张掖市职业学校文化课优质课教案
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单位：民乐县职教中心学科：数学
教者：张成仁
时间：2013.4.26
图8－2
文化课优质课教案
图8－2
教学设计说明：
一、教学内容的分析
1、教材的地位和作用：
直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.从本节来看，两点间的距离与线段中点的坐标公式，在直线方程中占有重要位置.同时，同学们将迈出探究几何学知识的第一步，在“数”和“形”之间建立联系.
2、教学目标的确定：根据教学内容的特点，依据中职教材课程标准的具体要求，结合学生的认知规律与已有的认知水平，本节课通过设置轻松的师生互动、生生互动的探究问题让学生在民主、和谐的课堂氛围中，自主探究两点间的距离和线段中点的坐标公式；通过自主合作的互动探究及解决问题的过程，激发学生的参与意识与强烈的求知欲望，培养学生的问题意识与创新思维；同时，在探索解决一系列问题的过程中，培养学生的抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，磨练学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.由此我确定了本节课的知识能力目标、过程与方法目标和情感态度价值观目标.
3、教学重难点的确定：两点间的距离与线段中点的坐标公式是直线方程的基础，直线的方程是解析几何的基础，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的内容有着很重要的作用，将数与形紧密地结合起来，这样许多代数问题就转化为学生熟知的几何问题，这也是中学数学课中学习解析几何的目的之一，所以两点间的距离与线段中点的坐标公式是本节课的重点.
教学难点：两点间的距离与线段中点的坐标公式的应用.本节课是通过与刚刚学习的向量的有关知识进行联系，引出两点间的距离公式，进一步由特殊到一般，得出线段中点的坐标公式，对公式的深刻理解和灵活应用，熟练解决相关问题是本节课的学习目标之一，所以是本节课的一个教学难点，这一点对中职生来说有一定难度，因此确定为本节课的难点.
二、学情分析
1、学生已经掌握了向量的基本知识，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础；
2、中一的学生已经具备了学习数学的基本能力，同时也已经掌握了一些如：观察、猜想、
推理验证等基本的数学学习方法，这为新课的教学提供了良好的思想基础和能力基础.
3、中一的学生虽已具备了学习数学的能力基础，但学生对数学学习的兴趣不高，这也是中一学生学习中存在的普遍问题，这又为新课的教学带来了一定的难度.
三、教学方法和手段的采用：
教法与学法：本节课主要采用的是“目标教学法” 、引导发现法”、“小组竞赛法”的教学方法与“合作探究”的学习方法.针对本节课内容难度不高，但知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉. 本节课以教学目标为核心，以探究问题、小组竞赛为载体，以师生合作探究为主线，以训练思维、发展能力为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生通过观察、思考、猜想、验证、应用等方式，经历知识的形成过程，同时在教师的指引下寻求知识间的联系，理清众多的思路，从而顺利地突破重、难点.通过合作探究使学生在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.力求在整个教学中既能突出学生的主体地位，又能发挥教师的指导作用.
教学手段：多媒体课件、实物展台
四、教学过程的设计：
本节课共设计了六个环节：1、明确目标；2、温故知新；3、合作探究与指导应用；4、小组竞赛，应用巩固；5、归纳小结；6、布置作业.
