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_stprintf_s和_stscanf_s函数与UNICODE编码
一、核心内容
?该文档适用于微软的visual C++ 平台。
?需要头文件：
?MSDN上对stprintf_s和_stscanf_s函数的定义：
TCHAR.H routine _UNICODE & _MBCS not defined _MBCS defined _UNICODE defined
_stprintf_s sprintf_s sprintf_s swprintf_s
_stscanf_s sscanf_s sscanf_s swscanf_s
对应的代码为：
#ifdef UNICODE
#define _stprintf_s swprintf_s
#else
#define _stprintf_s sprintf_s
?前面的t表示编码，后面的_s表示检查内存溢出，前面的_表示非标准库函数。
?从上我们可以看出，_stprintf_s和_stscanf_s是为适应不同编码而定义的两个宏，在不同的编码环境下他们所表示的函数是不同的。
?_s是security的意思，具体含义参见后面的Security Remarks部分。
（1）int sprintf_s( char *buffer, size_t sizeOfBuffer, const char *format [, argument] ... ); //ANSI版本
int swprintf_s(wchar_t *buffer, size_t sizeOfBuffer, const wchar_t *format [,argument]...); //UNICODE版本
这个函数的主要作用是将若干个argument按照format格式存到buffer中。
buffer：输出的字符
sizeOfBuffer：buffer的长度，以能存放的字符数计算，而不是已占用的字节数计算。非常关键。一个UNICODE字符占用2个字节。
format：格式字符串，比如%s
argument：可选参数
（2）int sscanf_s( const char *buffer, const char *format [, argument ] ... );
int swscanf_s( const wchar_t *buffer, const wchar_t *format [, argument ] ... );
函数具体细节参考https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/en-us/library/t6z7bya3(v=vs.80).aspx。
这个函数的主要作用是从buffer中读取指定格式（format）的字符到相应的argument中。参数同上
Security Remarks：
Unlike the less secure version sscanf, a buffer size parameter sizeOfBuffer is required when using the type field characters c, C, s, S and [. This parameter must be supplied as an additional parameter after each buffer which requires it. 用于检查内存是否溢出。
几个需要注意的细节：
?为了让编译器识别Unicode字符串，必须以在前面加一个“L”, 定义宽字节类型方法如下：L“ABC”，表示字符串“ABC”是用UNICODE编码的。
?char与wchar_t的区别：char中存放的是单字节型的字符，wchar_t中存放的是双字节型的字符，TCHAR在定义了_UNICODE时等同于wchar_t，在未定义_UNICODE时等同于char。
例子1 (sscanf_s和printf_s，用于ANSI编码)：
// crt_sscanf_s.c
// This program uses sscanf_s to read data items
// from a string named tokenstring, then displays them.
#include
int main( void )
{
char tokenstring[] = "15 12 14...";
char s[81];
char c;
int i;
float fp;
// Input various data from tokenstring:
// max 80 character string plus NULL terminator
sscanf_s( tokenstring, "%s", s, sizeof(s) ); //对照上面的Security Remarks部分进行理解 sscanf_s( tokenstring, "%c", &c, sizeof(char) );
sscanf_s( tokenstring, "%d", &i );
sscanf_s( tokenstring, "%f", &fp );
// Output the data read
printf_s( "String = %s\n", s );
printf_s( "Character = %c\n", c );
printf_s( "Integer: = %d\n", i );
printf_s( "Real: = %f\n", fp );
return 0;
}
例子2 (swscanf_s和wprintf_s，用于UNICODE编码)：
// crt_swscanf_s.c
// This program uses swscanf_s to read data items
// from a string named tokenstring, then displays them. #include
int main( void )
{
wchar_t tokenstring[] = L"15 12 14...";
wchar_t s[81];
wchar_t c;
int i;
float fp;
// Input various data from tokenstring:
// max 80 character string plus NULL terminator
