人力资本与经济增长
99数理经济罗宇雷
摘要：本文通过对包含人力和物资资本的单部门增长模型的分析，结合中国实际论述了人力资本在经济增长中的重要作用，并根据当代中国人力资本的现状提出了一些建议。
关键词：经济增长人力资本物资资本
一导言
人们都说当今世界已步入知识经济时代，那么什么是知识经济呢？知识经济是一种以人力资本为中心的经济形态，关于知识经济的含义，我们一般都认同了经合组织的定义，即知识经济是以知识为基础的经济。但在对“以知识为基础”的理解上却出现了两种相反的观点，一种是将这个“知识’看作是包括了入类迄今所创造的知识的总和，不仅包括科学技木、管理科学等可直接作用于生产的知识、还包括了与其没有直接联系的社会人文方面的知识；另一种观点则认为任何一种经济形态均是以知识为基础的，只是各发展阶段所蕴含和使用的知识量不同罢了，因此“其与经济组合而成‘知识经济’，概念的外延必然模糊不清。”
那么如何来理解“知识”的含义呢？我们认为应从两方面来理解。（1）从生产手段来理解。从人类社会诞生开始。人类就开始积累并使用知识，知识随之成为人们进行生活和生产的重要手段。在知识经济形势下，由于信息和通讯技术的高度发展以及高科技产品的创造和使用，使知识的创造、储存和使用方式发生了重大变革，知识与信息作为生产手段的作用随之上升到一个前所未有的高度。但这一点只是知识经济的一个重要特征而不能说明知识经济作为一种独立的经济形态的本质。（2）从人力资本角度来理解。知识并不是凭空产生的，知识和信息本身也不会创造价值，只有将人的劳动与知识和信息手段结合起来才能创造出财富。知识因素是人力资本的最重要的要素，在传播、储存知识，在生产、创造过程中知识和人的因素是密不可分的，“人力资本的显著标志是它属于人的一部分。它是人类的，因为它表现在人身上；它又是资本，因为它是未来满足或未来收入的源泉或两者的源泉……没有人能把自己同他所拥有的人力资本分开，他必将始终带着自己的人力资本，无论这笔资本是用于生产还是用于消费。”邻力生产羊段的知识的存在，必须通过劳动者的使用、开发和创新，才能真正实现其价值c 只有包括在人的因素中的知识成为人力资本中最突出的生产
二人力资本的含义
人力资本理论产生于20世纪50年代中期，形成于60年代并有了进一步的发展。它在欧美日本等发达国家里有着广泛的影响，在发展中国家里也在迅速传播。198O年11月，人力资本理论主要代表人物、美国著名经济学家西奥多·W·舒尔茨来我国讲学，这一理论开始在我国传播。由于经济增长源泉来自何处，早在50年代,经济学家索洛就提出开创现代经济增长理论先河的“新古典”，这一理论形成的历史较短，且来源于西方，故人们对人力资本概念及理论的认识有点模糊不清，总是用传统的眼光来认识它，这难免有曲解其含义的现象存在。如人们往往将人力资本和与其相似术语名词诸如人力投资、人力资源和物质资本相混淆：
第一、人力资本不是物质资本。由于受传统思想观念的影响，人们习惯于简单归类，一看到“资本’”便不加分析地认为它是物质的东西，自然
而然，人力资本也就被理解为物质资本。亚当·斯密十分强调资本积
累在促进劳动分工和提高劳动生产率中的作用，后由萨伊提出生产三
要素说，将资本与劳动、土地并列为生产的三个要素。可见，资本是
一种稀缺的生产性资源，是人们从事生产活动的投人要素之一。按照
舒尔茨的解释，全面的资本概念，应包括人力资本和物质资本。人力
资本是相对于“物质资本”的一个概念，亦即“叫非物质资本”的资
本。这种资本所以与“物质资本”不同，主要在于它体现于人身上而
不是体现在物身上。人力资本是由投资方式产生的，人们用在教育、卫生、医疗以及为了获得就业机会而进行的国内迁移所支付的直接费
用，乃至为了获得教育而放弃的收人（即受教育的机会成本）都是属
于人力资本的投资。其中，教育投资是最主要的部分。而物质资本是
投资于物力过程的结果，体现在物质产品上，如机器、设备、厂房、建筑物、交通运输设施等存在的生产物质形式。可见，人力资本是指
凝聚在劳动者身上的知识、技能及其所表现出来的能力。这种能力是
生产增长的主要因素，是给个人和社会带来富足的源泉。
第二、人力资本不等于人力投资。在有关的教育经济文献中，把人力投资与人力资本等同起来，这是不规范的。这易使一些读者走入概念理解
上的误区。人力资本是由人力投资而成的，而教育投资是人力投资的
主要成分。可见，人力资本是人力有效投资的结果，而人力投资是实
现人力资本的途径和手段。人们之所以混淆这二者之问的概念，主要
是看不到它们之间是手段和结果的关系。当我们认识了人力投资在人
力资本形成中的作用后，同时我们也理解了人力资本理论的核心在于
通过人力投资提高人口质量。在经济发展中，人口质量优于人口数量。
因此，要发展经济，人口质量问题是比土地和人口数量更为重要的问
题，这同时也是现代化发展目标的核心问题。在舒尔茨看来，“人口
质量”主要是人在后天获得的能力。而这种后天能力的获得正是通过
教育活动和教育投资实现的。由此可见，教育活动就是使人体内的潜
能得以增长的生产性活动教育投资就是提高人口质量的关键性的生
产性投资行为。
第三、人力资本与人力资源不能等同。所谓“资源”是指“某种可备以利用，提供资助或满足需要的东西”（韦伯斯特著《新世界词典》1974年版，1211页）对人力资源概念的解释，本人认为最有代表性的有二种。一
种认为人力资源也称人力资本是指包含在人体内的一种生产能力。如
