有关天体运动题型的归纳与研究
一、 基本问题
例题：某人造卫星距地面h ，地球半径为R ，质量为M ，地面重力加速度为g ，引力常量为G 。
（1） 分别用h,R,M,G 表示卫星周期T ，线速度v ，角速度w
（2） 分别用h,R,g 表示卫星周期T ，线速度v ，角速度w
解：（1）根据向心力来自万有引力得：
2222
Mm v 2G m mw (R h)m()(R h)(R+h)R+h T π==+=+
得v =w =T =（2） 卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg ，由2
Mm
mg G
R =得到2GM R g =代入得：
v h ==
w ==
2
h )
T R π===
二、 密度问题
例题：宇宙中某星体每隔4.4╳10-4s 就向地球发出一次电磁波脉冲。有人曾经乐观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使得地球上接收到的电磁波是不连续的。试估算该星体的最小密度（结果保留两位有效数字） 解：接受电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期，星体表面物体不脱
离星体时满足： 22Mm 2G mR()R T
π
=
而34M=R 3πρ 求得23GT π
ρ=
代入已知数据得：1737.310kg /m ρ=?
三、 双星问题 例题：现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G 。求：
（1）试计算该双星系统的运动周期T 。
（2）若实验上观测到运动周期为T’，且T T N N '()：：=>11，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质——暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
解：（1）由万有引力提供向心力有：GM L M L T
222
224=··π ①
∴=T L
L
GM
π2 （2）设暗物的密度为ρ，质量为m ，则m L L =?? ???=ρππρ··4326
3
3
由万有引力提供向心力有：GM L GMm L M L T 222
2
2224+?? ?
??=··π' ②
由①②得：M M m T T N
+=?? ?
??=412
'
又m L =πρ·3
6
代入上式解得：ρπ=-3123()/N M L
四、 神州问题
例题：随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m 的飞船绕地球在圆轨道Ⅰ上运行时，半径为r 1，要进入半径为r 2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为υ，在A 点通过发动机向后以速度大小为u （对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v ′进入椭圆轨道Ⅲ。（已知量为：m 、r 1、r 2、υ、v ′u ）求：
⑴飞船在轨道I 上的速度和加速度大小。 ⑵发动机喷出气体的质量△m 。 解：（1）在轨道I 上，有1
212
1r v m
r Mm G
= 解得：11r GM
v = 同理在轨道II 上2
r GM
v =
由此得：121r r v v =
Ⅱ
B
在轨道I 上向心加速度为a 1,则有 12
1
ma r Mm G
=
同理在轨道II 上向心加速度a=22r v ,则有 m r Mm G =2222
r v
由此得22
1
21v r r a =
(2)设喷出气体的质量为m ?,由动量守恒得
mu v m m mv ?-'?-=)(1 得:m u
v r r v
v m +'-'=
?1
2
五、 自转问题
例题：假设某星体是一个半径为R 的均匀球体，已知星体的自转周期为T ，在两极地表面自由落体加速度为g ’。求：（1）用弹簧秤在星球表面“两极”与“赤道”不同地点测同一物体的“重量”之比。（2）设想星体自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体会恰好自动飘起来，则此时角速度为多少？ 解：设质量为m 的物体在星体表面受万有引力为F ，两极和赤道重量分别为F 1,F 2 （1）在两极：∵F=mg ’ F 1=F ∴F 1=mg ’
在赤道： 22
222244F F m R F mg 'm R T T ππ-==-
2
1224F:F =g':(g'-R)T
π∴ （2）2
2
Mm G
mw R mg 'R
==
得w =
六、 追赶问题 例题：科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间t 与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。 解：设小行星绕太阳周期为T /，T />T,地球和小行星每隔时间t 相遇一次，则有
/1t t T T -= ， /tT
T t T
=-
设小行星绕太阳轨道半径为R /,万有引力提供向心力有
/2
///2/24Mm G m R R T
π= 同理对于地球绕太阳运动也有 2
224Mm G m R R T π=
由上面两式有 /3/232R T R T
= /2/3
()t R R t T =- 所以当地球和小行星最近时 /2/3
(
)t d R R R R t T
=-=--
七、 科技信息类问题
例题：2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。
但根据天文观测，月球半径为R =1738km ，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到v 0=2000m/s 。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g =9.8m/s 2）（要求至少两种方法） 解法1：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v 0=2000m/s 必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m 的某水分子，因为GMm /R 2=mv 12/R 2，mg 月=GMm /R 2，g 月=g /6，所以代入数据解得v 1=1700m/s ，v 1＜v 0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。
解法2：设v 0=2000m/s 为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R 1，如果R 1＞R ，则月球表面无水。取质量为m 的某水分子，因为GMm /R 12=mv 02/R 12，mg 月=GMm /R 12，g 月=g /6，所以R 1=v 02/g 月=2.449×106m ，R 1＞R ，即以2000m/s 的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。 解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg 月＞GMm /R 2，当v =v 0=2000m/s 时，g 月＞v 02/R =2.30m/s 2，而现在月球表面的重力加速度仅为g /6=1.63m/s 2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s 所对应的向心力，也即月球表面无水。
解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg 月＞GMm /R 2，，即应有g 月R ＞v 2而实际上：g 月R =2.84×106m 2/s 2，v 02=4×106m 2/s 2，所以v 02＞g 月R 即以2000m/s 的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。
八、 超重与失重问题
例题：某物体在地面上的重力为160N ，现将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=0.5g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6400km,重力加速度g 取10m/s 2）
解：因为卫星在加速上升的过程中，卫星内的物体与卫星的相互挤压力小于其地面上重力，故应该考虑由于高度的变化而引起的重力加速度的变化。
设此时火箭离地球表面的高度为h ，火箭受到物体的压力为F N ，物体受到的重力为mg ’，由牛顿第二定律得： F N - mg ’=ma 在h 高处： 2
Mm
G
mg '(R+h)
= 在地球表面处：2Mm
G mg R
=
得：41)1.9210km =?
