广州大学学生实验报告
开课学院及实验室： 2014年 月 日
学院
数学与信息科学学院
年级、专业、班
姓名
学号
实验课程名称 数学实验 成绩 实验项目名称
实验2 插值与拟合
指导老师
一、实验目的
1、掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2、掌握用MATLAB 作线性最小二乘拟合的方法。
3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。
二、实验设备
电脑、MATLAB
三、实验要求
1..选择一些函数，在n 个节点上（n ）不要太大，如5～11）用拉格朗日，分段线性，三次样条三种插值方法，，计算m 各插值点的函数值（m 要适中，如50～100）.通过数值和图形的输出，将三种插值结果与精确值进行比较.适当增加n ，再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考： a. y=sin x ,0≦x ≦2π；
2.用
1
2
y x
=在x=0,1,4,9,16产生5个节点15,...,P P .用不同的节点构造插值公式来计算x=5处的插值（如用
15,...,P P ；14,...,P P ；24,...,P P 等）与精确值比较进行分析。
5.对于实验1中的录像机计数器，自己实测一组数据（或利用给出的数据），确定模型2
t an bn =+中的系数a,b.
6.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为
0()()t
v t V V V e
-τ
=--,其中
0V 是电容器的初始
电压，τ是充电常数。试由下面一组t ，V 数据确定0V 和τ.
t/s 0.5 1 2 3 4 5 7 9 V/V 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63
8. 弹簧在力F 的作用下伸长x ，一定范围内服从胡克定律：F 与x 成正比，即F=kx,k 为弹性系数.现在得到下面一组x ，F 数据，并在（x,F ）坐标下作图(图13).可以看出，当Ｆ大到一定数值(如x=9以后)后，就不服从这个定律了。试由数据拟合直线F=kx,并给出不服从胡克定律时的近似公式（曲线）。 1）要求直线与曲线在x=9处相连接。 2）要求直线与曲线在x=9处光滑连接.
四、实验程序
预备：
function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end
s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end
五、实验操作过程
当n=5时 clear; n=5;
%在n 个节点上进行插值 m=75;
%产生m 个插值点，计算函数在插值点处的精确值，将来进行对比
x=0:4/(m-1):2*pi; y=sin(x); z=0*x;
x0=0:4/(n-1):2*pi; y0=sin(x0); y1=lagr1(x0,y0,x); % y1为拉格朗日插值 y2=interp1(x0,y0,x); % y2为分段线性插值 y3=spline(x0,y0,x); % y3为三次样条插值 [x' y' y1' y2' y3']
plot(x,z,'k',x,y,'r:',x,y1,'g-.',x,y2,'b',x,y3,'y--') gtext('Lagr.'), gtext('Pieces. linear'), gtext('Spline'), gtext('y=sin(x)') hold off;
%比较插值所得结果与函数在插值点处的精确值 s = ' x y y1 y2 y3' [x' y' y1' y2' y3']
结果
ans = 0 0 0 0 0 0.0541 0.0540 0.0495 0.0455 0.0611 0.1081 0.1079 0.0999 0.0910 0.1207 0.1622 0.1615 0.1510 0.1365 0.1787 0.2162 0.2145 0.2025 0.1819 0.2350 0.2703 0.2670 0.2541 0.2274 0.2896 0.3243 0.3187 0.3054 0.2729 0.3425 0.3784 0.3694 0.3563 0.3184 0.3936 0.4324 0.4191 0.4066 0.3639 0.4429 0.4865 0.4675 0.4559 0.4094 0.4904 0.5405 0.5146 0.5040 0.4548 0.5359 0.5946 0.5602 0.5508 0.5003 0.5796 0.6486 0.6041 0.5961 0.5458 0.6212 0.7027 0.6463 0.6396 0.5913 0.6609 0.7568 0.6866 0.6812 0.6368 0.6985 0.8108 0.7248 0.7208 0.6823 0.7341 0.8649 0.7610 0.7583 0.7278 0.7675
2.
