拐点问题配套练习
1．如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=72°，∠2=48°，则∠ABC=（）A．24°B．120°C．96°D．132°
第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．50°
3．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．30°B．32°C．42°D．58°
4．如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD为（）A．162°B．152° C．142° D．128°
5．把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°
第5题图第6题图第7题图第8题图6．如右图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是（）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠2+∠3 D．∠3=∠1+∠2
7．直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
8．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．20° B．30°C．35°D．55°
9．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1等于（）A．100°B．135°C．155° D．165°
第9题图第10题图第11题图第12题图10．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（）A．19°B．38°C．42°D．52°
11．如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（）
A．24°B．59°C．60°D．69°
12．如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A．∠α+∠β=180°B．∠β﹣∠α=90°C．∠β=3∠αD．∠α+∠β=90°
13．如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4
第13题图第14题图第15题图第16题图
14．如图，已知AB∥DE，∠ABC=75°，∠CDE=145°，则∠BCD的值为（）A．20°B．30°C．40°D．70°
15．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）
A．132°B．134°C．136° D．138°
16．如图，直线m∥n，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线n上，则∠1+∠2等于（）A．30°B．40°C．45°D．60°
17．如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上．若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为（）A．35° B．15°C．10°D．5°
第17题图第18题图
18．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠ACD=130°，则∠BAC=（）
A．40°B．50°C．60°D．70°
注意力能否集中对于孩子的学习是非常重要的，没有注意力，学习的内容就记不住。那该如何培养和训练孩子的注意力呢？我总结了一下，具体做法有这样四种，即视觉注意力训练、听觉注意力训练、动作注意力训练和混合型注意力训练。 １、视觉注意力训练 让孩子看一些照片或动物图片，并且提出一些问题。比如给孩子看一张照片，让他说说照里都有什么人，几个男的、几个女的、几个大人、几个小孩儿、他们每个人都在干什么、手里拿的是什么等等。再比如让孩子观察桌子上的水果，然后让他说出它们的名称、颜色等等，不过让孩子观察的东西要不断的变换，不然孩子就会感到没兴趣了。 ２、听觉注意力训练 给孩子讲故事，事先说好了，故事讲完了之后要提出问题让他回答，如果能够在讲故事之前就把要问他的问题提前告诉他（假如这些问题能够引起他的兴趣），相信效果会更好。这就好比我们听老师讲课一样，如果事先做好了预习，找出了自己有疑问的地方，在听讲时就会特别心，因为是带着要寻找答案的愿望去听的。当然这样做，一开始孩子可能会只顾找答案而忽略了其他内容，不过训练的次数多了，提的问题也增多了，这样孩子就会把注意力放在整个故事上了。 ３、动作注意力训练 就是通过让孩子完成特定的动作来达到训练注意力的目的。比如教他做一些体操动作、舞蹈动作或一些游戏动作，都能达到这种效果。可以进行“请你跟我这样做”这个游戏，大家围一个圈，前一个人做什么动作，紧挨着他的人就学着做这个动作，第三个人又学第二个人的动作，以此类推，谁要是跟不上就要罚唱歌，可以让小朋友们一起来做这个游戏，也可以全家人一起来做。 ４、混合型注意力训练 实际上就是把眼睛看、耳朵听和做动作结合起来，既训练了视觉和听觉，又训练了动作，这种混合型注意力的训练难度大，注意力稍不集中就可能乱套，所以做这种类型训练要从最简单的动作开始，不能操之过急，可以边说边示范给孩子看，让孩子跟着做，比如说出一种物品的名称，让孩子把它指出来等。 除了对孩子进行注意力训练之外，还有一点也不能忽略，那就是找出孩子注意力不能集中的原因，这样就可以对症下药，根据孩子的弱点，一方面帮助他排除和解决一些防碍他集中注意力的因素，另一方面配合注意力的训练，提高孩子的自我控制能力。其实有时孩子对于和学习没有关系的一些动作、行为不能够做到自我控制，这说明他还不能够分清楚哪些是在上课时不应该做的行为，所以就有必要帮助他建立这种纪律观念，然后再配合一些训练。在家里可以规定好学习的地方和时间，并且要求他学习时要专心学习，不做其它的事，也不随便说话，每次做到了就加以称赞鼓励，相信时间长了一定会收到成功。 家庭中针对孩子注意力不集中的训练方法
平行线中的拐点问题 学习目标： 1.能正确解决常见的拐点问题。 2.灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。 复习回顾： 1.如图（1），AB//CD ,那么∠B +∠ E+∠D=( ) . A、1800 B、 2700 C、 3600 D、5400 2.如图（2），AB∥CD，则x，y，z之间的关系是（） A、x+y+z=360° B、x-y+z=180° C、x+y-z=180° D、y+z-x=180° B A E C D 和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一： （1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED； （2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由． （3）已知：如图3，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．