果这种能力没有发挥出来，这就是潜在的劳动力；如果发挥出来了，它就变成了现实的劳动生产力（谭崇台主编：《发展经济学》，上海人
民出版社1989年版第181页）。另一种认为人力资源是指能推动整个
经济和社会发展的具有智力劳动和体力劳动的能力的人们的总称，它
应包括数量和质量两个指标（廖泉文著《人力资源管理》，同济大学
出版社1991年版，第2页），从以上两个定义中可以将人力资源概念
归纳为两个含义：第一个含义是指活的人体内存在智力和体力的劳动
力，如没有开发出来，只具有潜在的劳动力而没有现实的劳动力，只
代表劳动者数量。第二个含义是指通过教育。培训或类似的活动使人
体的智力和体力开发出来，才具有现实的劳动能力，即劳动者的质量。
可见，人力资源不是特指现成的劳动力，还包括潜在的劳动力，只有
通过教育、培训后才能开发出来，我们目前讲开发人力资源，就是指
开发潜在的劳动力。而人力资本是对人的技能的过去投资的现行价
值，也就是对提高人而进行投资所形成的一种资本，即已形成了现实
的劳动力。因此，人力资源与人力资本是不能等同的。人们之所以混
淆这两个概念，主要是没有看到人力资本是已形成的那些的劳动力，
而人力资源却包括未开发的潜在劳动力和已开发的现实劳动力两部
分。
80年代中期出现的新经济增长理论迄今仍是国际经济学界十分活跃的领域,新的模型不断涌现,各种学说层出不穷。新经济增长理论试图从各种角度破解新古典经济增长理论中著名的“索洛之谜”,即长期增长模型”,该模型直截了当地给出了长期经济增长的动力源,即增长动力来自技术进步(Ｓｏｌｏｗ,1956,1957),但并未说明技术进步的产生(或生产)机制。这样,索洛模型就将长期经济增长归结为似乎是上苍赐予的技术进步,而未进一步阐明技术进步的生成机理以及技术进步如何作用于经济增长的过程机制———此即增长理论中长达20余年未能破解的“索洛之谜”。自80年代中期开始,经济学家在破解技术进步生成之谜方面取得突破性进展,始作俑者首推Ｒｏｍｅｒ。Ｒｏｍｅｒ的贡献主要体现于1986、1990年在JＰＥ上发表的两篇论文:在1986年的论文中,他证明了人力资本因“干中学”效应而发生的自然增长克服了物质资本投入的报酬递减效应,带来人均收入正增长;在19量增长是人均收入正增长的源泉之一,并且,这种专业化生产的增长是一种要支付报酬的活动,即研究与开发(Ｒ＆Ｄ)。由此阐明技术进步也是一种需要耗费资源的生产活动或投资,其开展的深度与广度与一般性生产活动或投资一样,也受到资源约束和收益率变化的制约,同时,技术进步的内容表现为多个方面,包括中间产品种类的扩大、消费品种数的扩大、人力资本增长“干中学”带来的自然增长和需要投资或生产带来的增长、产品质量改进、生产成本下降等。紧接着,Ｌｕｃａｓ(1988)从人均人力资本(而非Ｒｏｍｅｒ模型中的总量人力资本)的投资及增长角度给出人均收入增长的另一机制,将人力资本增长也描写为人力资本投资的产出,并由此完成人均收入增长的机制说明。由“ＲｏｍｅｒＬｕｃａｓ革命”引发了自80年代中到90年代末的“新经济增长理论热潮”。经济学家们开始在更为广阔的视野内探寻经济增长的内在发动机理,除技术进步、人力资本增长外,政府政策、分工与专业化、国际贸易、知识革命和制度演进与创新,都变成增长发动机中的核心部件。在当代经济学文献中,人们称这类试图从经济体系内部寻找推动经济增长动力源的理论为“内生经济增长理论”。目前,新增长理论体系渐成,正向着成熟化方向发展,具体表现为两个层面上的研究,一是如何统一各学派(人力资本、Ｒ＆Ｄ及制度演进)不同形式的各类模型为一个(或较少几个)综合性模型;二是构造宏观模型的微观基础。两类研究既可分别进行,又常相互交织。
三一个模型的分析
下面通过对一个包含物资和人力资本的单部门增长模型的分析来说明人力资本在经济增长中所起的重要作用：
我们假设一个呈现出对物资资本和人力资本的不变报酬的科布-道格拉斯型
生产函数：
αα-=1H AK Y (1)
其中10≤≤α 。我们可以把人力资本H 理解为是工人数目L 乘以带代表
性工人的人力资本h 。这里我们假设在只有组合Lh 对产出来说至关重要的意
义上，工人的数量L 和工人的质量h 在生产中是可以完全替代的。这个规定意
味着工人的固定数目将不是规模报酬递减的来源，因为对于固定的L ，K 和h 的
加倍导致了Y 的加倍。仅仅为了方便起见，我们假设总的劳动力L 固定的是，
所以H 的增长只是因为平均质量h 的提高。为了简单在这里我们还假设没有任
何的技术进步和人口增长。
产出可被用于消费，物资资本或人力资本的投资。我们假定物资资本和人力
资本存量以相同速度 折旧。人力资本的折旧包括因为技能的荒疏和人的死亡所
造成的损失以及得自经验的净收益的下降。（我们也可以引入对于物资资本和人
力资本的不同折旧率，但这种一般化只是使运算更为复杂，而没有提供任何新的
见解。）
经济的资源约束为
H K I I C H AK Y ++==-αα1 (2)
其中 和 分别为物资资本和人力资本的总投资。这两种资本的变化由下式给
出
K I K K δ-=.
(3)
H I H H δ-= (4)
在这里我们采用家庭同时也是产品生产者的规定，我们采用通常的效用函数
形式： )1/()1()(1θθ--=-C C u
则对其有效用最大化问题：
Max dt e C u T ?-ρ)(
s.t K I K K δ-=.
H I H H δ-=.