九、 卫星的发射与回收
例题：发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h 1的圆形近地轨道上，在卫星经过A 点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A ，远地点为B 。在卫星沿椭圆轨道（远地点B 在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T ，地球的半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求： （1）卫星在近地圆形轨道运行接近A 点时的加速度大小；
（2）卫星同步轨道距地面的高度。
解：（1）设地球质量为M ，卫星质量为m ，万有引力常量为G 、卫星在近地圆轨道运动接近A 点时的加速度为x a ，根据牛顿第二定律A ma h R Mm
G =+2
1)(
物体在地球表面上受到的万有引力等于重力mg R
Mm
G
=2
解得g h R R a A 2
12
)
(+= （2）设同步轨道距地面高度h 2，根据牛顿第二定律有)(4)(222
2
1h R T m h R Mm G +=+π 由上式解得：R T gR h -=
3
2
2
224π
十、 综合问题
例题：宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m 的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I 时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为G .
若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R 的环月卫星周期为多大？ 解：设月球表面重力加速度为g ，月球质量为M. 在圆孤最低点对小球有：I=mv 0……①
∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有r
v m mg 2
=…………②
从最低点至最高低点有：22
02
121)2(mv mv r mg -=……③ 由①②③可得r
m I g 22
5=
∵在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度
∴Rr mr
I
gR R GM v 55min ===
当环月卫星轨道半径为2R 时，有
R T m R GMm 2)2()2(2
2
?=π……④
GM
R T 3
)2(2π
=∴……⑤（2分）将黄金代换式GM=gR 2代入⑤式
Rr I m
gR R T 104)2(22
3ππ==得
归纳与总结： 基本思路：
1、万有引力提供向心力
设圆周中心的天体（中心天体）的质量为M ，半径为R ；
作圆周运动的天体（卫星）的质量为m ，轨道半径为r ，线速度为v ，角速度为w,周期为T ，引力常量为G 。则应有：
2222Mm v 2G m mw r=m()mg r r T
π
===22Mm GM G ma ,a r r ==向向
（g 表示轨道处的重力加速度）
2、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力
02
Mm
G
mg R
=(g 0表示天体表面的重力加速度) 注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 0时，常运用GM=g 0R 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作用巨大，此时通常称为黄金代换式。
天体的运动规律：
1、由22Mm v G m r r =可得：v = r 越大，v 越小
2、由2
2Mm G
mw r r =可得：w =，r 越大，w 越小
3、由22Mm 2G m()r r T π=可得：T 2=r 越大，T 越大
4、由2Mm G
ma r =向可得：2GM
a r
=向，r 越大，a 越小
十年高考试题分类解析-物理 1.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 A.R d - 1 B.R d +1 C.2)(R d R - D.2 )(d R R - 2．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N ，已知引力常量为G,，则这颗行星的质量为 A ．mv 2 /GN B ．mv 4 /GN ． C ．Nv 2 /Gm ．D ．Nv 4 /Gm . 3.（2012·北京理综）关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 4A C 5A. B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心 加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 6.（2012·全国理综）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。设地球的半径为R 。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d . 1.（2011重庆理综第21题）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题21图所示。该行星与地球的公转半径比为
A ．231N N +?? ??? B.23 1N N ?? ?-?? C ．3 2 1N N +?? ??? D.32 1N N ?? ?-?? 2（2011四川理综卷第17题）据报道，天文学家近日发现了 一颗距地球40光年的 “超级地球”，名为“55Cancrie ”，该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 1 480 ，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie ”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie ”与地球的 A. B. C.1.m 1、m 2、M （M >>m 1，M >>m 2）.在C 的万有引力作用下，a 、b 从2运行周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0是 3．（2010，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为2g ，则 A ．1g a =B ．2g a =C ．12g g a +=D ．21g g a -= 4（2010四川理综卷第17题）.a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106 m 的卫星，c 是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置 是图乙中的（取地球半径R=6.4×106m ，地球表面重力加速度g=10m/s 2 ，π 5．(2010安徽理综)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。仅利用以上数据，可以计算出 A ．火星的密度和火星表面的重力加速度
