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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷含答案解析

2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷

数学试卷

考试时间：120分钟；满分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号一二三总分

得分

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．（4分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）

A．6 B．12 C．24 D．243

2．（4分）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）

A．4 B．8 C．16 D．64

3．（4分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是

（）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（4分）下列各组数中，是勾股数的为（） A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．3，4，5 D ．7，8，9

5．（4分）如图，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸（AE ＞DE ）剪去了一角，量得AB=3cm ，CD=4cm ，则剪去的直角三角形的斜边长为（）

A ．5cm

B ．12cm

C ．16cm

D ．20cm

6．（4分）如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了（）

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

7．（4分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（）

A ．π+13

B ．23

C ．2

432

π+

D ．213π+

8．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（）

A ．

23 B ．34 C ．35

D ．5

9．（4分）如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 的高是（）

A ．

B ．

410 C ．5

10 D ．5

10．（4分）如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有（）

A ．12个

B ．10个

C ．8个

D ．6个

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

11．（5分）已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足a +b=10，ab=18，c=8，则此三角形为三角形．

12．（5分）如图，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD= ．

13．（5分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．

14．（5分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD=．

三．解答题（共9小题，满分90分）

15．（8分）如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，∠BAC=30°，若AB=6，求AD的长．

16．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC的周长．

17．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC的面积．

18．（8分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．

19．（10分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．

观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；

（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

20．（10分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；

（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；

（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．

21．（12分）（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面

刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；

（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；

（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？

22．（12分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1）求出空地ABCD的面积．

（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

23．（14分）（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．

解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？

答：，若存在，试写出一组勾股数：．

②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．

③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．

（2）探索升华：是否存在锐角△ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C ＞∠A；∠ABC=2∠BAC？若存在，求出△ABC三边的长；若不存在，说明理由．

2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．

【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB +AC 的长，在直角三角形AOB 中，利用勾股定理求出AC 的长，进而确定出OA 的长，求出三角形AOB 面积，即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：4（AB +AC ）=24，即AB +AC=6，OB=OC=3，在Rt △AOB 中，根据勾股定理得：AB 2=OA 2+OB 2，即（6﹣AC ）2=32+（3+AC ）2，解得：AC=1， ∴OA=3+1=4， ∴S △AOB =

×3×4=6，则该飞镖状图案的面积为24，故选：C ．

【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED 的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR 的平方及PQ 的平方，又三角形PQR 为直角三角形，根据勾股定理求出QR 的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED 的面积等于225， ∴即PQ 2=225，

∵正方形PRGF 的面积为289， ∴PR 2=289，

又△PQR 为直角三角形，根据勾股定理得： PR 2=PQ 2+QR 2，

∴QR 2=PR 2﹣PQ 2=289﹣225=64，则正方形QMNR 的面积为64．

故选：D ．

【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 3．

【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，依据AB=6，AC=8，可得CD ≤8，进而得到当CD 与AC 重合时，CD 最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大．【解答】解：如图，过C 作CD ⊥AB 于D ， ∵AB=6，AC=8， ∴CD ≤8，

∴当CD 与AC 重合时，CD 最长为8，此时，∠BAC=90°，△ABC 的面积最大， ∴BC=2286 =10，

∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10，故选：C ．

【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析． 4．

【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．

【解答】解：A 、错误，∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股数； B 、错误，∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股数； C 、正确，∵32+42=25=52=25，∴是勾股数； D 、错误，∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股数．故选：C ．

【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可． 5．

【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．【解答】解：延长AB 、DC 相交于F ，则BFC 构成直角三角形，运用勾股定理得：

BC 2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，所以BC=20．

则剪去的直角三角形的斜边长为20cm ．故选：D ．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB 、DC 相交于F ，构造直角三角形，用勾股定理进行计算． 6．

【分析】根据勾股定理，可求出AD 、BD 的长，则AD +BD ﹣AB 即为橡皮筋拉长的距离．

【解答】解：Rt △ACD 中，AC=2

AB=4cm ，CD=3cm ；

根据勾股定理，得：AD=22CD AC =5cm ； ∴AD +BD ﹣AB=2AD ﹣AB=10﹣8=2cm ；故橡皮筋被拉长了2cm ．故选：A ．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． 7．

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、C 的最短距离为线段AC 的长．

在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5π，

所以AC=24323322

ππ+=??