cout< swscanf_s( tokenstring, L"%s", s, _countof(s)); swscanf_s( tokenstring, L"%c", &c, sizeof(wchar_t) ); swscanf_s( tokenstring, L"%d", &i ); swscanf_s( tokenstring, L"%f", &fp ); // Output the data read wprintf_s( L"String = %s\n", s ); wprintf_s( L"Character = %c\n", c ); wprintf_s( L"Integer: = %d\n", i ); wprintf_s( L"Real: = %f\n", fp ); return 0; } 例子3 (_stscanf_s和_tprintf_s，将例1和例2的代码统一处理)：#include int main( void ) { TCHAR tokenstring[] = TEXT("15 12 14..."); TCHAR s[81]; TCHAR c; int i; float fp; // Input various data from tokenstring: // max 80 character string plus NULL terminator cout< _stscanf_s( tokenstring, TEXT("%s"), s, _countof(s)); _stscanf_s( tokenstring, TEXT("%c"), &c, sizeof(TCHAR) ); _stscanf_s( tokenstring, TEXT("%d"), &i ); _stscanf_s( tokenstring, TEXT("%f"), &fp ); // Output the data read _tprintf_s( TEXT("String = %s\n"), s ); _tprintf_s( TEXT("Character = %c\n"), c ); _tprintf_s( TEXT("Integer: = %d\n"), i ); _tprintf_s( TEXT("Real: = %f\n"), fp ); return 0; } 例子4(_stprintf_s ): TCHAR szText[32] = {0}; _stprintf_s(szText, 32,TEXT("%d"),100); // 可以将int 型转化为宽字节 同时也可以将若干个变量整合为一个 _stprintf_s(szText, 32,TEXT("%d"),char[0], char[1],.......); 用法总结： 1. 用TCHAR代替char 2. 用TEXT（“%s%d”）代替“%s%d” 3. 用_stscanf_s、_tprintf_s、_stprintf_s代替sscanf、printf、sprintf函数。从而使程序能够在ANSI和UNICODE编码下都正确运行。 二、细节内容 1. %s %S %c %C 的区别。参考https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/en-us/library/hf4y5e3w(VS.71).aspx 个人意见：尽量使用%s和%c，并统一使用TCHAR、TEXT和_stscanf_s、_tprintf_s、_stprintf_s类型的函数。尽量不要使用%S和%C，容易引起混淆，可移植性也不好。 2. _TEXT(“”)、_T(“”)和TEXT(“”)的作用和区别。 _T("")是一个宏, 他的作用是让你的程序支持Unicode编码, 因为Windows使用两种字符集ANSI和UNICODE，前者就是通常使用的单字节方式，但这种方式处理象中文这样的双字节字符不方便，容易出现半个汉字的情况, 而后者是双字节方式，方便处理双字节字符。 _TEXT(“”)、_T(“”)和TEXT(“”)的作用是一样的。 3. _T和_L的区别。_T和_L的区别在于，_L不管你是以什么方式编译，一律以UNICODE方式保存。参考网页https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/14019890.html #ifdef UNICODE #define __TEXT(quote) L##quote #define __T(x) L##x #else #define __TEXT(quote) quote #define __T(x) x 对于“#define __T(x) L##x”，这是相当晦涩的语法，但合乎ANSI C标准的前置处理器规范。那一对井字号称为「粘贴符号（token paste）」，它将字母L 添加到宏参数上。因此，如果宏参数是"Hello!"，则L##x就是L"Hello!"。 三、扩展部分: Unicode与字符串处理函数 1. 通过对比学习“sprintf_s swprintf_s _stprintf_s ”和“sscanf_s swscanf_s _stscanf_s”，可以明白它们的区别。还有很多与字符处理或字符串处理相关的函数，其形式和原理与之类似，可以对比学习和理解。 例如：strlen、wcslen和_tcslen函数（https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/zh-cn/library/78zh94ax(v=VS.80).aspx）；fgets、fgetws与_fgetts函数 2. fgets、fgetws与_fgetts函数（https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/en-us/library/c37dh6kf(v=VS.71).aspx） char * fgets ( char *string, int n, FILE *stream); //ANSI版本 wchar_t *fgetws( wchar_t *string, int n, FILE *stream); //UNICODE版本 ?其中，第二个参数n的值是最多可以读出的字符数目，该值不应该大于参数一所对应的字符数组的长度。 ?函数的作用是从第三个参数指定的文件流中读取文件的一行信息，存放到参数一string所对应的字符数组中，读出的字符数据包括换行符“\n”。这一点需要注意。 ?如果想从键盘读入一行字符，第三个参数为stdin . 例如，char buf[10]; fgets(buf, 10, stdin) ; ?gets（）函数已经过时了，用fgets（）函数代替gets（）函数。 ?_fgetts是一个宏，如果定义了UNICODE，就是fgetws函数；如果未定义UNICODE，就是fgets函数。 ?用TCHAR代替char，用_fgetts代替fgets或fgetws。就将ANSI和UNICODE函数编码统一起来了。 对这两个函数的更具体的讲解，请参考https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/view/d66839f57c1cfad6195fa781.html 3. ANSI和UNICODE字符和字符串处理函数，参考网页https://www.doczj.com/doc/2e18668929.html,/s/blog_6b5a0745010108fh.html 统一ANSI和UNICODE字符和字符串处理函数的宏定义，在上述网页中没有列出，这些宏的规律是“把UNICODE字符和字符串处理函数中的w标 4. 注意：如果在程序中使用了TCHAR，那么就不应该使用ANSI的strXXX函数或者Unicode的wcsXXX函数了，而必须使用tchar.h中定义的_tcsXXX 函数。 