合作探究二： 已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=______； （2）∠1+∠2+∠3=_____； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=_____； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（）。 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的 道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么 ∠C=． 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1．如图，直线l 1∥l 2 ，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A．30°B．35°C．36°D．40° 2.如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=35°，则∠AEB 等于 （） A．30°B．45°C．65°D．75°
舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM X 1CM的25个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 —25的共25个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 —25的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施 测者一旁记录所用时间。数完25个数字所用时间越短，注意力水平越高。 测试者请根据您的最快速度作答！ 舒尔特方格评分标准 数完25个数字所用时间越短，注意力水平越高。 5-7岁年龄组：达到30秒以下为优秀，46秒属于中等水平，班级排名会在中游或偏下，55秒则问 题较大? 7-12岁年龄组：能达到20秒以下为优秀，学习成绩应是名列前茅，36秒属于中等水平，班级排名会 在中游或偏下，45秒则问题较大，考试会出现不及格现象。 12 ―― 14岁年龄组：能达到16 "以下为优秀，学习成绩应是名列前茅，26 "属于中等水平，班级 排名会在中游或偏下，36 "贝恫题较大，考试会出现不及格现象。 18岁及以上成年人：最好可达到8 "的水平，20 "为中等水平。顺便说一句，想买车的朋友，如果你的注意力水平达不到20 "，请您在学习和考取驾驶执照前，先把注意力练好，否则，上路之后，肯定是个“马路杀手”。因为所有的交通事故都与注意力水平因素相关，这就是北京老百姓俗话说的“眼睛不够使的”，其 中以疲劳驾驶为最，因为疲劳状态下，是注意力最不集中的时段。为了您和他人的安全，请练注意力。为了轻松考取好成绩，获得终生的竞争力，请家长练练孩子的注意力。
注意力能否集中对于孩子的学习是非常重要的，没有注意力，学习的内容就记不住。那该如何培养和训练孩子的注意力呢？我总结了一下，具体做法有这样四种，即视觉注意力训练、听觉注意力训练、动作注意力训练和混合型注意力训练。 1、视觉注意力训练 让孩子看一些照片或动物图片，并且提出一些问题。比如给孩子看一张照片，让他说说照里都有什么人，几个男的、几个女的、几个大人、几个小孩儿、他们每个人都在干什么、手里拿的是什么等等。再比如让孩子观察桌子上的水果，然后让他说出它们的名称、颜色等等，不过让孩子观察的东西要不断的变换，不然孩子就会感到没兴趣了。 2、听觉注意力训练 给孩子讲故事，事先说好了，故事讲完了之后要提出问题让他回答，如果能够在讲故事之前就把要问他的问题提前告诉他（假如这些问题能够引起他的兴趣），相信效果会更好。这就好比我们听老 师讲课一样，如果事先做好了预习，找出了自己有疑问的地方，在听讲时就会特别心，因为是带着要寻找答案的愿望去听的。当然这样做，一开始孩子可能会只顾找答案而忽略了其他内容，不过训练的次数多了，提的问题也增多了，这样孩子就会把注意力放在整个故事上了。 3、动作注意力训练 就是通过让孩子完成特定的动作来达到训练注意力的目的。比如教他做一些体操动作、舞蹈动作或一些游戏动作，都能达到这种效果。可以进行“请你跟我这样做”这个游戏，大家围一个圈，前一个人做什么动作，紧挨着他的人就学着做这个动作，第三个人又学第二个人的动作，以此类推，谁要是跟不上就要罚唱歌，可以让小朋友们一起来做这个游戏，也可以全家人一起来做。 4、混合型注意力训练 实际上就是把眼睛看、耳朵听和做动作结合起来，既训练了视觉和听觉，又训练了动作，这种混合型注意力的训练难度大，注意力稍不集中就可能乱套，所以做这种类型训练要从最简单的动作开始，不能操之过急，可以边说边示范给孩子看，让孩子跟着做，比如说出一种物品的名称，让孩子把它指出来等。 除了对孩子进行注意力训练之外，还有一点也不能忽略，那就是找出孩子注意力不能集中的原因，这样就可以对症下药，根据孩子的弱点，一方面帮助他排除和解决一些防碍他集中注意力的因素，另一方面配合注意力的训练，提高孩子的自我控制能力。其实有时孩子对于和学习没有关系的一些动作、行为不能够做到自我控制，这说明他还不能够分清楚哪些是在上课时不应该做的行为，所以就有必要 帮助他建立这种纪律观念，然后再配合一些训练。在家里可以规定好学习的地方和时间，并且要求他学习时要专心学习，不做其它的事，也不随便说话，每次做到了就加以称赞鼓励，相信时间长了一定会收到成功。 家庭中针对孩子注意力不集中的训练方法 孩子注意力不集中，易分心，是很多孩子具有的特点。年龄越小，控制注意力的时间越短，小学 一年级的学生一次集中注意力时间至多也只有15分钟。这是由于孩子的神经系统发育还不够完善处 在发育当中，注意力不集中这种情况将随着年龄的增长渐好转。而小学要求学生上课要坐40分钟，
小专题12 巧解平行线中的拐点问题 【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠. 【解答】 变式1，当点C 运动到如图所示的位置 如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________. 【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________； （2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________； （3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+???+∠的度数为_________. 变式2 当点C 运动到如图所示的位置 已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点. （1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________； （2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________. 方法指导 解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.
