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重庆大学高数(工学下)期末试题三(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年第学期

开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:

考试方式：

考试时间: 120 分

一、选择题(每小题3分,共18分)

1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 1β=时有().

(A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面知识点:向量与坐标面的位置关系,难度等级:1. 答案: (D)

分析:cos 1β=,0β=,a 与y 轴正向夹角等于零,a xoz ⊥面. 2. 方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为(

(A)21

()x x μ=

(B)2

1()y y μ= (C)22

1(,)x y x y μ=

+ (D)1

(,)x y x y

μ=+ 知识点:微分方程,积分因子,难度等级:1. 答案: (C)

分析:当微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时,若存在二元函数(,),x y μ使得(,)[(,)(,)]0

x y M x y dx N x y dy μ+=是全微分方程,则称(,)x y μ为方程的积分因子.因此代入(A),(B),(D)所给函数均不满足条件,因此应选(C).

3. 设积分区域D 由||1,x ≤||1y ≤确定,则=??D

xy xydxdy xe sin cos (

(A)0 (B)e (C)2 (D)2-e

知识点:二重积分对称性的使用,难度等级:1. 答案:(A)

分析:积分区域关于y 轴对称,被积函数为关于y 的奇函数,积分值为0,选A .

4．微分方程2

7(1)y y x '''-=-用待定系数法确定的特解(不求系数值)形式是(

(A)2()y x Ax B =+ (B) 27()x y x Ax Bx C e =++ (C)27()x y Ax Bx C e =++ (D)2()y x Ax Bx C =++

命

题人

组题人

审题人:

命题时间

教务处制

学院专业、班年级学号姓名考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

知识点:微分方程特解形式,难度等级:1. 答案: (D)

分析:原方程所对应的齐次方程为07,y y '''-=其特征方程为2

7(70,)λλλλ-=-=其特征根为120,7.λλ==而

220(1)(1),x x x e ?-=-故方程的特解为2

().y x Ax Bx C =++故应选(D).

5. 下列各曲线中,绕y 轴旋转而成的椭球面2

3231x y z ++=的曲线

是(

). (A) 22231

0x y y ?+=?=?

(B)

22321

0y z x ?+=?

22331

0x z y ?+=?

知识点:旋转曲面对应的曲线方程,难度等级:2.

答案:(C)

分析:222310x y y ?+=?=?可以写成221

x y ?=?=?绕y

轴旋转而成的旋转面为

22221x z +=;223210

y z x ?+=?

绕y 轴旋转而成的旋转面为2222321x y z ++=;223210x y z ?+=?

绕y 轴旋转而成的旋转面为222

3231x y z ++=;223310x z y ?+=?=?绕y 轴旋转而成的不是旋转面,而是它本身2

2331.0

x z y ?

+=?

. 6. 设∑为0z =(222R y x ≤+)的上侧,则22()x y dxdy ∑

+=??(

(A)

R dxdy R

y x π=??≤+ (B)42

R dxdy R

y x π-=-

??≤+

2003

R dr r d R

πθπ=

?? (D)0

知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:1. 答案:(C)

分析:被积函数自变量在园面内取,故A,B 错误,C 与D 之一成立,上侧取正化为二重积分为C,计算结果不为0,不选D.

二、填空题(每小题3分,共18分)

7. 已知级数31

ln(1)

n n n ∞

=+∑收敛,则参数t 的取值范围__________. 知识点:含参级数收敛,参数范围,难度等级:2. 答案: 1.t >

分析:3ln(1)3ln ~,t t n n

n n +在1t >时2

3ln t

n n n ∞

=∑收敛.故 1.t > 8. 两个平行平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 间的距离为__________.

知识点:两平面间的距离,难度等级:3. 答案:1.

分析:两个平行平面间的距离等于第一个平面内任一点000(,,)x y z 到第二个平面的距离,即

000194842

,21

x y z d -++=

其中0001948210.x y z -++=即

000194821.x y z -+=-

于是

000194842

2142 1.21

x y z d -++-+=

y x

dx e dy -?

?=__________.

知识点:二重积分交换积分次序计算,难度等级:2. 答案:41

(1).2

e --

分析: 直接计算不行,交换积分顺序,可得所求.

10. 设L 是从点() 0, ,ππe e A -沿曲线cos , sin , t t

t x e t y e t z e

===到点()1 , 0 , 1B 的弧段,则第二类曲线积分 L

I xdx ydy zdz =++?的值为

__________.

知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:()21.I e π

=--

分析:2221(),2

xdx ydy zdz d x y z ++=++

()()

()1 , 0 , 12222, 0, 1()1.2

e e I x y z e ππ

π-?=++=- 11.

21x y z ++=下的极小值等于

__________.

知识点:三元函数的条件极值,难度等级:3. 答案

分析:

令(,,)f x y z =由拉格朗日乘数法,在约束条件

21x y z ++=下的极小值点满足方程组

020.0

λλλ?+=+=+=

解此方程组得111

,,.663

x y z ===所以极小值等

于

= 12. ∑为柱面222a y x =+被平面1z =和4z =所截得的在第一卦限内的部分,则??∑

++ydzdx xdydz zdxdy =__________.