x0=[0 1 4 9 16];y0=sqrt(x0);x=5;y=sqrt(5)
y1=lagr(x0,y0,x)
x0(1)=[];y0=sqrt(x0);y2=lagr(x0,y0,x)
x0(4)=[];y0=sqrt(x0);y3=lagr(x0,y0,x)
x0(1)=[];y0=sqrt(x0);y4=lagr(x0,y0,x)
结果
y = 2.2361
y1 = 2.0794
y2 = 2.2540
y3 = 2.2667
y4 = 2.2000
5.
n=[0000 1153 2045 2800 3466 4068 4621 5135 5619 6152]; t=[0 20 40 60 80 100 120 140 160 183.5];
aa=polyfit(n,t,2)
a=aa(1)
b=aa(2)
c=aa(3)
y=polyval(aa,n);
plot(n,t,'*',n,y,'m')
xlabel('n')
ylabel('t')
结果
aa =0.0000 0.0144 0.0498
a =2.5083e-006
b =0.0144
c =0.0498 6.
t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];
v1=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63]; y=log(10- v1);
f=polyfit(t,y,1)
t0=-1/f(1)
v0=10-exp(f(2))
v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);
plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:')
grid on
xlabel('时间t(s)'),ylabel('充电电压(V)');
title('电容器充电电压与时间t的曲线');
结果
f =-0.2835 1.4766
t0 =3.5269
v0 =5.6221
8.
x0=[1 2 4 7 9];
y0=[1.5 3.9 6.6 11.7 15.6];
k=y0/x0
x1=[9 12 13 15 17];
y1=[15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];
aa=polyfit(x1,y1,2);
a=aa(1);
b=aa(2);
c=aa(3);
ans=[a b c]
结果
k =1.7086
a1 =-0.0839 2.8922 -3.8459
024681012141618
5
10
15
20
25
学生实验报告
了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 二、实验仪器、设备或软件：电脑,MATLAB软件 三、实验内容 1．编写插值方法的函数M文件； 2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形； 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。 四、实验步骤 1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件； 3．保存文件并运行； 4．观察运行结果(数值或图形)； 5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。 五、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。 1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表： 由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？ 解：输入命令
days=[18 20 22 24 26 28 30]; distancelogs=[9.96177 9.95436 9.94681 9.93910 9.93122 9.92319 9.91499]; t1=interp1(distancelogs,days,9.93518) %线性插值 t2=interp1(distancelogs,days,9.93518,'nearest') %最近邻点插值 t3=interp1(distancelogs,days,9.93518,'spline') %三次样条插值 t4=interp1(distancelogs,days,9.93518,'cubic') %三次插值 计算结果： t1 = 24.9949 t2 = 24 t3 = 25.0000 t4 =
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
实验二 插值与拟合 实验名称：插值与拟合 实验类型: 验证性实验 学 时：2 3.1 实验环境 ① 操作系统：WindowsXP/Win7 ② 编程环境：自定 3.2 实验目的 ① 掌握多项式插值法的基本思路和步骤； ② 了解整体插值的局限性及分段插值的基本思想。 ③ 掌握最小二乘法拟合的基本原理和方法； ④ 培养运用计算机模拟解决问题的能力。 3.3 实验原理和方法 3.3.1 多项式插值 若n 次多项式() (0,1,,)k l x k n = 在n +1个插值节点01...n x x x <<<上满足插值条件： 1 () ()(,0,1,,)0 () k i ik i k l x i k n i k δ=?===? ≠? 则称这n ＋1个n 次多项式01(), (), ... , ()n l x l x l x 为插值节点01, , ... , n x x x 上的n 次插值基函数。 由于i k ≠时，()=0k i l x ，故0111, , ... , , , ... , k k n x x x x x -+为()k l x 的零点，从而可以设 0111()()()()()()k k k k n l x A x x x x x x x x x x -+=----- 由()=1k k l x 可得 01111 ()()()()() k k k k k k k k n A x x x x x x x x x x -+=----- 所以可得 01110111()()()()()()(0,1,,)()()()()() k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x l x k n x x x x x x x x x x -+-+-----= =----- 。 若记10 ()()n n i i x x x ω+== -∏，则有1' 1() ()()() n k k n k x l x x x x ωω++= -，从而有
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 (2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0 )()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为
