第五章刚体定轴转动
(本章讨论刚体-----特殊的刚性的质点系的力学规律)
教学要求：
* 理解刚体模型和转动惯量，计算简单刚体转动惯量。
* 掌握刚体角动量、刚体转动定律，
求解刚体转动的角加速度，加速度和角位移。
* 掌握刚体角动量守恒定律，求解刚体转动状态变化。
* 理解刚体运动中的功能关系，利
用功能原理和
机械能守恒定律求解刚体转动状态变化。
教学内容：
§ 5-1 刚体的平动和定轴转动
§ 5-2 刚体定轴转动定律
§ 5-3 转动定律的应用
§ 5-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
§ 5-5 刚体定轴转动中的功和能（学时：5学时）
教学重点：
* 刚体转动定律及其应用规律，
* 刚体角动量守恒定律及其应用规律。
作业：
5_04)、5_05)、5-06)、5-12)、5-14)、
5-16)、5-18)、5-20)、5-22）、5-23)。
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-----------------------------------
§ 5-1 刚体的平动和定轴转动
1．刚体概念
一个有形状而无形变的物体模型_刚体。
一个物体中任意两质点间距在运动中都始终保持不变，则称之为刚体。
刚体运动规律较于一般质点系简单。
2 2. 刚体的平动
3如果在运动过程中，刚体内任意两质点的连线总是平行于它们的初始位置，则
刚体运动为平动。
刚体平动的特点：平动过程中刚体
上每质点的位移、速度和加速度相同。
研究刚体平动的方法：取刚体质心
作为研究质点，这一质点的运动规律代表
了刚体上所有质点的运动规律。
3. 刚体的定轴转动
（1）转动：如果在运动过程式中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，
叫刚体在转动。这条直线叫转轴。
如果转轴固定不动，则称刚体的定轴转动。
定轴转动的特点：刚体上所有质
点的角位移、角速度和角加速度相同。
（2）角量和线量的关系
若：刚体角速度ω，角
加速度α，
则：速率ω
v=
r
切向加速度
α
a t=
r
法向加速度
2
ω
r
a n=
（r—刚体
中质点P与轴的距离）
4. 4．角速度矢量和角加速度矢
量
z
ω
ω
(a) (
ω
(a)
ωα
α
z
（1）规定: ω方向与直观转动方
向构成右手螺旋关系
（2）角加速度矢量的定义：
dt
d ωα
（5-1）
注意:
角速度和角加速度的矢
量表述和标量表述。
角加速度方向与直观
转动加速方向构成右手螺旋关系。
在刚体定轴转动中，角
速度和角加速度矢量方向只沿z 轴和逆着z 轴两方向__标量表述。
（3）刚体定轴转动中角量与线量
的矢量关系
v
ωa
r
αa r
ωv ?=?=?=n
t （5-2）
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§ 5-2 刚体定轴
转动定律
1．力对定轴的力矩
图为刚体上一个垂直于
Z 轴的截面
M ，力F 作用于刚体上的P 点，并且力F 在M 面内。
z
M
F
p
d
r
O ?
（1） 力对定轴的力矩定义： F
r M ?= （5-3）
大小:
Fd sin Fr M ==? （5-4）
或：
r F sin Fr M t ==?
(5-5)
（其中：
?sin r d =为力臂）
方向: 矢径
r
和力
F
矢
积方向
(在刚体定轴转动中，力矩方向只
沿z 轴和逆着z 轴,正、负力矩-标量表述) （2）合力的力矩:
∑
∑
∑=
?=
?
=?=i i i M F r F r F r M (5-6)
（其中:
i i F r M ?=为各分力的力矩）
合力的力矩等
于各分力矩之和。
（3）作用力矩和反作用力矩:
z
O
F
F '
p
p '
大小相等，方向相反，
其和为零。
0='+M M (5-7)
2. 刚体对定轴的角动量
（1） 质点对定轴的角动量
v r P r L m ?=?=
大
小
:
pd
sin mvr L ==? 其中
?sin r d =为动量臂
方向: 矢径
r
和动量
p
矢
积方向
（2） 刚体对定轴的角动量
z
r i
m i
v i
刚体对定轴的角动量定义：刚体中各质点对轴的角动量的矢量和。
定轴转动刚体对轴的角动量为:
i L L ∑=
（ 其中：L i 为第i 个质点的角动量）
设第i 个质点质量m i ，速度v i ，对z 轴径矢i r ，
则：
i i i i i m v r P r L ?=?= (5-8)
大小为:
pd sin mvr L ==? (其中:?