知识点:对坐标的曲面积分,难度等级:3. 答案:23

a π

分析:

曲面可视为4)y z =≤≤

或4),x z =

≤≤

23.2yz zx

D D zdxdy xdydz ydzdx a π∑++=+=????

三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 计算曲线积分,L xds ?L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.

知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1.

分析:直接化为定积分计算. 解: 整个边界可分为两部分,分别为:

1:(01);L y x x =≤≤ 2:(01).L y x

x =≤≤

故

xds x

=++?

321

2011[(14)]1)1212x =++

=+ 14. 解方程22ln .xy y x y x '+=

知识点:微分方程,变量代换,难度等级:2 分析:注意(,)xy y xy ''=+从而作代换,u xy = 解 :令,u xy =则,u y xy ''=+代入方程可得

2ln du

u x dx = 这是变量分离方程,即2ln .du xdx u =??解得1

ln .x x x C u

-=-+

故原方程的解为1

().(ln())y x x x C x x

15. 将函数x x

x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞

=+-11

2)1(n n n 的和.

知识点:函数的幂级数展开,常数项级数求和,难度等级:2 分析:求导再展开,幂级数逐项积分.

解: 2

()(12)

12112f x x x x -'=

?+-??+ ?+??

14x -=

+ 20

2(4)n n x ∞

==--∑

12120

(1)2,n n n n x ∞

++==-∑ 11,.22x ??

∈- ???

()()f x f x dx '?=?

12120

((1)2)n n n n x dx ∞

++==-∑?

12121

(1)2.21n n n n x C n ++∞

+=-=++∑

?由4

)0(π

f 知 .4

C π

()f x ?=+4π

121210(1)2,21n n n n x n ++∞

+=-+∑ 11

[,].22

x ∈- ?令21

=x 得:∑∞

=+-11

2)1(n n n 1.4π=- 16. 计算333(cos cos cos ),x y z dS αβγ∑++??其中∑为曲面222x y z +=夹

在平面0z =及(0)z h h =>之间的部分,cos ,cos ,cos αβγ为此曲面的外法线的方向余弦.

知识点:对面积的曲面积分,高斯公式,球坐标,难度等级:3

分析:添加辅助面构成闭曲面,用高斯公式,据被积函数特点,用球面坐标计算三重积分.

解: 添加辅助面1:z h ∑=,取上侧,则∑与1∑构成闭区域Ω,用高斯公式,用球面坐标计算三重积分:

(cos cos cos )x y z dS αβγ∑+∑++??

2223()x y z dV Ω

=++???

244cos 0

53sin 9

.10

d d r dr

h π

?θ??π==???

而1

(cos cos cos )x y z dS αβγ∑++??

333

()x dydz y dzdx z dxdy ∑=++??

335.

D z dxdy

h dxdy h π∑===????

于是33355591

(cos cos cos ).1010

x y z dS h h h αβγπππ∑++=-=-??

四、解答题(每小题6分,共12分) 17．判别级数()

121

1+--∞

=∑n n

n n 的收敛性. 知识点:交错级数敛散性,难度等级:1 解:因为

n n n n u u n n 11)1(1||||22

1+?+++=+n

n n n n n 221

2323+++++=,1≤ 即||||1n n u u ≤+),2,1( =n 且1

lim

||lim 2+=∞→∞

→n n

u n n n .0=

由交错级数审敛法,原级数收敛.

另一方面,1||2+=n n u n 22n n n +≥,21

n =而∑

∞

n n 发散.

故∑

∑∞

=∞

=+=12

||n n n n n

u 发散. 于是级数∑∞

=-+-1

)1(n n n n

是条件收敛的. 18．在曲面22260x y z --+=上求一点,使该点处的切平面垂直于直线215

,213

x y z ++-==-并求该切平面. 知识点:曲面,直线,切平面.难度等级:2

分析:形式上写出切点处的切平面的法向量,利用切平面与已知直线垂直且切点在切平面上得切点,进而写切平面方程.

解: 曲面在点000(,,)x y z 处的法向量000(,,)n x y z =--平行于向量(2,1,3),-所以

000

.213

x y z --==- 令

000

,213

x y z t --===-得到0002,,3.x t y t z t ==-=代入22260x y z --+=得,1.t =±所求的点为(2,1,3)-和(2,1,3),--切平面为

2(2)(1)3(3)0,x y z -++--=即2360;x y z +-+=

和

2(2)(1)3(3)0,x y z ++--+=即2360.x y z +--=

五、证明题(每小题6分,共12分)

19．函数z z x y =(,)由方程F x z y y z

(,)++=0所确定,其中F 有连续的

一阶偏导数,求证: .z z

y z x y

??+=?? 知识点:隐函数的偏导数,难度等级:1

分析:由方程(,)z z

F x y y

++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)

的偏导数

,x z G z x G ?=-?,y z

G z

y G ?=-?求出,,x y z G G G 后可得

,,z z

x y

????代入

z z x

y x y

??+??即可得到结论.

