第六章 实数单元 期末复习检测试题
一、选择题
1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162
=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12
；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．
A ．（0，21008）
B ．（0，-21008）
C ．（0，-21009）
D ．（0，21009）
3．3
164的算术平方根是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．12
± 4．将不大于实数a 的最大整数记为[]a ，则33??-=??（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．0
5．下列各数中3.1415926，-39，0.131131113……，
94，－117无理数的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．下列实数中是无理数的是（ ）
A ．
B ．
C ．0.38
D ．
7．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数；
其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )
A ．1+3
B ．2+3
C ．23﹣1
D ．23+1
9．下列说法正确的个数是（ ）． （1）无理数不能在数轴上表示
（2）两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
（3）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（4）两点之间线段最短
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．若4a =，2=3b ，且a ＋b ＜0，则a －b 的值是（ ）
A ．1或7
B ．﹣1或7
C ．1或﹣7
D ．﹣1或﹣7
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．
12．一个数的平方为16，这个数是 ．
13．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简
()()
222a a b c b c ++---=__________．
14．313312+333123++33331234+++333312326++++=__________．
15．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．
16．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则154)15+=____
17．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____．
18．若x 、y 分别是811-2x -y 的值为________．
19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如89914*=，那么*(*16)m m =__________．
20．已知正实数x 的平方根是m 和m b +．
（1）当8b =时，m 的值为_________；
（2）若22()4m x m b x ++=，则x 的值为___________
三、解答题
21．观察下列两个等式：112-2133=?+，225-5133
=?+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23
），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，
12）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．
22．计算：
（1）()23
20181122??-+- ???
（23
23．计算：
2(1)|2|(3)-+--
(2)||2||1|+-
24．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式
1c c <+． （1）求,,a b c 的值．
（2）求2232a b c ++的平方根．
25．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．
（1）请直接写出最小的四位依赖数；
（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．
（3）已知一个大于1的正整数m 可以分解成m ＝pq+n 4的形式（p≤q ，n≤b ，p ，q ，n 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当nq ﹣np 取得最小时，称“m ＝pq+n 4”是m 的“最小分解”，此时规定：F （m ）＝q n p n
++，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F （20）＝
2222++＝1，求所有“特色数”的F （m ）的最大值．
26．阅读下面的文字,解答问题:是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此
的小数部分我们不可能全部写出来,而121的小数部分.请解答下列问题：
(1_______，小数部分是_________；
(2)的小数部分为a b ，求a b +
(3)已知:100x y +=+，其中x 是整数,且01y ＜＜，求24x y +-的平方根。
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n 分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F （2）=12
，故①正确； ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小
∴F （24）= 42=63
，故②是错误的； ∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F （27）=31=93
，故③错误； ∵n 是一个完全平方数，
∴n 能分解成两个相等的数的积，则F （n ）=1，故④是正确的.
正确的共有2个．
故答案为B ．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．
2．D
解析：D
【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.
详解：因为P1（1，-1）=（0，2）；
P2（1，-1）=P1(P1(1,-1）)=P1(0,2)=(2,-2)；
P3（1，-1）=P1（P2(2,-2)）=(0,4)；
P4（1，-1）=P1（P3(0,4)）=(4,-4)；
P5（1，-1）=P1（P4(4,-4)）=(0,8)；
P6（1，-1）=P1（P5(0,8)）=(8,-8)；
……
P2n-1（1，-1）=……=(0,2n)；
P2n（1，-1）=……=(2n,-2n).
因为2017=2×1009-1，
所以P2017=P2×1009-1=（0，21009）.
故选D.
点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.
3．A
解析：A
【分析】
【详解】
1
，
4
1
=．
2
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
.
4．B
解析：B
【分析】
-的范围，即可得出答案
3
【详解】
解：∵1＜3＜2 ∴﹣2＜33-＜﹣1
∴33??-=??﹣2
故答案为B
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，估算出3的范围是解题的关键.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
93=42
，3.1415926，－117是有理数，-39，0.131131113……是无理数，共2个. 故选B.
【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．
【详解】
解: A 、π是无限不循环小数，是无理数；
B 、=2是整数，为有理数；
C 、0.38为分数，属于有理数；
D. 为分数，属于有理数.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
=；
2
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
8．D
解析：D
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()
x1-，解得.
故选D.
9．B
解析：B
【分析】
根据数轴与实数，平行线的性质与判定以及两点之间线段最短对每个说法逐一判断后即可得到答案．
【详解】
（1）实数与数轴上的点一一对应，故无理数能在数轴上表示出来，故原说法错误；（2）两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故原说法错误；
（3）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（4）两点之间线段最短，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知课本上的一些定义与定理．
10．D
解析：D
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a与b的值，即可求出-a b的值．
【详解】
a==，且a+b<0，
解：∵3
∴a=?4，a=?3；a=?4，b=3，
则a?b=?1或?7．
故选D．
【点睛】
本题考查实数的运算，掌握绝对值即二次根式的运算是解题的关键．
二、填空题
11．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：53、17、5、1．
【解析】
解：∵y =3x +2，如果直接输出结果，则3x +2=161，解得：x =53；
如果两次才输出结果：则x =(53-2)÷
3=17； 如果三次才输出结果：则x =(17-2)÷
3=5； 如果四次才输出结果：则x =(5-2)÷
3=1； 则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．【详解】
解：这个数是 解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
13．0
【分析】
由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值.