? ??+，

故选：C ．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 8．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF +∠CFA=90°，∠FAD +∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE ，即可得出EC=FC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：过点F 作FG ⊥AB 于点G ， ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴∠CDA=90°，

∴∠CAF +∠CFA=90°，∠FAD +∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB ， ∴∠CAF=∠FAD ， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF ， ∴CE=CF ，

∵AF 平分∠CAB ，∠ACF=∠AGF=90°，

∴FC=FG ，

∵∠B=∠B ，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG ∽△BAC ， ∴

AB BF =

， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴

54FG

FC =

-， ∵FC=FG ，

∴

54FG

FC =

-，解得：FC=23

，

即CE 的长为2

．

故选：A ．

【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE ． 9．

【分析】根据所给出的图形求出AB 、AC 、BC 的长以及∠BAC 的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．【解答】解：根据图形可得： AB=AC=2221+=5， BC=103122=+， ∠BAC=90°，

设△ABC 中BC 的高是x ，则AC?AB=BC?x ，

x ?=?1055，

10．故选：A ．

【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x 的方程． 10．

【分析】根据正六边形的性质，分AB 是直角边和斜边两种情况确定出点C 的位置即可得解．

【解答】解：如图，AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形， AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，△ABC 是直角三角形的个数有6+4=10个．故选：B ．

【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB 是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．

【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．

【解答】解：∵a +b=10，ab=18，c=8， ∴（a +b ）2﹣2ab =100﹣36 =64， c 2=64，

∴a 2+b 2=c 2，

∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．

【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形． 12．

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而得出线段DE 是△ABC 的中位线，再利用勾股定理得出AD ，再利用线段垂直平分线的性质得出DC 的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC 2+AC 2=AB 2，

∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，

∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=3，

∴AD=DC=22DE AE =5．故答案为：5

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD 的长是解题关键． 13．

【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，

连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B=22221216+=+'BD D A =20（cm ）．故答案为20．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 14．

【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．

【解答】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B=45°， ∴BC=2AB=2，BF=AF=

AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD=BC=2，

在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF=322=-AF AD ∴CD=BF +DF ﹣BC=1+3﹣2=3﹣1，故答案为：3﹣1．

【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

三．解答题（共9小题，满分90分） 15．

【分析】求出AC 、CD ，利用勾股定理求出AD 即可；【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6， ∴BC=

AB=3，在Rt △ABC 中，AC=3322=-BC AB ， ∵AB 是DC 边上的中线，∴DB=BC=3，所以CD=6，

在Rt △ACD 中，AD=()736

332

22=+=+CD AC ．

答：AD 的长是37

【点评】本题考查勾股定理，中线的定义，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．

【分析】根据垂直求出∠ADB=∠ADC=90°，求出AC=2AD=4，AD=BD=2，根据勾股定理求出CD 和AB ，即可求出答案．【解答】解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，

∵在Rt △ADB 中，∠DAB=90°﹣∠B=90°﹣45°=45°=∠B ， ∴AD=BD=2，

由勾股定理得：AB=222222=+； ∵在Rt △ADC 中，∠C=30°，AD=2， ∴AC=2AD=4，

由勾股定理得：CD=322422=-，

∴△ABC 的周长是AC +AB +BC=4+22+2+23=6+22+23．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键． 17．

【分析】求出BD=AD=2，AC=2AD=22，根据勾股定理求出CD ，根据三角形的面积公式求出即可．

【解答】解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt △ADB 中，∵∠B +∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=2，

在Rt △ADC 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=22， ∴CD=

()()

62222

=-，BC=BD +CD=2+6，

∴S △ABC =21×BC ×AD=2

×（2+6）×2=1+3．

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键． 18．

【分析】连接BD ，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理的逆定理证明△BCD 是直角三角形，则四边形ABCD 的面积是两个直角三角形的面积和．【解答】解：连接BD ．

∵∠A=90°，AB=2cm ，AD=5， ∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4， ∴CD 2=BC 2+BD 2，

∴△BCD 是直角三角形，

∴∠CBD=90°，

∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =

21AB?AD +21BC?BD=21×2×5+2

×4×3=5+6（cm 2）．

【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，辅助线的作法是关键．解题时注意：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 19．

【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；

（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．

【解答】解：（1）11，60，61；

（2）后两个数表示为212-n 和2

2+n ，

又∵n ≥3，且n 为奇数，

∴由n ，212-n ，2

2+n 三个数组成的数是勾股数．

故答案为：11，60，61．

【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可． 20．

【分析】（1）A 所在的水平线与B 所在的竖直线的交点就是满足条件的点；（2）根据勾股定理可求得AB=5，则到A 的距离是5的点就是所求；

（3）到A 点的距离是5的格点有2个，同理到B 距离是5的格点有2个，据此即可求

解．

【解答】解：（1）（2）如图所示：

（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．

故答案是：4．

【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等腰三角形的顶点讨论是关键．

21．

【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=3r，BC=23r．根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；