针对训练 1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 65? ??? 2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ?∠=，25CDE ?∠=，则DEF ∠的度数是（ ） .110?A .115?B C.120? D.125? 3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ?∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ） .149?A .149.5?B C.150? D.150.5? 4.如图1，已知//30120AB CD B D ??∠=∠=，，. （1）若60BEF ?∠=，则EFD ∠=____________； （2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.
2021中考数学易错题平行线铅笔头模型探究试题 模型一：铅笔头模型基础 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证 360=∠+∠+∠E D B （2）反之，如图，若 360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 总结： ①辅助线：过拐点作平行线 ②若CD AB //，则 360=∠+∠+∠E D B
③若 360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB // 模型一：铅笔头模型进阶 如图，两直线CD AB ,平行，则= ∠+∠+∠+∠+∠+∠654321 解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证 900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠
总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+???+∠+∠-n A A A A n n 【2-n 个拐点】 模型二：锯齿模型基础 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？ 解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠
（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？ 解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证 G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠ （3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？ 解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
要求：将30张舒尔特表格打印出来并裁减开训练目标（一） A利用舒尔特表加强注意力指向性的训练方法 A1方法: 1 —25按顺序数。 A2方法: 从25—1倒过来数。 A3方法: 1、3、5、7、9 找奇数。 A4方法: 2、4、6、8 10 找偶数。 B、利用舒尔特表加强注意力持久性的训练方法 B1方法：做A1或者A2练习，连续5分钟，数完一张，换第二张，看5分钟内能最快连续数多少张。练完5分钟，如果头疼，额叶位置疼痛或者发晕，这时不用担心， 正是希望出现的结果。因为大脑额叶部分就管注意力的，说明有效果，头晕了，说明 用功了。如果头不疼，不晕，说明强度可能还不够, 可适当加强1 —2分钟训练时 间。 C利用舒尔特表加强注意力广度的训练方法 C1方法：C1: 2个数连起来数: 1-2 3-4 5-6 C2: 3个数连起来数: 1-2-3 4-5-6 7-8-9 C3: 4个数连起来数: 1-2-3-4 5-6-7-8 既要记住数在哪个位置，还要记住数到哪了，对孩子来说可以迅速的锻炼其注 意力的广度。飞行员眼前有175块仪表，要求30秒内看一遍，而且上面所显示 的数据还要必须记在心里，作出判断，看有无异常，然后操纵飞机起飞或者降 落。这，就是训练出来的。
D 、利用舒尔特表加强注意力转移能力的训练方法（需要 5张表格） 练时间。 D1: 1-1 找到第一张的 1后迅速找第二张的 1 D2 :1-1-1 找到第一张的 1后马上找第二张的 1再找第三张的1 D3 :1-1-1-1- 同上 D4 :1-1-1-1-1 同上 D5: 1-1 2-2 3-3 4-4 … … 以此类推，开始的时候可以先用两张 之后可以多加，但是最多不要超过 5张。家长可以给孩子记录单次的训 练习,
平行线常见四种易错题型分析 七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。 我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。 一、性质定理与判定定理的区分 要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。 【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．
二、三线八角理解不透彻 很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。 【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。 三、对平行线的概念理解不透彻
舒尔特数字练习表格