3．已知地球的同步卫星的轨道半径约为地球半径的6．0倍，根据你知道的常识，可以估算出地球到月球的距离，这个距离最接近（ ） A ．地球半径的40倍 B ．地球半径的60倍 C ．地球半径的80倍 D ．地球半径的100倍 10据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是 A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 4．宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m 的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平初速度υ0时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为G 。若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为（ ） A ．Rr r 550υ B ．Rr r 52 0υ C ．Rr r 50 υ D ． Rr r 552 0υ 3．（6分）（2015?红河州模拟）“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道．已知飞船的质量为m ，地球半径为R ，地面 A ． 等于mg （R+h ） B ． 小于mg （R+h ） C ． 大于mg （R+h ） D ． 等于mgh 7(2015沈阳质量检测 )．为了探测x 星球，总质量为1m 的探测飞船载着登陆舱在以该星球中心为圆心的圆轨道上运动，轨道半径为1r ，运动周期为1T 。随后质量为2m 的登陆舱脱离飞船，变 轨到离星球更近的半径为2r 的圆轨道上运动，则 A ．x 星球表面的重力加速度2 11214T r g π= B ．x 星球的质量21 3124GT r M π= C ．登陆舱在1r 与2r 轨道上运动时的速度大小之比1 22121r m r m v v =
万有引力和航天知识的归类分析 一．开普勒行星运动定律 1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 实例、飞船沿半径为r 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如图所示。若飞船要返回地面，可在轨道上某点处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在某点相切，已知地球半径为R ，求飞船由远地点运动到近地点所需要的时间。 二．万有引力定律 实例2、设想把质量为m 的物体放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是 （ ） A 、零 B 、无穷大 C 、 2 R GMm D 、无法确定 小结：F= 2 2 1r m Gm 的适用条件是什么 三．万有引力与航天 （一）核心知识 万有引力定律和航天知识的应用离不开两个核心 1、 一条主线 ，本质上是牛顿第二定律，即万有引力提供天体做圆周运动所需要的向心力。 2、 黄金代换式 GM ＝g R 2 此式往往在未知中心天体的质量的情况下和一条主线结合使用 （二）具体应用 应用一、卫星的四个轨道参量v 、ω、T 、a 向与轨道半径r 的关系及应用 1、理论依据：一条主线 2、实例分析 如图所示,a 、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面 的高度 分别是R 和2R(R 为地球半径).下列说法中正确的是( ) A.a 、b 的线速度大小之比是 2∶1 B.a 、b 的周期之比是1∶2 C.a 、b 的角速度大小之比是3 ∶4 D.a 、b 的向心加速度大小之比是9∶4 小结： 轨道模型： 在中心天体相同的情况下卫星的r 越大v 、ω、a 越小，T 越大，r 相同，则卫星的v 、ω、a 、T 也相同，r 、 v 、ω、a 、T 中任一发生变化其它各量也会变化。 应用二、测量中心天体的质量和密度 1、方法介绍 方法一、“T 、r ”计算法 在知道“T 、r ”或“v 、r ”或“ω、r ”的情况下，根据一条主线均可计算出中心天体的质量，这种方法统称为“T 、r ”计算法。在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。 方法二、“g 、R ”计算法 利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R. 2、实例分析 例4：已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球:绕地球的运转周期T 1,地球的自转周期T 2 , 天体密度故天体质量由于,,2 2G gR M mg R Mm G ==.π43π3 43 GR g R M V M = ==
平抛运动小结 （一）平抛运动的基础知识 1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。 2. 特点： （1）平抛运动是一个同时经历水平向的匀速直线运动和竖直向的自由落体运动的合运动。 （2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为c bx ax y ++=2 。 （3）平抛运动在竖直向上是自由落体运动，加速度g a =恒定，所以竖直向上在相等的时间相邻的位移的高度之比为5:3:1::321=s s s …竖直向上在相等的时间相邻的位移之差是一个恒量 2gT s s s s I II II III =-=-。 （4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平向之间的夹角为?）向和位移向（与水平向之间的夹角是θ）是不相同的，其关系式θ?tan 2tan =（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 3. 平抛运动的规律 描绘平抛运动的物理量有0v 、y v 、v 、x 、y 、s 、?、t ，已知这八个物理量中的任意两个，可以求出其它六个。
（二）平抛运动的常见问题及求解思路 关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。 1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的法，就应该是从竖直向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平向做匀速直线运动，求出速度。 [例1] 如图1所示， 处低m h 25.1= 解析：在竖直向上，摩托车越过壕沟经历的时间 s s g h t 5.010 25 .122=?== 在水平向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 s m s m t x v /10/5 .050=== 2. 从分解速度的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。 [例2] 如图2甲所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为
