【必考题】数学高考试题(及答案)
一、选择题
1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测
的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+
D ．0.3 4.4y x =-+
2．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与
c 所成的角的大小为（ ）
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
3．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
4．设集合(){}
2log 10M x x =-<，集合{
}
2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{}
22x x -≤< B ．{}
2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
5．()6
2111x x ??++ ???
展开式中2x 的系数为（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
6．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10
B ．11
C ．12
D ．15
7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A ．
34
B ．
16
C ．
1112
D ．
2524
8．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x
y a
-=与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．5
22x x ??+ ??
?的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
11．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2
2
112
a b -+-<
D ．228a b +>
12．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220
B ．2755
C ．
2125
D ．
27
220
二、填空题
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
14．在ABC 中，60A =?，1b =，面积为3，则
sin sin sin a b c
A B C
________．
15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．
16．函数()2
3s 34f x in x cosx =+-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是__________． 17．函数2()log 1f x x =-的定义域为________．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b
a
的取值范围是__________． 20．3
4
3
31654
+log log 8145
-??
+= ???
________. 三、解答题
21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，
BA BP =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD ；
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 23．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.
24．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点.
(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；
(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 25．已知函数()()2
f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．
()1求()f x 的单调区间；
()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A
【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项B ；故选A ．
考点：线性回归直线.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量
的关系，即可求解. 【详解】
设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c 分别是平面,αβ的法向量， 二面角l αβ--的大小为60°，
,b c 的夹角为060或0120，
因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为
，
，所以，
，且，所以
，
，所以
,
故选D.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<
{}2M N x x ∴?=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】
根据二项式定理展开式通项为1C r n r r
r n T a b -+=
()()()66622
111111x x x x x ??++=++?+ ???
则()6
1x +展开式的通项为16r r
r T C x +=
则()62111x x ??++ ??? 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ??+? ???
则()62111x x ??++ ??? 展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】
本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 6．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有1
4C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有0
4C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
7．C
解析：C 【解析】
由算法流程图知s ＝0＋
12＋14＋16＝11
12
.选C. 8．D
解析：D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2
上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =，
因为,()2sin 2()2sin 2()x
x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇函
数，排除选项A,B;
因为π(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
由于1a >，所以1x
x
a y a
-=??
= ???
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】
分析：写出10315
2r
r
r r T C x -+=，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r r r r
r T C x C x
x --+??== ???
令103r 4-=,则r 2= 所以225
52240r
r C C =?=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132?=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>?-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=?，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】
因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一
个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933
1227
(4)220
C C P X C ===，故选
D ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．
二、填空题
13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取
300
6018
1000
?=件，故答案为18．
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．
14．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c进而利用余弦定理可求a的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.
【详解】
60
A=?，1
b=
11
sin1
222
bc A c
==???,
解得4
c=，
由余弦定理可得：
a===，
所以
13239
sin sin sin sin3
a
b c a
A B C A
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的
解析：
6 【解析】 【分析】
将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】
过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，
1122,23BC C D BD ===，故16
cos 422223
C B
D ∠=
=??.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1
解析：1 【解析】 【详解】
化简三角函数的解析式， 可得()2
231
1cos 3cos 344
f x x x x x =--
=-++= 2
3(cos 1x -+， 由[0,]2
x π∈，可得cos [0,1]x ∈， 当3
cos x =
时，函数()f x 取得最大值1． 17．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
解析：[2，+∞） 【解析】
分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.
详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为
[2,)+∞.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8 【解析】
考查类比的方法，111112
22221111
314283S h
V S h V S h S h ??＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以
解析：
【解析】 【分析】 【详解】
因为ABC ?为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ?
<=
3A A πππ?<
??，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==
，所以b
a ∈. 20．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：
278
【解析】
试题分析：原式=34
4
332542727log log 134588
-?
?
??+?=+=
?? ?
?????
?
考点：1.指对数运算性质.
三、解答题
21．(1)见解析；(2)
sin 7
α= 【解析】
试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以
,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC 的法向量
()13,1,3n =
--，设平面PCB 的法向量2n =
(
)
3,1,3-，121212
?1cos ,7
n n n n n n =
=
，即43
sin α=
. 试题解析：
（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =
∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ?= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ?面DMB ，∴PA BD ⊥
（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=
∴DAP ?是等腰三角形，ABP ?是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，
3BM =.
∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥
以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -，()
3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D
从而得()1,0,1DP =-，()
1,3,0DC AB ==，()
1,3,0BP =-，()1,0,1BC AD == 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =
则11?0?0n DP n DC ?=??=??，即11110
30
x z x y -=???+=??，∴()
13,1,3n =--， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =，
由22?0?0n BC n BP ?=??=??，得2222030
x z x +=???-=??，∴(
23,1,3n =-
∴121212
?1
cos ,7n n n n n n =
=
设二面角D PC B --为α，∴21243
sin 1cos ,7
n n α=-=
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2）6． 【解析】 【分析】
（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明
AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ?平面ABCD ，则1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1
AA AD A =，
∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD
ED D =，∴AE ⊥平面ECD .
（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，
则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ，
∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==，
设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·
0n AC n AE ?=?=?，即240
220x y y z +=??
+=?
，
不妨取()2,1,1n =--，
则直线1A C 与平面EAC
所成角的正弦值为444=
6
36
6n AC n AC
-+-=
=
． 【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（1）12x x ??
>
????
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??
=-<
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x
??????
； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??
=-<
故不等式()1f x >的解集为12x x
??????
． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
24．
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7
- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ?菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ?平面ABEF ，∴AD AG ⊥，
∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=?，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ?=，∴AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB =BC 1=，则AD 1=，3AG 2
=
， 故()A 000，，
，3C 12??- ? ???，，()D 001，，，3A 002??
???，，，
则3122AC ??=- ? ???
，，()001AD =，，，3002AG ，，??= ???， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =，，
，则1111113·
022
·0AC n x y z AD n z ?=-+=???==?
，
取1y =()
11
3n ，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =，，
，则2222223·10223
·02
AC n x y z AG n x ?=-+=????==??
， 取22y =
，得(202n =，
设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212
|?|2321
cos θ727·n n n n =
=
=?， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217
-
. 【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
25．（1）见解析； （2）2e 2e
a 2e 2
-≥-.
【解析】 【分析】
()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范
围． 【详解】
()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．
()()()()
22x 2a 1x 2a
2x 1x a f'x (x 0)x
x
-++--∴=
=
>，
由
得1x a =，2x 1=，
当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，
在()x a,1∈时
，
()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；
当a 1=时，在()x 0,∞∈+时
，
()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；
当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，
在()x 1,a ∈时
．
()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．
()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点，
()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，
即有()()f 112a 10=-+≤且()()2
f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，
解得2e 2e
a 2e 2
-≥-．
即实数a 的取值范围是2e 2e
a 2e 2
-≥-．
【点睛】
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．