中考数学综合专题训练二次函数压轴题

中考数学综合专题训练二次函数压轴题

1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax 2

+bx+3经过A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。

答案：解：（1）抛物线y=ax 2

+bx+3经过A （-3,0），B （-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a ＝1

b ＝4∴抛物线的解析式为y=x 2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2

-1∴抛物线的顶点M

（

-2

，

,1

）

∴

直

线

OD

的

解

析

式

为

y=

2

1x

于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h ，21

h ），∴平移的抛物线解析式为y=（x-h ）

2

+2

1h.①当抛物线经过点C 时，∵C （0，9），∴h 2

+21h=9，

解得h=21. ∴ 当 21≤h<

21 时

，平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点. （

2）当抛物线与直线CD 只

有一个公共点时，

由

方

程

组

y=

（

x-h

）

2

+

2

1h,y=-2x+9.

得 x 2+（-2h+2）x+h 2+21h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h 2

+21

h-9）=0，

解得h=4.

此时抛物线y=（x-4）2

+2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围

是 h=4或 21≤h<2

1. （3）方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x 2

， 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）. 假设存在满足题设条件的点P （0，t ），如图，过P 作GH ∥x 轴，分别过E ，F 作GH 的垂线，垂足为G ，H.∵△PEF 的内心在y 轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP ，∴△GEP ∽△HFP ，...............9分∴GP/PH=GE/HF,

∴-x E /x F =(y E -t)/(y F -t)=(kx E +3-t)/(kx F +3-t) ∴2kx E ·x F =（t-3）（x E +x F ）

由y=x 2，y=-kx+3.得x 2

-kx-3=0. ∴x E +x F =k,x E ·x F =-3.∴2k （-3）=（t-3）k,∵k ≠0,∴t=-3.∴y 轴的负半轴上存在点P （0，-3），使△PEF 的内心在y 轴上.

方法 2 设EF 的解析式为y=kx+3（k ≠0）,点E ，F 的坐标

分别为（m,m 2）（n,n 2

）由方法1知：mn=-3.作点E 关于y 轴的

对称点R （-m,m 2

）,作直线FR 交y 轴于点P ，由对称性知∠EPQ=∠FPQ ，∴点P 就是所求的点.由F,R 的坐标，可得直线FR 的解析式为y=（n-m ）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P （0，-3）.∴y 轴的负半轴上存在点P （0,-3），使△PEF 的内心在y 轴上.

点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．

2．（如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （-4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；

（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2=d 1+1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．

【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，把B （-4，4）代入即可得到a 的值；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，易证Rt △BAE ≌Rt △ACD ，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C 点坐标（3，5）；

（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，则有d 1= 21

a 2，又AF=OF-

OA=PH-OA=d 1-1= 21a 2-1，PF=a ，在Rt △PAF 中，利用勾股定理得到PA=d 2= 21

a 2+1，即有结论

d 2=d 1+1；

（3）△PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC 的周长=PC+PH+6，要使PC+PH 最小，则

C 、P 、H 三点共线，P 点坐标为（3，21

），此时PC+PH=5，得到△PAC 的周长的最小值=5+6=11．

【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，

∵拋物线经过点B （-4，4），

∴4=a ?42，解得a=21

，

所以抛物线的解析式为：y= 21

x 2；

过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图， ∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ， ∴Rt △BAE ≌Rt △ACD ，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5，

∴C 点坐标为（3，5）；

（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，

∵点P 在抛物线y= 21

x 2上，

∴b= 21

a 2，

∴d 1= 21

a 2，

∵AF=OF-OA=PH-OA=d 1-1= 21

a 2-1，PF=a ，

在Rt △PAF 中，PA=d 2= 21

= 21

a 2+1，

∴d 2=d 1+1；

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC 的周长=PC+PA+5 =PC+PH+6，

则C 、P 、H 三点共线时，PC+PH 最小，

∴此时P 点的横坐标为3，把x=3代入y= 21x 2，得到y=21

，

即P 点坐标为（3，21

），此时PC+PH=5，

∴△PAC 的周长的最小值=5+6=11．

【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax 2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC 的周长转化为PC 与PH 和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．

本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3）小题非常类似，如下题，供参考。

（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP的面积．

3．已知抛物线：y＝x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

1

2

【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，得出关于m的方程，求出m的值．(2)求出点A、B的坐标，得出OA＝OB，再根据AC∥x轴，得出∠BAC＝45°，根据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出AB＝BC，则△ABC为等腰直角三角形．或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形．(3)由平移规律，得出抛物线C′的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF 的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标．【解】（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴△＝b2－4ac＝22－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2．