H K I I C H AK Y ++==-αα1
则hamilton 方程为：)
()()()(1H K H K t I I C H K H I K I e C u J ---+-+-+?=--ααρωδμδυ
其中υ 和 μ分别是K 和H 相联系的影子价格，ω是与来自的预算约束相联
系的拉格朗日乘子。在这里我们暂时忽略不等式约束：0≥K I 和0≥H I
则一阶条件为：
0)(=-?'=??-ωρt e C u C
J 0=-=??ωυK
I J 0=-=??ωμH
I J 又欧拉公式为
11.---=??-=αααωδυυK AH K
J ααωαδμμK AH H
J ---=??-=)1(. =??-=?C
J ω 简化这些条件可得到
θρδαγα--==--)1(.)(H K C A C
C ……………………….(5) 其中δααα---11K AH 是物资资本的净边际产品，而δααα---K AH )1(是人
力资本的净边际产品。则均衡要求两者相等，即：
δααα---11K AH =δααα---K AH )1(
这意味着两种资存量本的比率为：
)1/(/αα-=H K
从而得到物资和人力资本的净报酬率为：
δαααα--?=-*)1()1(A r
当K/H 不变时则由（5）式知道C γ不变且等于：
θρ
δααγαα---=-*1)1(A C
我们假设 0>*C γ 则有：
ρδαααα+>--1)1(A
将其代入 αα-=1H AK Y 中，可以得到 1)1/(--=αααAK Y ，这就是一个AK
模型了，所以Y 的增长率与K 和H 一样。由AK 模型的分析知Y ，C ，K ，H 的
增长率一样都为*C γ。
下面我们来讨论一下经济不处在平衡点的情况。假定经济开始于两个资本存
量K （0）H （0），如果 比率偏离了 式所规定的 )1/(αα- 值，则我们发现
要施以不等式约束 0≥K I 和0≥H I ，如果 K （0）/H （0） 与)1/(αα-不
同，在前面的解中就必然有一个关于总投资的不等式约束会被违反，因为在0
时的资本构成上的离散变动必然要求一种资本存量上的负的总投资（以无穷大
速度）。所以存在这些不等式约束的情况下我们要重新考虑该模型的解。
若K （0）/H （0）> )1/(αα- 也就是说如果开始时K 比H 相对更充裕，则
前面的解指出在0时K 会减少而H 增加。这就意味着在0时以及此后的一段有
限的时间内不等式0≥K I 将成为等式，此时家庭选择0=K I 即K 的增长率由
δ=H H .
给定，且K 遵循路径：t e H t H δ-=)0()( 对t=o,…
他们认识到相对于H 他们有过多的K ，但是既然不可能有K 上的负投资，
他们就会容许K 以外生给定的速度δ折旧。
当 0=K I 则家庭优化问题变成：
Max dt e c u t ?
-ρ)( s.t K K δ-=. 即 K I =0
C H H AK H I H H --=-=-δδαα1.
H K I I C H AK Y ++==-αα1 此时hamilton 方程变成：
[]C H H AK e
C u J t --+=--δυααρ1)( 同样由一阶条件 C J ??=0 和 H J ??-=.υ 得到关于消费增长率的条件： θ
ρδαγα---==))(1(.H K C A C C
H C H AK H H H --==-δγαα. 下面定义两个变量H K /≡ω 和K C /≡χ 来着手分析。由上面可知：
χωωδδγγγαααω+-=?----=-=-A K C H K H
AK H K )( θθδραδθρδαγγγααχ)1())(1())(1(-+--=+---=
-=H K H K K C A A 则 0.=ω 意味着1-=?=ααωχχωω
a A 即图中那条向下倾斜的曲线。在曲线上方对应于 0.>ω 在曲线的下方对应于 0.<ω 图中的箭头表示了这
些运动方向。
而0.=χ要求：0)
1())(1(=-+--θ
θδρααH K A 即 ()()ωαθδρωα~111≡??????--+=A
我们假设 ()01≥-+θδρ 因而 ω
~ 非负。如图中箭头所示，在ω~上对应于0.>χ，而在 ω~ 下0.
<χ，图中箭头表示了这些运动方向。 K C /≡χ
*χ 0.=
ω~ *ω H K /≡ω
由假设 0>*C γ可推出 *<ωω
~ 从而ω和χ的动态如图所示，在图中χ沿着稳定的鞍点路径单调上升，ω单调下降。事实上ω正是沿着这条路径向ω
~靠近，但由于*<ωω
~，故在其达到ω~之前会达到*ω，由这时开始，K 的非负总投资约束不在是等式，ω停在*ω上而非继续沿着鞍点路径前进，从而经济达到稳定增
长。
若K （0）/H （0）<)1/(αα-，则变成0≥H I 是等式，且δγ-=H
家庭的效用最大化问题变成：
Max
dt e c u t ?-ρ)( s.t H H δ-=.
C K H AK K I K K --=-=-δδαα1.
H K I I C H AK Y ++==-αα1
此时hamilton 方程变成：
[]C K H AK e C u J t --+=--δμααρ1)(
按上面的方法同样可以得到ω和χ的转移方程为：
χωγαω-=-1A
()θρθθδχωθαθγαχ//11--++????
??--=-A 所以条件 0.=ω 对应于 1-=αωχ
条件 0.=χ 对应于 ()θρθθδωθαθχα//11+--???
??-=-A K C /≡χ
*χ 0=
0.=ω
*ω ω
? H K /≡ω 图中所画的是θα<的情况，其他两种情况与它并没有本质上的区别。0
.=χ的轨迹比0.
