北师大版八年级上册第七章单元检测题
本次考试范围:平行线的证明时间:90分钟分值:100分
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列命题中,真命题是()
A.若|a|=|b|,则a=b
B.同位角相等
C.若a=0,则ab=0
D.两边及一边所对的角分别相等的两个三角形全等
2.命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是()
A.平行
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线平行于同一条直线
3.如图,已知AB∥CD,AC∥BC,则图中与∥A互余的角有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知∥ABC的三个内角的度数之比为2∶3∶4,则这个三角形是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
5.如图,直线AC∥BD,AO,BO分别是∥BAC,∥ABD的平分线,则下列结论错误的是()
A.∥BAO与∥CAO相等
B.∥BAC与∥ABD互补
C.∥BAO与∥ABO互余
D.∥ABO与∥DBO不相等
6.用两个相同的三角尺按照如图所示的方式作平行线,能解释其中道理的定理是()
A.同位角相等,两直线平行
B.同旁内角互补,两直线平行
C.内错角相等,两直线平行
D.平行于同一条直线的两直线平行
7.如图所示,AB,CD,AE和CE均为笔直的公路,AE与CD交于路口F,已知AB∥CD,AE与AB的夹角∥BAE为32°,若线段CF与EF的长度相等,则CD与CE的夹角∥DCE为()
A.58°
B.32°
C.16°
D.15°
8.将一副三角尺和一张对边平行的纸条按图所示的方式摆放,两个三角尺的一直角边重合,含30°角的三角尺的斜边与纸条的一边重合,含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上,则∥1的度数是()
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.45°
9.如图所示,在∥ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD,CE相交于点O,则∥A,∥DOE,∥BEC的大小关系是()
A.∥A>∥DOE>∥BEC
B.∥DOE>∥A>∥BEC
C.∥BEC>∥DOE>∥A
D.∥DOE>∥BEC>∥A
10.如图,在∥ABC中,BO,CO分别平分∥ABC,∥ACB,BO,CO交于点O,CE为∥ABC的外角∥ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∥BAC=∥1,∥BEC=∥2,则以下结论:∶∥1=2∥2,∶∥BOC=3∥2,∶∥BOC=90°+∥1,∶∥BOC=90°+∥2中,正确的是()
A.∥∥∥
B.∥∥∥
C.∥∥
D.∥∥∥
第∶卷(非选择题共70分)
二、填空题(每题3分,共18分)
11.将命题“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”改写成“如果……那么……”的形式:.
12.为说明命题“如果a>b,那么1
a >1
b
”是假命题,请你举出一个反例:.
13.如图,在∥ABF中,点C在线段AB的延长线上,CE∥AF于点E,交FB于点D.若∥F=40°,∥C=20°,则∥FBA的度数
为 .
14.如图,AB ∥CD ,∥ABF=2
3∥ABE ,∥CDF=2
3∥CDE ,则∥BED∶∥BFD 等于 .
15.如图,把∥ABC 沿EF 翻折,叠合后的图形如图所示.若∥A=55°,∥1=95°,则∥2的度数为 .
16.如图,在∥ABC 中,∥A=64°,∥ABC 与∥ACD 的平分线交于点A 1,则∥A 1= ;∥A 1BC 与∥A 1CD 的平分线交于点A 2,得∥A 2= ……∥A n -1BC 与∥A n -1CD 的平分线交于点A n ,要使∥A n 的度数为整数,则n 的最大值为 .
三、解答题(共52分)
17.(6分)判断下列命题的真假,若是假命题,请举出反例. (1)若|a|=|b|,则a=b ;
(2)两个锐角之和一定是钝角; (3)实数与数轴上的点一一对应.
18.(5分)一个零件的形状如图所示,按规定∥A应等于90°,∥B,∥D应分别等于30°和20°,李师傅量得∥BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?
19.(5分)如图,点B,F,E,D在同一条直线上,有下列四个论断:∶AB=CD;∶BF=DE;∶∥FCD=∥EAB;∶AE=CF.请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,写出一个真命题(格式为“若,则”),并证明.
20.(6分)如图,已知∥1+∥2=180°,∥3=∥B.
求证:∥AED=∥C.
21.(6分)如图,在∥ABC中,AD∥BC,AE平分∥BAC.
(1)若∥B=72°,∥C=30°.求:
∶∥BAE的度数;
∶∥DAE的度数.
(2)探究:如果只知道∥B=∥C+42°,那么你能求出∥DAE的度数吗?若能,请你写出求解过程;若不能,请说明理由.
