矩阵n 次方的几种求法
1.利用定义法
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ??==则()
,ij s m
C c ?=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++
1
n
ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A
与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1
同。
例1:已知矩阵34
125310210134A ??? ?=- ? ???，44
5
130621034510200B ???
?
?
= ?
?
??，求AB
解：设C AB ==()
34
ij c ?，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =
由矩阵乘积的定义知：
111526533032c =?+?+?+?=121122543231c =?+?+?+?= 131321553030
c =?+?+?+?=14102051305
c =?+?+?+?=
21150623101c =-?+?+?+?= 22110224129c =-?+?+?+?= 23130125107c =-?+?+?+?= 24100021102c =-?+?+?+?= 310516334015c =?+?+?+?= 320112344222c =?+?+?+?= 330311354016c =?+?+?+?= 34001031403c =?+?+?+?=
将这些值代入矩阵C 中得：
C AB ==34
323130519721522163??? ?
? ???
则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解
这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ??==把A ，B 分解成一些小矩阵：
1111l t tl A A A A A ??
?= ? ???K
M O
M L ，1111
r l lr B B B B B ??
?
= ? ???
K M O
M L ，其中ij A 是i j s n ?小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ?小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，
12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ??
?
? ???
K
M O
M L ，其中ij C 是i j s m ?小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，
12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们应注意：矩阵A 列的分法
必须与矩阵B 行的分法一[]1
致。
例2：已知矩阵45
1002501013001280
000
6A ??? ? ?
= ? ???，52
1
245104206B ??? ? ?
?= ? ? ???，求AB 解：将4545
100251
002501013010130012800128000060
0006A ????
??
?
? ? ?==
? ?
? ?
?????11
122122E A A A ??
???
写成 121245451
010424
20606B ????
? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ?????
1121B B ?? ???写成，其中11100010001E ??
?
= ? ??? 12251328A ?? ?= ? ???，()2206A =，11124510B ??
?
= ? ?
??
，214206B ??= ???
由矩阵乘积法则知：
AB=1112212111222142
B A B A B A B ?+??
?+??
由矩阵加法和乘积法则[]1
知：
42
936825AB 952036??? ? ?
= ? ???
则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。
3．利用数学归纳法求解
这种方法与矩阵定[]1
义和数学归纳[]3
法相结合，从而找出规律再求
解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2
算。
例3：已知A=cos sin sin cos θ
θθθ-??
???
，求n
A 解：当2n =时
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθ
θθ
θθ
θθ
θθθ---??????
= ? ?????????
2222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θ
θθθθθθθθθ
θθ-??--??
==
?
?-??
?? 当3n =时
3
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ---??????
=
? ? ???????
cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθ
θθθθ---??
=
?
+-??
cos3sin 3sin 3cos3θθθ
θ-??
=
???
所以假设n
A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时
1
cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θ
θθθθθθθ---??
??
=
? ???
??
()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθ
θθθθ
θ---??-??
=
?
?--??
?? 由矩阵乘法定及三角函数知：n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
则假设成立。
所以n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-??
???
4．利用分拆法求解
这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1
解，且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2
单。
例4：已知A=110011001?? ?
? ???
，求n A
解：A E B =+，其中010001000B ??
?
= ? ???
，矩阵E 为单位阵且2E E =
EB BE B ==；故 n A =()122+C C C n
n n
n n n E B E B B B +=+++L
由2010010001001001000000000000B ??????
??? ?
== ??? ? ??? ???????
2
3010010001010001001000001000000000000B ???????? ? ? ???== ? ? ??? ? ? ???????????
000000000??
?= ? ???
则3n ≥时，n B =0。故122
n n
n A E C B C B =++ 由矩阵加法运算法则[]1
知：
n A =2
11011001n n C n ??+ ?
+ ? ???
5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）
定义：设矩阵A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1
似。如果矩
阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。而判断矩阵A 可对角化的条件[]1
有：
1)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值 2)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量 3)在复数域上矩阵A 没有重根
而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1
有：
1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。把这些所求的特征值逐个的代入方程组
()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出
一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。 再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。
例5：已知矩阵33
122212221A ??? ?
