函数及其表示法要点归纳
一、 学习目标
1．理解函数概念，明确函数的三个要素，会求简单的函数的定义域和值域；
2．了解映射的概念，理解和熟悉映射的表示方法；
3．掌握函数的三种表示方法，能利用这些方法表示函数。
二、重难点归纳
1．学习函数概念一定要注意理解其实质．
⑴由于函数实质上是非空数集之间的对应关系。按照函数定义，可以是“一对一”的，即不同的自变量的值，有不同的函数值与之对应，例如“y = 2x +1 ”，“y = x 3－3”等；也可以是“多对一”的，即多个自变量的值，有同一个函数值与它们对应，例如“y = x 2，x ∈R ”，“y = 5，x ∈R ”等等．但决不允许有“一对多”的情况出现，即不允许一个自变量的值与多个函数值相对应，例如“y =±x ，x ＞0”就不是函数关系式，因为它不满足对于定义域内任意一个．．实数x ，在函数值的集合中都有唯一．．
确定的数()f x 与之对应，比如，当x = 4时，(4)f =2或(4)f =－2．
⑵函数的实质取决于定义域和对应法则，函数的核心是对应关系．在函数符号y =()f x 中，f 是表示函数的对应关系，等式y =()f x 表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径，也是区分两个函数是否相同的一个重要因素。()f x 可以是解析式，也可以是图象或数表．符号()f x 与()f a 既有区别又有联系．()f a 表示当自变量x = a 时函数f (x)的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量．()f a 是()f x 的一个特殊值．
⑶等式y =()f x 还表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ．因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径．所以，给定一个函数，
若给定了该函数的定义域和对应法则，其值域应有它的定义域和对应法则唯一确定．所以，对应法则和定义域是确定函数的两个基本要素．如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，它们就表示一个函数，而与自变量和因变量用什么字母表示无关；反之，如果两个函数表示同一种函数关系，则它们的定义域和对应法则也相同．
2．函数的表示方法
表示一个函数可用三种方法：解析法、图象法、列表法，它们各有特点，其中解析法是用解析式y =()
f x表示两个变量x、y的函数关系的方法，在理论研究方面尤为重要，但并不是每个函数的都有解析式，有时就是有解析式也不一定容易求出来。用列表的方法解决某些问题时，简明扼要，是解决一些相关数学问题的有效方法。函数图象是函数关系的直观表达形式，其中蕴涵了函数的一切信息，函数的图象为数形结合带来了便利条件，从图象上寻找突破口常常是解决问题的关键．
3．函数定义域常见问题
求函数定义域一般有三类问题：第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()
f g x
f g x的定义域或由[()]
f x的定义域确定函数[()]
的定义域确定函数()
f x的定义域。其中熟练掌握一些基本初等函数(一次函数、二次函数、分式函数)的定义域是求函数定义域的关键。
4．刻理解对应
．．两个概念
．．与映射
映射是两个集合之间的一种对应
．．关系，对应与集合一样，是一个原始概念，
不能用更基本的概念映射是两个集合之间的一种对应
．．关系，对应与集合一样，是
一个原始概念，不能用更基本的概念来定义它．理解对应
．．概念应注意下列三点：
⑴A的元素都能在f下确定至少一个元素属于B，即A 的元素都“参加”；
⑵A的元素在f下确定的元素存在即可，个数不限；
⑶“两允许两不允许”，即允许集合B中有剩余元素，不允许集合A中有剩余元素，允许多对一，不允许一对多．
5．函数是特殊的映射
用映射观点这样解释函数的定义，说明函数就是映射，是一类特殊的映射，而映射并不一定是函数，这一点可以从函数定义的三个“都．
”中反映出来．所以，每一个函数都要有映射的三大件：对应法则，原象集和象集．
三、例题精析
例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．
解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x ≤2，所以1≤x 2≤4，
即函数)(x f 的定义域是[1，4]．
评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题．
例2 已知函数)(x f 的定义域是[1，4]，求函数)(2x f 的定义域．
解：由)(x f 的定义域是[1，4]，意思是凡被f 作用的对象都在[1，4]中，即要使)(2x f 有意义，
则有1≤x 2≤4 ? 1≤x ≤2或－2≤x ≤－1．
∴函数)(2x f 的定义域是[1，2][－2，－1]．
评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ?∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反．