2016考研数学三真题及答案
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n
n n n -→∞
+??
=
???
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=
（3）设函数()f u 可微,且()1
02
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d _____.z
=
（4）设矩阵2112A ??
= ?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞为总体X 的简
单随机样本，其样本方差为2
S ，则2
____.ES =
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h →=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . （B ）
1(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D) 1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,
,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,
,s A A A ααα线性相关.
(D) 若12,,
,s ααα线性无关，则12,,
,s A A A ααα线性无关.
[ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ，记110010001P ?? ?
= ? ???
，则
（Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T
C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ ］
（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有
(A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. （16）（本题满分7分）
计算二重积分
d D
x y ，
其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域. （17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8
3
时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
211
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）
设
4
维向量组
()()()T T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,
求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是
线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<
其他，
令()2
,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；
(Ⅲ)1,42F ??
-
???
. （23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
参考答案
填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n
n n n -→∞
+??
=
???
【分析】将其对数恒等化ln e
N
N =求解.
【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞-++????
- ? ???
??
→∞
→∞
+??
== ???
，
而数列{}
(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞
+??=
???，所以1lim(1)ln 0n
n n n →∞+??-= ???
. 故 ()101lim e 1n
n n n -→∞
+??
==
???
.
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()
e
f x f x '=，两边对x 求导得
()()()2e ()e f x f x
f x f x '''==，
两边再对x 求导得 ()
()23()2e
()2e f x f x f x f x ''''==，又()21f =，
故 ()
323(2)2e 2e f f '''==.
（3）设函数()f u 可微,且()1
02
f '=
,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d 4d 2d .z
x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为
22(1,2)
(1,2)
(4)84z f x y x
x ?'=-?=?，
()
22(1,2)
(1,2)
(4)22z f x y y y
?'=-?-=-?，
所以 ()()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x
y
????=+
=-?
?????
.
方法二：对()
224z f x y =-微分得
()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--， 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
（4）设矩阵2112A ??
=
?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
()2B A E E -=
于是有 4B A E -=，而11
211
A E -=
=-，所以2B =.
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤= 1
9
.
【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他
.
则 {}{}
{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ??=≤== ????.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 {}{}
{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞为总体X 的简
单随机样本，其样本方差为2
S ，则2
2.ES =
【分析】利用样本方差的性质2
ES DX =即可. 【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞
+∞
--∞
-∞
===?
?
， 22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x +∞
+∞+∞+∞
---+∞--∞
-∞
====-+?
?
??
2e
2e d 2e 2x x x
x x +∞
-+∞
--+∞=-+=-=?，
所以 ()2
2
202DX EX EX =-=-=，又因2
S 是DX 的无偏估计量，
所以 2
2ES DX ==.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，
00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在
[ C ]
【分析】从()22
lim
1h f h h
→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)
f f -+''的存在性. 【详解】由()22
lim
1h f h h →=知，()20
lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则
()2
(0)lim ()lim 0x h f f x f h
→→===.
令2
t h =，则()()22
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h t
+
+→→-'===.
所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数
1n
n a
∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . （B ）
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D) 1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
1
n n a ∞
=∑收敛知11
n n a ∞
+=∑收敛，所以级数1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1
(1)n
n a n
=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取(1)
n
n a =-.故（Ｄ）项正确.
（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为
[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y =+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应
00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则
000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??， 即00000
00000(,)(,)0
(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
消去0λ，得
00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=, 整理得 000000001
(,)(,)(,)(,)
x y x y f x y f x y x y x y ??'''=
'.（因为(,)0y x y ?'≠）
， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （12）设12,,
,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.
(D) 若12,,
,s ααα线性无关，则12,,
,s A A A ααα线性无关. [ A ]
【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.
所以，若向量组12,,
,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组
12,,
,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ，记110010001P ??
?
= ? ???
，则
（Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T
C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
110110*********,010010010001001001001B A C B A --???????? ? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，
而 1110010001P --?? ?= ? ???
，则有1
C PAP -=.故应选（Ｂ）.
（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}
1211P X P Y μμ-<>-< 则必有
(A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>
则 12112121σσ????
Φ->Φ-
? ?
????
，即1211σσ????Φ>Φ ? ?????. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则
1
2
1
1
σσ>
，即12σσ<.
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含
,0∞
?∞∞
型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-+ ?
???
sin 11111lim 1
arctan arctan y x y
x
y x x x x y ππ→∞?
? ? ?-
?
?-=-=-
? ?+ ? ? ??
?
. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x
ππ+++
→→→--+??
=-= ??? （通分） 2
22220001
12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x
ππππ+++
→→→-+-+-+++====
（16）（本题满分7分） 计算二重积分
2d d D
y xy x y -??
，
其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域. 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的
一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以
1220
d d d d y
D
y xy x y y y xy x -=-??
??
()3
112
22
002122d d 339
y
y xy y y y y
=--==??