天体运动题型归纳 李仕才 题型一：天体的自转 【例题1】一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G ，若由于天体自转使物体对天体表面压力怡好为零，则天体自转周期为（ ） A ．1 2 4π3G ρ?? ??? B ．1 2 34πG ρ?? ??? C ．1 2 πG ρ?? ??? D ．1 2 3πG ρ?? ??? 解析：在赤道上2 2 R m mg R Mm G ω+=① 根据题目天体表面压力怡好为零而重力等于压力则①式变为 22R m R Mm G ω=②又 T π ω2= ③ 33 4 R M ρπ= ④ ②③④得：2 3GT π ρ= ④即21 )3(ρπG T =选D 练习 1、已知一质量为m 的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN ，假设地球是质量分布 均匀的球体，半径为R 。则地球的自转周期为（ ） A. 2T = 2T =R N m T ?=π2 D.N m R T ?=π2 2、假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常数为G ，则地球的密度为： A. 0203g g g GT π- B. 0203g g g GT π- C. 23GT π D. 23g g GT πρ=
题型二：近地问题+绕行问题 【例题1】若宇航员在月球表面附近高h 处以初速度0v 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L 。已知月球半径为R ，引力常量为G 。则下列说法正确的是 A ．月球表面的重力加速度g 月＝hv 2 L 2 B ．月球的质量m 月＝hR 2v 20 GL C ．月球的第一宇宙速度v ＝ v 0 L 2h D ．月球的平均密度ρ＝3hv 2 2πGL 2R 解析 根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g 月t 2 ，联立解得g 月＝2hv 2 0L 2；由mg 月＝G mm 月R 2， 解得m 月＝2hR 2v 2 0GT 2；由mg 月＝m v 2 R ，解得v ＝v 0L 2hR ；月球的平均密度ρ＝m 月43πR 3＝3hv 2 2πGL 2R 。 练习：“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想。机器人“玉兔号”在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间t ，已知月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G 。则下列说法正确的是 A ．月球表面重力加速度为t 2 2h B ．月球第一宇宙速度为 Rh t C ．月球质量为hR 2 Gt 2 D ．月球同步卫星离月球表面高度 3hR 2T 2 2π2t 2－R 【例题2】过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20 。该中心恒星与太阳的质量比约为 A.1 10 B ．1 C ．5 D ．10
授课主题 万有引力与重力的关系 教学目的 理解万有引力与重力之间的关系及会运用知识解此类问题 授课日期及时段 2013.04.06 ;3课时 教学内容 一， 本周错题讲解 二， 知识归纳 ．考点梳理 (1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供， 即： Ｇr v m r Mm 22=＝ｍω２ ｒ＝ｍr T 224π (2).估算天体的质量和密度 由G 2r Mm ＝ｍr T 224π得：Ｍ＝2 3 24Gt r π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量. 由ρ＝V M ，Ｖ＝34πＲ３ 得： ρ＝3 233R GT r π．R 为中心天体的星体半径 特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝2 3GT π (2003年高考)，由此可以测量天体的密度. (3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题
表面重力加速度g 0,由02GMm mg R = 得：02GM g R = 轨道重力加速度g ，由 2()GMm mg R h =+ 得：2 2 0()()GM R g g R h R h ==++ (４)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系 (1)由Ｇr v m r Mm 22=得:ｖ＝r GM ． 即轨道半径越大，绕行速度越小 (2)由Ｇ 2 r Mm ＝ｍω２ ｒ得：ω＝3r GM 即轨道半径越大，绕行角速度越小 (3)由2 224Mm G m r r T π=得：3 2r T GM π = 即轨道半径越大，绕行周期越大. (５)地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24h ．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ． 由: Ｇ 2 224()Mm m R h T π=+（Ｒ＋ｈ） 得： 2 3 2 4h R GMT π=-=3.6×104ｋｍ=5.6Ｒ Ｒ表示地球半径 三.热身训练 1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 A ．火星和地球的质量之比 B ．火星和太阳的质量之比 C ．火星和地球到太阳的距离之比 D ．火星和地球绕太阳运动速度之比 2.宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q ．在一次实验时，宇航员将一带负电q （q < 平抛运动常见题型考点分类汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 平抛运动小结 （一）平抛运动的基础知识 1. 定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。 2. 特点： （1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 （2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为c bx ax y ++=2 。 （3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度g a =恒定，所以竖直方向上在相等的时间内相邻的位移的高度之比为5:3:1::321=s s s …竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是一个恒量2 gT s s s s I II II III =-=-。 （4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为?）方向和位移方向（与水平方向之间的夹角是θ）是不相同的，其关系式θ?tan 2tan =（即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。 3. 平抛运动的规律 描绘平抛运动的物理量有0v 、y v 、v 、x 、y 、s 、?、t ，已知这八个物理量中的任意两个，可以求出其它六个。 