（2）方法一：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x+1．

把x＝0代入y＝x2－2x+1，得y＝1，

∴点A的坐标为（0，1）．

把y＝0代入y＝x2－2x+1，得x＝1，

∴点B的坐标为（1，0）．

∴△AOB是等腰直角三角形．

又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°．

A，C是对称点，∴AB＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

方法二：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x+1．

把x＝0代入y＝x2－2x+1，得y＝1，

∴点A的坐标为（0，1）．

把y＝0代入y＝x2－2x+1，得x＝1，

∴点B的坐标为（1，0）．

∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为1．

把y＝1代入y＝x2－2x+1，得x1＝0，x2＝2．

∴点C的坐标为(2，1)．

∴AC ＝2，AB ＝21＝21，BC ＝21＝21

．

∴AB ＝BC ．

又∵AB 2+BC 2＝21+21

＝2+2＝4＝AC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形．

（3）平移后解析式为y ＝x 2－2x －3，可知F(0，－3)． 把y ＝0代入y ＝x 2－2x －3，得x 1＝－1，x 2＝3． 又点E 在x 轴得左半轴上，∴E(－1，0)．

设直线EF 的解析式为y ＝kx －3，把E(－1，0)代入y ＝kx －3，得k ＝－3， ∴EF 的解析式为：y ＝－3x －3．

平面内互相垂直的两条直线的系数k 值相乘等于－1，

∴过E 点或F 点的直线为y ＝21

+b ．

把E 点和F 点分别代入可得b ＝21

或－3， ∴21或y ＝21

－3．

解方程21解得x 1＝－1，x 2＝21

．x 1是E 点横坐标，舍去．

把x 2＝21代入21，得y ＝21，∴P 1（21，21

）．

同理，解方程21解得x 1＝0(舍去)，x 2＝21

．

把x 2＝21代入21，得y ＝－21，∴P 2(21，－21)．

【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，①b 2－4ac ＝021

二次函数y ＝ax 2+bx+c 与x 轴只有一个

交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1．

4． 如图，抛物线y ＝21

x 2―mx +n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交与点C （0，-1）且对称轴是x =1.

（1）求抛物线解析式及A ，B 两点的坐标；

（2）在x 轴下方抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积是3？若存在，求出点D 的坐标，若不存

在，说明理由（使用图1）；

（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满

足条件的点P 的坐标（使用图2）.

【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m ,代入C 点坐标可求解n ；（2）将四边形分割成三角形AOC 、OCD 、OBD ，三角形AOC 面积可求，三角形OCD 、OBD ，的底已知，高分别为点D 的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 只能在y 轴正半轴上，且PQ =AB =4 , PQ ∥AB ,即已知点P 横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．

【答案】解：（1）x =21=1,∴m =21，∴y ＝21x 2―21

x +n .把C （0，-1）代入得n= -1,∴求抛物线解析式是y ＝21x 2―21

x -1；

令0＝21x 2―21

x -1，得x =3或-1，∴A ，B 两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）；

（2）存在.

设D 的坐标是（x ，y ），则y ＝21x 2―21

x -1，连接AC 、CD 、OD 、BD . ∴S △AOC + S △OCD + S △OBD =3，∴21×1×1+21×1×x +21

×3×(-y )=3, ∴21+21x +21×3×(―21x 2+21

x +1)=3,

解得x =2或1，所以y =-1或-21，∴D 的坐标是（2，-1）、（1, -21

）.

（3）（3）1°当AB 为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥A B ,则P 点的横坐标是4或-4，把x =4代入y ＝

21x 2―21x -1得y =21;把x = -4代入y ＝21x 2-21x -1得y=7，即当P 的坐标是（4，21

）或（-4，7）时以

Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.

2°当AB 为对角线时，则AB 与PQ 互相平分，线段AB 中点是G ，PQ 过G 与y 轴交于Q 点，过点P 作x 轴垂线交x 轴于H ，则△PHG ≌△QOC ，所以OG=GH ，又因为点G 的横坐标是1，所以点P 的横坐标

是2，把x=2代入y ＝21x 2-21

x -1得y= -1，即当P 的坐标是（2，-1），即当P 的坐标是（2，-1））时以

Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形.

综上，当P 的坐标是（4，21

）、（-4，7）或（2，-1））时以Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行

四边形.

【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．

5．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：

（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？

（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天用电量m (千度)的函数关系为x =10m +500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。

【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：

21

该函数图象过点21

∴21，解得21 ∴2121

当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润21

（元/千度）

（3）设工厂每天消耗电产生利润为w 元，由题意得：

21

化简配方，得：21

由题意，21，∴当21时，21

即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。

【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。

6．抛物线y =ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A （m －4,0）和B(m ,0)，与直线y =－x +p 相交于点A 和点C(2m －4,m －6).

