新高中必修一数学上期末试题(带答案)
一、选择题
1．函数()12cos 12x x f x x ??
-= ?+??
的图象大致为()
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称
D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称
3．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π
对称，当[0,)2
x π
∈时，()1cos f x x =-，
则当5(
,3]2
x π
π∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =?-的零点分别为a ，
b ，
c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<
D ．a b c <<
6．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的
“上界值”，则函数33()33
x x f x -=+的“上界值”为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
7．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1
()21
f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x +++
+=( )
A ．1010
B ．2020
C ．1011
D ．2022
8．已知函数()0.5log f x x =，则函数(
)2
2f x x -的单调减区间为( )
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．(]0,1
D ．[)1,2
9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y
10．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln
||
y x = B ．3y x =
C ．||2x y =
D ．cos y x =
11．设函数()1x
2,x 12f x 1log x,x 1-≤?
=->??
，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )
A ．[]
1,2-
B ．[]0,2
C ．[)1,∞+
D ．[
)0,∞+ 12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
二、填空题
13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.
14．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21
()213x
f f x ??+=??+??，则52(lo
g )f =__________.
15．
函数y =________ 16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222??
??
++-=
? ?????
f x f x 成立，则 127...888f f f ??????
+++ ? ? ???????
＝ ． 17．若集合{||1|2}A x x =-<，2|
04x B x x -?
?
=
，则A B =______. 18．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 19．已知函数1,0()ln 1,0
x x f x x x ?+≤=?
->?，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解
()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；
20．已知函数()232,1
1,1
x x f x x ax x ?+<=?-+≥?，若()()02f f a =，则实数
a =________________. 三、解答题
21．已知函数1
3
2
()log 2ax f x x
-=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；
（2）若当(7,)x ∈+∞时，
13
()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围.
22．已知函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值； （2）令()()f x g x x
=，若函数()()22x x
F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.
23．已知函数31
()31
x x
f x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；
（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域.
24．已知集合{}
24A x x =-≤≤，函数()()
2log 31x
f x =-的定义域为集合B .
(1)求A B ；
(2)若集合{}
21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ??，求实数m 的取值范围. 25．已知函数()22
x
x
f x k -=+?，(
)()log ()2
x
a g x f x =-（0a >且1a ≠），且
(0)4f =.
（1）求k 的值；
（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82x
t
f x ≥
+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 26．已知函数()()2
0f x ax bx c a =++≠，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当[]1,2x ∈-时，求函数的最大值和最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
函数f （x ）=（1212
x
x
-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，
1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212x
x
-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2．C
解析：C 【解析】
由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在
(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．
【名师点睛】如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2
a b
x +=
；如果函数()f x ，x D ?∈，满足x D ?∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(
,0)2
a b
+． 3．C
解析：C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ??∈
???时，30,2x ππ??
-∈????
,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】
因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π??
???
对称，所以()()0f x f x π++-=， 且()()f x f x -=-，所以()()f x f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.
当5,32x ππ??∈
???时，30,2x ππ??
-∈????
，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ??
∈ ???
故选C 【点睛】
本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.
4．B
解析：B 【解析】
因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小
关系. 【详解】
令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．
令12
()2log 0x
g x x -=-=，则2log 2x x -=-．
令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21
log 22
x
x x -=
=． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数
2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，
如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．
故选:D ． 【点睛】
本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.
【详解】 令3,0x
t t => 则
36
1133
t y t t -=
=-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】
本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=
-y x 都关于1,02??
???
对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于
1,02??
???
对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.
【详解】
()()10f x f x ++-=，
()f x ∴关于1,02??
???
对称，
而函数121=
-y x 也关于1,02??
???
对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02??
???对称，
()1
21
f x x ∴=
-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），
有1011组关于1,02?? ???
对称，
122022...101111011x x x ∴+++=?=.
故选：C 【点睛】
本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.
8．C
解析：C 【解析】
函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.
又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]
0,1上单调递增，在[
)1,2上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则函数(
)2
2f x x -的单调减区间为(]0,1.
故选C.
点睛：形如()()
y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()
y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()
y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.
简称为“同增异减”.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析:因函数lg 10x
y =的定义域和值域分别为
,故应选D ．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
10．A
解析：A 【解析】
本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln
||
y x =，||
2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈
0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln
||y x =变形为1ln y x =，可看成1
ln ,y t t x
==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1
(0)t x x
=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数
故选择A
11．D
解析：D
【解析】 【分析】
分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】
当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1
x 2
≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
12．B
解析：B 【解析】
因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2
(22)2a a -+-=7.
选B.
二、填空题
13．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：0,1
【解析】 【分析】 令0f x
，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同
交点，作出图形，可求出答案. 【详解】
由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，
y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两
个交点. 故答案为：0,1.
【点睛】
本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
14．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）
解析：
23 【解析】 【分析】
由已知可得()2
21x
f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13
，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】
∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()2
21x f x ++]＝13
， ∴()2
21x
f x +
+＝a 恒成立，且f （a ）＝13， 即f （x ）＝﹣
x 221++a ，f （a ）＝﹣x
2
21++a ＝13
， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x
2
21
++1， ∴f （log 25）＝23
， 故答案为：23
． 【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有
()21213x f f x ?
?+=??+?
?成立是解答的关键，属于中档题．
15．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-
【解析】 【分析】
先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】
依题意22
0.50log 0
x x ?>?≥?，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-.当[)1,0x ∈-时，2x 为减函
数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数20.5log y x =的单调
递增区间是[)1,0-. 【点睛】
本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.