要求：将30张舒尔特表格打印出来并裁减开 训练目标（一） A、利用舒尔特表加强注意力指向性的训练方法 A1方法： 1—25 按顺序数。 A2方法：从25—1倒过来数。 A3方法： 1、3、5、7、9找奇数。 A4方法： 2、4、6、8、10找偶数。 B、利用舒尔特表加强注意力持久性的训练方法 B1方法：做A1或者A2练习，连续5分钟，数完一张，换第二张，看5分钟内能最快连续数多少张。练完5分钟，如果头疼，额叶位置疼痛或者发晕， 这时不用担心，正是希望出现的结果。因为大脑额叶部分就管注意力 的，说明有效果，头晕了，说明用功了。如果头不疼，不晕，说明强度 可能还不够，可适当加强1—2分钟训练时间。 C、利用舒尔特表加强注意力广度的训练方法 C1方法：C1：2个数连起来数：1-2 3-4 5-6 C2：3个数连起来数：1-2-3 4-5-6 7-8-9 C3：4个数连起来数：1-2-3-4 5-6-7-8 既要记住数在哪个位置，还要记住数到哪了，对孩子来说可以迅速的锻炼其注 意力的广度。飞行员眼前有175块仪表，要求30秒内看一遍，而且上面所显示 的数据还要必须记在心里，作出判断，看有无异常，然后操纵飞机起飞或者降 落。这，就是训练出来的。 D、利用舒尔特表加强注意力转移能力的训练方法（需要5张表格）
D1：1-1 找到第一张的1后迅速找第二张的1 D2：1-1-1 找到第一张的1后马上找第二张的1再找第三张的1 D3：1-1-1-1- 同上 D4：1-1-1-1-1 同上 D5：1-1 2-2 3-3 4-4 …… 以此类推，开始的时候可以先用两张练习，之后可以多加，但是最多不要超过5张。家长可以给孩子记录单次的训练时间。
4X4 21 12 7 1 20 6 15 1 7 3 18 19 4 8 25 13 24 2 22 10 5 9 14 11 23 16 5X5 舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM × 1CM 的 25 个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 —25 的共 25 个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 —25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施测者一旁记录所用时间。数完 25 个数字所用时间越短，注意力水平越高。 详细信息 18 岁及以上成年人最好可达到 8"的水平， 25"为中等水平。 “舒尔特方格”不但可以简单测量注意力水平，而且是很好的训练方法。又是心理咨询师进行心理治疗时常用的基本方法。舒尔特表可以通过动态的练习锻炼视神经末梢。心理学上用此表来研究和发展心理感知的速度，其中包括视觉定向搜索运动的速度。培养注意力集中、分配、控制能力；拓展视幅；加快视频；提高视觉的稳定性、辨别力、定向搜索能力。 练习的时间越长，看表所需的时间会越短。随着练习的深入，眼球的末梢视觉能力提高，不仅初学者可以有效地拓展视幅，加快阅读节奏，锻炼眼睛快速认读；而且对于进入提高阶段之后，同时拓展纵横视幅，达到一目十行、一目一页非常有效。 每表按字符顺序，迅速找全所有的字符，平均1个字符用1秒钟成绩为优良，即9格用9秒、16格用16秒、25格用25秒。 练习开始，达到不标准是非常正常的，切莫急躁。应该从9格开始练起。感觉熟练或比较轻松达到要求之后，再逐渐增加难度，千万不要因急于求成而使学习热情受挫。 视野较宽、注意力参数较高的读者，可以从25格开始练习。如果有兴趣继续提高练习的难度，还可以自己制作36格、49格、64格、81格的表。 为了避免反复用相同的表产生记忆，你可以自己动手制作不同难度、不同排序的舒尔特表，规格大致为边长20厘米的正方形，1套制作10张表。汉字一定要选择自己熟悉的文字。 ①眼睛距表30～35厘米，视点自然放在表的中心；②在所有字符全部清晰入目的前提下，按顺序(1～9，A～I，汉字应先熟悉原文顺序)找全所有字符，注意不要顾此失彼，因找一个字符而对其他字符视而
5 9 8 2364 5 2 5 3 6 4 7 5 9 8 6 3 7 9 3 6 2 5498 3 7 2 8 18 1 2 5 2 7 8 6 4 3X3 1 14 4 13 819151612138145891567 13 9 9 2 11 7 45212514101561241641 3 5 8 7 3 10 5 16 7111033467137152111 4 1 6 12 6 1 5 8 6141613111291121310123 4 1 6 10 4X4 21 12 7 1 20 6 15 1 7 3 18 19 4 8 25 13 24 2 22 10 5 9 14 11 23 16 1 20 13 4 23 17191642186111937182210441125179 14 19 8 2 2 15 256107111142522161526141715227201 3 5 9 2 6 25 82031312172321713912208245192321 4 7 3 11 17 10 18212451222494215325118112243 21 12 16 24 18 151492223102051518132316191181661021 5X5 舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM × 1CM 的 25 个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 —25 的共 25 个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 —25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施测 者一旁记录所用时间。数完 25 个数字所用时间越短，注意力水平越高。 详细信息 18 岁及以上成年人最好可达到 8"的水平， 25"为中等水平。 “舒尔特方格”不但可以简单测量注意力水平，而且是很好的训练方法。