（3）利用（1）（2）的数据进行解答．

【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，

如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=3r，BC=23r

则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：

∴第二种包装的空间利用率大．

【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体图形的体积公式，综合性较强，需要学生对所学知识的系统掌握． 22．

【分析】（1）连接BD ，在直角三角形ABD 中，利用勾股定理求出BD ，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD 为直角三角形，四边形ABCD 面积等于三角形ABD 面积+三角形BCD 面积，求出即可；

（2）由（1）求出的面积，乘以200即可得到结果．【解答】解：（1）连接BD ，

在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52，在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122，而122+52=132，即BC 2+BD 2=CD 2， ∴∠DBC=90°，

则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =21?AD?AB +21DB?BC=21×4×3+2

×12×5=36；

（2）所以需费用36×200=7200（元）．

【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 23．

【分析】（1）①6，8，10；

②设这三个正整数为n ﹣1，n ，n +1，根据勾股定理列方程可得方程解x=4，得出还是3，4，5这三个数，可得结论不存在；

③设这三个奇数分别为：2n ﹣1，2n +1，2n +3，同理列方程，方程无整数解，可知，不存在；

（2）设AB=x ，AC=x +1，BC=x ﹣1，作辅助线，构建等腰三角形，证明△CAB ∽△CDA ，列比例式，可得方程，解出即可．

【解答】解：（1）①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，（3分）故答案为：存在；6，8，10； ②答：不存在，（4分）

理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设这三个正整数为n ﹣1，n ，n +1，则（n ﹣1）2+n 2=（n +1）2，（5分） n 1=4，n 2=0（舍），

当n=4时，n ﹣1=3，n +1=5， ∴三个连续正整数仍然是3，4，5，

∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6分） ③答：不存在，（7分）

理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数，设这三个奇数分别为：2n ﹣1，2n +1，2n +3（n ＞1的整数），（2n ﹣1）2+（2n +1）2=（2n +3）2，

n 1=27，n 2=﹣2

1，

北师大版八年级数学上册知识点总结

北师大版八年级上册数学整理总结第一章勾股定理 1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算三、平方根、算数平方根和立方根

北师大版八年级数学(上册)第一章勾股定理测试题

勾股定理知识总结 :勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2= c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用: （1 ）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 :勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a +b = c ,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c; （2 ）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2

八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点

第一章勾股定理 1.探索勾股定理课时1 名师导航2预习指南知识要点勾股定理如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的作用勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。经典例析例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长. ∴. 5 12= CD 点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，?则b=_____． 2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__． 4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，?一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ． 5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12 6．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（） A ．112 倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍 7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是

初二数学上册北师大版知识点总结

北师大版八年级上册数学知识点总结第一章勾股定理 1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。中考突破（1）中考典题例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。点拨：要考虑梯子的长度不变。例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不解：连结AC ，在Rt △ADC 中，在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。第二章实数基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章勾股定理 1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2. A B C a b c 弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 2.勾股定理定义的应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例. 在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。 3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 5.勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

北师大版数学八年级上册知识点总结

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章勾股定理 1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

北师大版勾股定理练习题及答案

北师大版勾股定理练习题及答案一、填空题： 1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为_________________． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______． 3．△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=___________． 4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是_____________． 5．如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5图米，梯1 子滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了________米．二、选择题： 6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是． A．a= b=41 c=40B．a=b=5C=52 C．a:b:c=3:4:D．a=11b=12c=1 图图

3 7．若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是． A．1B．4C．14或D．以上都不对 8．002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么2的值为． A．1B．1 C．25D．16图 4 09．如图5，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90，则四边形ABCD的面积是． 51 D．无法确定 /10．如图6，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，B C/交AD于E，AD=8， AB=4，则DE的长为． A．3B．C．D．6 三、解答题： 011．在Rt?ABC中，∠C=90．

北师大版八年级数学勾股定理练习及答案

图6 北师大版八年级数学第一章勾股定理测试题(1) 一、填空题（每小题5分，共25分）： 1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边上的高为． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是． 3．△中，10，16，边上的中线6，则． 4．将一根长24 的筷子，置于底面直径为5，高为12的圆柱形水杯中（如图1），设筷子露在杯子外面的长度是为，则h 的取值范围是． 5．如图2所示，一个梯子长2.5米，顶端A 靠墙上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在上的位置上，如图3，测得的长0.5米，则梯子顶端A 下落了米．二、选择题（每小题5分，共25分）： 6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）． A ．9 41 40 B ．5 5 2 C ．3:4:5 D ．11 12 15 7．若△中，13，15，高12，则的长是（）． A ．14 B ．4 C ．14或4 D ．以上都不对 8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为（）． A ．13 B ．19 C ．25 D ．169 9．如图5，四边形中，3，4，12，13，且∠900 ，则四边形的面积是（）． A ．84 B ．30 C ．2 51 D ．无法确定 10．如图6，已知矩形沿着直线折叠，使点C 落在处，B 交于E ，8，4，则的长为（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 三、解答题（此大题满分50分）： 11．（7分）在ABC Rt ?中，∠900 ．图1 图2 图3 图4 图5