22.(8分)(1)探究:如图∶,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点D在线段AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F.若∥ABC=40°,求∥DEF的度数.
(2)应用:如图∶,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点D在线段AB的延长线上,过点D作DE∥BC交直线AC 于点E,过点E作EF∥AB交直线BC于点F.若∥ABC=60°,求∥DEF的度数.
23.(8分)如图,在∥ABC中,点E在AC上,∥AEB=∥ABC.
(1)在图∶中,作∥BAC的平分线AD,与CB,BE分别交于点D,F,求证:∥EFD=∥ADC;
(2)在图∶中,作∥ABC的外角∥BAG的平分线AD,交CB的延长线于点D,DA的延长线交BE的延长线于点F,试探究(1)中的结论是否仍成立,并说明理由.
24.(8分)课题学习:平行线的“等角转化”功能.
阅读理解:
如图∶,已知A是线段BC所在直线外一点,连接AB,AC.
求∥B+∥BAC+∥C的度数.
(1)阅读并补全下面的推理过程:
解:过点A作ED∥BC,则∥B=∥EAB,∥C=.
因为∥EAB+∥BAC+∥DAC=180°,
所以∥B+∥BAC+∥C=180°.
解题反思:
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∥BAC,∥B,∥C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
方法运用:
(2)如图∶,已知AB∥ED,求∥B+∥BCD+∥D的度数.(提示:过点C作CF∥AB)
深化拓展:
(3)如图∶,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,∥ADC=70°.点B在点A的左侧,∥ABC=60°,BE平分∥ABC,DE平分∥ADC,BE,DE所在的直线交于点E,点E在AB与CD两条平行线之间,求∥BED的度数.
参考答案
1.C
2.D [解析] 根据命题由条件与结论组成,把“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……那么……”的形式即可判断.如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线平行,所以此命题的条件是两条直线平行于同一条直线.
3.B
4.A [解析] 设较小的一个内角的度数为2x ,则另外两个内角的度数分别为3x ,4x.根据三角形内角和定理,得2x+3x+4x=180°,解得x=20°,所以2x=40°,3x=60°,4x=80°.所以这个三角形是锐角三角形.
5.D [解析] 因为AO ,BO 分别是∠BAC ,∠ABD 的平分线,所以∠BAO=∠CAO ,∠ABO=∠DBO.因为AC ∥BD ,所以∠BAC+∠
ABD=180°.因此∠BAO ,∠CAO 中的任一角与∠ABO ,∠DBO 中的任一角的和都是90°.因此A,B,C 项正确,D 项错误.
6.C
7.C [解析] ∵AB ∥DC ,
∴∠DFE=∠BAE=32°. ∵CF=EF ,
∴∠DCE=1
2∠DFE=16°.
故选C .
8.A [解析] 如图,延长两三角尺在一条直线上的边与纸条的边相交,根据两直线平行,内错角相等求出∠2=30°,再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°.故选A .
9.D [解析] 因为∠BEC 是△AEC 的一个外角, 所以∠BEC>∠A ,同理可证∠DOE>∠BEC , 所以∠DOE>∠BEC>∠A.
10.C [解析] ∵CE 为外角∠ACD 的平分线,BE 平分∠ABC ,∴∠DCE=1
2
∠ACD ,∠DBE=1
2
∠ABC.∵∠DCE 是△BCE 的外角,∴
∠2=∠DCE-∠DBE=12
(∠ACD-∠ABC )=1
2
∠1,故①正确.
∵BO ,CO 分别平分∠ABC ,∠ACB , ∴∠OBC=1
2∠ABC ,∠OCB=1
2∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB )=180°-1
2(∠ABC+∠ACB )=180°-1
2(180°-∠1)=90°+1
2∠1,故②③错误.
∵C O 平分∠A C B ,C E 平分∠A C D ,∴∠A C O =1
2∠A C B ,∠A C E =1
2∠A C D .∴∠O C E =1
2(∠A C B +
∠ACD )=1
2×180°=90°.∵∠BOC 是△COE 的外角,∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2,故④正确.故选C .
11.如果一个等腰三角形有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形 12.答案不唯一,如:a=2,b=1 13.70°
14.3∶2 [解析] 如图,分别过点E ,F 作AB 的平行线EG ,FH ,则AB ∥EG ∥FH ∥CD.
