C .3n +3块 D .3n -3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图,则直接影响“计划” 要素有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 A.假设三内角都不大于60度; B. 假设三内角都大于60度; C. 假设三内角至多有一个大于60度; D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内,复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为( ) A . (1,3) B .(1,-3) C .(-1,3) D .(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ,由他们的观测数据计算得到K 2的 观测值范围是3.841
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷 一、填空题(每小题 3分,共36 分) 1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-?? ??? ,则x y += 。 【答案】8- 2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=,则AB 对应的坐标是 。 【答案】)(3,2 3.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。 【答案】2- 4.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AB 中点,F 为BC 中点,则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。 【答案】相交 5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。 【答案】2 6.已知复数22i z i +=,则z 的虚部为 。 【答案】1- 7..经过动直线 20kx y k -+=上的定点,方向向量为(1,1)的直线方程是 。 【答案】02=+-y x 8.复数34i +平方根是 。 【答案】) (i +±2 9.过点() ,0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。 【答案】13 62 2=+y x 10.已知双曲线22 :1916 x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ,为双曲线C 的右支上一点, 且212PF F F =,则12PF F ?的面积等于 。 【答案】48 11.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。 若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 。 【答案】)()(+∞∞,11-,- 【解析】由抛物线定义可知,机器人的轨迹方程为x y 42 =,过点)0,1(-P 且斜率为k 的直
浙江省温州市十校联合体高二(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是() A.x2=8y B.x2=﹣8y C.y2=﹣8x D.y2=8x 2.(4分)已知直线l1:x﹣y+1=0和l2:x﹣y+3=0,则l1与l2之间距离是()A.B.C.D.2 3.(4分)设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V,E,F,G分别是AA1,AB,AC的中点,则三棱锥E ﹣AFG体积是() A.B.C.D. 4.(4分)若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是() A.0或2 B.2 C.D.或2 5.(4分)在四面体ABCD中() 命题①:AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD 命题②:AC=AD且BC=BD则AB⊥CD. A.命题①②都正确 B.命题①②都不正确 C.命题①正确,命题②不正确D.命题①不正确,命题②正确 6.(4分)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是() A.m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 7.(4分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角A﹣BD1﹣B1的大小是() A.B.C. D. 8.(4分)过点(0,﹣2)的直线交抛物线y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y12﹣y22=1,则△OAB(O为坐标原点)的面积为() A.B.C.D. 9.(4分)已知在△ABC中,∠ACB=,AB=2BC,现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC,设二面角P﹣BC﹣A大小为θ,PB与平面ABC所成角为α,PC与平面PAB所成角为β,若0<θ<π,则()