北师大版勾股定理复习学案

E C D B A 勾股定理本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足，那么这个三角形是三角形。（且∠ =90°） 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。题型一直角三角形中已知两边，求第三边。例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？题型二勾股定理逆定理的应用如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠2 2b a +，则△ABC 不是直角三角形。例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4 1 CD ．求证：△AEF 是直角三角形．

北师大八年级数学上册知识点总结

八年级上册第一章勾股定理一、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。三、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数?????????????????--???---) ()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ? ?? ????? ??实数第二章实数一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算

新北师大版八上数学第一章勾股定理教案

第一章勾股定理第1节探索勾股定理教学目标 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。难点：勾股定理的发现。教学过程：3个课时第一课时认识勾股定理一、导入新课人类向太空发射“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。它是智能生物从自然界发现的通用数学知识。二、问题从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6米，那么需要多长的钢索？三、做一做：P2 观察下图，并回答问题：（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。（2）如图，直角三角形三边的平分别是什么多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。（3）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？四、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+（a 、b 表示直角边，c 表示斜边）五、解决开始提出的问题

六、例：1、如图，强大台风使一旗杆在距离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆原先高度是多少？ 2、变式：旗杆高24米，旗杆被风吹断后顶部距底部12米，求旗杆在什么位置折断？七、练习：P3，1，2，P4，1，2，3 八、作业：P4， 4 附： 1、小明从A点沿北偏东30°方向走了4m，到在B点，再沿南偏东60°方向走了3m到达C点，则A与C相距多少？ 2、如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AD⊥BC，AD=12，求AC的长。 A B C D

(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案

数学试题一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（，） D ）

11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示，则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标为 (2,43),(2,43)--- 第12题图第16题图第11题图

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

第一章勾股定理知识点一：勾股定理定义画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长发现32 +42 与52 的关系，52 +122 和132 的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2 ） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系：； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：；（给出证明） ⑷三边之间的关系：。知识点二：验证勾股定理知识点三：勾股定理证明（等面积法）例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。证明：例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。证明：知识点四：勾股定理简单应用在Rt △ABC 中，∠C=90° (1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a 知识点五：勾股定理逆定理如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2 2 2 c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． b b b B

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ） ②计算2 c 与22 a b +，并验证是否相等。若2 c =22 a b +，则△ABC 是直角三角形。若2c ≠22 a b +，则△ABC 不是直角三角形。 1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 2.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3.已知0)10(862 =-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是三角形. 知识点六：勾股数（1）满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41． 1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（）. A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶7 知识点七：确定最短路线 1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？ 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 . 知识点八：逆定理判断垂直 1．在△ABC 中，已知AB 2 －BC 2 ＝CA 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形； B ．直角三角形； C ．钝角三角形； D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上答案都不对知识点九：勾股定理应用题 1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ A B C D A ' B ' C D 'A B C

八年级上册数学试题北师大版)

2011-2012八年级上册数学试题一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！（下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C 、一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等 D 、矩形的对角线一定互相垂直 8、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（） x y x y x y x y O O O O D y x C B A O C y x C B A O B y x C B A O A y x C B A O

北师大版七年级数学勾股定理知识点

勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理的内容及由来内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见证明方法如下： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法一： 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：这1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证勾股定理知识点总结 .勾股定理的适用范勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

围 .勾股定理的应用.勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形常见.勾股数及其规律①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90 C ∠=?，则22 c a b =+，22 b c a =-，22 a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

北师大版勾股定理的应用

勾股定理的应用知识梳理: 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一、关于路线最短问题例1、有这样一个有趣的问题：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少（的值取3）注：这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形，从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。牛刀小试： 1、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗蚂蚁要爬行的最短行程是多少 B 12 8 A 8 题型二、测量实际距离（求线段长度）例2、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵

树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少小试牛刀： .2.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险课堂巩固： 1、有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。（π 3） 2. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为__________ 3. 如图，一架米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米第2题 12 A B 1 A 1 B Q P A B C D

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