5. 有人建议，不要再使用TCHAR和_T了！他分析了原因后总结：如果您正开始一个新的项目，请无论如何也要顶住压力，直接使用UNICODE编码！切记！您只需要对您的组员进行10分钟的培训，记住strcpy用wcscpy，sprintf用swprintf代替，常数前加L，就可以了！它不会花您很多时间的，带给您的是稳定和安全！个人觉得有道理。 两角和与差的正切函数 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修4》（北师版）第三章第2.3节。从教材中的地位与作用来看，《两角和与差的正切》是本章的一个重要的内容，它具有承上启下的作用，承上是在学了两角和与差的正、余弦的基础上而学习的，因为在推导两角和与差的正切公式要用到前面的公式，启下是为学习二倍角的正切公式奠定了基础，因为二倍角的正切公式是两角和与差的正切公式的特例，即令两角和与差的正切公式的β α=就可以得到二倍角的正切公式。同时此公式中实际应用中也有广泛的应用，如：测量等。而且在应用的过程中渗透了方程、整体变换等数学思想，为学生在以后的学习中积累了数学素养。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。前面学习了两角和与差的余弦、正弦公式，本节课将引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。 二、学情分析 从学生的所学知识来看，由于这节课是学习两角和与差的正、余弦与同角三角函数关系的商数关系的基础上学习的，所以学生比较容易接受两角和与差的公式的推导过程，在此过程中使用类比的方法，引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。在记忆公式的可以让学生注意观察，发现新公式的特点与新公式应用的规 律，培养学生的观察能力。 三、设计思想 新课标倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，注重培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。所以在教学设计中要注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。 四、教学目标 1、知识目标： （1）使学生掌握两角和与差的正切公式及其推导方法； （2）使学生能应用公式正确灵活地进行三角函数式的化简求值。2、能力目标： （1）培养学生的观察能力 （2）培养学生的思维品质 （3）培养学生等价转化的能力 3、情感目标： （1）让学生通过自己发现，自己猜测，自己尝试，自己归纳等一系列思维活动来自己获得知识。 （2）通过设疑、暗示、课堂讨论等教学形式和方法，启发诱导学生、激发学生的学习兴趣。 （3）体会数学美，感受数学变换的魅力。 五、教学重点、难点 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂 足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明. 《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的 和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程 方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是： 方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有 第4课时 两角和与差的正切公式 【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式. 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明. 【教学重点与难点】 重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用. 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点. 【教学过程】 导入 我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75?. 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75?的值. 问题引入 两角和、差的正弦公式： =+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________ 两角和、差的余弦公式： =+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________ 构建新知 推导过程 sin() tan()cos() αβαβαβ++= + sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβ αβαβ += - 分子分母同时除以cos cos αβ，得 t a n t a n t a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=- 两角和、差的正切公式： =+)tan(βα________ tan tan 1tan tan αβ αβ +-________________________ 用β-代替β，就可得到 =-)tan(βα___________ tan tan 1tan tan αβ αβ -+_____________________ 例题分析 例1 求值 （1）0 75tan ；（2）0 00043 tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00 75tan 175tan 1-+ 解 （1）0 tan 75tan(4530)=?+? tan 45tan 301tan 45tan 30?+? = -?? = （2）00 00 tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=?+?= - （3）00 1tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+?+?==?+?=--?? 特殊角的三角函数值 例2 已知7 tan ,5)tan(== -ββα，求αtan . 解 []t a n t a n ()ααββ=-+ tan()tan 1tan()tan αββ αββ -+= -- 1= 方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 2019-2020学年高中数学 3.2《两角和与差的正切函数》教案设计 北 师大版必修4 一、教学目标 1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式； （2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学过程 【探究新知】 1．