=- ? ?--??,求n A
解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=1
222
1
2
22
1
λλλ------
由行列式计算方法知：
E A λ-=()()()()()213113λλλλλ--=-+-
所以矩阵A 的特征值为1,1,3-。
当特征值为1时，解方程()0E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X -=的基础解系为1a =()111'-；所以矩阵A 属于特征值1的全部特征向量为()1111k '-,其中1k ≠0。
当特征值为1-时，解方程()0E A X --=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X --=的基础解系为2a =()110'-；所以矩阵A
属于特征值1-的全部特征向量为()2110k '-，其中2k ≠0。 当特征值为3时，解方程()30E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()30E A X -=的基础解系为3a =()011'-，所以矩阵A 属于特征值3的全部特征向量为()3011k '-，其中3k ≠0。
则由矩阵A 可对角化的条件知：矩阵A 可对角化且对角阵为
B =100010003??
?- ? ???
令1
2
3C a a a →
→
→
'?
?= ??
?=33
110111101???
?-- ? ?-??，由求逆矩阵的方法知：1111011110C -?? ?=-- ? ???
因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知：1C AC B -= 所以()11n
n n C AC C A C B --==，则
()
3333
10
01000100
100030
3n
n
n n B ????
??
? ?
=-=- ? ? ? ????? 由1n n A CB C -=,由矩阵的乘法运算法则知：
()
()()()33
1111131
1311113131n
n
n n n
n n
n n A ???
---- ? ?=--+--- ?
-- ?
?
?
2)对方阵A ，设()()1F E A λλ'=-，对()()1n F E λ做初等变换，化成()()()D P λλ其中()D λ为上三角阵，则矩阵()D λ主对角线上元素乘积的λ的多项式的根即为A 的特征根i λ。对矩阵A 的任一特征根i λ，代入()()()D P λλ中，若()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ行向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续施行初等行变换，使得()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向
[]8
量。
这类问题所涉及的定理是：对任意方阵A 的特征矩阵()F λ经过行变换，可化为上三角矩阵()G λ，且()G λ主对角线上元素乘积λ的多项式的根即为矩阵A 的特征值。
例6：已知矩阵A =33
211121112??? ?
? ???，求n A
解： ()
()3211100121010112001F E λλλλ---?? ?=--- ? ?---??
，
作初等行变换
121010211100112001λλλ---?? ?→--- ? ?---??
21210100102043011011λλλλλλλ---?? ?→---+ ? ?---??
()()
()()33121
010011
011001
1
341D P λλλλλλλ??---
?
→---= ? ?---?
?
由上述定理知：矩阵A 的特征值为1（二重），4。 当1λ=时，()
()()11101011000011000112D P ---??
?
=- ? ?-??
，由2)中判
别法知：矩阵的特征向量为：()1011ξ→
'=-，()2112ξ→
'=-。
当4=λ时，()
()()12101044033011000111D P ---?? ?
=-- ? ???
，由2)中判
别法知：矩阵A 的特征向量为：()3111ξ→
'=。
则由相似矩阵的条件知：矩阵与对角矩阵相似且对角矩阵为100010004??
?
? ???
则存在可逆阵011111121T ?? ?=- ? ?-??使得1100010004T AT -?? ?
= ? ???
由求可逆阵的方法知：
11102113331113
33T -?
?
?
- ?
?=-- ? ?
?
??
； 由1100010004n
n A T T -???? ? ?= ?
? ? ?????
1100010004n
T T -??
?= ? ???知：
n A =()()()()()()()()()111424141333111414241333
111434142333n n n n n n
n n n ??+-- ? ? ?++- ? ? ?--+ ?
??
6．利用若当形矩阵求解
这类方法主要是运用任何一个n 级复矩阵都相似一个若当形矩阵和利用相似矩阵的相关定理及化若当形矩阵的方[]1
法。
例7：已知矩阵A =33
126103114?--?? ?
- ? ?--??，求n A
解：12613114E A λλλλ+-??
?-=- ? ?-??
，由求初等因子的方法知：
E A λ-的初等因子为1λ-，()2
1λ-；
所以矩阵A 的若当标准形为：100010011J ??
?= ? ???
则存在可逆阵P ，使得1P AP J -=，则AP PJ =。
设1
2
3P a a a →
→
→
??
= ??
?，其中1a →，2a →，3a →
为列向量 将矩阵P 代入AP PJ =得11Aa a →→=，223Aa a a →→→=+，33Aa a →→
=
由齐次线性方程组：()0A E X -=，即123226011301130x x x --?????? ??? ?
--= ??? ? ??? ?--??????
，
则()1301a →'=，()3211a →'=是齐次线性方程组的解且1a →，3
a →
是线性无关的，则1a →
，3a →
是由齐次线性方程组：()0A E X -=的基
础解系。
由：()3A E X a →
-=有解()2100a →
'=-且1a →，2a →，3a →
线性无关。
由数学归纳法知：10001001n J n ?? ?
= ? ???
