1.3简单的逻辑联结词
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1.3 简单的逻辑联结词平塘民族中学高二年级周金顺(2013年10月9日星期三)学习要求:1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断新命题的真假.3.理解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“綈p”命题.4.逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.知识要点:1.“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作 p∧q .2.“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作 p∨q .3.真值表4.p全盘否定,就得到一个新命题,记作7p,读作“非p”或“ p的否定”.5.命题非p的真假:若p是真命题,则非p必是假;若p是假命题,则非p必是真 .新课教学:探究点一:p∧q命题问题1 观察三个命题:①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?答:命题③是将命题①,②用“且”联结得到的新命题,“且”与集合运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,叫逻辑联结词,表示“并且”,“同时”的意思.结论:一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q,读作“p且q”.问题2 分析问题1中三个命题的真假,并归纳p∧q型命题的真假和命题p,q真假的关系.答:命题①②③均为真;当p、q都是真命题时,p∧q是真命题.例1:将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:(1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等;(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.解:(1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等.由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.(2)p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分.由于p是真命题,q是真命题,所以p∧q是真命题.(3)p∧q:35是15的倍数且是7的倍数.由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题.小结:判断p∧q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.跟踪训练1:指出下列命题的构成形式及构成它的命题p,q,并判断它们的真假.(1)(n-1)·n·(n+1) (n∈N*)既能被2整除,也能被3整除;(2)∅是{∅}的元素,也是{∅}的真子集.解:(1)此命题为“p且q”形式的命题,其中,p:(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被2整除;q:(n-1)·n·(n+1) (n∈N*)能被3整除. 因为p为真命题,q也为真命题,所以“p且q”为真命题.(2)此命题为“p且q”形式的命题,其中,p:∅是{∅}的元素;q:∅是{∅}的真子集. 因为p为真命题,q也为真命题,所以“p且q”为真命题.探究点二:p∨q命题问题1 观察三个命题:①3>2;②3=2;③3≥2,它们之间有什么关系?答:命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.结论:一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”.“或”与集合运算中并集的定义A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”的意义相同,是逻辑联结词. “或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同,日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思,如“学习或休息”,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思,如x<3或x>5.问题2 分析问题1中三个命题的真假,并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.答:①真;②假;③真.当p、q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p、q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题.例2:分别指出下列命题的形式及命题的真假:(1)相似三角形的面积相等或对应角相等;(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.解:(1)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:相似三角形的面积相等;q:相似三角形的对应角相等. 因为p假、q真,所以p∨q为真命题.(2)命题“集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集”是由命题:p:集合A是A∩B的子集;q:集合A是A∪B的子集用“或”联结后构成的新命题,即p∨q. 因为命题q是真命题,所以命题p∨q是真命题.(3)命题“周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等”是由命题:p:周长相等的两个三角形全等;q:面积相等的两个三角形全等用“或”联结后构成的新命题,即p∨q. 因为命题p,q都是假命题,所以命题p∨q是假命题.小结:判断p∨q形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定p∨q形式命题为真,而p与q均为假命题时,命题p∨q为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.跟踪训练2:对下列各组命题,用逻辑联结词“或”构造新命题,并判断它们的真假.(1)p:正数的平方大于0,q:负数的平方大于0;(2)p:3>4,q:3<4;(3)p:π是整数,q:π是分数.解:(1)p∨q:“正数或负数的平方大于0”,即“非零实数的平方大于0”,是真命题.(2)p∨q:“3>4或3<4”,即“3≠4”,是真命题.(3)p∨q:“π是整数或分数”,即“π是有理数”,是假命题.探究点三:p∨q与p∧q的应用问题:如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题吗?答:p∧q为真,则p、q均真,所以p∨q为真. 当p∨q为真时,则p、q 至少一个为真,p∧q不一定为真.例3:设有两个命题.命题p:不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.解:对于p:因为不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅,所以Δ=[-(a+1)]2-4<0. 解这个不等式得:-3<a<1. 对于q:f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数,则有a+1>1,所以a>0. 又p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以p、q必是一真一假. 当p真q假时有-3<a≤0,当p假q真时有a≥1. 综上所述,a的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).小结:由p∨q为真知p、q至少一真;由p∧q为假知p、q中至少一假.因此,p与q 一真一假,分p真q假与p假q真两种情况讨论.跟踪训练3:本例中其它条件不变,把“p∧q为假命题,p∨q为真命题”改为“p∧q 为真命题”,求a的取值范围.练习:1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:p∧q是真命题⇒p是真命题,且q是真命题⇒p∨q是真命题;p∨q是真命题⇒p∧q是真命题.2.