广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）
A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2
2．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）
A．2B．3C．4D．5
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）
A．B．C．D．
4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log35
5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）
A．9B．11 C．13 D．15
6．（5分）命题“?x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）
A．?x∈R，2x2+1≤0 B．
C．D．
7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）
A．B．
C．D．
9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴
交点的纵坐标的最大值为（）
A．B．2C．4D．﹣2
10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.
11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．
12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为．
13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为．
14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 （1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．
17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣
3x﹣1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．
18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．
（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．
19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．
20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．
（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．
广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）
A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出．
解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，
∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．
∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4．
故选：C．
点评：本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．
2．（5分）已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（）
A．2B．3C．4D．5
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定抛物线y2=4x的准线方程，利用P到焦点F的距离等于P到准线的距离，即可求得结论．
解答：解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，
∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3．
故选：B．
点评：本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．
解答：解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，
所以四棱锥的体积为：，所以h=．
故选B．
点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．
4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8D．2+log35
考点：等比数列的性质；对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
解答：解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）
A．9B．11 C．13 D．15
考点：循环结构．
专题：计算题．
分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．
解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5
经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7
经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9
经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11
经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i
故选C
点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．
6．（5分）命题“?x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）
A．?x∈R，2x2+1≤0 B．
C．D．
考点：全称命题；命题的否定．
专题：规律型．
分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
解答：解：∵命题?x∈R，2x2+1＞0是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
“”，．
故选：C．
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
7．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：作图题；导数的概念及应用．
分析：先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．解答：解：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增，
故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．
故选：C．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
8．（5分）函数y=x3﹣x2﹣x的单调递增区间为（）
A．B．
C．D．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．
解答：解：∵y=x3﹣x2﹣x，
∴y′=3x2﹣2x﹣1，
令y′≥0
即3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1）≥0
解得：x≤﹣或x≥1
故函数单调递增区间为，
故选：A．
点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
9．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y轴
交点的纵坐标的最大值为（）
A．B．2C．4D．﹣2
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a，b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值．
解答：解：∵函数是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即=，
∴x，
即，
∴，
则=x2+a+b=，
∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，
设a=，则=，
若cosx≥0，则≤2，
若cosx＜0，则≤2，
综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．
故选：B．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强．
10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用
双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为
2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）.
11．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，
所以，则，解得c=4，
由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA
=1+16﹣2×=13，则a=，
所以==2，
故答案为：2．
点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．
12．（5分）已知，，，则与夹角的度数为120°．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：由，得?（+）=0，求出?的值，从而得出与夹角的余弦值，求出夹角的度数．
解答：解：∵，，，
∴?（+）=0，
∴+?=0，
即1+1×2cosθ=0，
∴cosθ=﹣，
又∵θ∈，
∴θ=120°，
即与夹角为120°；
故答案为：120°．
点评：本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．
13．（5分）若x、y∈R+，x+4y=20，则xy的最大值为25．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质即可求出．
解答：解：∵x、y∈R+，x+4y=20，
∴20，解得xy≤25，当且仅当x=4y=10，即x=10，y=时取等号．
因此xy的最大值为25．
故答案为25．
点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
14．（5分）函数f（x）=x3+3x2﹣1在x=﹣1处的切线方程是y=﹣3x﹣2．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
解答：解：∵f（x）=x3+3x2﹣1，
∴f'（x）=3x2+6x，在x=﹣1处的切线斜率k=3?（﹣1）2+6?（﹣1）=﹣3，
又∵f（﹣1）=（﹣1）3+3?（﹣1）2﹣1=1，切点为（﹣1，1），
∴切线方程为y﹣1=（﹣3）（x+1）化简得y=﹣3x﹣2．
故答案为：y=﹣3x﹣2．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0 （1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；
（2）若p是q的必要不充分条件?