证明:

122

()

;1yF zF yF zF z x x

xF F x

++?=-=?

21;F F z

x y F F x

-?=-=-?

121

.yF zF yF z z x

y z x y F +-??+==?? 20. 设在上半平面{}(,)0D x y y =>内,函数(,)f x y 具有连续偏导数,且对任意的0t >都有2(,)(,).f tx ty t f x y -=证明:对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,L 都有

(,)(,)0.L

yf x y xf x y dy -=?

知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,齐次函数,难度等级:3 分析: 利用格林公式化为二重积分,再利用已知条件. 证明:设L 为逆时针方向,L 所围的区域为0.D 由格林公式,

0(,)(,)(,)(,)2(,).x y L

D yf x y xf x y dy xf x y yf x y f x y dxdy ??-=-++?

?? 对所给方程2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导,

3(,)(,)2(,).x y xf tx ty yf tx ty t f x y -+=-

令1t =得(,)(,)2(,)0.x y xf x y yf x y f x y ++=将该式代入第一式,有

(,)(,)0.L

yf x y xf x y dy -=?

六、应用题 (每小题8分,共16分)

21. 设平面薄片所占闭区域D 由曲线ln ,y x =直线0y =及x e =围成,面密度1,ρ=求它对直线x t =的转动惯量,并问当t 为何值时此转动惯量最小？

知识点:平面区域关于直线的转动惯量,最值.难度等级:3 分析:积分区域是平面区域,由转动惯量公式建立关于变直线二重积分,利用结果为关于变量t 的函数求极值.

解:()2

()D

I t x t d ρσ=-??

()12

0()3

y y

e dy x t dx

x t dy

ρ=--=???

23(1)21

299

t e t e +=-

++ ()2

1()21.2I t t e '?=-

+ 令()0,I t '=有 ()21

1.4

t e =+

当()21

14t e =+时,转动惯量最小.

22．求向量场{}23,,A y xz yz =-沿闭曲线Γ的环流量,其中Γ为圆周

222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.

知识点:向量场的环流量,斯托克斯公式,对称性,难度等级:3 分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.

解: 取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是

3ydx xzdy yz dz Γ

-+?

cos cos cos 3(3)dS x y z y xz yz z dS

αβγ∑

∑

???

=???-=--??

?? 224

20.

x y dS

dxdy π∑

+≤=-=-=-????

高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共小题，每题，共） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+

???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下列哪个级数收敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数

高数下期末考试试卷及答案

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点（B ）驻点，非极值点（C ）极值点，非驻点（D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散（B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散（C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛（D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名 ……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………

重庆大学高等数学习题3-2

A 组 1.用洛必达法则求下列极限：（1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限解：（1）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含标准答案)

【注】高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足时条件收敛.10≤

（C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分）解：,围成的空间区域为由设∑Ω

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳[1]河南理工大学

河北科技大学高等数学（下）考试试题3 一、填空题(每题4分,共16分) 1.(4分) 级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件是 . 2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y dy f x y dx ??= . 3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 . 4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= . 二、选择题(每题4分,共16分) 1. (4分) 已知曲面22 4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面 2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ). A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. (4分) 级数1 312 1(1) n n n ∞ -=-∑为（）. A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 若∑是锥面222 x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分2 2 ()x y dS ∑ +=??( ). A. 1200d r rdr πθ???; B. 21 2 00d r rdr πθ???; C. 1200 d r rdr π θ??; D. 21200 d r rdr π θ??. 4. (4分) 幂级数1(1)n n n n ∞ -=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1 .3 R = 三、解答题(每题7分,共63分)

1．(7分) 设sin(),xy z x y e =++求dz . 2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω =???其中Ω为三个坐标面及平面 21x y z ++=所围成的闭区域. 3． (7分) 求(1)I y z dS ∑ =++??,其中∑是平面5y z +=被圆柱面 2225x y +=截出的有限部分. 4． (7分) 求幂级数1 (1)(1)n n n x n ∞ =--∑的收敛域. 5． (7分) 将2 1 ()2f x x x = --展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x L I e y y dx e y dy =-+-?,其中L 为 22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周. 7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解. 8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =+++++?? , 其中∑为曲面222 4x y z ++=的内侧. 9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+?,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1) A B 为顶点的三角形折线. 四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分 222222 ()()t t C x x y x x y I dx dy y y ++=-?与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.

重庆大学高等数学习题1-5

习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型（1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-

大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院：专业：行政班：姓名：学号：座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期: 考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分命题人 : 组题人 : 审题人: 命题时间: 教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密

大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABI

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题 1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =??=?，t ：0→π2

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

( 大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

重庆大学高等数学习题2-2

A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数：（1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=

（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数：（1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-；（2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-

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