sin r d =称
由于定轴转动刚体中每一质点都进行圆运动，质点的速度和矢径垂直，对z 轴角动量大小为：
ω2
i i i i i i i i r m r v m r p L ===
其中：r i 是质点到轴的距离，
ω为刚体转动的角速度，角动量和角速度方向始终向上，
故有：
ωL 2
i i i r m =
相加得：
ωL L ?∑=∑=2
i i i r m
定义：
2
i i r m J ∑= (5-10)
—— 刚体对定
轴的转动惯量。
则：
ω
L J =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
3．转动惯量的计算 刚体的转动惯量取决于刚体对
轴的质量分布。
密度均匀刚体取决于质量、形
状和转轴位置三因素。
（1） 质点对定轴的转动惯量
2
i
i r m J =
（2）质点系对定轴的转动惯量
z 1
b
c
2
i i r m J ∑=
（3）质量连续分布物体对定轴的转动惯量
=J ??=m
dm
r dJ 2
(5-12)
（质量分布通常用质量密度来描述）
质元的质量体积分
dv dm ρ=
其中： dv dm =
ρ
—— 质量体密度
质元的质量面积分 ds dm
σ=
其中：ds dm =
σ
—— 质量面密度
质元的质量线积分 dl dm
λ=
其中：dl dm =
λ —— 质量线密度
表5.1 常用转动惯量
（常用于求转动惯量）
若过质心C 的轴z C 的转动惯量
为J C ，则刚体对另一与z C 平行的轴z 的转动惯量为：
2
md
J J c +=
其中：m 为刚体的质量，d 为
两轴间距
—— 平行轴
定理
． 4．刚体定轴转动定律
（刚体作为一个质点系，遵从质
点系角动量定理）
dt d L M =
外
把刚体对定轴角动量ωL J =带入
（转动惯量为常量）
有:
()J dt
J d dt d ωL M ===外
式中: α
ω
=dt d 为刚体定轴
转动的角加速度，
可记作:
α
ωM J dt
d J ==外
（5-14）
—— 刚体
定轴转动定律
表示:
在定轴转动中刚体角加速度的大
小与合外力矩成正比，而与刚体的转动惯量成反比，角加速度的方向与合外力
矩的方向一致。
转动定律的推导过程和物理意义
都很像从动量定理得牛顿第二定律：
()a
v v P F m dt
d m dt m d dt d ==== 注意：
牛顿二定律中质量m 和转动
定律中转动惯量J 在定律中地位完全对应，
定律αJ M =中合外力矩
M ，转动惯量J ，角加速度α均同一定轴。 ----------------------------------
第三章 刚体定轴转动 一、思考讨论题 1、刚体转动时，若它的角速度很大，那么作用它上面的力是否一定很大？作用在它上面的力矩是否一定很大？ 解：刚体转动时，它的角速度很大，作用在它上面的力不一定大，作用在它上面的力矩也不 一定大。 ω增大，则增大增大， M ， βω I dt d I ==， 又?= 更无直接关系。 与无直接关系，则有关，与与ωωβF M 2、质量为m =4kg 的小球，在任一时刻的矢径j t i t r 2)1(2 +-=，则t s =3时， 小球对原点的角动量=？从t =1s 到t s =3的过程中，小球角动量的增量=？。 解：角动量)22(]2)1[(2 t m j t i t dt d m m +?+-=?=?= t s =3 j i t m j t i t 80)26(4)68()22(]2)1[(2 3-=+?+=+?+-== j t m j t i t 16)22(42)22(]2)1[(2 1 -=+?=+?+-== 64)16(8013-=---==?== 3、如图5.1，一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一辆玩具小汽车相对于台面由静止开始启动，绕作圆周运动，问平台面如何运动？若经过一段时间后小汽车突然刹车，则圆台和小汽车怎样运动？此过程中，对于不同的系统，下列表中的物理哪些是守恒量，受外力，合外力矩情况如何？ 解：平台绕中心轴转动，方向与小车转动方向相反。 小车突然刹车，圆台和小车同时减速、同时静止。 分别考虑小车和圆台在垂直和水平方向的受力。 图 5.1 t f n 小车 圆台
4、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其中各点都绕轴作圆周运动，试问刚体上任一点是否具有切向加速度？是否具有法向加速度？法向加速度和切向加速度大小是否变化？ 解：刚体上的任何一点都有切向加速度。也有法向加速度。大小不发生变化。 5、在一物体系中，如果其角动量守恒，动量是否也一定守恒？反之，如果该系统的动量守恒，角动量是否也一定守恒？ 解：在一物体系中，角动量守恒，动量不一定守恒。例如题4中的小车与圆台组成的系统。 反之，系统的动量守恒，角动量也不一定守恒，除非是单个质点。 二、课堂练习 1、如图5.2所示，一轻绳绕过一质量为m/4，半径为R 的滑轮（质量分布均匀），一质量为m 的人抓住绳子的一端A ，绳子的另一端系一个质量为m/2的重物B ，绳子与滑轮无相对滑动，试求： （1 ） 当人对绳子相对静止时，B 物上升的加速度； （2） 当人相对于绳子以匀速u 上爬时，B 物上升的加速度； （3） 当人相对于绳子以加速度a 0上爬时，B 上升的加速度。 解： 方法一、用隔离体法，分别研究人、物和滑轮的运动。 （1）分别受力分析 A 、 B 、 a a a ==21 1T f =1 a mg 2 2a 1T 2 R a 2=
第3章 刚体的定轴转动习题解答 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2 ，设轮与皮带之间没有滑动。求 （1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即 B B A A R R ωω= 又)/(2060 6002s rad A ππω=?= 联立得)(10s R R t B B A A == βω （2）)/(1060 3002s rad A ππω=?= )/(6 2 s rad t A A A π ωωβ= -'= 3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻
第5章刚体的定轴转动 ◆本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆本章教学内容 1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。 4.1 刚体的运动