在教学过程中具体采取了以下的措施：
1、在探究新知阶段，通过设置问题、引导发现、合作探究、指导应用的模式，精心设计、层层铺垫，启发、调整、激励学生在教师的引导下全员参与、全程参与，经历知识的形成过程，从而达到对知识的深刻理解。
2、在应用巩固阶段，针对中一学生对数学学习基础薄弱、兴趣不高的特点，通过小组竞赛题组，在巩固基础，加深理解的基础上提高课堂效率，同时有力地挖掘出学生主动学习的潜能，有效地激发学生自主学习的热情和强烈的求知欲，从而达到职专生培养中的“兴趣激发为首要任务”的教学要求，同时也达到了学生终生主动求知的教育目的。另外，根据学生的个体差异，通过一题多解、一题多变拓展学生思维，达到让各个层次的学生都有所发展，有所进步的目的。
两点之间，线段最短 设计思想 （1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促动学生全面、持续、和谐地发展。它不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并实行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维水平、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 （2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适合和提升的过程。所以，在实行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。 （3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。 （4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中使用数学”这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与水平，进一步增强学好数学的愿望和信心。学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会使用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。 教学任务分析
普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版] 平面上两点间的距离(1) 教学目标： （1）掌握平面上两点间的距离公式； （2）能运用距离公式解决一些简单的问题． 教学重点： 掌握平面上两点间的距离公式及运用． 教学难点： 两点间的距离公式的推导． 教学过程 一、引入新课 问题：1．证明一个四边形是平行四边形可用对边互相平行外还可用什么方法? 2．已知四边形的顶点坐标如何求四边形的边长? 3．已知(1,3)A -、B(3,-2), C(6,-1),D(2,4) ，四边形ABCD 是否为平行四边形？ 二、讲解新课 先计算点A(-1,3),B(3,-2) 间的距离． 过点A （-1，3）向x 轴作垂线，过点B （3，-2）向y 轴作垂线，两条垂线交于点P ，则点P 的坐标是（-1，-2），且PA=|3-（-2）|=5，PB=|3-（-1）|=4，所以在Rt ?PAB 中， AB=22225441PA PB +=+=，同理可得CD=41，则AB=CD ，同理AD BC =，所以ABCD 是平行四边形． 一般地，设两点111222(,),(,)P x y P x y ，求12PP 的距离． 如果12,12x x y y ≠≠，过12PP 分别向y 轴、x 轴作垂线，两条垂线相交于点Q ，则点Q 的坐标为21(,)x y ． 因为1 21221||,||PQ x x P Q y y =-=-，所以在Rt ?12PP Q 中， 2 222212122121()()PP PQ P Q x x y y =+=-+- (*) 当12x x =时，12PP =21||y y -,当12y y =时,12PP =21||x x -,均满足(*)式． 则平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为 22122121()()PP x x y y = -+-． 三、数学运用 1．例题： 例1．（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；
比较线段的长短教案 搜登站中学宋铁锋 教材分析：本节让学生从动物奔跑这个生活背景出发，充分体会“两点之间线段最短”，知道两点之间距离的含义，由生活实践引出比较线段长短的方法，并让学生用尺规画一条线段等于已知线段，通过折纸活动引出中点概念。 学情分析：学生在小学已经对比较线段长短有肤浅的认识，同时我所教的班级学生能主动的交流，发表自己的意见和建议。 教学目标 (一)教学知识点 1.线段的性质. 2.线段长短的比较. 3.用圆规作一条线段等于已知线段. (二)能力训练要求 1.借助具体情境，了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质. 2.能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短. 3.能用圆规作一条线段等于已知线段. (三)情感与价值观要求 1.培养学生数形结合的思想. 2.体会知识来源于实际生活的思想. 教学重点 1.会用两种方法来比较线段的长短. 2.线段的性质. 教学难点 用直尺和圆规画一条线段等于已知线段. 教学方法 引导法 教具准备
师：圆规、直尺、图片 投影片四张 第一张(记作§4．2 A) 第二张(记作§4．2 B) 第三张(记作§4．2 C) 第四张(记作§4．2 D) 生：圆规、刻度尺 教学过程 Ⅰ.巧设情景问题，引入课题 ［师］同学们来看一幅图画，然后想一想.(出示课本P 的图片，然后放投影片 123 §4.2 A) ［生］因为直的路近. ［师］对，如图(教师把图画在黑板)从A地到B地，实线表示公路，虚线表示小路，若要让你从A地到B地办事，你走哪条路？为什么？ ［生］因为小路近，所以我走小路. ［师］很好，我们现在把A地、B地看成两个点时，就会发现： 两点之间的所有连线中，线段最短. 这是线段的性质. 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离(distance).表示长度的数一定是非负数. 好，下面我们来看第二小题：小狗跑得远还是小猫跑得远？你是怎样比较的？ ［生1］小猫跑得远，我看小猫走的路比小狗走得多.