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点P 在抛物线上，且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12，求点P,Q 的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M 是x 轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM 的面积最大时，请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。

【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C 两点在一次函数图象上，求得m 值，从而得出A,C 两个点的坐标，进一步确定出B 的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。

(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ 与y 轴的交点。结合二次函数求出P,Q 的坐标。可能有两种情况，分别讨论。

（3）△PQM 中PQ 一定，只需PQ 上的高最大则△PQM 的面积最大。

【答案】解：点21和21

在直线y =－x +p 上 ∴21解得21∴21

设抛物线21∵21∴21

∴抛物线解析式为21

（2）AC=21，AC 所在直线的解析式为：21

，∠BAC=45° ∵21

的面积为12 ∴21中AC 边上的高为21

过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，DK=21

,∴DN=4

∵21

的边PQ 所在直线在直线AC 的两侧可能各有一条，

∴PQ 的解析式为21或21

∴21解得21或21 21

方程组无解 即21,21

∵四边形ACQP 是平行四边形，21

∴当21时，21 当21时，21

∴满足条件的P,Q 点是21,21或21,21

（3）设21，过点M 作y 轴的平行线，交PQ 所在直线点T ，则21，21

过点M 作MS ⊥PQ 所在直线于点S ，

21=21

∴当21时，21，△PQM 中PQ 边上高的最大值为21

【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。

7．如图，在平面直角坐标系中，直线21与抛物线21

交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E .

①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；

②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标．

【解题思路】（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A 、B 点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解. （2）①根据△AOM ∽△PED ，得出DE ：PE ：PD=3：4：5，再求出PD=y P -y D 求出二函数最值即可；②根据G 和F 点的位置进行分类讨论：当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC=AO=2，即，解得x 的值，求出P 点的坐标，当点F 落在y 轴上时，同法可得求出P 点的坐标．

【解】（1）对于

21，当y ＝0，x ＝2.当x ＝－8时，y ＝－2

1. ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为2

1

由抛物线21

经过A 、B 两点，得

2

1

解得21 （2）①设直线2

1

与y 轴交于点M ．

当x ＝0时，y ＝21. ∴OM ＝2

1

.

∵点A 的坐标为（2，0），∴OA ＝2.∴AM ＝2

1

∵OM ∶OA ∶AM ＝3∶4∶5.

由题意得，∠PDE ＝∠OMA ，∠AOM ＝∠PED ＝90°，∴△AOM ～△PED . ∴DE ∶PE ∶PD ＝3∶4∶5．

∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴PD ＝y P －y D

2

1 ＝

21 ∴21 21 2

1

②满足题意的点P 有三个，分别是

21 2

1 当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC ＝AO ＝2，即21，解得21，所以2

1 当点F 落在y 轴上时，同法可得2

1

，

2

1

（舍去）. 【点评】此题是一个典型的动点压轴题，它融知识于一体，包万象于其中，知识点之多,综合性之强，难度系数之大.分类讨论思想是重要的数学思想，同学们一定注意掌握．

8．如图12，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P 是线段OC 上的一动点（点P 与点O 、C 不重合），过点P 的直线x ＝t 与AC 相交于点Q ．设四边形ABPQ 关于直线x ＝t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为S ． ⑴点B 关于直线x ＝t 的对称点B ′的坐标为________； ⑵求S 与t 的函数关系式．

【解题思路】(1)对称点连线被对称轴垂直平分，可以求B ′的坐标；

（2）因为点P 的位置不同导致点B 的对称点B ′的位置不同，可能在线段OC 上，也可能在线段OC 的延长线上，如图a 和图b ，重合部分分别是四边形和三角形，图a 先求AC 的解析式和A ’B ’的解析式，求出点M 的纵坐标，然后用△QPC 的面积减去△B ’MC 的面积；图b ，直接求△QPC 的面积即可．

【答案】（1）B ’（2t+1,0）

（2）当t=1.5是点B 关于x=t 的对称点B ’与点C 重合

当0

所以21①， 当x=t 时，QP=21

由对称性可知A ’(2t ，2)，B ’（2t+1,0）设A ’B ’的解析式为y=kx+b ，代入得21

解得21，所以21②

由①②可知21，所以21

21

Q

Q

P

P

当21

时（如图b ）重合部分的面积 21

【点评】本题是一次函数、二次函数结合的综合题，偏重于一次函数，两次求一次函数的解析式，两次求交点坐标，多次解二元一次方程组，计算量比较大，加上分情况讨论点B ’的位置，导致此题难度较大，不容易做完．

9．如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． ⑴求该抛物线的解析式；

⑵抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．

【解题思路】（1）把A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，得到三元一次方程组，解出a 、b 、cj 即可；因为A 、B 是抛物线与x 轴的交点，也可以把抛物线设成y=a （x+1）（x-3），然后代入C 得坐标。

（2）若使△QMB 与△PMB 的面积相等，须等底等高，因此考虑和BC 平行的直线PQ 和l ，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点Q 的坐标；