又是心理咨询师进行心理 治疗时常用的基本方法。舒尔特表可以通过动态的练习锻炼视神经末梢。心理学上用此表来研究和发展 心理感知的速度，其中包括视觉定向搜索运动的速度。培养注意力集中、分配、控制能力；拓展视幅； 加快视频；提高视觉的稳定性、辨别力、定向搜索能力。 练习的时间越长，看表所需的时间会越短。随着练习的深入，眼球的末梢视觉能力提高，不仅初学 者可以有效地拓展视幅，加快阅读节奏，锻炼眼睛快速认读；而且对于进入提高阶段之后，同时拓展纵 横视幅，达到一目十行、一目一页非常有效。 每表按字符顺序，迅速找全所有的字符，平均1个字符用1秒钟成绩为优良，即9格用9秒、16格 用16秒、25格用25秒。 练习开始，达到不标准是非常正常的，切莫急躁。应该从9格开始练起。感觉熟练或比较轻松达到 要求之后，再逐渐增加难度，千万不要因急于求成而使学习热情受挫。 视野较宽、注意力参数较高的读者，可以从25格开始练习。如果有兴趣继续提高练习的难度，还可 以自己制作36格、49格、64格、81格的表。 为了避免反复用相同的表产生记忆，你可以自己动手制作不同难度、不同排序的舒尔特表，规格大 致为边长20厘米的正方形，1套制作10张表。汉字一定要选择自己熟悉的文字。 ①眼睛距表30～35厘米，视点自然放在表的中心；②在所有字符全部清晰入目的前提下，按顺序(1～9，A～I，汉字应先熟悉原文顺序)找全所有字符，注意不要顾此失彼，因找一个字符而对其他字符视而 不见；③每看完一个表，眼睛稍做休息，或闭目，或做眼保健操，不要过分疲劳；④练习初期不考虑记 忆因素。每天看10个表。 16 12 2 18 27 24 14 10 36 16 25 22 15 11 1 17 26 23 12 8 34 14 23 20
舒尔特方格训练法 舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM × 1CM 的 25 个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 — 25 的共 25 个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 — 25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，见下图： 舒尔特方格不仅可用来测量儿童注意力的稳定性，而且用这套图表坚持天天练习一遍，那么孩子注意力水平就能得到大幅度提高，包括注意的稳定性、转移速度和广度。运用这种方法的时侯，家长可以自制几套卡片，绘制表格，任意填上数字。从１开始，边念边指出相应的数字，直到２５为止。 舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM × 1CM 的 25 个方格(注意:方格必定是要这个尺寸的)，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 ― 25 的共 25 个数字。训练时，请求被测者用手指按 1 ― 25 的次序依次指出其地位，同时诵读出声。舒尔特方格不仅可用来测量儿童注意力的稳固性，而且用这套图表保持天天练习一遍，那么孩子注意力水平就能得到大幅度提高。应用这种方式的时侯，家长可以自制几套卡片，绘制表格，任意填上数字。从１开端，边念边指出相应的数字，直到２５
为止。同时诵读出声，施测者一旁记载所用时光。数完 25 个数字所用光阴越短，注意力水平越高。以12 ―― 14 岁年龄组为例，能到达 16 ＂以上为优良，学习成就应是名列前茅， 26 ＂属于中等水平，班级排名会在中游或偏下， 36 ＂则问题较大，测验会呈现不合格现象。 18 岁及以上成年人最好可到达 8 ＂的程度， 20 ＂为中等程度。 该心理训练系统适用于 1 —12 年级学生及成年人，在家可自制“舒尔特方格”几十张，由家长主持，每日坚持对学生进行 5 分钟训练，可有效地改善学生注意力分散的症状，明显改善和提高学生的注意力水平，从根本上做到上课注意听讲，高效率、高质量完成作业，提高学习效率，自然而然地降低考试错误率，顺理成章地达到提高考试成绩的目的。 舒尔特表主要是通过动态的练习锻炼视神经末梢。心理学上用此表来研究和发展心理感知的速度，其中包括视觉定向搜索运动的速度。 练习的时间越长，看表所需的时间会越短。随着练习的深入，眼球的末梢视觉能力提高，不仅初学者可以有效地拓展视幅，加快阅读节奏，锻炼眼睛快速认读；而且对于进入提高阶段之后，同时拓展纵横视幅，达到一目十行、一目一页非常有效。 每表按字符顺序，迅速找全所有的字符，平均1个字符用1秒钟成绩为优良，即9格用9秒、16格用16秒、25格用25秒。 练习开始，达到不标准是非常正常的，切莫急躁。应该从9格开始练起。感觉熟练或比较轻松达到要求之后，再逐渐增加难度，千万不要因急于求成而使学习热情受挫。
平行线间的拐点问题
平行线中的拐点问题 学习目标： 1. 能正确解决常见的拐点问题。 2. 灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。复习回顾： 1. 如图(1), AB//CD ,那么/ B + / E+ / D=( ). A、1800 B > 2700 C、360°D 540° 2. 如图(2), AB//CD,则x, y, z之间的关系是( ) A、x+y+z=360° B、x-y+z=180 ° C、x+y-z=180 ° D y+z-x=180 ° A B D 方法指导：解决平行线中的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一: (1) 已知：如图1, AB // CD,求证：/ B+ / D= / BED; (2) 已知：如图2, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说 明理由. (3) 已知：如图3, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说合作探究二：