怎样说明白两点之间，线段最短 设计思路 （1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 （2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程。因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。 （3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。 （4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心。学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。 任务分析
两点间的距离 （一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。 （二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法 启发引导式 识解决以下问题：
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备选例题 例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '
由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
《两点之间，线段最短》教学设计 -----探索环境保护问题【教学目标】 一、知识与技能： 1. 结合具体情境，理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。 2. 在对两点间的距离和点到直线的距离知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。 二、数学思考： 1. 在解决实际的问题过程中，体验数学与日常生活的密切联系，提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。 2. 通过用数学知识解决实际问题让学生体会数学应用的价值. 三、情感与态度： 通过生活中环境污染问题引入，让学生感受主要的环境污染问题根于人们生活中的一些不文明行为，引起学生们的共鸣，自觉养成爱护、保护环境的意识。【教学重、难点】 理解“两点间所有连线中线段最短”，知道两点间距离和点到直线的距离。【教学方法】 采用探究、合作、交流等教学方式完成教学。 【教学用具】 三角尺、直尺、多媒体、线团 【教学流程】 活动一 同学们观察一下这几幅图，发现了什么现象？ 生活中出现种种环境问题大都是人类的不文明行为造成的，人们明明知道践踏草坪是不文明的行为，但在生活中还是常常出现这种现象，究竟是什么原因呢？ 活动二
动手做一做 在纸上任意点两点，用三条线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？ 问题一： 考虑一下怎么走最近？ 学生通过操作感知“两点之间的线段最短”。你能举出生活中应用“两点间距离”的例子吗？学生画两点间的连线。 活动二 出示图：王奶奶病了，她到哪个医院更近一些？ 学生联系实际举例说明。 第三医院 第二医院
通过测量，你发现了什么？学生通过操作感知“两点之间的线段最短”，我们都发现了垂直的那条线段最短最短。它的长度就是点到这条直线的距离。 用FLASH给大家演示一下“垂线段最短”。 你能自己画一下点到直线的垂直线段吗？（注意要标上垂足） 活动三 说说生活中“两点间的距离”和“点到直线的距离”的应用。 学生画出几条不同的线段，再通过观察、测量得出结论。 活动四 通过这节课的学习，你有什么收获？（学生交流各自的发现。） 活动五 自主练习1、2题。（学生独立画图。） 作业：同步P55-P57 【板书设计】
智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩 https://www.doczj.com/doc/2e17978180.html,/ 【考点训练】线段的性质：两点之间线段最短-1 一、选择题（共5小题） 1．（2006?巴中）巴广高速路的设计者准备在西华山再设计修建一个隧道，以缩短两地之间的里程，其主要依据是 2 ．（2003?湘潭）如图，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ） 3．（2005?襄阳）下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程， 4． （2007?威海）如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表： 5．（2010?泸州）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ） ． C D ． 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．（2011?广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是_________． 7．（2005?广元）在连接两点的所有线中，最短的是_________． 8．（2013?德州）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 _________． 三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在m上确定仓库应修建的O点位置，同时说明你选择该点的理由． 10．画一画 如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置． （1）你是否同意甲的意见？_________（填“是”或“否”）； （2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
3.3.2两点间的距离 三维目标 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式：启发引导式。 教学用具：用多媒体辅助教学。 教学过程： 一， 情境设置，导入新课 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点()(2 122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。 在直角ABC V 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121 2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。 由此得到两点间的距离公式 12PP = 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二，例题解答，细心演算，规范表达。 例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。 解：设所求点P （x ，0），于是有 =由 PA PB =得
22 25411 x x x x ++=-+解得x=1。 所以，所求点P（1，0）且 PA==通过例题，使学生对两点间距 离公式理解。应用。 解法二：由已知得，线段 AB的中点为 1 2 ? ?? Ｍ ，直线AB的斜率为 k= 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ＰＡ＝ ３２３ 线段AB的垂直平分线的方程是 y- 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ ２ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，0）。因此 ＰＡ＝ 三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。） 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２， ＋ｃ() ２２２ ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ 所以，() ２２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以， ２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
