C
D
B A 圆的定义与垂径定理综合(一)
【知识要点】
一．圆的基本性质：
1、圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。圆还具有旋转不变性。
2、确定圆的要素是：圆心、半径。以点O 为圆心的圆记“⊙O”，读作：“圆O”。
3、三角形的外接圆：（外心即外接圆的圆心，它是三边垂直平分线的交点）
锐角三角形的外心在 ， 钝角三角表的外心在 ， 直角三角形的外心在 。 4、圆的相关概念：
（1）弦 （2）弦心距 （3）弧 （4）半圆 （5）优弧 （6）劣弧 （7）等弧 （8）弓形 （9）弓高 （10）同心圆 （11）等圆 5．点与圆的位置关系：设⊙Ｏ的半径为r ，则点P 与⊙O 的位置关系有：
(1) 点Ｐ在⊙Ｏ上 ＯＰ＝r (2)点Ｐ在⊙Ｏ内 ＯＰ＜r (3)点Ｐ在⊙Ｏ外 ＯＰ＞r 6．证明几个点在同一个圆上的方法：
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等。
二.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．
五要素：○1过圆心；○2垂直于弦；○3平分弦；○4平分弦所对的劣弧；○5平分弦所对的优弧； 推论: 圆的两条平行弦所夹的弧相等．
【典型例题】
例1．（1）、已知⊙Ｏ的半径是５cm ，Ａ为线段ＯＰ的中点，分别指出点Ａ与⊙Ｏ的位置关系：
当OP ＝6cm 时， ; 当OP ＝10cm 时， ; 当OP ＝14cm 时， 。
（2）、正方形ABCD 的边长为3cm ，以Ａ为圆心，３cm 长为半径作⊙Ａ，
则点Ａ在⊙Ａ ，点Ｂ在⊙Ａ ，点Ｃ在⊙Ａ ，点Ｄ在⊙Ａ 。
例2.圆弧形拱桥的跨度是12米，拱高4米，则拱桥圆弧所在圆的直径是 。
例3． （1）已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长cm 32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A ．1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm
（2）已知一条弦把圆周分成3:1的两部分，若半径为R ，那么弦长为（ ） A ．R B.2R C.R 22 D.R 2
（3）如图1，⊙O 的半径为6cm ，AB 、CD 为两弦，且AB ⊥CD ，垂足为点E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则
AB 的长为（ ）
A ．10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 28
（4）下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④
圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ）
A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个
（5）如图2，同心圆中，大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4，CD=2，圆心O 到AB 的距离等于1，那么两
个同心圆的半径之比为（ ）
A ．3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:4 （6）等腰三角形腰长为4cm,底角为?30,则外接圆直径为（ ） A ．2cm B.4cm C.6cm D.8cm
考点速练（-）
1．已知P 为⊙O 内一点，且d OP =，如果⊙O 的半径是r ，那么过P 点的最短的弦等于（ ） A 、2
2
r d + B 、22
2r d
+ C 、2
2d
r - D 、2
22d
r -
2．在下列各图形中，是轴对称图形并且有无数多条对称轴是（ ） A 、正方形 B 、等腰梯形 C 、正三角形 D 、圆
3．下列命题中，正确命题的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （1）相等的圆心角所对弧相等（2）垂直于弦的直线平分此弦，并且平分该弦所对的弧 （3）同圆的两条相交弦（直径除外）不能互相平分（4）等弦的弦心距相等 4．一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ） A 、2.5cm 或6.5cm B 、2.5cm C 、6.5cm D 、5cm 或13cm 5．下列命题中正确的是（ ）
A 、三点确定一个圆
B 、两个端点能够重合的弧是等弧
C 、过四点不能作一个圆
D 、任何三角形有且只有一个外接圆
A
D E
C
B
2O
图1
A
2O
C
D
B
图2
6．在以下各结论中，正确的为
A 、经过圆心和一条弦（非直径）的中点的直线，一定垂直平分这条弦
B 、两个端点能够重合的弧是等弧
C 、在⊙O 中，C A 、、B 是⊙O 上的三点，若 BC AB 2=则BC AB 2=
D 、对于任何两个圆，不同的圆心角对应的弦可以相等，对应的弧一定不等 7．下列语句中，正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、平分弦的直径垂直于弦
C 、长度相等的两条弧是等弧
D 、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
8、如图，半圆的直径4=AB ，O 为圆心，半径AB OE ⊥，F 为OE 的中点，弦CD 过F 且CD ∥AB ，
则弦CD 的长为多少？
9. 如图，已知在ABC ?中，?=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长
线于点D ，求CD 的长．
考点速练（2）
1．下列说法正确的是（ ）
A.弦是直径
B.半圆是弧
C. 过圆心的线段是直径
D.圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。 2. 已知弓形的弦长为6cm ，高为2cm ，则含这个弓形的圆的直径长为（ ）.