因为AB ∥FH ,所以∠ABF=∠BFH. 因为FH ∥CD ,所以∠CDF=∠DFH. 所以∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF. 同理可证∠BED=∠DEG+∠BEG=∠CDE+∠ABE. 因为∠ABF=2
3∠ABE ,∠CDF=2
3
∠CDE ,
所以∠BFD=2
3(∠ABE+∠CDE )=2
3∠BED. 所以∠BED∶∠BFD=3∶2. 15.15° [解析] ∵∠A=55°,
∴∠AEF+∠AFE=180°-55°=125°. ∴∠FEB+∠EFC=360°-125°=235°.
由折叠可得∠FEB'+∠EFC'=∠FEB+∠EFC=235°,∴∠1+∠2=235°-125°=110°.
∵∠1=95°,∴∠2=110°-95°=15°.
16.32° 16° 6 [解析] 由三角形的外角性质,得∠ACD=∠A+∠ABC ,∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC. 因为∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1, 所以∠A 1BC=1
2∠ABC ,∠A 1CD=1
2∠ACD.
所以∠A 1+∠A 1BC=1
2
(∠A+∠ABC )=1
2
∠A+∠A 1BC.
所以∠A 1=12∠A=1
2×64°=32°. 同理可得∠A 1=2∠A 2.
所以∠A 2=1
4∠A=1
4×64°=16°. 所以∠A n =∠A 2n .
因为∠A n 的度数为整数,所以n 的最大值为6. 17.解:(1)假命题.反例:如|2|=|-2|,但2≠-2.
(2)假命题.反例:如两个锐角分别为20°,30°,它们的和是50°,是锐角.
(3)真命题.
18.解:能.连接BD.
若零件合格,则∠A=90°,∠ABC=30°,∠ADC=20°,
所以∠A+∠ABC+∠ADC=90°+30°+20°=140°.
根据三角形内角和等于180°,可得∠A+∠ADB+∠ABD=180°.
所以∠CDB+∠CBD=180°-140°=40°.
又因为∠BCD+∠CDB+∠CBD=180°,
所以∠BCD=180°-40°=140°.
这说明若零件合格,则∠BCD=140°,而李师傅量得∠BCD=142°,所以可以断定这个零件不合格.
19.解:答案不唯一,如若①②④,则③.
证明:因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,
即BE=DF.
又因为AB=CD,AE=CF,
所以△ABE≌△CDF.所以∠FCD=∠EAB.
20.证明:因为∠1+∠DFE=180°,∠1+∠2=180°,
所以∠2=∠DFE.所以AB∥EF.
所以∠3=∠ADE.
又因为∠3=∠B,所以∠B=∠ADE.
所以DE∥BC.所以∠AED=∠C.
21.解:(1)①因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=180°-72°-30°=78°.
因为AE平分∠BAC,
∠BAC=39°.
所以∠BAE=1
2
②因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.
所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-72°=18°.
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=39°-18°=21°.
(2)能.因为∠B=∠C+42°,
所以∠C=∠B-42°.
又因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以2∠B+∠BAC=222°.
所以∠BAC=222°-2∠B.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=111°-∠B.
因为在△ABD中,∠BAD=180°-90°-∠B=90°-∠B,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=(111°-∠B)-(90°-∠B)=21°. 22.解:(1)∵DE∥BC,∴∠DEF=∠EFC.
∵EF∥AB,∴∠EFC=∠ABC.
∴∠DEF=∠ABC.
∵∠ABC=40°,∴∠DEF=40°.
(2)∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC=60°.
∵EF∥AB,∴∠ADE+∠DEF=180°.
∴∠DEF=180°-60°=120°.
23.解:(1)证明:因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
因为∠EFD=∠DAC+∠AEB,∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AEB=∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC.
(2)(1)中的结论仍成立.理由如下:
因为AD平分∠BAG,
所以∠BAD=∠GAD.
因为∠FAE=∠GAD,
所以∠FAE=∠BAD.
因为∠EFD=∠AEB-∠FAE,∠ADC=∠ABC-∠BAD,∠AEB=∠ABC, 所以∠EFD=∠ADC.
24.解:(1)∠DAC
(2)过点C向右作CF∥AB.
∵AB∥DE,∴CF∥DE.∴∠D=∠FCD.
∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF.
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°.
(3)如图,过点E作EF∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB ∥CD ∥EF.
∴∠ABE=∠BEF ,∠CDE=∠DEF.
∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∠ABC=60°,∠ADC=70°, ∴∠ABE=1
2∠ABC=30°,∠CDE=1
2∠ADC=35°. ∴∠BEF=30°,∠DEF=35°.
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.