习题5.1： Matlab程序如下： clc,clear x=1:0.5:10; y=x.^3-6*x.^2+5*x-3; y0=y+rand; f1=polyfit(x,y0,1) y1=polyval(f1,x); plot(x,y,'+',x,y1); grid on title('一次拟合曲线'); figure(2); f2=polyfit(x,y0,2) y2=polyval(f2,x); plot(x,y,'+',x,y2); grid on title('二次拟合曲线'); figure(3); f4=polyfit(x,y0,4) y3=polyval(f4,x); plot(x,y,'+',x,y3); grid on title('四次拟合曲线'); figure(4); f6=polyfit(x,y0,6) y4=polyval(f6,x); plot(x,y,'+',x,y4); grid on title('六次拟合曲线'); 计算结果及图如下 f1 = 43.2000 -148.8307 f2 = 10.5000 -72.3000 90.0443
f4 = 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.3557 f6 = -0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.3557 5.2高程数据问题解答如下：matlab程序: clc,clear x0=0:400:5600 y0=0:400:4800 z0=[1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500
课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include
插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");
scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。
一、给定函数y=sinx的函数表如下表，用拉格朗日插值求sin0.57891的近似 值 M文件： function yh=lagrange2(x0,y0,xh) n = length(x0); m = length(xh); yh=zeros(1,m); for k = 1:m for i = 1:n xp = x0([1:i-1 i+1:n]); yp = prod((xh(k)-xp)./(x0(i)-xp)); yh(k) = yh(k) + yp*y0(i); end end 执行：>> x0=[0.4,0.5,0.6,0.7] x0 = 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 >> y0=[0.38942,0.47943,0.56464,0.64422] y0 = 0.3894 0.4794 0.5646 0.6442 >> lagrange2(x0,y0,0.57891) 执行结果： ans = 0.5471
二、 1. 给定sin110.190809,sin120.207912,sin130.224951,o o o ===构造牛顿 插值函数计算'sin1130o 。 M 文件： function fp = newpoly(x,y,p) n = length(x); a(1) = y(1); for k = 1 : n - 1 d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k)); end for j = 2 : n - 1 for k = 1 : n - j d(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k)); end end d for j = 2 : n a(j) = d(1, j-1); end Df(1) = 1; c(1) = a(1); for j = 2 : n Df(j)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1); c(j) = a(j) .* Df(j);
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
实验二插值法 1、实验目的： 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目：插值法 5、原理： 拉格郎日插值原理： n次拉格朗日插值多项式为：L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x)
n=1时，称为线性插值， L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时，称为二次插值或抛物线插值， L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时， Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想： 拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序： 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值 #include"stdio.h" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; float b=1; float lx=0; printf("\n请输入想要求解的X：\n x="); scanf("%f",&x1); printf("请输入所有点的横纵坐标：\n"); for(i=1;i 第四、五讲作业题参考答案 一、填空题 1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。 2、当1,1,2x =-，时()034f x =-， ，，则()f x 的二次插值多项式为 （ 2527 633 x x +- ）。 3、由下列数据 所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。 4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x = （ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。 5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b = +，引入变量变换y =（ 1 y ），x =（ 1 x ）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。 6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、 X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。 7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。 8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。 9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为 （ 3211 66x x x +-），其误差估计式为（ 4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导， (),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,] k k x x +上是（ 三次多项式 ）。 