A ．
cm 13
2 B.
cm 4
13 C.
cm 2
13 D.13cm
3．在同圆或等圆中，已知下列四个命题①不相等的圆心角所对的弧不相等；②较长弦的弦心距较短；
③相等的弧所对的弦相等；④弧扩大2倍，则所对的弦也就扩大2倍．其中正确命题的个数为（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2 O
D C E
F
A
B
C
B D
A
4．如图，AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦AB CD ⊥，
OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ．则当C 点在上半圆
（不包括B A 、两点）移动时，点P （ ） A 、到CD 的距离保持不变 B 、位置不变
C 、等分
D 、随C 点的移动而移动 5．已知⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径为4cm ，OP =2cm ，则=∠AOB ，
=∠ADC ， ADC ?周长为 cm 。
6．⊙O 中，弦10=AB ，弦24=CD ，AB 的弦心距为12，则CD 的弦心距为 。 7．一弓形的弦长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，则弓形高是 。
8． 圆的两弦AB 、CD 分别是18cm 和24cm 且AB ∥CD ，又两弦之间的距离为3cm ，则圆的半径是多少？
9. 如图所示,已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点,弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引
垂线AE 和BF,求AE-BF 的值.
2
A
B D
C
E
P F
O
BD
A
D
P
2
O
B
C
圆的定义与垂径定理综合（二）
【知识要点】
两个值得关注的直角三角形
1. 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：
2. 三角形外心在一边上时，这个三角形为直角三角形。如下图：
【典型例题】
例1 如图在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，
试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2 如图⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求：
（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。
M
A
B
C
H
E F
G
O
D
C
B
A
O P
例3 △ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。
例4 如图，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP ＝3，在过点P 的所有
的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。
例5 已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。求证：CE=DF ．
考点速练1
1、已知⊙o 的周长为8 cm,若po =4cm,则点p 在_____;若po =6cm,则点p 在_______.
2.平面上有两点A 、B ,若线段AB 的长为3cm,则以A 为圆心,经过点B 的圆的面积为_______.
3.点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),则点B 在以A 为圆心, 6 为半径的圆的_______. 4、在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=5，这个三角形的外接圆的半径为（ ）。 5、在△ABC 中，已知BC 的长为24，外心到BC 的距离为5，外接圆的半径（ ）。 6、一个三角形的外心不在其外部，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、三角形三边垂直平分线的交点 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形或直角三角形
7、三角形的三边长为5，12，13，则它的外接圆的圆心到顶点的距离等（ ）。
l
?
问题一图 3
O
H F
E D C B
A
l
?
问题一图2
O
H
F
E D
C
B
A
l
?
问题一图1
O
H
F
E D C
B
A
8、你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有几种方法？
9.已知：图1的⊙O 中弦AB=12，OM 垂直AB 于M ，OM=6．求：(1)∠AOB 的度数；(2)⊙O 的半径．
考点速练2
1、在半径为2的圆中，弦长等于23的弦的弦心距为 ____
2. △ABC 的三个顶点在⊙O 上,且AB=AC=2,∠BAC=120o,则⊙O 的半径= __, BC= ___.
3． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_________；?最长弦长为_______． 4. 如图,A,B,C 三点在⊙O 上,且AB 是⊙O 的直径,半径OD ⊥AC,垂足为F,若∠A=30o,OF=3,
则OA=______ , AC=______ , BC= _________ .