16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则
，
因为11222????
++-= ? ???
??
f x f x ， 所以
，
,
故答案为7.
17．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-
【解析】 【分析】
先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解
A B 的结果.
【详解】
因为12x -<，所以13x ，所以()1,3A =-；
又因为2
04x x -<+，所以()()4204
x x x ?+-
B =-.
故答案为：()1,2-. 【点睛】
解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.
18．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力
解析：1 【解析】 【分析】
直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】
()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣
故答案为：1 【点睛】
本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.
19．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属
解析：)22,2e e ?--?
【解析】 【分析】
画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】
函数()f x 的图像如下图所示，由图可知
1,22
a b
a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2
()22,2a b c c e e ?+=-∈--?
. 故答案为：)
2
2,2e e ?--?
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题
解析：2 【解析】 【分析】
利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】
由题意得：()0
0323f =+=，()2
3331103f a a =-+=-，
所以由()()01032f
f a a =-=， 解得2a =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.
三、解答题
21．（1）1a =-（2）2m ≥- 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数性质()()f x f x -=-和对数的运算性质即可解得； （2）根据对数函数的单调性即可求出. 【详解】
解：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称， ∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-，
即1
113
33
222log log log 222ax ax x
x x ax ----=-=+--， 2222ax x x ax ---∴=+-，即
22
2
414a x x
解得：1a =-或1a =， 当1a =时，()1
13
3
2
()log log 21x f x x -==--，不合题意； 故1a =-；
（2）11
113
3
33
2()log (2)log log (2)log (2)2x
f x x x x x ++-=+-=+-， ∵函数
13
log (2)y x =+为减函数，
∴当7x >时，
113
3
log (2)log (27)2x +<+=-，
∵(7,)x ∈+∞时，13
()log (2)f x x m +-<恒成立，
∴2m ≥-. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，函数恒成立的问题，属于中档题. 22．（1）1m =，2n =；（2）1,38??-????
【解析】 【分析】
（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可； （2）求出()g x 得表示，由函数()()2
2x
x
F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，可得
21112(
)322x x
r =+?-?，设1
2x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】
解：（1）由函数2
()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，
可得130
460m n m n -+=??
-+=?
，可得1m =，2n =；
（2）由题意得：()2
()3f x g x x x x
==+-，函数()()22x x F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，即(
)022x
x g r -?=在[]1,1x ∈-有解，即211
12(
)322
x x r =+?-?在[]1,1x ∈-有解， 设12x t =
，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ??∈????
，2231r t t =?-?+，
即2231r t t =?-?+在1,22
t ??∈???
?
有解，
可得：2
2
3112312(),(2)4
82r t t t t =?-?+=--≤≤，可得1
38
r -≤≤， 故r 的取值范围为1,38??-????
. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.
23．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】
（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；
（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；
（2）由312
()13131
x x x
f x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.
【详解】
证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，
且3113()()3131
x x
x x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；
（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：
在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，
可得12121
21212
123131222(33)
()()(1)(1)31313131(31)(31)
x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；
（3）由312
()13131
x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，
故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.
【点睛】
本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.
24．(1){}2x x ≥-；(2)(]
2,3 【解析】 【分析】
（1）由对数函数指数函数的性质求出集合B ，然后由并集定义计算； （2）在（1）基础上求出A B ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论．
【详解】
(1)由310x ->，解得0x >， 所以{}
0B x x =>. 故{}
2A B x x ?=≥-. (2)由{}
04A B x x ?=<≤. 因为()C A B ??，
所以20,1 4.m m ->??+≤?
所以23m <≤，即m 的取值范围是(]
2,3. 【点睛】
本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．
25．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(]
,13-∞- 【解析】 【分析】
（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；
（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可. （3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可. 【详解】
（1）因为()22x x
f x k -=+?且(0)4f =，故：14k +=，
解得3k =.
（2）因为(
)()log ()2
x
a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：
()log (32?)x a g x -=，则log (32?)0x a ->，等价于：
当1a >时，321x ->，解得()2,log 3x ∈-∞ 当01a <<时，321x -<，解得()2log 3,x ∈+∞. （3）()82x
t
f x ≥
+在R 上恒成立，等价于： ()
()2
28
230x
x
t --+≥恒成立；
令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：
2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.
即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立， 又()2
283413m m m -+=--，故：
2(83)m m -+的最小值为：-13，故：
只需13t ≤-即可. 综上所述，(]
,13t ∈-∞-. 【点睛】
本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题.
26．（1）()2
22f x x x =-+；（2）增区间为()1,+∞，减区间为(),1-∞；（3）最小值
为1，最大值为5. 【解析】 【分析】
（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数()f x 的解析式； （2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数()f x 的单调区间； （3）利用函数的对称轴与[]1,2x ∈-，直接求解函数的最大值和最小值． 【详解】
（1）由()02f =，得2c =，又()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-， 故221
a a
b =??
+=-? 解得：1a =，2b =-.所以()2
22f x x x =-+；
（2）函数()()2
22211f x x x x =-+=-+图象的对称轴为1x =，且开口向上， 所以，函数()f x 单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),1-∞； （3）()()2
22211f x x x x =-+=-+，对称轴为[]11,2x =∈-，故
()()min 11f x f ==，
又()15f -=，()22f =，所以，()()max 15f x f =-=. 【点睛】
本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数单调区间与最值的求解，解题时要结合二次函数图象的开口方向与对称轴来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.