两角和与差的正切公式 T ,T 问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用，表示和吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当时 分子分母同时除以 得： 以代得： tan(+)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan( )=β αβαtan tan 1tan tan +- 《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y 《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。 三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课 两角和与差的余弦 （第一课时） 一、教学目标： （一）知识目标： 1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C(α+β)公式的推导； 2、能用赋值法推导C(α-β)公式； 3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。 （二）能力目标： 1、通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2、通过公式的灵活运用，培养学生的方程思想和变换能力。 （三）德育目标： 1、公式的推导过程，体现了知识间的内在联系； 2、培养学生利用联系、变化的辨证唯物主义观点去分析问题； 3、通过教师启发引导、培养学生勇于探索的精神和解决问题的优化意识。 （四）美育目标： 公式，发现两角和差的三角函数与单角α、β之间的和通过鉴赏C( α±β) 公谐、轮换结构，让学生感受数学公式的匀称美感。并引导学生领会C( α±β)式的强大功能。 二、教学重难点 1．教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用。培养学生掌握获取知识，运用知识的一系列的数学方法。 2．教学难点：余弦和角公式的推导以及运用公式进行化简、求值和证明，学会恰当赋值、逆用公式等技能。 三、教学过程： （一）提出问题，产生对公式的需求。 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α+β)=cosα+cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公 式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。 （二）预备知识 1． 通过观看动画演示，形象直观地结合勾股定理简要介绍平面内两点间距 2． （结合以下问题，观看《几何画板》演示） （1）分别指出点P 1、P 、P 2、P 3的坐标？ （2）弦P 1P 3的长如何表示？ （3）如何构造弦P 1P 3的等量关系？ [注]如何让推导公式的思路来得自然一些？课本出于叙述方便，隐去了证明的思路。教师的任务就是要给出一种合理的思路，比如我们要表示α+β的余弦，那么就得作出α、β、α+β的角，当发现|P 1P 3|可以用 cos(α+β)表示时，想到应该寻找与P 1P 3相等的弦，从而才想到作出角 (-β)。这种思路和课本的叙述是不同的，但从思维的角度来讲，也许更具有某种合理性，更能激发同学通过积极思维去探索、发现问题。 （三）公式推导 1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式1324PP P P = 2．将1324PP P P =转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。 [cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2 展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 3．强调公式中α、β是任意角。用-β去代替β导出C (α-β)，初步认识用赋 值法推导新公式。要求学生注意公式中：角、函数的排列顺序及式中各项符号，引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感，从鉴赏的角度记忆公式。 （四）公式应用 正因为α、β的任意性，所以赋予C (α+β)公式的强大生命力。 1．请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求哪些非特殊角的值呢？ 让学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15°、cos75°、cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。甚至有的同学会说他验证了 《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：. 解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为. 教学设计 2.3 两角和与差的正切函数 整体设计 教学分析 教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决. 在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路. 三维目标 1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明. 2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次. 重点难点 教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式. 思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？ ②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=? 两角和与差的余弦公式的六种推导方法 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM． 过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα． 综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、 . ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点， 《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证． 《方程的根与函数的零点》的助学案 高一（8）班 授课教师 学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定 学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？○ 1方程0322=--x x 与函数322 --=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 填下表？ 函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象 函数与x 轴交点 f(x)=0的根 探究案： 探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。 练习：求函数x x y 43 -=的零点 是不是所有的二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=? 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 0 (2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ?>0 ?=0 ?<0 探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象： ○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______， =)1(f _______,)2(-f ?)1(f _____0 （＜或＞）． ○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f ?)4(f ____0 （＜或＞）． 观察下面函数)(x f y =的图象 ○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ?)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ?)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ?)(d f _____0（＜或＞）． ○4()a f ?()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？ ○5()()d f a f ? 0（＜或＞）。 思考：若函数)(x f y =满足()()0?n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？ 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 训练案 两角和与差的正切函数 使用说明： 1、请同学认真阅读课本119-120页，划出重要知识，规范完成预习案内容并记熟基础知识，用红笔做好 疑难标记。 2、在课堂上联系课本知识和学过的知识，小组合作、讨论完成探究案内容；组长负责，拿出讨论 结果，准备展示、点评。 3、及时整理展示、点评结果，规范完成训练案内容，改正完善并落实好学案所有内容。 4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律，及时整理在典型题本上， 多复习记忆。 【学习目标】 1．掌握两角和与差的正切公式，并会加以应用； 2．独立思考，合作学习公式的正用、逆用、变形用； 3．激情投入，积极主动地发现问题和提出问题，形成严谨的数学思维习惯。 学习重点：两角和与差的正切公式。 教学难点：公式的正用、逆用、变形用公式，角的演变。 【预习案】 一、相关知识 前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦函数，公式分别是 在这基础上，你推导出两角和与差的正切函数的公式吗？ 二、教材助读 =-=+)tan()tan(βαβα 两角和与差的正切公式T αβ±: 注意问题：角的取值范围 预习自测 1、求下列各式的值： （1）tan75° = （2）tan15° = （3）tan105°= 2、已知2tan ,3 1tan -==βα则 =-)tan(βα =+)tan(βα 。 3、??+?+?88tan 58tan 192tan 58tan = 3tan15 _________13tan15-? =+? 4、已知βαtan tan ， 是方程0652=-+x x 的两根，求)tan(βα+的值。 【探究案】 基础知识探究：应用T αβ±求值 已知tan α = 12 ,tan β = 13 ，0＜α＜π2 , π＜β＜3π 2 , 求α＋β的值。 两角和差正余弦公式的证明 北京四中数学组皇甫力超 论文摘要： 本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 与差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 与差角正弦公式 ( 方法 12,13)。 关键词： 两角和差的正余弦公式 正文： 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角, 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将或与, 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角的三角函数可以得到的三角函数。因此 , 由和角公式容 易得到对应的差角公式, 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示, 和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系与, 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如图所示, 在直角坐标系中作单位圆, 并作角, 和, 使 角的始边为, 交于点A, 终边交于点B；角始边为, 终边交 于点C；角始边为, 终边交于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为, ,,。 由两点间距离公式得 ； 。 注意到, 因此。 注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公 式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的和为任意角。 2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是两角和与差的正切函数
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