一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。 二、刚体的运动 刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。 1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案 1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？ 答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。又因该点速度的方向变化， 所以一定有法向加速度2 n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。 2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？ 答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为z z dL M dt = ，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dt ω ωβ= ===。既 z M I β=。 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式， 及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。 3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？ 答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快； （2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？ 答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。 5．一转速为1200r min 的飞轮，因制动而均匀地减速，经10秒后停止转动，求： （1） 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动，飞轮所转过的圈数； （2） 开始制动后5秒时飞轮的角速度。 解：（1）由题意飞轮的初角速度为 0240()n rad s ωππ== 飞轮作均减速转动，其角加速度为 20 0404/10 rad s t ωωπ βπ--= = =-? 故从开始制动到停止转动，飞轮转过的角位移为 201 2002 t t rad θωβπ?=?+?= 因此，飞轮转过圈数为
第4章 刚体的定轴转动 习题及答案 1．刚体绕一定轴作匀变速转动，刚体上任一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否随时间变化？ 答：当刚体作匀变速转动时,角加速度β不变。刚体上任一点都作匀变速圆周运动，因此该点速率在均匀变化，v l ω=，所以一定有切向加速度t a l β=，其大小不变。又因该点速度的方向变化， 所以一定有法向加速度2 n a l ω=，由于角速度变化，所以法向加速度的大小也在变化。 2. 刚体绕定轴转动的转动定律和质点系的动量矩定理是什么关系？ 答：刚体是一个特殊的质点系，它应遵守质点系的动量矩定理，当刚体绕定轴Z 转动时，动量矩定理的形式为z z dL M dt = ，z M 表示刚体对Z 轴的合外力矩，z L 表示刚体对Z 轴的动量矩。()2z i i L m l I ωω==∑,其中()2i i I m l =∑，代表刚体对定轴的转动惯量，所以 ()z z dL d d M I I I dt dt dt ω ωβ= ===。既 z M I β=。 所以刚体定轴转动的转动定律是质点系的动量矩定理在刚体绕定轴转动时的具体表现形式， 及质点系的动量矩定理用于刚体时在刚体转轴方向的分量表达式。 3．两个半径相同的轮子，质量相同，但一个轮子的质量聚集在边缘附近，另一个轮子的质量分布比较均匀，试问：（1）如果它们的角动量相同，哪个轮子转得快？（2）如果它们的角速度相同，哪个轮子的角动量大？ 答：(1)由于L I ω=，而转动惯量与质量分布有关，半径、质量均相同的轮子，质量聚集在边缘附近的轮子的转动惯量大，故角速度小，转得慢，质量分布比较均匀的轮子转得快； （2）如果它们的角速度相同，则质量聚集在边缘附近的轮子角动量大。 4．一圆形台面可绕中心轴无摩擦地转动，有一玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动，问平台如何运动？如小汽车突然刹车，此过程角动量是否守恒？动量是否守恒？能量是否守恒？ 答：玩具车相对台面由静止启动，绕轴作圆周运动时，平台将沿相反方向转动；小汽车突然刹车过程满足角动量守恒，而能量和动量均不守恒。 5．一转速为1200r min 的飞轮，因制动而均匀地减速，经10秒后停止转动，求： （1） 飞轮的角加速度和从开始制动到停止转动，飞轮所转过的圈数； （2） 开始制动后5秒时飞轮的角速度。 解：（1）由题意飞轮的初角速度为 0240()n rad s ωππ== 飞轮作均减速转动，其角加速度为 20 0404/10 rad s t ωωπ βπ--= = =-? 故从开始制动到停止转动，飞轮转过的角位移为 201 2002 t t rad θωβπ?=?+?= 因此，飞轮转过圈数为
第2章 刚体定轴转动 一、选择题 1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C) 二、填空题 (1). 62.5 1.67ｓ (2). 4.0 rad/ (3). 0.25 kg ·m 2 (4). mgl μ21参考解：M ＝?M d ＝()mgl r r l gm l μμ2 1 d /0=? (5). 2E 0 三、计算题 1. 如图所示，半径为r 1＝0.3 m 的A 轮通过皮带被半径为r 2＝0.75 m 的B 轮带动，B 轮以匀角加速度π rad /s 2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生．试求A 轮达到转速3000 rev/min 所需要的时间． 解：设A 、B 轮的角加速度分别为βA 和βB ，由于两轮边缘的切向加速度相同， a t = βA r 1 = βB r 2 则 βA = βB r 2 / r 1 A 轮角速度达到ω所需时间为 ()75 .03.060/2300021?π?π?=== r r t B A βωβωs ＝40 s 2.一砂轮直径为1 m 质量为50 kg ，以 900 rev / min 的转速转动．撤去动力后，一工件以 200 N 的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s 内停止．求砂轮和工件间的摩擦系数．(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为 2 1 mR 2，其中m 和R 分别为砂轮的质量和半径). 解：R = 0.5 m ，ω0 = 900 rev/min = 30π rad/s ， 根据转动定律 M = -J β ① 这里 M = -μNR ② μ为摩擦系数，N 为正压力，22 1 mR J = ． ③ 设在时刻t 砂轮开始停转，则有： 00=+=t t βωω 从而得 β＝-ω0 / t ④ 将②、③、④式代入①式，得 )/(2 1 02t mR NR ωμ-= - ∴ m =μR ω0 / (2Nt )≈0.5 r