北师版教材《比较线段的长短》教案设计 教学目标 1．知识与技能： (1)了解“两点之间的所有连线中，线段最短”； (2)能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短； (3)能用圆规作一条线段等于已知线段。 2．过程与方法： (1)经历观察、测量、验证、比较线段的长短等活动过程，体验数学活动充满 探索性和创造性，体验数学就在我身边的亲身感受； (2)经历思考想象、合作交流、动手操作等数学探究过程，了解线段大小比较 的方法策略，学习开始使用几何工具操作方法，发展几何图形意识和探究意识。 3、情感与态度： (1)培养学生从简单到复杂，由特殊到一般的能力，渗透辩证唯物主义思想。 (2)在解决问题的过程中体验动手操作、合作交流、探究解决的学习过程，激 发学生解决问题的积极性和主动性 教材分析： 教学重点：比较线段的方法、线段的公理 教学难点：叠合法比较两条线段大小。 活动意图： 本节是第四章“平面图形及其位置关系”的第 2 节，属于几何入门教学内容。本节课的学习内容有：线段公理、两点之间的距离、用圆规作一条线段等于已知 线段、比较线段的长短及线段的中点，教学重点是线段公理及比较线段的长短。 在教学过程中，要求教师通过创设与学生生活环境、知识背景密切相关的教学情 境，帮助学生理解数学概念，寻求解决数学问题的方法。本节课倡导合作交流的 学习方式，通过师生互动、生生互动学习新知识。 立足于学生实际，着眼于中小学的衔接，从他们的生活背景和已有经验出发，鼓励他们的积极参与，动手操作时间，观察归纳，让他们了解几何学习的基本的 操作方法，学习结论获得的策略，进一步去理解线段本质属性与现实生活的紧密 相关都有着较为深刻的意义。也有利于学生图形意识的培养。
两点间的距离公式教案 江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩 一、教材分析 本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。 二、学情分析 学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。 三、教学目标 1．知识与技能目标： （1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程； （2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点； （3）能应用这个公式解决相关问题。 2.过程与方法： （1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律； （2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。 3.情感态度与价值观： 让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。 四、教学重难点 重点：两点间的距离公式。 难点：两点间的距离的应用。
五、教法学法 针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 六、教学过程 1. 提出问题引发思考 提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗连接2点的线段长即两点间的距离。 （2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢 根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点,正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。 2.构建新知得出结论 已知和,试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离) 1. 2. 提问：(1)这之间的距离怎么去表示呢
课案(教师用) 4．2两点之间线段最短 (新授课) 【理论支持】 1．国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展．它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展． 2．初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程．因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学．在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能． 3．数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程．数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习． 4．本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心．学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识． 重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程 难点：拓展问题的探究过程 关键：建立数学模型 【课时安排】 一课时 【教学设计】
《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。
《最短路径问题（1）》教案 13.4.1 将军饮马问题 【一】教学目标 (一) 学习目标 1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题; 2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题; 3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 〔二〕教学重点 教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题. 〔三〕教学难点 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 【二】教学过程 〔一〕课前设计 1．预习任务 前面我们研究过一些关于〝两点的所有连线中， 〞， 〝连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 〞 等的问题，我们称它们为问题． 【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径 2．预习自测 ⑴如下图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是. 【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短 【答案】②，两点之间，线段最短〔或者三角形中两边之和大于第三边〕
⑵：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和〝两点之间，线段最短〞，那么AP+PB的最小值为线段AB的值. 【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】如图，那么点P就是所求的点. ⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 【知识点】两点之间线段最短 【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测〔1〕，根据〝两点之间，线段最短〞，连接AB即可. 【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，那么点P就是所求的点. 【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短. ⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，那么点P可能的个数为〔〕个 A. 3 B. 2 C. 1 D.0 【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质 【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B 在直线l的异侧〞，又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P. 【答案】C 【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．〔二〕课堂设计 1.知识回顾 ⑴两点的所有连线中，线段最短； ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边. 2.问题探究实际问题转化为数学问题