解答：解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
?（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0?2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是?，1＜a＜2
∴实数a的取值范围是（1，2）．
点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．
解答：解：（1）已知：
则：f（x）=
=
=
=
所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）
（2）由于f（x）=
所以
解得：
所以：…（6分）
因为：α∈（0，π），
所以：
则：
解得：
点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．
17．（14分）已知f（x）=ax3+bx+c图象过点，且在x=1处的切线方程是y=﹣
3x﹣1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在区间上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）首先由图象过点求出c的值，代入函数解析式后求导数，由在x=1
处的切线方程是y=﹣3x﹣1得到f'（1）=3a（1）2+b=﹣3，切点在f（x）上得到关于a，b的另一方程，联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；
（2）利用导数求函数（﹣3，3）上的极值，和端点值比较后得最值．
解答：解：（1）由，
∴f（x）=ax3+bx﹣．则
f'（x）=3ax2+b，∴f'（1）=3a（1）2+b，∴3a+b=﹣3，
又∵切点为（1，﹣4），∴，
联立可得．
∴；
（2）由?f'（x）=x2﹣4，
令f'（x）=0?x2﹣4=0?x=±2，
令f'（x）＞0?x2﹣4＞0?x＜﹣2或x＞2，
令f'（x）＜0?x2﹣4＜0?﹣2＜x＜2，
x ﹣3 （﹣3，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，3） 3
f′（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）↗ 5 ↘↗
由上表知，在区间上，当x=﹣2时，y max=f（﹣2）=5，
当x=2时，．
点评：本题考查了利用导数求函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程．
是有一定难度题目．
18．（14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．
考点：数列的求和；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）方法一：由题意可得解得a1，a2，a3．利用{a n}为等比数
列，可得，解得k，可得S n．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可
得出．
方法二：当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．由于数列{a n}是等比数列，可得q=，解得k，即可得到a n．
（2）将k及a n+1，代入，得，再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）方法一
由题意可得，
∴，
又∵{a n}为等比数列，
∴，
即36=18（3+k），解得k=﹣1，
∴．
当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，，
显然，n=1时也适合，
∴．
方法二
当n=1时，a1=S1=3+k；
当n≥2时，．
∵数列{a n}是等比数列，
∴，
即，
解得k=﹣1，
∴．
（2）将k=﹣1及，代入，得，
∴①
②
①﹣②得：=，
∴．
点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、求通项公式的方法，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），利用短轴的一个端点B（0，4），离
心率e=0.6，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；
（2）确定点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，可得l的方程，再分类讨论，即可求出结论．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），…（1分）
依题意得，b=4，，又a2=b2+c2，…（3分）
∴a=5，b=4，c=3，…（4分）
所以椭圆C的方程为．…（5分）
（2）依题意得，，直线OP的方程为y=x，…（6分）
因为S△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为，…（7分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，…（8分）
设l：y=x+m，则解得m=±4，…（10分）
当m=4时，由，消元得41x2+200x＜0，即，x∈Z，∴x=﹣4，﹣3，
﹣2，﹣1，相应的y也是整数，
此时满足条件的点Q有4个，…（13分）
当m=﹣4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．
（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的a∈，不等式f（x）≤1对任意x∈，恒成立，求实数m的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：综合题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）a=1时，函数有三个互不相同的零点，转化为x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x 有三个互不相等的实数根．令g（x）=﹣x3﹣x2+x，利用导数可得g（x）的极值，借助图象可得m的范围；
（2）要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，可转化为max≤1，利用导数可求得max，然后分离参数m后可转化为求关于a的函数最值问题解决；
解答：解：（1）当a=1时，．
∵函数有三个互不相同的零点，
∴x3+x2﹣x+m=0即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相等的实数根．
令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g'（x）=﹣3x2﹣2x+1=﹣（3x﹣1）（x+1）．
令g'（x）＞0，解得；
令g'（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和上均为减函数，在上为增函数，
∴极小值=g（﹣1）=﹣1，极大值=g（）=，
∴m的取值范围是．
（2）∵，且a＞0，
∴当x＜﹣a或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和，单调递减区间为．当a∈时，，﹣a≤﹣3．
又x∈，∴f（x）的最大值为f（﹣1）和f（2）中的较大者．
∵f（﹣1）﹣f（2）=3a2﹣3a﹣9＞0，
∴．
要使得f（x）≤1对任意x∈恒成立，即max≤1，亦即﹣1+a+a2+m≤1，即当a∈时，m≤﹣a2﹣a+2恒成立．
∵﹣a2﹣a+2在a∈上的最小值为﹣40，
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣40]．
点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．