给出下列命题:①2>1或1>3;②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;③25是6或5的倍数;④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集.其中真命题的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4解:由于2>1是真命题,所以“2>1或1>3”是真命题;由于方程x2-2x-4=0的判别式大于0,所以“方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0”是真命题;由于25是5的倍数,所以命题“25是6或5的倍数”是真命题;由于A∩B⊆A,A∩B⊆A∪B,所以命题“集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集”是真命题.3.“p是假命题”是“p或q为假命题”的________条件.解:p假时,p或q不一定假,但p或q假时,p一定假,所以“p是假命题”是“p或q是假命题”的必要不充分条件.4.p:1x-3<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是______.解:p:x<3;q:-1<x<5.∵p且q为假命题,∴p,q中至少有一个为假,∴x≥3或x≤-1.探究点四--7p命题问题1:观察下列两组命题,看它们之间有什么关系?(1)p:5是25的算术平方根;q:5不是25的算术平方根.(2)p:y=tan x是偶函数;q:y=tan x不是偶函数.答:两组命题中,命题q都是命题p的否定.结论:一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作7p,读作“非p”或“p的否定”.问题2:逻辑联结词“非”的含义是什么?答:“非”与日常用语中的“非”含义一致,表示“否定”“不是”“问题的反面”等;也可以从集合的角度理解“非”:若命题p对应集合A,则7p对应集合A在全集U中的补集∁U A. 结论:若p是真命题,则7p必是假命题;若p是假命题,则7p必是真命题.例1:写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:3是有理数;(2)p:5不是75的约数;(3)p:7<8;(4)p:5+6≠11;(5)p:空集是任何非空集合的真子集.解:(1)7p:3不是有理数.命题p是假命题,7p是真命题;(2) 7p:5是75的约数.命题p是假命题,綈p是真命题;(3) 7p:7≥8.命题p是真命题,綈p是假命题;(4) 7p:5+6=11.命题p是假命题,綈p是真命题;(5) 7p :空集不是任何非空集合的真子集.命题p是真命题,小结:7p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写7p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“7p∨7q”等.跟踪训练1:写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形;(2)若m2+n2+a2+b2=0,则实数m、n、a、b全为零;(3)若xy=0,则x=0或y=0.解:(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2+n2+a2+b2=0,则实数m、n、a、b不全为零.(3)若xy=0,则x≠0且y≠0.探究点五--命题的否定与否命题问题1 已知命题p:平行四边形的对角线相等,分别写出命题p的否命题和命题p 的否定,并加以辨析.答:命题p的否命题:如果一个四边形不是平行四边形,那么它的对角线不相等;命题p的否定:平行四边形的对角线不相等. 命题的否定只否定命题的结论,不能否定命题的条件,也不能将条件和结论都否定,而否命题是对原命题的条件和结论的全盘否定,这就是命题的否定与否命题的区别.例2:写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假.(1)若x、y都是奇数,则x+y是偶数;(2)若xy =0,则x =0或y =0.解:(1)命题的否定:若x 、y 都是奇数,则x +y 不是偶数,为假命题;命题的否命题:若x ,y 不都是奇数,则x +y 不是偶数,为假命题.(2)命题的否定:若xy =0,则x ≠0且y ≠0,为假命题;命题的否命题:若xy ≠0,则x ≠0且y ≠0,为真命题.小结:命题的否定是对命题的全盘否定,否定的是命题的结论,其真假性和原命题相反;而否命题对条件、结论均进行否定,其真假性和原命题的真假性没有关系. 跟踪训练2:写出下列各命题的非(否定).(1)p :100既能被4整除,又能被5整除;(2)q :三条直线两两相交;(3)r :一元二次方程至多有两个解;(4)s :2<x ≤3.解:(1)非p :100不能被4整除,或不能被5整除.(2)非q :三条直线不都两两相交.(3)非r :一元二次方程至少有三个解.(4)非s :x ≤2或x >3.探究点六--p ∨q 、p ∧q 、7p 命题的综合应用问题 对涉及命题的真假且含参数的问题,参数范围怎样确定?答:已知命题p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假,可以通过真值表判断命题p 、q 的真假,然后将命题间的关系转化为集合间的关系,利用解不等式求参数的范围,要注意分各种情况进行讨论.例3:设命题p :函数f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增,命题q :关于x 的方程x 2+2x+log a 32=0的解集只有一个子集.若“p 或q ”为真,“綈p 或綈q ”也为真,求实数a 的取值范围.分析:由“p 或q ”为真,“綈p 或綈q ”也为真可知p 、q 中有一真一假,分别满足p 真q 假或p 假q 真时a 的范围.解:当命题p 是真命题时,应有a >1;当命题q 是真命题时,关于x 的方程x 2+2x +log a 32=0无解,所以Δ=4-4log a 32<0,解得1<a <32.由于“p 或q ”为真,所以p 和q 中至少有一个为真,又“綈p 或綈q ”也为真,所以綈p 和綈q 中至少有一个为真,即p 和q 中至少有一个为假,故p 和q 中一真一假.p 假q 真时,a 无解;p 真q 假时,a ≥32.综上所述,实数a 的取值范围是a ≥32. 小结:由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 命题的真假,反之,由p ∨q ,p ∧q ,綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围,应先求p真成立的参数的范围,再求其补集.跟踪训练3:已知a>1,命题p:a(x-2)+2>0,命题q:(x-1)2>a(x-2)+1.若p∨7q为真,7q为假,求实数x的取值范围.。
1.3 简单的逻辑联结词
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时,先确定复合命题的构成形成,同时要掌握以下规律:
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反;
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假,否则为真;
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真,否则为假。
3.写出一个命题的否定,往往需要对正面词语进行否定,要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式,比如:“至少”、“最多”、以及“至少有一个是(不是)”、“最多有一个是(不是)”、“都是(不是)”、“不都是”等。
4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不
可兼有”和“可兼有”.例如:“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”(可兼有).在数学上一般采用“可兼有”,如或 . 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥,但在逻辑中却是可以的且是真命题。
5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙
插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路。