=ω的轨迹更平坦这两条轨迹交于值ω?，由假设0>*C γ可推出*>ωω
?，因为初始的ω小于*ω，则沿着稳定的鞍点路径χ单调下降，而ω单调上升，ω在朝着ω?前进，但由于*>ωω?，在ω到达ω
?之前，就到达了*ω，
ω处，从而经济达到稳定增长。从那之后非负总投资约束不再是等式，ω停在*
α-，则经济增长会加快使得以上分析表明，只要K/H偏离其稳定值)
/(α
1
K/H回到稳定值。这说明人力资本和物资资本之间存在一个最优比例，经济会自动调整增长率使得经济回到这个最优比例上。
由模型分析可以看出人力资本在经济增长中起着举足轻重的作用。
四我国人力资本现状
然而长期以来，我国人力投资强度低、效益差。我国一直实行“注重物质资本”的发展战略，人力资本投资严重不足。据联合国教科文组织1991年世界教育报告统计表明，我国是用占世界1.18％的教育经费培养着占世界18.45％的学生，其中我国基础教育是用占世界0.78％的教育经费培养着占世界玉9.8％的中小学生。我国现有各级各类在校学生已达2.2亿人，而1993年，我国投入的教育经费只有600.94亿元（其中事业费494.14亿元）。可见，我国以微薄的教育经费支撑当今世界上最庞大的教育规模。另一方面，中国人力资本投资结构不合理，效益低下，高等教育发展超越经济发展阶段，初等教育发展不足，形成人力资源的严重浪费
中国是一个人口大国，但是又是一个人力资源相对缺乏的国家。主要表现在：人口平均素质较差，我国国民文化程度平均受教育水平为5.5年，不到小学毕业；专业技术人才占总人口的比重较低，具有高、中等学历的人员占总人口的比重较低；专业技术人员分布不合理，人才过分集中于大城市，中国各省会分别集中本省专业技术人员的30％-60％；懂经营、善管理的企业人才奇缺，人才的结构不合理、流动性差，不能适应经济的发展。要实现经济的快速发展，必须扩大人力资源投资，并采取适当的人力资源发展战略与政策。世界银行1985年的经济考察报《中国：长期发展问题可选方案》结论中指出：中国的经济前景要取决于能否成功的调动和有效的使用一切资源，特别是人力资源”。
五结论
因此，我国当前人力资源发展战略与政策重点应是：
l增加培育投资，改善教育结构
我国模仿发达国家的教育体制，致使专业设置、课程内容严重脱离本国国情，因而导致毕业生往往学用不一致，造成人力浪费。学校盲目追求高分、高升学率，社会片面要求文凭和学历，扭曲了教育本身的目的。因此改革教育体制最重要的是建立起一个符合我国国情的教育体系。中国家庭用于文化教育的费用仍然很低，仅占家庭全部生活消费的9％，这与发达国家的20％水平相差甚远，这无疑在暗示我们，要想提高人力资源质量，我们的文化教育投入必须超前2防止人才流失和人才浪费
人才浪费，是指这些专业人员的专业特长得不到充分的发挥和利用，或者大材小用，或者根本就没有发挥作用。人才流失，则指当人才形成后，不能为
本国或本民族所运用，通常是流向发达国家或地区。我国的经济发展中存在着人才缺乏与人才流失浪费并存的问题。因此，应使教育结构和经济结构相适应，人尽其才，学以致用。并为学有专长的人创造良好的科研条件和工作环境，并在各方面给予应有的待遇。也可在政策上实行倾斜，甚至在法律上做出规定，以防止人才流失。
3控制人口数量提高人口质量
人口本身不是人力资本，而只是人力资本形成的基础。人口的过快增长是造成人力资本不足的重要原因，因为人口的过快增长使大量的人力资源闲置或不得其用，并且也降低了人力资本投资的人均水平，制约了国民素质的提高及人力资本的形成。因此应采取措施控制人口增长，提高人力资本投资的收益率，促进人力资本的形成。当前，应进一步落实对独生于女的教育、医疗、就业等方面的优惠政策确保入口总量基本稳定的过程中，实现国民整体素质的提高。
4发展人才市场促进劳动力的合理流动
劳动力在国内的自由流动有助于解决国内劳动力的余缺调剂和发挥劳动者专业特长。在我国，劳动力供大于求的地区，存在着人才的浪费，人力资本的作用得不到充分发挥，造成人力资本的损失。同时，对一些单位学非所用、用非所长的人来说，人力资本也未得到有效的利用。而人力资本自由流动可以促使人力资源的优化配置，在有效的人力资本市场上，可以使人力资本产权明晰化、劳动行为主体化。个人对人力资本的拥有自主权，并且对人力资本的投资行为受到法律保护，不存在人力资本单位所有、部门所有、地区所有问题，人力资本流动的带歧视性、保护性、封锁性壁垒必须被打破，改革现有户籍制度是当前刻不容缓的任务。所队在市场经济条件下，解决上述问题的关键是：政府应尽快建立和发展人才市场，并通过规范的人才流动机制来调控人才市场，让规范有序的人才市场来引导人才的合理流动，让市场发现人才、确认人才、调动人才资源的供给和需求，最大限度地发挥人力资本的潜力。
参考资料：
柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型 齐微 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000） E-mail: qiwei1119@https://www.doczj.com/doc/2e16340061.html, 摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多. 关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归 柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为： Y AK L αβ= 其中： Y —— 产量； A —— 技术水平； K —— 投入的资本量； L —— 投入的劳动量； ,αβ——K 和L 的产出弹性. 经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1） 其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3]. 问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验. 问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释. 问题3：将几个模型做出比较与分析.
