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试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
（1） 设复数z 满足1+z
1z
-＝i ，则|z |＝
(A )1 (B ) (C (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝
(A ) (B 2 (C )12- (D )1
2
(3)设命题P ：?n ∈N ，2
n >2n ，则?P 为
(A )?n ∈N ， 2n >2n (B )? n ∈N ， 2n ≤2n (C )?n ∈N ， 2n ≤2n (D )? n ∈N ， 2n ＝2n
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312
(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：2
212
x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12
MF MF ?＜0，则y 0的取值范围是
(A )(－
3，3) (B )(－6，6)
(C )(3-，3) (D )(3-，3
)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛
(7)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则
(A ) 1433AD AB AC =-+
(B ) 14
33AD AB AC =-
(C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 41
33
AD AB AC =-
(8)函数f (x )＝ 的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为
(A )( )，k (b )(
)
，k (C )(
)，k (D )(
)，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝ (A )5 (B )6 (C )7 (D )8
（10）2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为
(A )10 (B )20 (C )30 (D )60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，
2r
r
正视图
（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8
12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )
A .[
32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [3
2e
，1)
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ (14)一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x
轴上，则该圆的标准方程为 .
(15)若x ，y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
，则y x 的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设
，求数列
}的前n 项和
(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，
E ，
F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
A B
C F E
D 年宣传费(千元)
年
销售量/t
)
46.6
56.3
6.8
1469
表中w i ，w ＝
8
i=1
∑
i w
(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方
程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i u u v v v u u u βαβ==--=
=--∑∑
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2
4
x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，
(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝31
,()ln 4
x ax g x x ++=-
(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()
(0)h x f x g x x => ，
讨论h (x )零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E
（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ，求∠ACB 的大小.
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）
若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN
的面积
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数
＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.
(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案
A 卷选择题答案 一、选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D A 、B 卷非选择题答案 二、填空题
（13）1 （14） 22325
()24x y ±+= （15）3
（16）
二、解答题
（17）解：
（I ）由2243n n n a a S +=+，可知211124 3.n n n a a S ++++=+ 可得22
1112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即
22
11112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-
由于0n a >可得1 2.n n a a +-=
又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，
所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+
111111().(21)(23)22123
n n b a a n n n n +===-++++
设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则
12n n T b b b =++
+
1111111()()(
)()235572123.3(23)n n n n ??=
-+-++-??
++??
=+
（18）解：
（I ）连结BD ，设
BD AC=G ，连结EG ，FG ，EF.
在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，
可得
.由
BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以
，且EG ⊥AC.在Rt ?EBG 中，
可得
故.在Rt
?FDG 中，可得在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2
，
可得FE=2
.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以
又,.AC FG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ?平面 所以平面AEC AFC ⊥平面
（III ）
如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，
GB
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I
）可得(0(10(10(0A E F C -，
，所以
(132),(12AE CF ==
-，，故cos ,AE CF AE CF AE CF
?
=
=-? 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为
3
.
（19）解：
（I ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。
……2分 （II ）令w =
y 关于w 的线性回归方程。由于
1
2
1
()()
108.8
?681.6
()
n
i
i
i n
i
i w w y y d
w w ==--==
=-∑∑ ??56368 6.8100.6c
y dw =-=-?=。 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668y
w =+，因此y 关于x 的回归方程为?100.6y
=+ ……6分
（III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值
?100.6576.6y
=+= 年利润z 的预报值
?576.60.24966.32z
=?-=。 ……9分
（ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值
?0.2(100.620.12z
x x =+
-=-+ 13.6
6.82
==，即x=46.24时，?z
取得最大值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分
（20）解：
（I
）有题设可得),(),
M a N a M
-或（）.
又
2
=y
24
x x
y x '==，故在
处的导数值
为，C在
点(,)
a出的切线方程
为a0
y x y a
-=---=
2
4
x
y x
==-
在
y a
-+=.
股所求切线方程为00
y a y a
--=++=
（III）存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
12
,k k
2440.
y kx a C x kx a
=+--=
代入的方程得
故
1212
4,4.
x x k x x a
+==-
从而2440.
kx a C kx a
+--=
代入的方程得x
1212
4,4.
x x k x x a
+==-
故
12
1
12
1212
12
b
2
2()()
y y b
k k
x x
kx x a b x x
x x
--
+=+
+-+
从而
()
k a b
a
+
=
当b=-a时，有
12
0,=
k k PM
+=∠∠
则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM OPN，所以点P(0,-a)符合题意（21）解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
000
3
00
2
(,0)()0,()0
1
4
30
13
,
24
x f x f x
x ax
x a
a
==
??
++=
??
??
??
+=
??
=-
则即
解得x
因此，当
3
x y()
4
a f x
=-=
时，轴为曲线的切线
（II）当
{}
x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)
g x nx f x g x g x x
∈+∞=-<≤<+∞
时，从而h(x)=min故在无零点
{}
55
x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x
44
a f a h f g g
=≥-=+≥====
当时，若则故
是{}
5
()a,(1),(1)(1)0,1(
4
h x f g f x h x
<-=<=
的零点；若则f(1)<0,h(1)=min故不是的零点x(0,1)g()10.f
x n x
∈=->
当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数
2
i a a f'
≤≥
（）若-3或0,则（x）=3x+a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调
15
f(0),(1),f a f
44
f a
=+≤≥
所以当a-3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点
a a
()30,f ()0),133
ii a x -<<--若则
在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中
3
21
()f ()3334
a a a a x f x =--=-+当时，取得最小值，最小值为
3
()0.0,()343
f a f ()(0,1)34
3153
()0,3,(0),(1)34444
a f a f x a x a f a f f a a ->-<<--<-<<-==+<<-
①若即在（0,1）无零点；
②若()=0,即=-则在有唯一零点
③若即由于
5
()f ()(0,1).4