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为
8
3
时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图
形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-
=，这是一阶线性微分方程，其中1
(),()P x Q x ax x
=-=，代入通解公式得
()11d d 2
e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???
?，
又(1)0f =，所以C a =-.
故曲线L 的方程为 2
y ax ax =-(0)x ≠.
(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所
示. 所以
()2
2
0d D ax ax ax x ??=--?
?? ()22
0482d 33
a x x x a =-==?，
故2a =.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()
1
211121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结
合已知函数的幂级数展开式计算和函数.
【详解】记121
(1)()(21)
n n n x u x n n -+-=-，则
23
21121
(1)()(1)(21)
lim lim (1)()(21)
n n n n n n n n
x u x n n x
x u x n n ++-+→∞→∞-++==--.
所以当2
1,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；
当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),
(21)(21)
n n
n n n n -----，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-
在()1,1-内，()
12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n
n n x x s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--===--∑∑，
而 121122112
11
(1)1
(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞
∞
--==-'''==-=-+∑∑， 所以 11120
01
()(0)()d d arctan 1x
x
s x s s t t t x t ''''-=
=
=+?
?，又1(0)0s '=，
于是 1()arctan s x x '=.同理 1110
()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t '-=
=?
?
()20
201arctan d arctan ln 112x
x t t t t x x x t =-=-++?
， 又 1(0)0s =，所以 ()2
11()arctan ln 12
s x x x x =-+.
故 ()
22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.
由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()
22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在
1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即
()
22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）
设
4
维向量组
()()()T T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,
求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则
312341234(10)12341
2
3
4a
a A a a a a
++=
=+++.
于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.
当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，
1α 2α 3α 4α
9234183412741236A -?? ?-
?= ?- ?-??
， 由于此时A 有三阶非零行列式9
23
1
8340001
2
7
--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应
的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T
Q AQ =Λ可
得到A 和6
32A E ?
?- ??
?.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以
1311331131A ?????? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
，
则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T
(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.
又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，
()()21221111012,3120,61112αββαβββ??
-
?
-???? ?- ? ?=-=--= ? ? ? ? ? ?
-???? ?
??
.
再将12,,αββ单位化，得
1212312,,0ββαηηηαββ?? ?=
===== ? ? ? ?
? ? ?
?? ?
??
， 令 []123,,Q ηηη=，则1
T Q
Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得
T
300Q AQ ??
??==Λ??
????. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T
300Q AQ ??
??==Λ??
????
，所以
T
3111
00111
0111
A Q Q
??
?
?
????
?
? ?=Λ==
?
? ?
? ?
?
????
? ?
?
?
??
?
.
6
66
T T T
333
222
Q A E Q Q A E Q Q AQ E
??
??????
-=-=-
? ? ?
??
??????
??
6
6
66
6
3
3
2
2
3
333
222
33
22
E
??
??
??
?? ?
?
??
???
?
??
??
? ?
????
?
??
? ?
=-==
? ?
?
??
? ?
????
?
??
? ?
??
??
???
?
?
?? ?
??
?? ?
??
??
，则
666
T
333
222
A E Q EQ E
??????
-==
? ? ?
??????
.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
()
1
,10
2
1
,02
4
0,
X
x
f x x
?
-<<
?
?
?
=≤<
?
?
?
??
其他
，
令()
2,,
Y X F x y
=为二维随机变量(,)
X Y的分布函数.
(Ⅰ) 求Y的概率密度()
Y
f y；
(Ⅱ) Cov(,)
X Y；
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
.
【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.
【详解】（I）设Y的分布函数为()
Y
F y，即2
()()()
Y
F y P Y y P X y
=≤=≤，则1)当0
y<时，()0
Y
F y=；
2) 当01y ≤<时，
(
2
()()Y F y P X y P X =<=<<
0d 4x x =
+=?
3) 当14y ≤<
时，(
2
()()1Y F y P X y P X =<=-<<
10111
d d 242
x x -=+=?.
4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以
1()()40,Y Y y f y F y y <
其他.
（II ） 2
2
2
3
2
Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，
而 0
2101d d 244
x x EX x x -=+=??，22022
105d d 246x x EX x x -=+=??， 33
23
107d d 248
x x EX x x -=+=??， 所以 7152
Cov(,)8463
X Y =-?=. (Ⅲ) 1,42F ??-
???211,4,422P X Y P X X ????
=≤-≤=≤-≤ ? ?????
11,22222P X X P X ???
?=≤--≤≤=-≤≤- ? ????
?
1
2111d 24
x -
-==?
. （23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本
值12,...,n x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.
【详解】（Ⅰ）因为()12
1
3
(;)d d 1d 2
EX xf x x x x x x θθθθ+∞
-∞
==+-=
-?
??， 令
32X θ-=，可得θ的矩估计为 3
2
X θ=-. （Ⅱ）记似然函数为()L θ，则
()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=??
