直线与圆的位置关系(1)
课型：高三数学一轮复习课
课题：直线与圆的位置关系
课时：第一课时
教材：苏教版
对教材内容的理解分析：
１、本节内容在全书及章节的地位：
直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．
２、本节课的复习内容：
本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一．
３、教材的地位与作用：
本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学反思：
1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体．
2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖．
关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法．
参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等．
[教学目标]
知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题．
能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．
情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．
[重点难点]
重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．
难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力． [教学方法] 启发式、自主探究相结合． [教具资料]三角板、圆规、多媒体课件
导入语:大家知道数学来源于生活,又服务于生活.下面有一道生活问题,你能用学过哪方面的知识求解? 问题情境:
在一个特定的时间内,以O 为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O 点的南偏西θ(其中13
5sin =
θ)的方向上,且距O 点13米的A 地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗? （8分钟）
一分钟后,提问学生:A,你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域?
问题数学化： 直
线
07=--y x 与圆C: 252
2
=+y x 的位置关系为________．
直线07=--y x 上是否存在点P 在圆C: 2522=+y x 内? （即OP 〈5有解？也就是OP min 〈5?其本质就是OP min =d ） 两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题
两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d 与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法） 引出课题:直线与圆的位置关系(1)
提问学生B ：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法 你能选择恰当的方法解决下面问题吗？ 问题一:（8分钟）
已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)， 求l 与圆C 有公共点时斜率k 的范围 提问学生C ：如何求斜率k 的范围？
答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d 用k 表示、利用d 与r 关系列出关于k 的不等式、求斜率k 的范围
注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k 有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. (提问学生D)师:(学生思考时)画图(学生回答时)板演 法一：平几性质加三角公式求解．（广义几何法）
法二：利用d 与r 关系列出关于k 的不等式．（狭义几何法） 法三：投影，比较各方法的优劣．（代数法） 解题回顾:
处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生E) 一、解题步骤：
（1）设直线方程并化为一般式 （2）求圆心到直线距离 （3）比较弦心距与半径的大小 二、解题体会：
1、 几何法比代数法运算量少，简便．
代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性． 2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法 （8分钟）
变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)2
+(y+1)2
=1的切线l ,则切线l 的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得．02=+y 和0243=--y x (提问学生F)
变式2：已知x,y 满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式
2
2++x y 的取值范围___________4
30≤
≤
k
分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解． (提问学生G)
解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型 （1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境）
（2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一） （3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二） 方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d 与r 关系求解
直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解 问题二: （5分钟）
求证:直线021)1()2(:=---++m y m x m l 与圆C: 4)2()1(22=++-y x 有两个不同的公共点． (提问学生H)
分析：法一 0)12()2(:=-++--y x m y x l 过定点P(1,-1),且定点P 在圆内
法二 C(1,-2), r=2 , 2
2
)
1()2(|1|m m m d -++-=
与2比较大小
解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用
利用d 与r 关系来判定了.
方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生I) （5分钟）
变式1：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}1|),{(+-==k kx y y x B , 则B A 中的元素个数是________1
学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生J)
变式2：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}1
1|),{(k x y y x B =--=,
则B A 中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗? 课堂练习：（8分钟）
1.过点)4,4(P 作圆042
2
=-+x y x 的切线,求圆的切线方程. 板演(学生K) 3x －4y ＋4＝0或x ＝4
对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情 变式:圆042
2
=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程是______________ (提问学生L) 023=+-
y x
解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程．若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.
2.(教材P106 e2)如果直线ax ＋by ＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号)
(1)P 在圆外 (2)P 在圆上 (3)P 在圆内 (4)不确定 (提问学生M)师同时板演过程
改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生N) 下面这个问题结论是什么?
若点P(a,b) 在圆 x 2
+y 2
=1外，则直线ax ＋by ＝1 与 x 2
+y 2
=1的位置关系是_______(相交) 本节课回顾总结: （3分钟）
（1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生O 、P) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生姜杰)
答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d 与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法
几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用
（3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生Q)
（4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？ （5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？ 思考:已知圆M:1)sin ()cos (22=-++θθy x ,直线kx y l =:,下面四个命题 (1)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切 (2)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点
(3)对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 和圆M 相切 (4) 对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切 所有真命题的序号是_____________
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注：先中间再右边最后左边