5. 如图5为直径是52cm 圆柱形油槽,装入油后,油深CD 为16cm,那么油面宽度AB= ____
6. 如图6, ⊙O 中弦AB ⊥AC,D,E 分别是AB,AC 的中点. ⑴若AB=AC,则四边形OEAD 是 形;
⑵若OD=3,半径5 r ,则AB= _cm, AC= ___ _ cm
7. 如图7，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=8cm ，EB=4cm ，∠CEA=30°，则CD 的长为_________．
(5) (6) (7) 8、已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） （A ）1 cm （B ）7 cm （C ）1 cm 或7 cm （D ）无法判断
D
O
B
C
A
A E
D
B
O
C
F A D
C
B O
9. 已知⊙O 的半径为2cm,弦AB 长为32cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )
A 1
B 2
C 3
D 4
10. 半径r 的圆O 上有A 、B 两个定点，动点P 、Q 一点在优弧上，另一点在劣弧上，试求圆内接四边形APBQ 面积的最大值．
3如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1， 则22CD AB +＝
?
M
N E
O
D
C
B
A
圆中的角（一）（圆心角、圆周角）
一、知识梳理
1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。
①②③
④⑤⑥
2.圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如下图：例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.
例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．
例４：（威海）如图１，A B是⊙O的直径，点C D E
，，都在⊙O上，若C D E
==
∠∠∠，则
A B
+=
∠∠.
B
O
C
A O
A B
C
A B
C
D E
O
E F
C
D
G
O
例5：（常德）如图2，⊙O 的直径C D 过弦E F 的中点G ，40EOD ∠= ，则D C F ∠= ． 3. 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。
例6：已知：如图，AD?是⊙O?的直径，∠ABC=?30?°，则∠CAD=_______．
例7：（南京）已知⊙O 中，30C ∠= ，2cm A B =，则⊙O 的半径为 cm ．
4. 推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，?90的圆周角所对的弦是直径． ③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
考点练习（1）
1.（浙江温州）如图，已知A C B ∠是⊙O 的圆周角，50A C B ∠=?，则圆心角A O B ∠是（ ）
A ．40? B. 50? C. 80? D. 100?
2.(四川宜宾) 已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3.（陕西省）△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝6，则△ABC 外接圆的半径为（ ） A ．32
B ．33
C ．3
D ．3
4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°
5.(上海)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与 原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块 6.（山东德州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝D
E ，AE 与BD 交于点C ， 则图中与∠BCE 相等的角有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5 个
_ .
. .
_D
_C
_B _A
_O B
O C
A
P
O
D C
B
A
B
E
D
A C
O
7.（浙江台州）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90 的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤
8.（南京）如图４，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．23
D ．25
9.（盐城市）已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C ＝1∶2，则∠BOD ＝ . 10.（山东枣庄）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。
11.（南京）如图１１，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65 ．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视 器 台。
12.（龙岩）如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 。
13.（海南）如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段
OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 .
14.（山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上，
此时∠AOE ＝56°，则α的度数是 .
15.（沈阳） 如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ． （1）求证：DB 平分∠ADC ；
（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．
（图４）
A B
C
O
（第11题）
A
65
°
°
O
A
B O
C x
P
16.（广东湛江）如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
17.（陕西）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（1）求证：AC ＝AE ； （2）求△ACD 外接圆的半径。
18.（呼和浩特）已知：如图等边A B C △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ?
上的一点（端点除外），延长B P 至
D ，使B D A P =，连结C D ．
（1）若A P 过圆心O ，如图①，请你判断P D C △是什么三角形？并说明理由．
（2）若A P 不过圆心O ，如图②，P D C △又是什么三角形？为什么？
E
D
B A
O C
A C
B
D
E
A O
C
D P B
图①
A
O
C
D
P B
图②
圆中的角（2）（圆心角定理，圆内接四边形对角互补）
【知识要点】
一、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
二、圆内接四边形对角互补（直接用），外角等于内对角（需证明） 【经典例题】
例1． 如图，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．
例2.已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。求证：PA=PC 。
A
B
E
F
O
P
C
D
2
例3．如图所示，在ABC ?中，∠A=?72，⊙O 截ABC ?的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.
例4 四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ?=?