由求可逆阵的方法知：1011113010P --?? ?
=-- ? ???
由1P AP J -=知：1A PJP -=
则1n n A PJ P -==33
12261331n n n n n
n n n n ?--?? ?
-- ? ?--+??
7.利用多项式求解
主要运用带余除法即：对于数域[]P x 中任意两个多项式()f x 和
()g x ，其中()g x ≠0，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ?
的。
7.1特征多项式无重根
例8：已知矩阵A =33
120020211???
?
? ?---??，求n A
解：设()f λ为矩阵A 的特征多项式，则()f E A λλ=-
由计算行列式的方法知：
()()()()211f λλλλ=-+-
由带余除法及辗转相除法则[]1
知：设()()()n f q r λλλλ=+，其中
()()()()r x f x ?
24211n a b c a b c
a b c ?=++?
=++??=-+?
解得()1213n a =-，0b =，()1
423
n c =-；
所以()()()()211
214233
n n n f q λλλλ=+-+-
由哈密顿—凯莱定[]1
理：A 是数域P 上的一个n ?n 级矩阵，
()f E A λλ=-是矩阵A 的特征多项式则()0f A =。 将A 代入()()()()211214233n n n f q λλλλ=+
-+-中得： ()()211
214233
n n n A A E =-+-
由矩阵乘法的定义知：233
160040051A ??? ?
= ? ?-??，
所以由矩阵的加法运算法则知：
()133
1220020502113n n n n
A +??? ?
- ?= ? ?-- ?
??
7.2特征多项式有重根
例9：已知矩阵A =33
110430102?-?? ?
- ? ???，求n A
解：设()f λ为矩阵A 的特征多项式，则()f E A λλ=-
由行列式计算方法知：()()()2
21f λλλ=--
由带余除法及辗转相除法知：()()()n f q r λλλλ=+，其中
()()()()r x f x ?
1
422
n a b c a b c ++=??++=? 因为1是()0f λ=的2重根。
由定理：如果不可约多项式()P x 是()f x 的k 重因式（1k ≥），则它的微商()f x '是k-1重因式.则1是()f λ'的[]3
根。
则由导数定义及性质：对()()()n f q r λλλλ=+等号两边同时求导得：()()()()()1n n f q f q r λλλλλλ-'''=++
则将1代入()()()()()1n n f q f q r λλλλλλ-'''=++中得：2a b n +=；
则由1
4222n a b c a b c a b n ++=??
++=??+=?
解得：21n a n =--，1322n b n +=+-，22n c n =-。
由哈密顿—凯莱定理知：()0f A =。 则将矩阵A 代入()()()n f q r λλλλ=+中得：
()()()212132222n n n n A n A n A n E +=--++-+-
由矩阵乘法运算法则知：
233
320850114A ?-?? ?=- ? ???
由矩阵的加法运算法则知：
33
1204210212212n n n n n n
A n
n n n ?-??
?
=-+ ? ?+---?
? 8.总结
上述七种方法求解矩阵n 次方的乘积适用于求低阶矩阵的n 次方的乘积适用于求低阶矩阵n 次方的计算，而对于高阶矩阵的求解则比较困难。利用方块、拆项、数学归纳法和相似矩阵的方法求解适用于比较特殊的一些矩阵的求解；利用定义、若尔当形矩阵和多项式的方法对于普通的矩阵都适用，但利用定义的方法对于求矩阵n 次方的计算比较复杂；而利用多项式和若尔当形矩阵的方法有利于对所学知识的及时巩固、能加深对所知识的理解，而这两种方法提供了解这类问题行
之有效的方法且容易掌握。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系，高等代学，高等教育出版社，2008.
[2]钱吉林.高等代数解题精粹.北京:中央民族大学出版社,2002.
[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第二版）.高等教育出版社.
[4]刘嘉. 矩阵相似及其应用. 中国西部科技,2010,(26)
[5] 袁进. 特征值与特征向量. 高等数学研究,2004,(02)
[6] 张斌斌. 矩阵的特征值与特征向量的研究. 才智,2010,(08)
[7]施劲松,刘剑平. 矩阵特征值、特征向量的确定.大学数
学,2003,(06). 第19卷第6期
[8] 汪庆丽.用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量. 岳阳
师范学院学报(自然科学版) ,2001,(03)
[9]刘学鹏,王文省. 关于实对称矩阵的对角化问题[J]聊城师院学报(自然科学版) ,2003,(03)
[10]李佩贞. 矩阵的对角化与相似变换矩阵. 中山大学学报论丛,2000,(04)
[11]朱靖红,朱永生. 矩阵对角化的相关问题[J]辽宁师范大学学报
(自然科学版) ,2005,(03) .