运动分类 加速度 速度 位移 轨迹 分运动 x 方向 0v t v x 0= 直线 y 方向 g gt 2 2 1gt y = 直线 合运动 大小 g 220)(gt v + 2220)2 1 ()(gt t v + 抛物线 与x 方向的夹角 ?90 tan v gt = ? 0 2tan v gt = θ （二）平抛运动的常见问题及求解思路 关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。 1. 从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 [例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A 处越过m x 5=的壕沟，沟面对面比A 处低m h 25.1=，摩托车的速度至少要有多大？ 常见的天体运动模型 天体及卫星的运动问题也是高考的热点问题，从近几年全国各地的高考试题来看，透彻理解四个基本模型是关键。 计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。 一、自转模型 1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力 由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需 要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际 上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动 的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变 化而变化，即重力加速度的值g 随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上，在两极处， 。 2．忽略地球（星球）自转影响，则地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力． 在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。设天体质量为M ，半径为R ，其表面的重力加速度为g ，由这一近似关系有：，即。这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g 与的相互替代，因此称为“黄金代换”。 二、环绕模型 环绕模型的基本思路是：①把天体、卫星的环绕运动近似看 做是匀速圆周运动；②万有引力提供天体、卫星做圆周运动的向 心力：G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m ? ?? ??2πT 2r ＝m(2πf)2r= ma 其中r 指圆周运动的轨道半径；③在地球表面，若不考虑地球自转，万有引 力等于重力：由G Mm R 2＝mg 可得天体质量M ＝R 2g G ，这往往是题目中重要的隐含条件。 三、变轨模型 若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将 保持匀速圆周运动；当卫星由于某种原因速度突然改变时 (开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于 向心力，卫星将做变轨运行。①当v 增大时，所需向心力增 大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱 离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道 运行，由v =r GM 知其运行速度要减小，但重力势能、 1.人造地球卫星做半径为r ，线速度大小为v 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的 24倍后，运动半径为_________，线速度大小为_________。 【解析】由22Mm G m r r ω=可知，角速度变为原来的24倍后，半径变为2r ，由v r ω=可知，角速度变为原来的24倍后，线速度大小为22v 。【答案】2r ，22 v 2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为0v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力 计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N ，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 A ．2GN mv B.4GN mv C ． 2Gm Nv D.4Gm Nv 【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 R v m M G 2/2/R m =，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m 的物体的重为N ，则 N M G =2R m ，解得M=GN 4 mv ，B 项正确。【答案】B 3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.太阳对小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值 【答案】C 【解析】根据行星运行模型，离地越远，线速度越小，周期越大，角速度越小，向心加速度等于万有引力加速度，越远越小，各小行星所受万有引力大小与其质量相关，所以只有C 项对。 4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t 小球落回原处;若他在某星球表面以相同的 速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度g=10 m/s 2,空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g ′. (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地=1∶4,求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地. 答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80 一．考点梳理 1．考纲要求：万有引力定律的应用、人造地球卫星的运动（限于圆轨道）、动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）都是Ⅱ类要求；航天技术的发展和宇宙航行、宇宙速度属Ⅰ类要求。 2．命题趋势：本章内容高考年年必考，题型主要有选择题：如2004年江苏物理卷第4题、2004上海卷第3题、2005年安徽卷第16题、2005年全国卷第3题、2005年北京物理卷第20题、2005年江苏物理卷第5题；计算题：如2001年全国卷第31题、2003年第24题、2004年全国卷第23题、2004年广西物理卷第16题、2005年江苏物理卷第18题、2005年广东卷第15题等。飞船、卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，亦是考生备考应试的难点. 