已知：如图，AB//CD,试解决下列问题： (1)_______________ Z 1+Z 2= ; (2)__________________ Z 1+Z 2+Z 3= ; (3)______________________ Z 1+Z 2+Z 3+Z 4= ; (4)试探究Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+??+Z n=( ) 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角ZA是105度，第二次拐的角ZB是135度，第三次拐的角是Z C,这时 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1 ?如图，直线I 1 //l，Z A=125，Z B=85，则Z 1+Z 2=( ) A. 30° B. 35° C. 36° D. 40° 2.如图，已知AC// BD Z CAE=30，Z DBE=35。，贝UZ AEB等于( ) A. 30° B. 45° C. 65° D. 75° 明理由.
舒尔特方格训练方法 舒尔特方格不但可以简单测量注意力水平，而且还是最专业最普及最简单的注意力训练方法。以5*5舒尔特方格为例，如下图。就是在一张方形卡片上画上 1CM × 1CM 的 25 个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 — 25 的共 25 个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 — 25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施测者一旁记录所用时间。数完 25 个数字所用时间越短，注意力水平越高。 经过一段时间舒尔特方格的训练，都能取得较好的效果。第一，舒尔特方格是注意力的基础训练。 A 注意力的选择性训练---包括注意力的指向性、集中性和干扰性的基础训练，可以提高学生学习的专注力。 B 注意力的持久性训练---相对延长注意力集中的时间，使学生可以在更长的时间内保持注意力集中，获得更高的学习
效率。 C 注意力的稳定性训练---此训练能够提高学生对枯燥无味的文字符号的耐受性，尽而提高学生注意力的稳定性。 第二，舒尔特方格也是很好的视知觉能力的训练。 D 视觉宽度和广度训练----能够提高学生的视觉宽度和广度，使学生的阅读速度加快。 练习舒尔特方格的时间越长，看表所需的时间会越短。随着练习的深入，学生的视知觉能力得到提高，初学者可以有效地拓展视觉宽度，锻炼眼睛快速认读，加快阅读速度；训练同时也拓展视觉的广度，进入提高阶段之后，能够达到一目十行的效果。 E 手眼协调能力---舒尔特方格可以训练学生的手眼协调能力，提高学生写字速度，解决作业磨蹭。 舒尔特方格的使用说明 以5*5舒尔特方格为例，训练时，要求被测者用手指按 1 —25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施测者一旁记录所用时间。 以5*5舒尔特方格的训练为例，7—12 岁年龄组，能达到26秒以上为优秀， 42秒属于中等水平， 50秒则问题较大。练习开始，达不到标准是非常正常的，切莫急躁。可以从9格开始练起，感觉熟练或比较轻松达到要求后，再逐渐增加难度，不要急于求成。对于幼儿园和低年级的小学生来说可
《平行线中的拐点问题》教学设计 一、学习内容分析 鲁教版七年级下册第八章《平行线的相关证明》平行线中的拐点问题，它是在学生学习了本章内容后，在回顾和思考中利用平行线的性质和判定以及三角形内角和定理解决平行线中的“拐点”问题。 内容特色：整合教材，做小专题研究。 二、学习目标分析 1.掌握经常遇到的平行线中拐点问题的考察方式。 2.熟练应用平行线性质定理和判定定理解决实际问题。 3.进一步发展演绎推理能力。 4.增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感觉，学会倾听、欣赏和感悟，享受数学学习的快乐。 教学重点：拐点问题的解决方法 教学难点：灵活利用已学知识添加辅助线 三、学习者特征分析 1.学生已经熟练掌握平行线的判定和性质以及三角形的内角和定力和推论； 2. 学生在平时的练习中遇到过有关拐点问题的题目，但是很少有深入研究获得一般化结论。 3. 可能出现的问题：（1）学生几何语言不规范。（2）学生运用数学知识归纳总结和数学建模的能力不强。
四、课前任务设计 学生课前的准备：复习第八章《平行线的相关证明》，注意梳理定理，做手抄报。 五、授课过程设计 第一环节：复习巩固，提出问题 教师带着同学们回顾第八章的主要内容，进行归纳，并由生活中的实例提出平行线中的“拐点”问题。 如图1,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，你能求出∠C 的度数吗？ 图1 第二环节：“拐点”问题分类探究 探究1：如图2，AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？并说明理由 解：过点E做EF∥A B ∵AB∥EF（已知）
3X3 4X4 21 12 7 1 20 6 15 17 3 18 19 4 8 25 13 24 2 22 10 5 9 14 11 23 16