[12] 熊凯俊,李丽萍. 矩阵多项式特征值、特征向量的简单求法. 科协论坛(下半月) ,2008,(02) 1007-3973
数值计算 探讨求解的几种方法
摘要 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 ()0 m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。 一、算法设计 计算机配置内存：2G 处理器主频：2.53GHz MATLAB 版本：R2011b 1.1二分法 设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ?<，则[,]a b 内有方程的根。取[,]a b 的中点01 ()2 x a b = +，将区间一分为二。若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。 若0()()0f a f x ?<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；若0()()0f a f x ?>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。 不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套 11[,][,][,]n n a b a b a b ???? 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为 1 ()2n n n b a b a -= -若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当n →∞
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成
笔算开n次方 笔算开n次方的方法： 1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开； 2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a； 3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）； 5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。 6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。 3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243 ________________________________________________ 744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5 _____________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ____________________________________________ 1 4826 2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________________________________________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5 _________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商 11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5 _________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
竭诚为您提供优质文档/双击可除1到10的n次方表格 篇一：课题_按淘师湾作业答案表格数据的数值计算 10-1搜索结果列表 信息的获取-1bcbbb 信息的获取-2ddcab 信息的获取-3dbabc 信息的获取-4cbbc实体店购买与网购，实店买可翻阅价格高，网购不能翻阅价格便宜。信息的获取-5ad,dab,登(1到10的n次方表格)陆百度网，搜索南京，景点，路线，住宿等信息。 信息与信息技术-1cacdb 信息与信息技术-2ddcdb 信息与信息技术-3bdcac 信息与信息技术-4cddbb 网络信息检索4-1adbdb 网络信息检索4-2baccb 网络信息检索4-3bbbad 网络信息检索4-41.半人马座比邻星
2.茉莉花 3.màodié八九十岁的意思。 4.齐白石的蛙声十里出山泉 网络信息检索4-51.搜索引擎最早是yayoo，后来发展壮大，搜索引擎的工作方式和在图书馆里面进行图书查找的工作差不多 2.如果可以直接下载，那么右键菜单选择目标另存为，如果不行那么可以选中链接之后采用下载软件下载。 3.例如：优化查找的速度、扩大资料的范围等。 信息的评价5-1abaaaa 信息的评价5-2acdcab 信息的评价5-3baccd 信息的评价5-4abacd(ac多选） 信息的评价5-5cdbc(acd多选） 信息的编程加工6-1daddc 信息的编程加工6-2adcca 信息的编程加工6-3cbccc 信息的编程加工6-4cdb 信息的编程加工6-5c,s=a*a，Fbaced 信息的智能化加工7-1caccb 信息的智能化加工7-2cbcdc 信息的智能化加工7-3adcbc
两数N次方差的一般计算公式 在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。 推导过程： 一、由二次方看 首先，我们知道两个数的二次方的计算方法 已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。 解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是： 5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9 几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加 4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7 几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加 所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下： (A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1) 对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到 (A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2 =[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2 几何上理解为：
长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。 同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为： P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q) 二、再看三次方的情况 我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法： 已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。 设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图： (A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1) A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1) 几何上的理解是： 长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。 对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为： P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q) 三、推广到四次方 同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1＋1＝2，又有著名的E＝mc^2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle） 目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位就已经足够了。如果用35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说，没有这个式子就没有今天的电子计算机，所以，你能在这里上网除了感谢党和政府外还要感谢这个完全看不懂的式子。傅立叶虽然姓傅，但他是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛B的，高中物理学到光学的活很多概念跟它是远亲。简要地说，德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有“波长”。于是搞啊搞，就有了这个物质波方程（属于量子物理的范畴），它表达了波长、能量…等之间的关系。同时他也获得了1929年的诺贝尔物理学奖。 No.7 哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture） 1＋1＝2 这个公式不需要名称，不需要翻译，更不需要解释。
No.6 薛定谔方程（The Schr?dinger Equation） 也是一般人完全不明白的。因此我摘录官方的评价：“薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式”。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。另外，薛定谔虽然姓薛，但他是奥地利人。 No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence） 好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学的“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。这个公式告诉我们：能量和质量是可以互换的。副产品：原子弹。 No.4 勾股定理／毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem） No.3 牛顿第二定律（Newton's Second Law of Motion） 有史以来最伟大的有其没有之一的科学家在有史以来最伟大的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的核心定律。动力学的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。对于学过高中物理的人，没什么好多讲了。 No.2 欧拉公式（Euler's Identity） 这个公式是上帝写的么？到了最后几名，创造者个个都是神人。欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药…等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。 欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及注意力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