特别是今年10月神州六号飞船再次实现载人航天飞行试验以来，明年高考有很大可能考查与“神六”相关的天体运动问题。 3．思路及方法： (1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供， 即： Ｇr v m r Mm 22=＝ｍω２ ｒ＝ｍr T 224π (2). 由G 2r Mm ＝ｍr T 224π得：Ｍ＝2 324Gt r π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量. 由ρ＝V M ，Ｖ＝34πＲ３ 得： ρ＝3 233R GT r π．R 特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝2 3GT π (2003年高考)，由此可以测量天体的密度. (3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 表面重力加速度g 0,由02 GMm mg R = 得：02GM g R = 轨道重力加速度g ，由2()GMm mg R h =+ 得：2 20()()GM R g g R h R h ==++ (４) (1)由Ｇr v m r Mm 2 2=得:ｖ＝r GM (2)由Ｇ2r Mm ＝ｍω２ ｒ得：ω＝3r GM (3)由2 224Mm G m r r T π=得：3 2r T GM π = 即轨道半径越大，绕行周期越大. (５)地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24h ．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ． 由: Ｇ2 224()Mm m R h T π=+（Ｒ＋ｈ） 2 3 2 4h R GMT π=-=3.6×104ｋｍ=5.6Ｒ Ｒ 3．（湖北省百所重点中学2008 届联考）2007 年3 月26 日，中俄共同签署了《 中国国家航天局和俄罗斯联邦航天局关于联合探测火星一火卫一合作的协议》，双方确定于2008年联合对火星及其卫星“火卫一”进行探测。 “火卫一”就在火星赤道正上方运行，与火星中心的距离为9450km ．绕火星1周需7h39min ，若其绕行轨道可简化为圆形轨道，则由以上信息不能确定的是 A A ．火卫一的质量 B ．火星的质量 C ．火卫一的绕行速度 D ．火卫一的向心加速度 5．（湖北省武汉市部分学校2008届新高三起点调研）质量为m 的卫星围绕地球做匀速圆周运动，轨道半径是地球半径的2倍。已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。卫星的动能是（ ）A A ． 41mgR B ．2 1 mgR C ．mgR D ．2 mgR 10.（湖北省八校2008届第一次联考）地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地 球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为 C A ．1∶9 B ．9∶1 C ．1∶10 D ．10∶1 11.（湖北省八校2008届第二次联考）某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是（R =6400km, g =10m/s 2） A ．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B B ．当汽车离开地球的瞬间速度达到28800km/h C ．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1h D ．在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小 21、（湖北省部分重点中学十一月联考）2007年10月24日，我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为a ，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b ，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星（ ） AD A B C 、在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D 、从停泊轨道进入到地月转移轨道，卫星必须加速 24．（湖北部分重点中学2008届理综第一次联考）某同学设想驾驶一辆由火箭作为动和的陆地太空两用汽车在赤道沿地球自转方向行驶，汽车的行驶速度可以任意增加，当汽车的速度增加到某值v （相对地面）时，汽车与地面分离成为绕地心做圆周运动的“航天汽车” ， 总结高考题中的天体运动模型，提高应对天体运动题型的能力 运用万有引力定律求解天体运动问题，是高考每年必考的重要内容，通过对近几年全国及各地高考试题的研究，发现天体问题可归纳为以下四种模型。 一、重力与万有引力关系模型 1．考虑地球（或某星球）自转影响，地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万有引力的一个分力 由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，向心力必来源于地球对物体的万有引力，重力实际上是万有引力的一个分力，由于纬度的变化，物体作圆周运动的向心力也不断变化，因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化，即重力加速度的值g随纬度变化而变化；从赤道到两极逐渐增大．在赤道上 ，在两极处，。 例1如图１所示，Ｐ、Ｑ为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，Ｐ、Ｑ两质点随地球自转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是：（） A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等 C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等 解析：随地球自转的物体必与地球有相同的周期、角速度；质量一样的物体在地表不同纬度处所受地球万有引力一般大,但重力和向心力不一般大．正确选项是CD。 2．忽略地球（星球）自转影响，则地球（星球）表面或地球（星球）上方高空物体所受的重力就是地球（星球）对物体的万有引力． 例2荡秋千是大家喜爱的一项体育活动．随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是、半径为，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为。那么， （1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？ （2）若经过最低位置的速度为,你能上升的最大高度是多少？ 解析：（1）设人的质量为,在星球表面附近的重力等于万有引力，有 解得 天体运动 题型一：开普勒三定律的应用 题型二：万有引力应用之质量、密度、重力加速度等的计算 题型三：多星问题（双星和三星） 题型四：追击问题 题型五：宇宙速度 例1：（2018 夹角) A．(1－ 1、(2016 A. B. C. D. 2．