5X5 舒尔特方格是在一张方形卡片上画上1CM × 1CM 的 25 个方格，格子内任意填写上阿拉伯数字 1 — 25 的共 25 个数字。训练时，要求被测者用手指按 1 — 25 的顺序依次指出其位置，同时诵读出声，施测者一旁记录所用时间。数完25 个数字所用时间越短，注意力水平越高。 详细信息 18 岁及以上成年人最好可达到 8"的水平， 25"为中等水平。 “舒尔特方格”不但可以简单测量注意力水平，而且是很好的训练方法。又是心理咨询师进行心理治疗时常用的基本方法。舒尔特表可以通过动态的练习锻炼视神经末梢。心理学上用此表来研究和发展心理感知的速度，其中包括视觉定向搜索运动的速度。培养注意力集中、分配、控制能力；拓展视幅；加快视频；提高视觉的稳定性、辨别力、定向搜索能力。 练习的时间越长，看表所需的时间会越短。随着练习的深入，眼球的末梢视觉能力提高，不仅初学者可以有效地拓展视幅，加快阅读节奏，锻炼眼睛快速认读；而且对于进入提高阶段之后，同时拓展纵横视幅，达到一目十行、一目一页非常有效。 每表按字符顺序，迅速找全所有的字符，平均1个字符用1秒钟成绩为优良，即9格用9秒、16格用16秒、25格用25秒。 练习开始，达到不标准是非常正常的，切莫急躁。应该从9格开始练起。感觉熟练或比较轻松达到要求之后，再逐渐增加难度，千万不要因急于求成而使学习热情受挫。
视野较宽、注意力参数较高的读者，可以从25格开始练习。如果有兴趣继续提高练习的难度，还可以自己制作36格、49格、64格、81格的表。 为了避免反复用相同的表产生记忆，你可以自己动手制作不同难度、不同排序的舒尔特表，规格大致为边长20厘米的正方形，1套制作10张表。汉字一定要选择自己熟悉的文字。 ①眼睛距表30～35厘米，视点自然放在表的中心；②在所有字符全部清晰入目的前提下，按顺序(1～9，A～I，汉字应先熟悉原文顺序)找全所有字符，注意不要顾此失彼，因找一个字符而对其他字符视而不见；③每看完一个表，眼睛稍做休息，或闭目，或做眼保健操，不要过分疲劳；④练习初期不考虑记忆因素。每天看10个表。 6X6
第二讲平行线的拐点问题 （一）情景引入 1、设计情景： 2、知识点归纳： 我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看∠A、∠B、∠C之间有什么数量关系？下面我们就来研究下。（二）新课教学： 师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系？ 师：如果不行，是什么原因？ 师：有两直线却没有截线，下面老师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。 师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找∠A、∠B、∠C之间的数量关系。 板书： 解析：以（1）为例： 过A点做AD∥EB ∴∠B=∠BAD EB∥FC ，AD∥EB ∴AD∥FC ∴∠C=∠CAD ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C （2）∠A+∠B+∠C=180° （3）∠A+∠B=∠C （4）∠A+∠C=∠B 归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的基本模型，证明方法都是过拐点作平行线。 巩固练习：
答案：B 解析：过B点作BF∥CD，则可以得出两组同位角，其中∠ABC的一部分等于90°，另外一部分和∠BCD 互补。 答案：155°或115° 解析：画出图形，过P点作出平行线求解，注意P的不同位置，两种情况。 师：图中有没有我们刚刚讲过的平行线拐点基本图形？ 师：同学们习惯于看水平方向的平行线，对于非水平的平行线，可以转动书本变成熟悉的水平平行线来看。师：看懂图形后，谁知道该如何求解？ 2 解析：过C点作CH∥AE ，易得∠C=∠1-∠2= 3 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点求值问题。
师：平行线的判定的有哪些？根据题目所给条件我们应该用哪个判断来证明平行？ 师：题目中有没有点H？没有我们就需要先画出图形。 师：H点到底在D点的左边还是右边？我们需要分类讨论； 板书： （1） BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠EDB ∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=180°∴AB∥CD （2）分析：根据双角平分线可设参数x,y，然后用含x,y的代数式表示∠EBI和∠BHD ①当H点在D点右侧时：2∠EBI+∠BHD=180° ②当H点在D点左侧时：∠BHD=2∠EBI 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。 巩固练习：
题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G. 题型：解答题 难度：4.0 方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题 思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论. 解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ， ∵AB ∥CD ， ∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ， ∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ， ∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6， 即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD. 答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论. 题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN. (1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____； (2)如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP D、1 APB D、1PBD D之和是多少？并说明.