学号： 姓名： 成绩： 1-2每题5分； 3-5每题10分；6-8每题20分；总分100分. (作业A4纸打印，选择题和填空题写在题内，计算题解答写在A4纸背面) 作业三： 刚体的转动 一、选择题 1. 关于刚体转动惯量的概念，以下表述中的是： （A ）只要两刚体的总质量与形状都相同，则转动惯量相同，与转轴无关。 （B ）刚体的转动惯量决定于刚体的质量相对于转轴的分布。 （C ）刚体转动惯量的方向与转轴相同。 (D) 刚体转动惯量的大小与刚体的运动状态有关 ［ ］ 2. 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮 受拉力F ，而且F ＝Mg ．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) βA ＝βB ． (B) βA ＞βB ． (C ) βA ＜βB ． (D ) 开始时βA ＝βB ，以后βA ＜βB ． ［ ］ 二、填空题 3.如图所示，一轻绳绕于半径r = 0.2 m 的飞轮边缘，并施以F ＝98 N 的拉力，若不计轴的摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad/s 2，此飞轮的转动惯量为___________． 4. 有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度ω2＝____________． 5. 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的竖直光滑固定轴自由转动．圆盘质量为M ，半径为P ，对轴的转动惯量212 J mR =．当圆盘以角速度ω0转动时，有一质量为m 的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上．子弹射入后，圆盘的角速度ω＝??????????????． 三、计算题 6. 如图所示，设两重物的质量分别为m 1和m 2，且m 1＞m 2，定滑轮的半径为r ，对转轴的转动惯 量为J ，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t 时刻滑轮的角速度． 7. 如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假 设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为212J mR = ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系． 8.质量为m 、长为l 的细棒，可绕通过棒一端O 的水平轴自由转动（转动惯量23J ml =），棒于水平位置由静止开 始摆下，求： （1）、初始时刻的角加速度； （2）、杆转过θ角时的角速度。 m
第三章 刚体定轴转动 一、选择题 1. 两个匀质圆盘A 和B 相对于过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，若B A J J >，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘的密度各为A ρ和B ρ，则 （A ）A B ρρ> （B ）B A ρρ> （C ）A B ρρ= （D ）不能确定A ρ和B ρ哪个大 答案：A 分析：22m m R R h h ρππρ=→=，221122m J mR h πρ==，故转动惯量小的密度大。 2. 有两个半径相同、质量相等的细圆环。1环的质量分布均匀，2环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为1J 和2J ，则 （A ）12J J > （B ）12J J < （C ）12J J = （D ）不能确定1J 和2J 哪个大 答案：C 分析：22J R dm mR ==? ，与密度无关，故C 选项正确。 3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度1ω按图1 所示方向转动。将两个大小相等、方向相反的力F 沿盘面同时作用到 圆盘上，则圆盘的角速度变为2ω，则 （A ）12ωω> （B ）12ωω= （C ）12ωω< （D ）不能确定如何变化 答案：C 分析：左边的力对应的力臂大，故产生的（顺时针）力矩大于右边的力所产生的力矩，即合外力距（及其所产生的角加速度）为顺时针方向，故圆盘加速，角速度变大。 4. 均匀细棒OA 的质量为M ，长为L ，可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的？ （A ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从大到小 （B ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从小到大 （C ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从大到小 （D ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从小到大 答案：A 分析：（定性）由转动定律M I β=可知，角加速度与力矩成正比，故B 、D 错误；由机械
第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。
习题 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到 300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即
第五章刚体的定轴转动 一选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。（） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小， 圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑 固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。若将 两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的 力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘 的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ） A. 必然增大 B. 必然减少 C. 不会改变 D. 如何变化，不能确 定 解：答案是B 。 简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和 垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角 加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度 的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一 选择题3图