（2018·河北省石家庄市模拟）地球和木星绕太阳的运动可近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，估算木星与地球距离最近的相邻两次时间间隔约为（） A．1年 B．1.1年 C．1.5年 D．2年 [练习提升] 1、(2019?全国Ⅱ卷?T1)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描F随h变化关系的图像是 （ ） A. B. C. D. 2、(2018?济宁一模）对于环绕地球做圆周运动的卫星说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r 与周期T 关系作出如图所示图象，则可求 A ． B ． C ． D ． 例1：，则有：r 金 r 地 =k ； C 正确，A BD 1、答案：B 【解析】开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，ACD 错误，B 正确。 2.答案：B 【解析】地球、木星都绕太阳运动，所以根据开普勒第三定律可得 3 3 22 = R R T T 木 地 地木 ，即 1=11.9 T 木地年，设经时间t两星又一次距离最近，根据t θω =，则两星转过 1.1 t=年，B正确。 1、答案：D 2、答案：B 【分析】根据万有引力提供向心力，得到轨道半径与周期的函数关系，再结合图象计算斜率，从而可以计算出地球的质量． 【解答】解：由万有引力提供向心力有：，得：， 由图可知：，所以地球的质量为：，故B正确、ACD错误。 例1：(2019P由 上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( ) 万有引力定律与天体运动问题 一.总体思路：高中阶段中研究天体运动的轨迹近似为圆轨道，向心力唯一来源于万有引力，所以有下列几个参量：线速度V 、角速度ω、周期T 、加速度a 都决定与轨道半径r ，参量之间相互制约。 二.建立方程解决问题的方向：运动学参量给出物体需要的向心力都应与万有引力建立方程．．．．．．．．．．．．．．．．． ，进行讨论。即：F 引＝G 2r Mm ＝??? ???????? = ?= ?=?=?GM r T r T m r GM r m r GM v r v m r GM a m a 3222322 244ππωω 讨论问题应从a 、v 、ω、T 等的最终表达式．．．．．出发。 辅助公式：（1）球体体积公式：V ＝ 3 4 πR 3 （2）密度公式：ρ＝ V M 。 （3）一个重要等式：GM=gR 2,其中g 中心体表面重力加速度，R 为中心球体半经。 三.开普勒第三定律准确应用： （1）条件：对于同一中心天体。 （2）结论：绕椭圆轨道运动的星体半长轴三次方与周期平方比值为定值即：23 T r ＝k 。 四．了解几个天体运动中问题： 1.卫星的发射，回收以及平稳运动时物体超、失重问题： 2.所有地球卫星可能存在的轨道问题： 3.“黑洞”问题：“黑洞”不是洞，是一种天体。 4.人造卫星运动中几个关系问题： (1)环绕速度V 与运动半径r 关系： （2）人造地球卫星作离心运动和向心运动的关系： （3）重力加速度g 与向心加速度a 的关系： （4）宇宙速度（发射速度）与环绕速度关系： 五、同步卫星问题。 六、“神舟”飞船的发射、变轨、漫游和返回着落问题： 1．“神舟”飞船的发射：“神舟”飞船的点火发射，飞船处于加速阶段，飞船的加速度可达a=4g 。而船箭分离时，宇航员突然有腾空的感觉,此时又进入了失重状态。飞船入轨后人处于完全失重状态，有“漂浮”的感觉。 2．飞船在椭圆轨道上运动的情景。 4．“神州”飞船遨游太空作圆周运动: 5、“神州”五号飞船安全返回着陆： 题型一、填补法思想 例1.如图7-3-1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大? 练1、如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高．重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象．已知引力常数为G． （1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常． （2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在g与 kg（k＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积． 题型二、天体质量和密度的计算 2、已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T．万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ） A.月球第一宇宙速度为 B.月球表面重力加速度为 C.月球密度为 D.月球质量为 练2、据报道在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星 ，天文学观察发现绕 行星做圆周运动的卫星的轨道半径为月球绕地球做圆周运动半径的p 倍，周期为月球绕地球做圆周运动周期的q倍．已知地球半径为R，表面重力加速度为g．万有引力常量为G，则 行星的质量为 A． B． C． D． 1、人造地球卫星做半径为r ,线速度大小为v 的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的2 4 倍后,运动半径为_________,线速度大小为_________。 【解析】由2 2Mm G m r r ω=可知,角速度变为原来的24倍后,半径变为2r,由v r ω=可知,角速度变为原来的24倍后,线速度大小为22v 。【答案】2r ,2 2 v 2、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为0 v 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为0 N ,已知引力常量为G,则这颗行星的质量 为 A. 2GN mv B 、 4 GN mv C. 2 Gm Nv D 、 4 Gm Nv 【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律有R v m M G 2 /2 /R m =,宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m 的物体的重为N,则 N M G =2R m ,解得M=GN 4 mv ,B 项正确。 【答案】B 3、如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的就是 A 、太阳对小行星的引力相同 B 、各小行星绕太阳运动的周期小于一年 C 、小行星带内侧小行星的向心加速度值大于小行星带外侧小行星的向心加速度值 D 、小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于 地球公转的线速度值 【答案】C 【解析】根据行星运行模型,离地越远,线速度越小,周期越大,角速度越小,向心加速度等于万有引力加速度,越远越小,各小行星所受万有引力大小与其质量相关,所以只有C 项对。 