(3)如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD D的度数； (4)按以上规律，请直接写出1CAP D＋12APP D＋…＋5P BD D的度数(不必写出过程). 题型：解答题 难度：4.2 方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题 思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论； (2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到 11=180180CAP +?+=? ∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论； (3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论； (4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可. 解答过程：(1)∵CM ∥DN. ∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°； (2)点1 P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴ 11=180180CAP +?+=?∠∠1，∠2∠DBP ， ∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD o o ???????+=?； (3)过点1P 、2 P 作平行于CM 和DN 的平行线， 根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°， 这里有两个“拐点”，则1 CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD D=3×180°＝540°；
【知识与技能】： 1、灵活利用平行线的性质与判定解决问题。 2、学会添加辅助线的方法。 3 、正确解决常见的拐点问题。 【过程与方法】： 1、灵活运用平行线的性质与判定解决 相关问题。 2 、培养自己一题多解，拓展提升的思 维能力。 【情感态度与价值观】： 1、 感受几何图形的优美和几何变换的巧妙 2、提高 合作学习的意识，增强数学学习的兴趣 重点：正确解决常见的拐点问题。 难点 : 掌握探究拐点问题的基本思路和方法。 利用多媒体（几何画板、实物投影） 、学案进行辅助教学 课题 平行线的性质 平行线中的拐点问题 手段 教学 目标 重点 难点 教学 辅助
教 学 过 程 成逢“拐点” 作平行线
学生活动：分小组讨论 探究2：燕尾型 到∠P =∠A+∠C 4）、在图4 中按以上规律， 有n 个角相加）的度数。 结论：∠A+ ∠G+ ∠H+ ? ∠A+ ∠G+ ∠H+ ?∠C(共 ∠ C=(n-1) 180 1）如图，AB∥ CD,P为AB、CD之间一点，已知∠A=32°，∠C=25°，求∠ P度数. 2）判断∠ A、∠P 、∠ C的关系. 师生活动：请一位学生来叙述自己的做法，老师板书，得 3）当点P在平行线AB、CD 之间运动时∠ A、∠ P 、∠C的
关系是否会发生变化？ 学生活动：请同学们在平行线AB、CD之间任取一点P， 链接AP、CP，自己探究∠ A、∠ P 、∠ C的关系。 2016 十堰中考）AB∥ EF, CD⊥ EF于D，若∠ B= 40°，变式训练 求∠ BCD。 犀牛角型 如图, 已知AB∥CD,点P 是平面上一点，试判断∠P、∠ A、 ∠C 的关系。
平行线的拐点问题的练习 一．选择题（共60小题） 1．如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（） A．180°B．270° C．360° D．450° 2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（） A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360° C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180° 3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（） A．120°B．130°C．140° D．150° 4．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，那么∠E+∠D的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．90° 5．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（） A．28°B．38°C．68°D．82° 6．如图，直线a∥b，∠1=50°，2=30°，则∠3的度数为（） A．20°B．30°C．40°D．50° 7．如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（） A．60°B．70°C．110° D．80° 8．如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3等于（） A．50°B．86°C．94°D．166° 9．已知，如图，AB∥CD，∠DCF=100°，则∠AEF的度数为（） A．120°B．110°C．100° D．80° 10．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（）