计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】 5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include 广州大学学生实验报告 开课学院及实验室： 2014年 月 日 学院 数学与信息科学学院 年级、专业、班 姓名 学号 实验课程名称 数学实验 成绩 实验项目名称 实验2 插值与拟合 指导老师 一、实验目的 1、掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。 2、掌握用MATLAB 作线性最小二乘拟合的方法。 3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 二、实验设备 电脑、MATLAB 三、实验要求 1..选择一些函数，在n 个节点上（n ）不要太大，如5～11）用拉格朗日，分段线性，三次样条三种插值方法，，计算m 各插值点的函数值（m 要适中，如50～100）.通过数值和图形的输出，将三种插值结果与精确值进行比较.适当增加n ，再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考： a. y=sin x ,0≦x ≦2π； 2.用 1 2 y x =在x=0,1,4,9,16产生5个节点15,...,P P .用不同的节点构造插值公式来计算x=5处的插值（如用 15,...,P P ；14,...,P P ；24,...,P P 等）与精确值比较进行分析。 5.对于实验1中的录像机计数器，自己实测一组数据（或利用给出的数据），确定模型2 t an bn =+中的系数a,b. 6.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为 0()()t v t V V V e -τ =--,其中 0V 是电容器的初始 电压，τ是充电常数。试由下面一组t ，V 数据确定0V 和τ. t/s 0.5 1 2 3 4 5 7 9 V/V 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 8. 弹簧在力F 的作用下伸长x ，一定范围内服从胡克定律：F 与x 成正比，即F=kx,k 为弹性系数.现在得到下面一组x ，F 数据，并在（x,F ）坐标下作图(图13).可以看出，当Ｆ大到一定数值(如x=9以后)后，就不服从这个定律了。试由数据拟合直线F=kx,并给出不服从胡克定律时的近似公式（曲线）。 1）要求直线与曲线在x=9处相连接。 2）要求直线与曲线在x=9处光滑连接. 四、实验程序 预备： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end 五、实验操作过程 当n=5时 clear; n=5; %在n 个节点上进行插值 m=75; %产生m 个插值点，计算函数在插值点处的精确值，将来进行对比 x=0:4/(m-1):2*pi; y=sin(x); z=0*x; x0=0:4/(n-1):2*pi; y0=sin(x0); y1=lagr1(x0,y0,x); % y1为拉格朗日插值 y2=interp1(x0,y0,x); % y2为分段线性插值 y3=spline(x0,y0,x); % y3为三次样条插值 [x' y' y1' y2' y3'] plot(x,z,'k',x,y,'r:',x,y1,'g-.',x,y2,'b',x,y3,'y--') gtext('Lagr.'), gtext('Pieces. linear'), gtext('Spline'), gtext('y=sin(x)') hold off; %比较插值所得结果与函数在插值点处的精确值 s = ' x y y1 y2 y3' [x' y' y1' y2' y3'] 结果 ans = 0 0 0 0 0 0.0541 0.0540 0.0495 0.0455 0.0611 0.1081 0.1079 0.0999 0.0910 0.1207 0.1622 0.1615 0.1510 0.1365 0.1787 0.2162 0.2145 0.2025 0.1819 0.2350 0.2703 0.2670 0.2541 0.2274 0.2896 0.3243 0.3187 0.3054 0.2729 0.3425 0.3784 0.3694 0.3563 0.3184 0.3936 0.4324 0.4191 0.4066 0.3639 0.4429 0.4865 0.4675 0.4559 0.4094 0.4904 0.5405 0.5146 0.5040 0.4548 0.5359 0.5946 0.5602 0.5508 0.5003 0.5796 0.6486 0.6041 0.5961 0.5458 0.6212 0.7027 0.6463 0.6396 0.5913 0.6609 0.7568 0.6866 0.6812 0.6368 0.6985 0.8108 0.7248 0.7208 0.6823 0.7341 0.8649 0.7610 0.7583 0.7278 0.7675 第五章 数据拟合 这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f (x )，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近， 曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB 软件进行曲线拟合。 §1 最小二乘法 给定平面上的点(x i, y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。最小二乘法的原理是： 求 ∑∑==-==n i i i n i i y x f x f 1212])([),(δδ使 达到最小 如图1所示，其中δi 为点(x i ,y i )与曲线y=f (x )的距离。曲线拟合的实际含义是寻求一个函数y=f (x )，使f (x )在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。最小二乘准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。拟合时选用一定的拟合函数f (x ) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(),...,(),(10x x x m ???来线性表示： )(...)()()(1100x c x c x c x f m m ???+++= 图1 曲线拟合示意图 现在要确定系数c 0，c 1，…，c m ，使d 达到极小。为此，将f (x )的表达式代入d 中，d 就成为c 0，c 1，…，c m 的函数，求d 的极小，就可令d 对 c i 的偏导数等于零，于是得到m +1个方程组，从中求解出c i 。通常取基函数为1，x ，x 2，x 3，…，x m ，这时拟合函数f (x )为多项式函数。当m =1时，f (x ) = a + bx ，称为一元线性拟合函数，它是曲线拟合最简单的形式。除此之外，常用的一元曲线拟合函数还有双曲线f (x ) = a + b/x ，指数曲线f (x ) = a e bx 等，对于这些曲线，拟合前须作变量代换，转化为线性函数。 实验题目： 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的 本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于： （1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况； （2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法； （3）熟悉使用matlab 进行算法的实现。 