4、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t 小球落回原处;若她在某星球表面以相同的速 度竖直上抛同一小球,需经过时间5t 小球落回原处、(取地球表面重力加速度g=10 m/s 2 ,空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g ′、 (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地=1∶4,求该星球的质量与地球质量之比M 星∶M 地、 答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80 mg F 向 φ ω F 万有引力与航天知识的归类分析 一.开普勒行星运动定律 1、开普勒第一定律(轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都就是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2、开普勒第二定律(面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3、开普勒第三定律(周期定律):所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 实例、飞船沿半径为r 的圆周绕地球运动,其周期为T,如图所示。若飞船要返回地面,可在轨道上某点处将速率降到适当的数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行,椭圆与地球表面在某点相切,已知地球半径为R,求飞船由远地点运动到近地点所需要的时间。 二.万有引力定律 实例2、设想把质量为m 的物体放到地球的中心,地球的质量为M,半径为R,则物体与地球间的万有引力就是 ( ) A 、零 B 、无穷大 C 、 2 R GMm D 、无法确定 小结:F= 2 2 1r m Gm 的适用条件就是什么？ 三.万有引力与航天 (一)核心知识 万有引力定律与航天知识的应用离不开两个核心 1、 一条主线 ,本质上就是牛顿第二定律,即万有引力提供天体做圆周运动所需要的向心力。 2、 黄金代换式 GM ＝g R 2 此式往往在未知中心天体的质量的情况下与一条主线结合使用 (二)具体应用 应用一、卫星的四个轨道参量v 、ω、T 、a 向与轨道半径r 的关系及应用 1、理论依据:一条主线 2、实例分析 如图所示,a 、b 就是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地 面的高 度分别就是R 与2R(R 为地球半径)、下列说法中正确的就是( ) A 、a 、b 的线速度大小之比就是 2∶1 B 、a 、b 的周期之比就是1∶2 C 、a 、b 的角速度大小之比就是3 ∶4 D 、a 、b 的向心加速度大小之比就是9∶4 小结: 轨道模型: 在中心天体相同的情况下卫星的r 越大v 、ω、a 越小,T 越大,r 相同,则卫星的v 、ω、a 、T 也相同,r 、 v 、ω、a 、T 中任一发生变化其它各量也会变化。 应用二、测量中心天体的质量与密度 1、方法介绍 方法一、“T 、r ”计算法 在知道“T 、r ”或“v 、r ”或“ω、r ”的情况下,根据一条主线均可计算出中心天体的质量,这种方法统称为“T 、r ”计算法。在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。 方法二、“g 、R ”计算法 利用天体表面的重力加速度g 与天体半径R 、 2 gR Mm 3g M M 龙文教育个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课 题 天体运动 学情分析 教学目标与 考点分析 教学重点 难点 教学方法 教学过程 一．考点梳理 1．考纲要求：万有引力定律的应用、人造地球卫星的运动（限于圆轨道）、动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）都是Ⅱ类要求；航天技术的发展和宇宙航行、宇宙速度属Ⅰ类要求。 2．命题趋势：本章内容高考年年必考，题型主要有选择题：如2004年江苏物理卷第4题、2004上海卷第3题、2005年安徽卷第16题、2005年全国卷第3题、2005年北京物理卷第20题、2005年江苏物理卷第5题；计算题：如2001年全国卷第31题、2003年第24题、2004年全国卷第23题、2004年广西物理卷第16题、2005年江苏物理卷第18题、2005年广东卷第15题等。飞船、卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，亦是考生备考应试的难点. 特别是今年10月神州六号飞船再次实现载人航天飞行试验以来，明年高考有很大可能考查与“神六”相关的天体运动问题。 3．思路及方法： (1).基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供， 即： Ｇr v m r Mm 22=＝ｍω２ ｒ＝ｍr T 224π (2). 由G 2r Mm ＝ｍr T 224π得：Ｍ＝2324Gt r π．即只要测出环绕星体M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以 计算出中心天体的质量. 由ρ＝V M ，Ｖ＝34πＲ３ 得： ρ＝3 233R GT r π．R 特殊:当ｒ＝Ｒ时，即卫星绕天体M 表面运行时，ρ＝2 3GT π (2003年高考)，由此可以测量天体的密度. (3)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题 表面重力加速度g 0,由02 GMm mg R = 得：02GM g R = 轨道重力加速度g ，由2()GMm mg R h =+ 得：2 2 0()()GM R g g R h R h ==++ (４) (1)由Ｇr v m r Mm 2 2=得:ｖ＝r GM (2)由Ｇ2r Mm ＝ｍω２ ｒ得：ω＝3 r GM (3)由2 224Mm G m r r T π=得：3 2r T GM π = 即轨道半径越大，绕行周期越大. (５)地球同步卫星 所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝24h ．要使卫星同步，同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ． 由: Ｇ2 22 4()Mm m R h T π=+（Ｒ＋ｈ） 2 3 2 4h R GMT π=-=3.6×104ｋｍ=5.6Ｒ Ｒ 二.热身训练 1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 A ．火星和地球的质量之比 B ．火星和太阳的质量之比 C ．火星和地球到太阳的距离之比 D ．火星和地球绕太阳运动速度之比 2．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆．由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r 1 慢慢变到r 2，用E Kl 、E K2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则 (A)r 1平抛运动常见题型考点分类汇总
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