定减速。 4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /2 1= (2) 受力分析得：?????===-222 2ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。得：
习题精解 3-1 某刚体绕定轴做匀速转动,对刚体上距转轴为r 处得任意质元得法向加速度为与切线加速度来正确得就是() A 、 ,大小均随时间变化 B 、 ,大小均保持不变 C 、 得大小变化,得大小保持不变 D 、 大小保持不变,得大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时,因为,而为恒量,所以,故。可见:得大小变化,得大小保持恒定,本题答案为C 、 3-2 一飞轮以得角速度转动,转动惯量为,现施加一恒定得制动力矩,使飞轮在2s 内停止转动,则该恒定制动力矩得大小为_________、 解 飞轮转动得角速度为所以该恒定制动力矩大小为。 3-3 一飞轮半径,以转速转动,受制动均匀减速,经后静止,试求:(1)角速度与从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数;(2)制动开始后时飞轮得角速度;(3)在时飞轮边缘上一点得速度与加速度。 解 (1)角加速度 ()20 1500 2 3.140260 3.145050n rad s t ωωπ β-?? --= = =-=-? 从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数 ()22 015001 12 3.1450 3.14506022 625222 3.14t t N ωβθπ π ?? ?-??+?= == =?圈 (2)制动开始后时飞轮得角速度 ()201500 22 3.14 3.142578.560 t n t rad s ωωβπβ-=+=+=?? -??=? (3)在就是飞轮边缘上一点得速度与加速度分别为 ()()()()()()2 232 78.51 3.14 6.1610 3.14n a a n a r n r n r n m s ττωβτττ -??=+=+=?+-?=?-??? r r r r r r r r r 3-4 有A 、B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,其中A 环得质量分布均匀,而B 环得质量 分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量分别为与,则有() A 、 B 、 C 、 D 、无法确定与得相对大小。 解 因为转动惯量,对于细圆环而言,各质元到转轴得距离均为圆环得半径,即,所以。故A,B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,不论其质量在圆环上如何分布,两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量,本题答案为C 。 3-5 刚体得转动惯量取决于______、________与____________等3各因素。_ 解 干体得转动惯量取决于:刚体得总质量、质量得分布与转轴得位置3个元素。 3-6 如图3、4所示,细棒得长为。设转轴通过棒上离中心距离为d 得一点并与棒垂直,求棒对此轴得转动惯量。试说明这一转动惯量与棒对过棒中心并与此轴平行得转轴得转动惯量之间得关系(此为平行轴定理)。 解 如图3、4所示,以过点垂直于棒得直线为轴,沿棒长方向为轴,原点在 处,在棒上取一原长度元,则 所以与之间得关系为
第五章刚体的定轴转动 到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。 §5-1 刚体运动的描述 一、刚体 所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。 二、刚体的运动 刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。 刚体的运动可分为平动和转动两种。而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。 B 当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。 如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。刚体的一般运动
第3章 刚体的转动 一. 选择题 1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零 (C) 切向加速度和法向加速度均为零 (D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ] 2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样 （A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变 (C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 [ ] 3 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是 [ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B (C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确 4. 地球的质量为m , 太阳的质量为0m ，地心与太阳中心的距离为R , 引力常数为G , 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) R m G m 0 (B) R m m G 0 (C) R G m m 0 (D) R mm G 20 [ ] 5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 (C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ] 6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大 (C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ] 7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的