对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对 被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使 用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显 著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验 方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；
（2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已 知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，
人力资本与经济增长 99数理经济罗宇雷 摘要：本文通过对包含人力和物资资本的单部门增长模型的分析，结合中国实际论述了人力资本在经济增长中的重要作用，并根据当代中国人力资本的现状提出了一些建议。 关键词：经济增长人力资本物资资本 一导言 人们都说当今世界已步入知识经济时代，那么什么是知识经济呢？知识经济是一种以人力资本为中心的经济形态，关于知识经济的含义，我们一般都认同了经合组织的定义，即知识经济是以知识为基础的经济。但在对“以知识为基础”的理解上却出现了两种相反的观点，一种是将这个“知识’看作是包括了入类迄今所创造的知识的总和，不仅包括科学技木、管理科学等可直接作用于生产的知识、还包括了与其没有直接联系的社会人文方面的知识；另一种观点则认为任何一种经济形态均是以知识为基础的，只是各发展阶段所蕴含和使用的知识量不同罢了，因此“其与经济组合而成‘知识经济’，概念的外延必然模糊不清。” 那么如何来理解“知识”的含义呢？我们认为应从两方面来理解。（1）从生产手段来理解。从人类社会诞生开始。人类就开始积累并使用知识，知识随之成为人们进行生活和生产的重要手段。在知识经济形势下，由于信息和通讯技术的高度发展以及高科技产品的创造和使用，使知识的创造、储存和使用方式发生了重大变革，知识与信息作为生产手段的作用随之上升到一个前所未有的高度。但这一点只是知识经济的一个重要特征而不能说明知识经济作为一种独立的经济形态的本质。（2）从人力资本角度来理解。知识并不是凭空产生的，知识和信息本身也不会创造价值，只有将人的劳动与知识和信息手段结合起来才能创造出财富。知识因素是人力资本的最重要的要素，在传播、储存知识，在生产、创造过程中知识和人的因素是密不可分的，“人力资本的显著标志是它属于人的一部分。它是人类的，因为它表现在人身上；它又是资本，因为它是未来满足或未来收入的源泉或两者的源泉……没有人能把自己同他所拥有的人力资本分开，他必将始终带着自己的人力资本，无论这笔资本是用于生产还是用于消费。”邻力生产羊段的知识的存在，必须通过劳动者的使用、开发和创新，才能真正实现其价值c 只有包括在人的因素中的知识成为人力资本中最突出的生产 二人力资本的含义 人力资本理论产生于20世纪50年代中期，形成于60年代并有了进一步的发展。它在欧美日本等发达国家里有着广泛的影响，在发展中国家里也在迅速传播。198O年11月，人力资本理论主要代表人物、美国著名经济学家西奥多·W·舒尔茨来我国讲学，这一理论开始在我国传播。由于经济增长源泉来自何处，早在50年代,经济学家索洛就提出开创现代经济增长理论先河的“新古典”，这一理论形成的历史较短，且来源于西方，故人们对人力资本概念及理论的认识有点模糊不清，总是用传统的眼光来认识它，这难免有曲解其含义的现象存在。如人们往往将人力资本和与其相似术语名词诸如人力投资、人力资源和物质资本相混淆：
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 考号：： ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论
技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。 （二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
第八章回归方程的函数形式 回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。 在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。 我们将特别讨论下面几种形式的回归模型： (1) 对数线性模型(不变弹性模型) (2) 半对数模型。 (3) 双曲函数模型。 (4) 多项式回归模型。 上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。 8.1 三变量线性回归模型 以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数： Y = 2 B i AX( 8 - 1 ) 此处变量Xi是非线性的。但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式： lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 ) 其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令 B1= lnA ( 8 - 3 ) 可以将式( 8 - 2 )写为： lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 ) 加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为： lnYi = B1+B2lnXi+ui ( 8 - 5 ) ( 8 - 5 )是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式( 8 - 5 )的模型称为双对数模型或对数-线性( log-linear )模型。 一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的： 令Yi* = lnYi , Xi* = lnXi 则( 8 - 5 )可写为： Yi* = B1 + B2 Xi* + ui ( 8 - 6 ) 这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的。 如果模型( 8 - 6 )满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。 双对数模型(对数线性模型)的应用非常广泛，原因在于它有一个特性： 斜率B2度量了Y对X的弹性。如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格， Y代表
第五章 单方程计量经济学应用模型 一、填空题： 1．当所有商品的价格不变时，收入变化1%所引起的第i 种商品需求量的变化百分比叫做需求的 。 2．对于生活必需品，需求的收入弹性i E 的取值区间为 ，需求的自价格弹性的取值区间为 。 3．当收入和其他商品的价格不变时，第j 种商品价格变化1%所引起的第i 种商品需求量的变化百分比，叫做需求的 。 4．替代品的需求互价格弹性ij E 0；互补品的需求互价格弹性 ij E 0；无关商品的需求 互价格弹性 ij E 0。 5．吉芬商品的需求自价格弹性 0。 6．西方国家发展的需求函数模型的理论模型，是由 函数在 最大化下导出的。而对数线性需求函数模型和线性需求函数模型则是由 拟合得到的。 7．在线性支出系统需求函数模型 )(∑-+ =j j j i i i i r p V p b r q 中，V 表示总 ，i r 表示第i 种商品的 需求量，i b 表示第i 种商品的边际 份额。 8．在扩展的线性支出系统需求函数模型 )(∑-+ =j j j i i i i r p I p b r q 中，I 表示 ，i r 表示第i 种商 品的 需求量，i b 表示第i 种商品的 消费倾向。 9．在绝对收入假设消费函数模型C Y Y t t t t =+++αββμ012 （t T =12,,,Λ）中，参数a 表示 ， 且a 0； t t Y C 10ββ+=，参数b 1＜0，表示递减的边际消费倾向。 10．在绝对收入假设消费函数模型 C Y Y t t t t =+++αββμ012 （t T =12,,,Λ）中，参数b 1 0，以反映边际消费倾向 规律。