2 实验步骤 2.1 算法原理 所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。反过来说，对测量 的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。 最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有：1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。 给定一组测量数据()i i y x ,，其中m i ,,3,2,1,0Λ=，共m+1个数据点，取多项式P （x ），使得 min )]([020 2=-=∑∑==m i i i m i i y x p r ，则称函数P （x ）为拟合函数或最小二乘解，此时，令 ∑==n k k k n x a x p 0 )(，使得min ])([02 002=??? ? ??-=-=∑∑∑===m i n k i k i k m i i i n y x a y x p I ，其中 n a a a a ,,,,210Λ为待求的未知数，n 为多项式的最高次幂，由此该问题化为求),,,(210n a a a a I I Λ=的极值问题。 由多元函数求极值的必要条件：0)(200 =-=??∑∑==m i j i n k i k i k i x y x a a I ，其中n j ,,2,1,0Λ= 得到： ∑∑∑===+=n k m i i j i k m i k j i y x a x )(，其中n j ,,2,1,0Λ=，这是一个关于n a a a a ,,,,210Λ的线 性方程组，用矩阵表示如下所示： 插值与多项式逼近的数组计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） cos，x e，它们 （x （x sin，） 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开 是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+---- 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。 13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。 一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值； 实验6 数据拟合&插值 一．实验目的 学会MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法。 二．实验内容与要求 在生产和科学实验中，自变量x与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。 （1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。 （2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。 1.曲线拟合 >> x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; >> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; >> p=polyfit (x,y,2); >> x1=0.5:0.05:3.0; >> y1=polyval(p,x1 ); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 2.一维插值 >> year=[1900,1910,1920,1930,1940,1990,2000,2010]; >> product = [75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,249.633,256.344,267.893 ]; >> p2005=interp1(year,product,2005) p2005 = 262.1185 >> y= interp1(year,product,x, 'cubic'); >> plot(year,product,'o',x,y) 实用标准文档 CENTRAL SOUTH UN I VERS ITY MATLAB实验报告 题目：第二次实验报告 学生姓名： 学院：_____________________________ 专业班级： 学号: 年月 MATLAB第二次实验报告 ------- 插值与拟合插值即在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn} 通过调整该函数中若干待定系数f（入1,疋,…,血），使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）最小 一、插值 <1>拉格朗日插值(课上例子) m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x92);z=0*x; plot(x,z,'r',x,y,'Li neWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x A2)'),pause n=3; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y1=fLagra nge(xO,yO,x); hold on ,plot(x,y1,'b'),gtext(' n=2'),pause, hold off n=5; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y2=fLagra nge(xO,yO,x); hold on ,plot(x,y2,'b:'),gtext(' n=4'),pause, hold off n=7; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y3=fLagra nge(xO,yO,x);hold on, plot(x,y3,'r'),gtext(' n=6'),pause, hold off n=9; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y4=fLagra nge(xO,yO,x);hold on, plot(x,y4,'r:'),gtext(' n=8'),pause, hold off n=11; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y5=fLagra nge(xO,yO,x);hold on,第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
实验四 插值法与曲线拟合
数学实验-实验2 插值与拟合
第五章数据拟合.
用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)
插值与多项式逼近的数组计算方法实验讲解
(完整版)Matlab学习系列13.数据插值与拟合
matlab 软件拟合与插值运算实验报告
MATLAB插值与拟合实验报告材料
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