逆矩阵的几种求法与解 析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么E-A 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
n 次方和及n 次方差公式 （1）n 次方差公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++ ++，n N *∈ （2）n 次方和公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++ -+，n N *∈，n 为奇数 注意：n 为偶数时，没有n 次方和公式 实际上， 12322211,()((1)(1)),n n n n n n n n n n n a b n a b a a b a b ab b a b n -------?+?+-++--+-=?-??为奇为偶 即n 为偶数时，立方和公式有两个： 123221123221()()()()n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b -----------=-+++ ++=+-+++- 常用公式： 1.平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 2.立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ 立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3.四次方差公式：4432233223()() ()() a b a b a a b ab b a b a a b ab b -=-+++=+-+- 4.1231(1)(1)n n n n x x x x x x ----=-+++++，n N *∈ 1231(1)(1)n n n n x x x x x x ---+=+-+++-，n N *∈，n 为奇数
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
常运行的概率，用R(t)表示． 所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与 失效率的关系为： Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方） 两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF) 如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障 ，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方） 千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99 平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时． 1）表决系统可靠性 表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。图12.8-1为表决系统的可靠性框图。通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为： 这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。 2）冷储备系统可靠性 冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。所以系统的可靠度： 图12.8.2 待机贮备系统
3）串联系统可靠性 串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。下图为串联系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度 多数机械系统都是串联系统。串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。 4）并联系统可靠性 并联系统可靠性：并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的失效的系统。图12.8.5为并联轴系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中 Ra——系统可靠度 Fi——第i单元不可靠度
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
数量关系常用公式 1.两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2 例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 7 20 米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米 2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺） 无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ 3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/（t1+t2 ）车速/人速=(t2+t1)/(t2-t1) 例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？ A. 3 B.4 C. 5 D.6 4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（） A.24 B.24.5 C.25 D.25.5 5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）
6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？ A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元 7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r) 例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：8.N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数。 例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。 A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种 9.对折问题：一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段 10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有：4N-4人 11.过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次。 例题 (广东05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）
a的n次方±b的n次方，怎么进行因式分解 解：①n为奇数时，a^n-b^n=0由唯一解a=b，a^n-b^n只能分解为两个因式相乘 a^n-b^n=[a^n-a^(n-1)b]+[a^(n-1)b-a^(n-2)b2]+…+[ab^(n-1)-b^n]=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…b^(n-1)] a^n+b^n=a^n-(-b)^n同理即可。 ②n为偶数时，a^n-b^n先使用平方差公式，指数变为奇数时，按①分解因式即可n是4的倍数时， a^n+b^n=[a^(n/2)]2+[b^(n/2]2+2a^(n/2)b^(n/2)-2a^(n/2)b^(n/2)=[a^(n/2)+b^(n/2)]2- [√2a^(n/4)b^(n/4)]2平方差公式分解即可。此外，a^n+b^n2实数范围无法分解， a=1,b=2,n=2时，a^n+b^n=1^2+2^2=5,a^2-b^2=1^2-2^2=-3, a=2,b=3,n=3时，a^n+b^n=2^3+3^3=35,a^n-b^n=2^3-3^3=-19, a=4,b=3,n=5时，a^n+b^n=4^5+3^5=1267,a^n+b^n=4^5-3^5=781. ......................... 由此可见，a^n+b^n,a^n-b^n的结果都是一些实数，其规律是很复杂的。如果需要对这些结果做变形，应该视需要和可能而定。可能的情况有 n是奇数时，a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-......+(-b)^(n-1)] n是偶数时,一般情况下a^n+b^n不能进一步变形。例如a^2+b^2,a^4+b^4,a^6+b^6=(a^2+b ^2)[a^4-(ab)^2+b^4)]...... a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......+b^(n-1)] a的n次方加上b的n次方如何因式分解 当n为奇数时： a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.......+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)] 当n为3的倍数时：令n=3m，则 a^3m+b^3m=(a^m+b^m)(a^2m-a^mb^m+b^2m] n=5m ......... n为2的幂时无法分解
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。 在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的： 在这里，我“定义”a^b=a的b次方。 (10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b) a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。 因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。 (10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2 笔算开立方 一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组； 2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数； 3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右
边写上第二组数； 4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所 得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若 大于，就减小试商再试。 5．用同样方法继续进行下去。 类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。 当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 以两位数ab为例，2 ab= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。 类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数