第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y . [Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下： [Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s . 解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据
第六章 相关与回归分析 思考与练习 一、判断题 1.产品的单位成本随着产量增加而下降，这种现象属于函数关系。 答：错。应是相关关系。单位成本与产量间不存在确定的数值对应关系。 2.相关系数为0表明两个变量之间不存在任何关系。 答：.错。相关系数为零，只表明两个变量之间不存在线性关系，并不意味着两者间不存在其他类型的关系。 3.单纯依靠相关与回归分析，无法判断事物之间存在的因果关系。 答：对，因果关系的判断还有赖于实质性科学的理论分析。 4.圆的直径越大，其周长也越大，两者之间的关系属于正相关关系。 答：错。两者是精确的函数关系。 5.总体回归函数中的回归系数是常数，样本回归函数中的回归系数的估计量是随机变量。 答：对。 6.当抽取的样本不同时，对同一总体回归模型估计的结果也有所不同。 答：对。因为，估计量属于随机变量，抽取的样本不同，具体的观察值也不同，尽管使用的公式相同，估计的结果仍然不一样。 二、选择题 1.变量之间的关系按相关程度分可分为：b 、c 、d a.正相关； b. 不相关； c. 完全相关； d.不完全相关； 2.复相关系数的取值区间为：a a. 10≤≤R ； b.11≤≤-R ； c.1≤≤∞-R ； d.∞≤≤-R 1 3.修正自由度的决定系数a 、b 、d a.2 2R R ≤； b.有时小于0 ； c. 102 ≤≤R ； d.比2 R 更适合作为衡量回归方程拟合程度的指标 4.回归预测误差的大小与下列因素有关：a 、b 、c 、d a 样本容量； b 自变量预测值与自变量样本平均数的离差 c 自变量预测误差； d 随机误差项的方差 三、问答题 1．请举一实例说明什么是单相关和偏相关？以及它们之间的差别。 答：例如夏季冷饮店冰激凌与汽水的消费量，简单地就两者之间的相关关系进行考察，就是一种单相关，考察的结果很可能存在正相关关系，即冰激凌消费越多，汽水消费也越多。然而，如果我们仔细观察，可以发现一般来说，消费者会在两者中选择一种消费，也就是两者之间事实上应该是负相关。两者之间的单相关关系出现正相关是因为背后还有天气等因素的影响，天气越热，两种冷饮的消费量都越多。如果设法将天气等因素固定不变，单纯考察冰激凌与汽水的消费量，则可能出现负相关关系。像这种假定其他影响因素不变专门考察其中两个因素之间的关系就成为偏相关。 2．讨论以下几种场合,回归方程t t t t u X X Y +++=33221βββ中回归系数的经济意义和应取的符号。 （1）Y t 为商业利润率；X 2t 为人均销售额；X 3t 为流通费用率。
生产函数模型分析报告 江西省作为中国中部经济发展活跃的省份之一，在经济建没和 社会发展上都取得了举世瞩目的成就，xx年生产总值达4056．2亿元，比1985年的207．89亿元翻了19．51倍，固定资产总投资也由1985年的44．03亿元增加到xx年的2293亿元，从业人员由1985 年的1584．8万人变到xx年的2276万人。 经济学理论认为，经济增长在社会发展中占有中心地位，其中 固定资产投资、就业人数和技术贡献是经济增长中三个最基本的生产要素。这些要素既相互制约又相互联系和作用，它们往往交织在一起，对经济增长产生综合的影响。 本文通过一定的数学模型来分析江西省经济发展中生产总值、 技术进步、固定资产投资和应业人数之间的关系，并对比其它省市，以期能够为在科学发展观指引下提高投资效率、加快技术进步，构建江西省以高新技术为先导的资源节约型经济增长模式，实现经济可持续增长与社会的和谐发展提供某些分析数据。 一、Solow生产函数模型 社会经济分析中通常是通过建立生产函数模型来进行定量分析，其中技术要素是一个十分重要的因素。1957年麻省理工学院教授、1987年诺贝尔经济学奖得主Solow提出如下改进的C-D生产函数模型：Q=A(tKαLβ)关于技术进步水平A(t)的形式，通常有两种假定： 二、江西省20余年相关统计数据图和国民生产总值与三要素关系计算
从江西的统计数据由MATLAB作得图1： 由图可见，江西省经济发展这20余年中可分为，1985年-1995年和1995年-xx年二个阶段：第一阶段(1985-1995)江西生产总值翻了5．7倍，平均年增长率19．%，而投资更是变化了6．41倍，平均年增长20．4%，此区间内江西省和上海市计算得出的r或λ、α、β的数值见下表： 第二阶段(1995-xx)江西生产总值翻了3．42倍，平均年增长率13．089．%，而投资则变化了6．404倍，平均年增长20．04%，第二阶段江西省和上海市的r(或λ)、α、β数值见下表。 注：以上二表是在设定从业人员计量单位为百万人而生产总值和投资计量单位同为亿元时回归运算而得，r、α、β与计量单位设定无关，所用单位不同仅仅是LnA0会不同而己。 三、分析与结论 1．可认为Solow生产函数模型中A(t)是指广义技术进步，即是指产出增长中扣除劳动力和资金投入数量增长的因素后，所有其他产生作用的因素之和，又称为全要素生产率。广义技术进步的内涵包含：(1)资源配置的改善。资源经过优化配置后，可以在投入一定的情况下有更多的产出。(2)生产要素的提高。人力资源素质的提高可以在人力资源数量一定的条件下提高产出水平。(3)知识进步。科学理论的发展，进而推动技术进步和生产率的提高。(4)规模经济。在一定范围内，商品的成本将随企业规模的扩大而降低。(5)政策的影响。(6)管理水平。后两者是软因素，但对生产率的提高也有十分重
第9章 非线性回归 9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为 y AK L αβ ε=+。 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表9.14 生产率x （单位/周） 100 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图：
从散点图大致可以判断出x和y之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS输出结果如下：
从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 从上表可以得到回归方程为：0.0002t ? 4.003y e = 由参数检验P 值≈0<0.05，得到回归方程的参数都非常显著。
从R2值，σ的估计值和模型检验统计量F值、t值及拟合图综合考虑，指数拟合效果更好一些。 9.3 已知变量x与y的样本数据如表9.15，画出散点图，试用αeβ/x来拟合回归模型，假设： (1)乘性误差项，模型形式为y=αeβ/x eε (2)加性误差项，模型形式为y=αeβ/x+ε。 表9.15 序号x y 序号x y 序号x y 1 4.2 0 0.08 6 6 3.2 0.15 11 2.2 0.35 2 4.00.097 3.00.1712 2.00.44