例5 如图所示，ABC ?是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．
2O
A
B
C
2
A
D
C
B
O P
A
2
B
C
D
O
例6．已知：如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ：FC=5：1，AB=8，AE=2。求EC 的长。
例7．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上任一点（点C 、D 均不与A 、B 重合）.
(1)求ACB ∠；
(2)求三角形ABD 的最大面积．
考点速练：
1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=?130，则∠DAE= ． 4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4， 则∠A= ，∠B= ．
5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．
6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=?55，则∠BDC= ．
7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大?30，则∠A= 。∠D= ．
F A
C E D
B
F 2 A B
C E
D
O A
B
C
O D
8．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2：3：6,则∠D 的度数是（ ） A 、?5.67
B 、?135
C 、?5.112
D 、?110
9．如图1所示，圆的内接四边形ABCD ，DA 、CB 延长线交于P ，AC 和BD 交于Q ，则图中相似三角形有（ ） A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
10．如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A 、215
B 、315
C 、
2
315 D 、
2
2
15
11．下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ）
A 、有一个角为?60的平行四边形
B 、菱形
C 、矩形
D 、直角梯形 12．如图2，四边形ABCD 是圆的内接四边形，如果BCD 的度数为?240，
那么∠C 等于（ ） A 、?120
B 、?80
C 、?60
D 、?40
13．若四边形ABCD 内接于圆，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n ，则（ ） A 、5m=4n
B 、4m=5n
C 、m+n=9
D 、m=n=?180
14．如图所示，已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，点D 为劣弧BC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），直线AD 与BC 交于E 点，连结BD 、DC.
（1）求证:BD 2DC=DE 2DA ；
（2）若将D 改为优弧BAC 上一动点（不与B 、A 、C 重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.
A
D C
B
P
Q
图1
A
D B
C
2
O
图2
A
B
C
O
A
E
D C
B
会用切线，能证切线
（中考重点，不重视吃大亏）
知识回顾：
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数 d 与r 的关系 直线与圆的位置关系
d >r 相离
1
d =r 相切
2
d 切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 符号语言 ∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线 判断直线是圆的切线的方法： ①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 ②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 注意：对于切线性质定理的两个推论： (1)垂直于切线； (2)过切点； (3)经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个 例题讲解 例1.如图，△ABC 内接于⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径，∠CAD ＝ ∠ABC ，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。 C A D B O l A O O P B A C 例2.如图,OA=OB=13cm ，AB=24cm ，⊙O 的半径为5cm ，AB 与⊙O 相切吗？为什么? 例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，C 是⊙O 上一点，若∠P ＝40。 ，求∠C 的度数。 例4．如图所示，ABC Rt ?中，?=∠90C ，以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点。 求证：DE 是⊙O 的切线． 中考链接 1.（扬州）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A ，与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB. 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。 O A B D O C A B 2 A B C E O D 2. （北京）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90。 ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且∠CBD= ∠A ，判断BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。 3. (09深圳)如图10，AB 是⊙O 的直径，AB=10，DC 切⊙O 于点C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E 。 （1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）若sin ∠BEC=53 ，求DC 的长。 4．（08深圳）如图8，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝3 2，求△ACF 的面积． 课堂速练（1） E O B C A D 3 2 1 D E B A C 图 8 O F E B C A D 1． 判断 ①垂直于半径的直线是圆的切线。………………………………（ ） ②过半径外端的直线是圆的切线。………………………………（ ） ③与圆有公共点的直线是圆的切线。……………………………（ ） ④圆的切线垂直于半径。…………………………………………（ ） 2． 如图，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC ＝37。，则∠AOB 的度数为（ ） A. 64。 B. 74。 C. 83。 D. 84。 3. 如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A ＝36。．则∠C ＝______ 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=30。 ．过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D ，则∠CAD ＝_______ 5．如图，AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，∠BAC ＝50。，∠ACD=______ 6．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，CO 交⊙O 于点D ，AD 的延长线交BC 于E ，若∠C=25。． 求∠A 的度数． 7．如图，△ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，试问DF 是⊙O 的切线吗？ 8．（06深圳）如图10-1，在平面直角坐标系xo y 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两 C A B O O A C B C O D B A D O A B C D O C A B E E C O F D A B
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