?-?-?
?-=-个
个
.
两边取对数得
ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令d ln ()0d 1L N n N θθθθ
-=-=-，解得N
n θ=为θ的最大似然估计.
2017考研数学三真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1
．若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在0x =处连续，则 （A ）12ab =
（B ）1
2
ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =
【详解】000112lim ()lim lim
2x x x x
f x ax a +++→→→===，0lim ()(0)x f x b f -
→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11
22
b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）
（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)
【详解】
2(3)32z
y x y xy y xy y x
?=---=--?，232z x x xy y ?=--?，
2222222,2,32z z z z
y x x x y x y y x
????=-=-==-?????? 解方程组22320320z
y xy y x z x x xy y
??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2
AC B -，发现只有在
点11(,)处满足2
30AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）
3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则
（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2
()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2
()f x 是单调增加函数．也
就得到()()22
(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4． 若级数
21
1sin ln(1)n k n n ∞
=??--???
?∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-
【详解】iv n →∞时
22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ????????
--=---+=++ ? ? ? ? ?????????
显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1
n
的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．
5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则
（A ）T E αα-不可逆 （B ）T
E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T
E αα-不可逆
【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T
T
T
T
E E E E αααααααα
-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,
,1．显然只有T E αα-存在
零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．
6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??
?
= ? ???
，则
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有（） （A）a （B）a 1 （C）a n a n 1 （D）a n a n （2）下列曲线有渐近线的是（） （A）y x s in x （B）y x2 s in x （A）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （B）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（C）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （D）当 f '(x) 0时，f x( ) g x( ) 0 a a 0 （5）行列式0 c c 0b d b 0 d （A）(ad bc)2 （B） (ad bc)2 （C）a d22 b c2 2 （D）b c2 2 a d2 2 （6）设a a1,2,a3 均为3 维向量，则对任意常数k,l ，向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3 线性无关的（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 （8）设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本，则统计量X 1 X 2 服从的分布为 2 3 2 X （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为Q 40 2P （P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域，则D 的面积为_________。 a (11)设xe2x dx ，则a _____. 2
2014年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x x y ln （12）π （13）[-2,2] （14）25n 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 （16）【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时，
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 （17）【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，
2014年考研数学三真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设且≠0，则当充分大时有 (A) (B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法： 由且≠0，则当充分大时有 【方法2】排除法： 若取显然,且(B)和(D)都不正确； 取显然，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法1】
由于 所以曲线有斜渐近线，故应选(C) 解法2 考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限 则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设当时，若是比 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当时，知，的泰勒公式为 又 则
显然，， 由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。 故 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间 [0,1]上 (A)当时， (B)当时， (C)当时， (D)当时， 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于则直线过点和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即
令,则 ,, 当时，。则曲线在区间上是凹的，又， 从而，当时，,即 【方法3】 令, 则, = 当时,单调增，，从而，当时，,即 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(（ ） （A ）? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d （D ）? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000 000 0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3） （A ） （B ） （C ） （D ） （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2 2 22 a d b c - （D ）22 2 2 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? （13）设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________
2014年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设0≠=∞ →a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > (D)n a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞ →a a n n lim ，所以0>?ε，N ?，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ， εε+≤<-a a a n ，取2 a = ε，则知2 a a n > ，所以选择（A ） 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1 sin += （D ）x x y 12 sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设3 2 dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3 x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 = d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++ =，显然3 1 010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两
2014年考研数学三真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设limn→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有 (A)an>a2 (B) an
由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若px-tanx是比x3高阶的无 穷小，则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时，tanx-x ~ 13x3知，tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】
2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）2 3 ()()x o x o x ?= （B ）23 ()()()o x o x o x ?= （C ）2 2 2 ()()()o x o x o x += （D ）2 2 ()()()o x o x o x += （2）函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3）设k D 是圆域2 2 {(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()k k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =， 则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 （B ）1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛，则1n n a a +>
（C ）1 n n a ∞ =∑若 收敛，则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 （D ）若存在常数1P >，使lim P n n n a →∞ 存在，则 1 n n a ∞ =∑收敛 （5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 （6）矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2= （7）设123X X X ，，是随机变量，且22 123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ） （A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> （8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为， 则{2}P X Y +== ( )
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小，由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 1 20 2x x dx -? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当 a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则 =??---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ） ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ） ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000000 00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三） 若a a n n =∞ →lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > （D ）n a a n 1 +< （2）（数二） 当0x +→时，若ln (12)x α +，1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2 （3）（数一、二、三） 下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2 sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x =+ （4）（数三） 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小，则下 列选项中错误．． 的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 =d
（5）（数一、二、三） 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二） 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A （B （C ）（D ） （7）（数二） 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2 2 lim x x ξ→=（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
2014年考研数三真题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1 n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16 d = （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a =
推荐：考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当