【详解】
解：由数轴可知，，
则，
，
故答案为：0.
【点睛】
此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算. 解析：0
【分析】
由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值.
【详解】
解：由数轴可知，0b c a <<<，
则0,0a b b c +<-<，
||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=， 故答案为：0.
【点睛】
此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.
14．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=10
=1+2+3+n +
=1+2+326+=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解． 15．-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+
解析：-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，
把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值. 16．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
17．【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴＝﹣1+0+1＝0．
解析：【分析】
根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．
【详解】
∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∴1＝﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
18．【分析】
估算出的取值范围，进而可得x，y的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分x＝4，小数部分y＝，
∴2x－y＝8－4＋，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理
解析：4+
【分析】
估算出8-x，y的值，然后代入计算即可．【详解】
解：∵34
<<，
∴4<85，
∴8x＝4，小数部分y＝44
8=
∴2x－y＝8－44
=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x，y的值．19．+1
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．【详解】
m*（m*16）
=m*（+1）
=m*5
=+1．
故答案为：+1．
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．
【详解】
m*（m*16）
=m*）
=m*5
=．
．
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．
20．-4
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）根据题意可知，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数的平方根是和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正
解析：
【分析】
（1）根据正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；
（2）根据题意可知22,()m x m b x +==，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，
∴0m b m ++=，
∵8b =，
∴28m =-，
∴4m =-；
（2）∵正实数x 的平方根是m 和m b +，
∴22
,()m x m b x +==，
∴224x x +=，
∴22x =，
∵x 是正实数，
∴x ．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根，掌握正实数平方根的性质是解此题的关键． 三、解答题
21．(1) (?2,1)不是“共生有理数对”，13,2?? ???
是“共生有理数对”；理由见详解. (2) (?n ,?m )是“共生有理数对”， 理由见详解.
【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
【详解】
(1)?2?1=?3，?2×1+1=1，
∴?2?1≠?2×1+1，
∴(?2,1)不是“共生有理数对”， ∵15153,312222-
=?+=， ∴1133122
-=?+， ∴(1
3,2
)是“共生有理数对”；
(2)是. 理由：? n ?(?m )=?n +m ，
?n ?(?m )+1=mn +1
∵(m ,n )是“共生有理数对”
∴m ?n =mn +1
∴?n +m =mn +1
∴(?n ,?m )是“共生有理数对”，
【点睛】
考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.
22．（1）-34；（2）3
【分析】
（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．
【详解】
解：（1）()23
20181122??-+- ??? ()()118444=-+-?+-?
()1321=--+-
=-34；
（23
3=-
+-+-
3=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）9；（2）3-；（3）-3；（4）1
【分析】
（1）分别根据绝对值的代数意义、有理数的乘方以及算术平方根运算法则进行计算即可；
（2）先去绝对值，再合并即可；
（3）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解； （4）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解．
【详解】
（1）2|2|(3)-+-=2+9-2
=9；
（2）|2||1|+-
=21
=3-
（3 =13+522
- =-3；
（4
= =524433
--+ =1．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
24．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12±
【分析】
(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可；
(2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求．
【详解】
解：(1)根据题意得：a?2=4，a?3b?3=27，23<<，
∴a=6，b=?8，c=2；
(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12．
∴2232a b c ++的平方根是±12.
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
25．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67 36
【分析】
（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n
+
+
，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代
入F（m）＝q n
p n
+
+
，再比较大小即可.
【详解】
解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；
（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，
则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），
根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），
∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，
∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）
∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；
∴特色数是3066，2226．
（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，
此时F（m）＝q n
p n +
+
，
由（2）可知：特色数有3066和2226两个，对于3066＝613×5+14=61×50+24
∵1×613－1×5＞2×61－2×50，
∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61
∴F（3066）＝61263
= 50252
+
+
对于2226＝89×25+14＝65×34+24，
∵1×89－1×25＞2×65－2×34，
∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65
∴F（2226）＝6
36 5267
= 342
+
+
∵6367 5236
故所有“特色数”的F（m）的最大值为：67 36
．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.
26．(1) 4；(2)1;(2) ±12．
【解析】
【分析】
（1
（2a、b的值，再代入求出即可；
（3的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵45，
4，
故答案为：4；
（2）∵23，
∴，
∵34，
∴b=3，
∴=1；
（3）∵100＜110＜121，
∴10＜11，
∴110＜＜111，
∵=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=110，，
∴+10=144，
的平方根是±12．
【点睛】
键．