习题 3-1 3-2 3-6 3-3 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-4 3-12 3-5 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-1 某刚体绕定轴做匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任意质元的法向加速度为和切线加速度来正确的是（） A. n a ，a τ大小均随时间变化 B. n a ，a τ大小均保持不变 C. n a 的大小变化，a τ的大小保持不变 D. n a 大小保持不变，a τ的大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为2,n a r a r τωβ==，而β为恒量，所以0t ωωβ=+， 故()2 0,n a r t a r τωββ=+=。可见：n a 的大小变化，a τ的大小保持恒定，本题答案为C. 3-2 一飞轮以的角速度转动1300min rad -?，转动惯量为2 5kg m ?，现施加一恒定的制动力矩，
使飞轮在2s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为_________. 解 飞轮转动的角加速度为 ()20 001300 2.52260 rad s t ωωωβ---===-?=-?所以该恒定制动力矩大小为()5 2.512.5M J N m β==?=?。 3-3 刚体的转动惯量取决于______、________和____________等3各因素。_ 解 刚体的转动惯量取决于：刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置3个元素。 3-4 如图 所示，质量为m ，长为l 的均匀细杆，可绕通过其一端O 的水平轴转动，杆的另一端与质量为m 的小球固连在一起，当该系统从水平位置有静止转动θ角时，系统的角速度ω=_________、动能k E =__________,此过程中力矩所做的功W =__________. 解 在任意位置时，受力分析如图3.8所示。系统所受的合外力矩为 3cos cos cos 22 l M mg mgl mgl θθθ=+= 则在此过程中合外力矩所做的功为 0033cos sin 22W Md mgl d mgl θθθθθθ??= == ????? 系统的转动惯量为 2221433 J ml ml ml =+= 于是刚体定轴转动的动能定理可写为 22314sin 223mgl ml θω??= ??? 所以系统的角速度为ω=213sin 22k E J mgl ωθ==
大学物理刚体部分知识点总结 一、刚体的简单运动知识点总结 1、刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。 2、刚体平行移动。 刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。 刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。 刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 3、刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。角速度也可以用矢量表示，。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。角加速度也可以用矢量表示，。
?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。 速度、加速度的代数值为。 ?传动比。 二、转动定律转动惯量转动定律力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同与牛顿定律比较：转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。计算转动惯量的三个要素:(1)总质量； (2)质量分布； (3)转轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关几种典型的匀质刚体的转动惯量刚体转轴位置转动惯量J细棒（质量为m，长为l）过中心与棒垂直细棒（质量为m，长为l）过一点与棒垂直细环（质量为m，半径为R）过中心对称轴与环面垂直细环（质量为m，半径为R）直径圆盘（质量为m，半径为R）过中心与盘面垂直圆盘（质量为m，半径为R）直径球体（质量为m，半径为R）过球心薄球壳（质量为m，半径为R）过球心平行轴定理和转动惯量的可加性1）平行轴定理ozDmicdrcirio设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I，则可以证明I与Ic之间有下列关系2）转动惯量的可加性对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。三
第三章 刚体定轴转动 前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。 本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。 3.1 刚体的定轴转动的描述 3.1.1 刚体的基本运动形式 刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。 刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转 轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。 下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定 的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就 (b) (a) 图3-1 刚体的平动和定轴转动 A B