用EXCEL进生产函数多元线性回归分析
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用EXCEL进行生产函数的多元线性回归分析 一、相关函数 EXCEL电子制表系统中函数的语法分为函数名和参数两部分，参数用圆括号括起来，之间以逗号隔开。参数可以为单元格区域、数组、函数、常数（逻辑型、数值型等）。 进行回归分析时，主要采用线性回归函数LINEST，辅以使用索引取值INDEX与四舍五入ROUND函数。 1、线性回归函数LINEST。 使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，并返回描述此直线的数组。因为此函数返回数值数组，所以必须以数组公式的形式输入。 该函数的功能为：运算结果返回一线性回归方程的参数，即当已知一组混合成本为Y因变量序列值、N组Xi有关自变量因素的数量序列值时，函数返回回归方程的系数bi（i=1，2…n单位变动成本）和常数a（固定成本或费用）。 多元回归方程模型则为：y=b1x1＋b2X2……＋bnXn＋a 语法 LINEST(known_y's,known_x's,const,stats) Known_y's 是关系表达式 y = mx + b 中已知的 y 值集合。 ?如果数组 known_y's 在单独一列中，则 known_x's 的每一列被视为一个独立的变量。 ?如果数组 known-y's 在单独一行中，则 known-x's 的每一行被视为一个独立的变量。 Known_x's 是关系表达式 y = mx + b 中已知的可选 x 值集合。 ?数组 known_x's 可以包含一组或多组变量。如果只用到一个变量，只要 known_y's 和 known_x's 维数相同，它们可以是任何形状的区域。如果用到多个变量，则 known_y's 必须为向量（即必须为一行或一列）。 ?如果省略 known_x's，则假设该数组为 {1,2,3,...}，其大小与 known_y's 相同。Const 为一逻辑值，用于指定是否将常量 b 强制设为 0。 ?如果 const 为 TRUE 或省略，b 将按正常计算。 ?如果 const 为 FALSE，b 将被设为 0，并同时调整 m 值使 y = mx。 Stats 为一逻辑值，指定是否返回附加回归统计值。 ?如果 stats 为 TRUE，则 LINEST 函数返回附加回归统计值，这时返回的数组为{mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,se1,seb;r2,sey;F,df;ssreg,ssresid}。
中国农业生产函数的模型与分析 【摘要】本文根据柯布——道格拉斯生产理论，设定中国农业生产函数模型，来研究影响中国农业生产的因素，反映出中国农业的现存状况，提出一些政策建议。 【关键词】C-D函数生产函数模型 一、模型设立的经济学原理 鉴于农业是“三农”问题之一，在中国经济发展中占有重要地位，关系国家经济转型能否成功和综合国力能否提高，我们通过计量经济学的方法来分析影响农业生产的因素。 根据柯布—道格拉斯生产理论，产出的增长主要取决于投入的资本的增加和技术的进步。其原形为Y=A?鄢K?鄢L，其中A为一定技术条件下的规模参数，a、b分别表示资本和劳动投入的产出弹性，且C-D函数容易转换成线性函数：㏑Y=㏑A+a㏑K+b㏑L。因此，它在生产分析中得到广泛的应用，尤其是对于那些生产获得规模报酬近似不变和技术进步速度不快的产业比较合适。用C-D 生产函数分析中国农业生产的状况，由于规模报酬假定不变和技术进步不快，所以我们主要从成本投入的角度来考查成本投入对产出的影响，这样我们得出a+b=1（近似）。另外，假定其他因素对农业的影响可以忽略，而投入只有资本和劳动力，资本投入为统计中农林牧渔的投入，劳动投入为农林牧渔的从业人员，农业总产值为农林牧渔的总产值。“农业总产值”设为因变量，“资本投入”和“劳动投入”设为自变量，设定以下经济模型。 二、模型设定 根据经济学原理把中国农业生产函数模型设定为Y=AK?琢L1-?琢，其中Y 表示农业总产，K表示资本总投入，L表示农业就业人数即劳动总投入，?琢表示资本产出弹性（资本投入的变动引起农业总产值变动的幅度），且0
数学建模第二次作业 例一：（线性模型） 针叶松数据该数据包含70棵针叶松的测量数据，其中y 表示体积（单位立方英尺），x 1为树的直径（单位：英寸），x 2为树的高度（单位：英尺）。 x 1 4.6 4.4 5.0 5.1 5.1 … 19.4 23.4 x 2 33 38 40 49 37 … 94 104 解答： （1）问题分析： 首先根据这组数据做自变量与因变量之间的关系图，如图1.1 。由图可知y 随x 1、x 2的增加而增加，从而可大致判断y 与x 1，x 2呈线性关系。判断是线性回归模型后进行细节的量纲分析，得出具体模型，从而利用已知的线性模型，借助R 软件求解出估计量0β，1β，β2的值得出最终结果。 图1.1 （2）模型基础 设变量Y 与变量X 1,X 2,…,XP 间有线性关系 Y=εββββ+++++P P X X X (22110) 其中N ~ε(0,2σ),P βββ,...,,10和2σ是未知参数，p ≥2，称上述模型为多元线性回归模型，则模型可以表示为： n i x x y i ip p i i ,...,2,1,...110=++++=εβββ 其中() 2,0σεN i ∈，且独立分布 即令
? ? ?? ????????=n y y y y 21，??????????????=p ββββ 10，??? ??? ? ???? ???=np n n p p x x x x x x x x x X ...1...1 (12) 1 222 2111211 ，? ??? ????????=n εε εε 21 则多元线性回归模型可表示为 εβ+=X Y , 其中Y 是由响应变量构成的n 维向量，X 是n ?（p+1）阶设计矩阵，β是p+1维 向量，并且满足 E （ε）=0，Var （ε）=2σI n 与一元线性回归类似，求参数β的估计值β ?，就是求最小二乘函数 Q （β）= ()()ββX y X y T -- 达到最小的β的值。 β的最小二乘估计 () y X X X T T 1 ?-=β 从而得到经验回归方程 P P X X Y βββ ????11+++= （3）问题求解： 由于体积与长度的量纲不一致，为了使等式两边量纲统一，首先利用excel 软件对数据进行预处理，即对y 进行三次开方的处理。 其中，选择线的性模型为：i i i i x x y εβββ+++=221103，i=1,…,70 3 y 计算结果如下表1.1 0β=0.0329 1β=0.1745 2β=0.0142
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 考号：姓名： ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论
技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。 （二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
应用回归分析-第8章课后习题参考答案
第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为 y AK L αβε=+。 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图：
从散点图大致可以判断出x和y之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS输出结果如下：