初一上册数学知识点之两点之间线段最短|两点之间线段最短对吗 （1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 （2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程。因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。 （3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。 （4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用问题情境──建立模型──解释、应用与拓展的模式展开教学，让学生经历从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心。学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。体会在解决问题中与他人合作的重要性。体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。 感谢您的阅读！
两点间的距离及点到直线间的距离教学内容：青岛版小学数学四年级上册第55和56页及自主练习内容. 教学目标： 1.理解“两点间线段最短”，知道两点之间距离和点到直线的距离。 2.在知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。 3.在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系。 4.提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。 教学重点：画出点到直线的垂线段，认识点到直线的距离。 教学难点：画出点到直线的垂线段，运用所学知识解释有关现象。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件直尺三角尺 学生准备：练习本直尺三角尺 教学过程： 课前谈话 一、复习导入 11.分别画一条线段.射线和直线，想一想它们各有什么特点？ 指名答 2.过A点画已知直线的垂线，并想一想画垂线的方法。 对于过A需强调。 看来同学们对以前学的知识掌握的很好，这节课我们继续走进校园来探索 2．出示学习目标。 过渡语：本节课的学习目标是： （1）理解“两点间线段最短”，知道两点之间距离和点到直线的距离。 （2）在知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。 （3）在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系。 （4）提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。
3．出示自学指导 过渡语：为了达到学习目标，离不开大家的努力，请同学们看自学指导：认真看课本第60页和61页“自主练习”前面的部分，重点看方框内部分，按课本的要求做一做，思考： （1）为什么要修隧道哪？你能猜想并验证吗？ （2）请过直线外一点向这条直线画线段，你能画多少条？ （3）有没有最短的？你如何知道的？ （4）如果有，你是怎么画出这条线段的？ 4.看一看 师：下面请同学们根据“自学指导”开始自学，比一比谁看书最认真，谁自学效果最好！（师目光巡视每一个学生） 生看书，师巡视，确保每位学生都在紧张地自学。（要保证学生看够5分钟，学生可以看看、想想，如果学生看完，可以复看，遇到问题可以小声问同位。） 二、汇报交流，评价质疑。 （一）讨论交流自学指导第一个问题。 1.小组合作操作大山两侧（即两个点）之间的连线，通过直尺、线等工具测量一下所画的所有线段的长度，标记出来。 班内交流操作的感受和发现。 2.谈话：通过交流，你能得出什么结论？ （连接两个点的线段是所有画的连线中最短的一条。） 3.教师引导学生归纳知识点：两点之间线段最短。线段的长度叫做这两点间的距离。 板书：两点间的距离：两点之间线段最短。 4.教师再引导学生用学过的知识解释为什么要修隧道？ （距离近，修隧道是为了缩短路程。） （二）小组内讨论交流自学指导第二、三、四题。 1.谈话：同学们在刚才连接两点中，都得到了两点之间的线段是最短的，从而知道了我们为什么要架桥、修隧道。 2.师出示图：那过直线外一点向这条直线画线段，你能画多少条？都是线段，到底哪条线段最短呢？
1.4 线段的比较与作法 教学目标 1、会利用圆规比较两条线段的大小，并会用符号“＞”“＜”“=”表示 2、掌握“两点之间线段最短”的基本性质。理解两点间距离的意义，能度量两点之间的距离。 3、会用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知线段。 4、理解线段的和、差以及线段中点的意义，能用直尺和圆规作出线段的和、差，会用刻度尺画出一条线段的中点，并能用符号语言表示出来，感受符号语言在描述图形中的重要作用。 教学重难点 【教学重点】 理解两点间距离的意义，能度量两点之间的距离；掌握线段的基本性质； 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段. 【教学难点】 线段的基本性质的理解及文字语言和符号语言的表述； 理解线段的和、差及中点的意义，并会用刻度尺和圆规画出线段的和、差、倍、分。 课前准备 课件 教学过程 一、课前准备 阅读教材18—21页的内容，回答下面问题： 1、请指出能够测量线段长度的工具：。 2、两点之间的所有连线中，最短。 3、，叫做两点之间的距离。 4、请你画一条长为4cm的线段，并用刻度尺找出它的中点。 二、课内探究 合作交流 要求：小组或同桌讨论，解决以下问题： 1、画一条线段AB，使它的长度等于已知线段a，与同学交流你的画法。 2、如图，线段AB上有一点C，那么BC AB；AB BC+AC； AB+BC AC.（填“＞”、“=”或“＜”）. 3、如图，M是线段AC的中点，N是线段CB的中点. ①如果AC=5cm，BC=3cm，那么MN= . ②如果AM=2cm，NB=3cm，那么AB= . 巩固练习： 1、选择题： （1）在直线AB上有一点C，已知CB=2cm，AB=4cm，则AC等于（）.
§19.10 两点的距离公式 教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。 教学重点、难点： 重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用 难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导 教学过程： 1、复习引入： 已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点 的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点 的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知： 任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -
如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练： 求下列两点的距离 （1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解： 例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？ 例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：
两点间的距离 教学目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 重点难点 教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 安排 1 教学过程 导入新课 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求B(3，4)到原点的距离. (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果：①|AB|=|x B x A|,|CD|=|y C y D|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③
图1 在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q. 在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2|QP 2|2. 因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2x 1|2|y 2y 1|2. 由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2 12212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用 应用示例 例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标. 图2 解:设B(x ，3)，根据|AB|=13， 即(x4)2(38)2=132，解得x=8或x=16.