第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律 在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。 §3-1 刚体定轴转动 1. 刚体运动的形式 刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。 平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如 图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动 只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就 可以代表它整体的运动。 转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。 2. 刚体的定轴转动 研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动 平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是 一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半 径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。 角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度 和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速 度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用 带有“+、-”的标量表示速度和加速度。 角速度的大小为 dt d θω= （3-1） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 角加速度为 22dt d dt d θωβ== （3-2） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 离转轴的距离为r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：ωr v = （3-3） 其加速度和刚体的角加速度的关系为： βr a t = （3-4） ωr a n = （3-5） 图3-1刚体的平动 图3-2 刚体定轴转动
《大学物理》试题库管理系统内容 第三章 刚体的定轴转动 1 题号：03001 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元的法向加速度 n a 和切向加速度τa 来说正确的是（ ）． A.n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定 B.n a 的大小保持恒定，τa 的大小变化 C.n a 、τa 的大小均随时间变化 D.n a 、τa 的大小均保持不变 答案: A 2 题号：03002 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 有A 、B 两个半径相同、质量也相同的细环，其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀．若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为B A J J 和，则（ ）． A. B A J J = B. B A J J > C. B A J J < D. 无法确定B A J J 和的相对大小 答案: A 3 题号：03003 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为m ，此时滑轮的角加速度为β，若将物体取下，而用大小等于mg 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ）． A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定 答案: A
试题: 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的（ ）． A.系统的角动量保持不变 B.角动量加大 C.转速和转动动能变化不清楚 D.转速加大，转动动能不变 答案: A 5 题号：03005 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某力学系统由两个质点组成，它们之间仅有引力作用．若两质点所受外力的矢量和为零，则此力学系统（ ）． A.动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 B.动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 C.动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 D.动量、机械能以及对某一转轴的角动量一定守恒 答案: A 6 题号：03006 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 如图所示，两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘形滑轮的两端，用轻绳分别系着质量为m 和2m 的小物块．若系统从静止释放，则释放后两滑轮之间绳内的张力为（ ）． A. mg 811 B.mg 2 3 C.mg 2 1 D.mg 答案: A
定义：作用于质点的力 对惯性系中某参考点的 力矩，等于力的作用点对该点的位矢与力的矢积，即F r M ?=M 的方向垂直于r 和F 所决定的平面，指向用右手法则确定。y z x zF yF M -=z x y xF zF M -=x y z yF xF M -=在直角坐标系中，表示式为1 力矩 一质点的角动量 2-5 角动量角动量守恒定律 ⊥=rF M ? sin rF =
注意：1. 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对应的位矢不同。物体所受的力矩不同。r r 3.如果力的方向始终指向一个固定点，则该力就称为有心力，该固定点称为这个力的力心。 F 受到有心力作用的物体，相对于力心，其所受力矩为零。2.何时为零？ M a.0 F c.受到有心力作用b.力的作用线与轴相交
2 质点的角动量定理 F r M ?=dt P d F = P dt r d P r dt d dt P d r M ?-?=?=)(v m P =v =dt r d 0v m v =?=? P dt r d )(P r dt d M ?=定义：P r L ?=——角动量 dt L d M =——角动量定理
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。 00 d t t M t L L =-? 0d t t M t ? 叫冲量矩 的方向符合右手法则.L v m r L ?z 角动量P r L ?=1.?sin mvr L =
m r p r L ?=?=2.质点在垂直于z 轴平面 上以角速度作半径为的圆运动，相对圆心ωr θ sin v rm L =大小ω r z v m o ?90?= A ω2mr rm L ==v （圆运动）