从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 从上表可以得到回归方程为：0.0002t ? 4.003y e = 由参数检验P 值≈0<0.05，得到回归方程的参数都非常显著。
中国粮食生产函数模型 一、引言 根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y）的主要因素有：农业化肥施用量（X1）、粮食播种面积（X2）、成灾面积（X3）、农业机械总动力（X4）、农业劳动力（X5），其中，成灾面积的符号为负，其余均应是正。 二、数据来源 下表列出了中国粮食生产的相关数据，拟建立中国粮食生产函数。 表1 中国粮食生产与相关投入资料 年份粮食产 量 农业化肥 施用量 粮食播种 面积 成灾面 积 农业机械 总动力 农业劳动 力万吨万公斤千公顷公顷万千瓦万人 1983 38728 1660 114047 16209 18022 31151 1984 40731 1740 112884 15264 19497 30868 1985 37911 1776 108845 22705 20913 31130 1986 39151 1931 110933 23656 22950 31254 1987 40208 1999 111268 20393 24836 31663 1988 39408 2142 110123 23945 26575 32249 1989 40755 2357 112205 24449 28067 33225 1990 44624 2590 113466 17819 28708 38914 1991 43529 2805 112314 27814 29389 39098 1992 44266 2930 110560 25893 30308 38699 1993 45649 3152 110509 23134 31817 37680 1994 44510 3318 109544 31382 33803 36628 1995 46662 3594 110060 22268 36118 35530 1996 50454 3828 112548 21234 38547 34820 1997 49417 3981 112912 30307 42016 34840 1998 51230 4084 113787 25181 45208 35177 1999 50839 4124 113161 26734 48996 35768 2000 46218 4146 108463 34374 52574 36043 2001 45264 4254 106080 31793 55172 36399 2002 45706 4339 103891 27160 57930 36640 2003 43070 4412 99410 32516 60387 36204 2004 46947 4637 101606 16297 64028 34830 2005 48402 4766 104278 19966 68398 33442 2006 49804 4928 104958 24632 72522 31941 2007 50160 5108 105638 25064 76590 30731 2008 52871 5239 106793 22283 82190 29923 2009 53082 5404 108986 21234 87496 28890 2010 54648 5562 109876 18538 92780 27931 2011 57121 5704 110573 12441 97735 26594 2012 58958 5839 111205 11470 102559 25773
用EXCEL进行生产函数的多元线性回归分析 2007-09-25 15:26一、相关函数 EXCEL电子制表系统中函数的语法分为函数名和参数两部分，参数用圆括号括起来，之间以逗号隔开。参数可以为单元格区域、数组、函数、常数（逻辑型、数值型等）。 进行回归分析时，主要采用线性回归函数LINEST，辅以使用索引取值INDEX与四舍五入ROUND函数。 1、线性回归函数LINEST。 使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，并返回描述此直线的数组。因为此函数返回数值数组，所以必须以数组公式的形式输入。 该函数的功能为：运算结果返回一线性回归方程的参数，即当已知一组混合成本为Y 因变量序列值、N组Xi有关自变量因素的数量序列值时，函数返回回归方程的系数bi（i=1，2…n单位变动成本）和常数a（固定成本或费用）。 多元回归方程模型则为：y=b1x1＋b2X2……＋bnXn＋a 语法 LINEST(known_y's,known_x's,const,stats) Known_y's 是关系表达式y = mx + b 中已知的y 值集合。 如果数组known_y's 在单独一列中，则known_x's 的每一列被视为一个独立的变量。 如果数组known-y's 在单独一行中，则known-x's 的每一行被视为一个独立的变量。 Known_x's 是关系表达式y = mx + b 中已知的可选x 值集合。 数组known_x's 可以包含一组或多组变量。如果只用到一个变量，只要known_y's 和known_x's 维数相同，它们可以是任何形状的区域。如果用到多个变量，则known_y's 必须为向量（即必须为一行或一列）。 如果省略known_x's，则假设该数组为{1,2,3,...}，其大小与known_y's 相同。 Const 为一逻辑值，用于指定是否将常量b 强制设为0。 如果const 为TRUE 或省略，b 将按正常计算。 如果const 为FALSE，b 将被设为0，并同时调整m 值使y = mx。
作业:P124: 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占 有重要地位。关于非线性计量经济学模型的理 非线性回归分析主要解决的问题
一、非线性计量经济学模型概述 一 模型中参数是线性的，而其中一个或者多个变量是非线性时，通过简单的变量置换就可以化 (1)为什么要线性化？ 因为非线性模型的估计远比线性模型复杂。
+ β :+ α + 线性化 = ln Q ln L ln u K ln A ln 二
模型,u ln x ln b x ln b x ln b b ln Y ln t 两边取对数线性化幂函数模型为+++++=L 型，模型中偏回归系数的偏弹性动1%时，引起Y 相对变动b j %。双对数模型的应用十分广泛,其原因在于它是个常弹性,也称为不变弹性.例:Cobb -Douglas 生产函数,线性化后是一双对数模型.
2011.11 经济学院计统系SLZ 17 2. 指数函数模型:当某一现象随另一现象按一定比率增长（或减少）时，可用指数模型。估计：间接代换法。两边取对数后，进行变量代换，得半对数模型。半对数模型用于测量增长率P107:5.4 b , 0b ae y t t u bx t <>=+记指数模型u ln b ln x a ln Y ln t t t ++= 注记4.2.3: 指数模型线性化后(2)指数函数模型应用:指数函数模型可以用于测度增长率.例如:
2011.11 经济学院计统系SLZ 21 模型中偏回归系数b i =0.094表示,用于反映自变量t 的绝对变动,引起Y 的相对变化率.当t 变动(增加或者减少) 1单位时，Y 的相对变动为(增加或者减少)0.094,所以被解释变量Y 的年增长率为9.4%0.094*100%=9.4%。 u x b x b x b b y :ln t kt k t 33t 221 t +++=是线性模型变量代换后为 记L (2)对数函数模型应用(该例对斜率系数的解释有 误)