（3）（图b ）要使△RPM 与△RMB 的面积相等，须等底等高，MR 要是底的话，点P 、B 到MR 的距离PN 抽查（图中没有画出来）=BD ，易证三角形PNE 与三角形BDE 全等，因此PE=BE ，点M 为PF 的中点，E 为PB 的中点，因此ME 与x 轴平行，点M 与N 重合，把y=2代入二次函数即可求点R 的横坐标（舍掉不符合题意的那个）。

【答案】（1）依题可知21 解得21

所以抛物线的解析式为y= -x 2+2x+3

（2）（图a ）y= -x 2+2x+3可变形为21

，所以顶点坐标P （1,4）

设 BC 的解析式为21∵B （3，0）、C （0，3）∴21 ∴21 ∴21

∴点M 的纵坐标y=-1+3=2，即M （1,2）设对称轴与x 轴的交点为F ，∴PM=MF ，∴S △PMB =S △FMB

∵△QMB 与△PMB 的面积相等，∴点Q 在过点P 且平行于BC 的直线a 上或过点F 且平行于BC 的直线b 上，

设a 的解析式为21，则21，即21，∴21

图a 图b

F

F

设b 的解析式为21，则21，即21，∴21

设a 与抛物线相交于Q （m ，-m+5），b 与抛物线的交点Q ’（n ，-n+1），则21

解得21 2121 解得21 21，∴点Q ’的坐标为21

综上，满足条件的Q 的坐标有三个，分别是（2，3）、21、21

（3）存在，点R 的坐标为（21

，2）．

【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法——待定系数法，两种方法难度较小；第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个Q ，利用到等底等高的两个三角形面积相等，很自然地想到平行线间的距离相等．求BC 的两条平行线的解析式时，要用到“在坐标系中，平行线的k 值相等”．求交点的方法就是连方程组，解方程组．难度较大．第三问是拔高题．

10．已知抛物线21的图象向上平移m 个单位(21

)得到的新抛物线过点(1,8).

(1)求m 的值,并将平移后的抛物线解析式写成21

的形式；

(2)将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y 的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,

同时写出该函数在21≤21

时对应的函数值y 的取值范围；

(3)设一次函数21,问是否存在正整数21使得(2)中函数的函数值21时,对应的x 的值为21,若存在,求出2

1

的值；若不存在,说明理由.

【解题思路】第(1)小题得出平移后含21

的解析式是关键,再用待定系数法、配方法,求解问题；第(2)小题要

理解好题意,构造出分段函数,用数形结合思想方法得出21

的取值范围；第(3)小题根据自变量

的取值范围21

,得出相应的二次函数解析式,与一次函数联立列出二次方程,再次结合自变量的

取值范围21

解出答案.

【答案】解:(1)由题意可得

21

又点(1,8)在图象上

∴21 ∴21

………………………………………………………(1分) ∴21

………………………………………………(3分) (2)21

如图 ………………………………………………(7分)

当21时,21

………………(9分)

(3)不存在 ………………………………………………(10分)

理由:当21且对应的21

时

21 ∴21,21

………………………………………(11分) 且21 得21

∴不存在正整数21

满足条件 ……………………………(12分)

【点评】本题以抛物线为载体,结合图形的平移与对称,考查了初中数学的主干知识:函数、方程与不等式；

考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力；考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)

小题学生易用两端点的值代入求21

的取值范围,容易造成失分,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要

求较高,具有很好的区分度.综合可得,本试题用存在性问题连接着一次函数与二次函数,连接着方程与不等式,试题呈现方式新颖,难度较大.

11．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点 ⑴求 m 的值；

⑵求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；

⑶ 若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S

的21

？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

目

【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为21

∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)

∴21，21

∴21，21

∵点B(6,m)在反比例函数21

的图像上

∴21

⑵由⑴得点B(6，21

)，

设直线OA 向下平移后BD 的解析式为：21

把点B(6，21)代入BD 的解析式：21得21

∴D(0，21

)

设过A ( 3 , 3)，B(6，21)，D(0，21

)的

抛物线的解析式为则

解得：.

∴

⑶∵BD：，∴令得则C()

∴

∴

假设存在点E，则

∴，令

解得，（不合题意，舍去）

∴

【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.

12．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置

时有最大？并求出最大值。

【解题思路】1）待定系数法求二次函数解析式

2）求线段AC垂直平分线与抛物线的交点

3）为直线上一点到直线外两点距离差最小利用轴对称解题

【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）

∴

解得：

∴y=

（2）∵PA= PC ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）

（1．0）所在的直线为y=－x+1

解得：

∴P1（）P2（）

（3）D为E关于对称轴x=1.5对称

CD所在的直线y=－x+3

∴y Q=4.5 ∴Q（-1.5．4.5）

最大值为QC==

【点评】本题综合性较强，主要考查了一次函数、二次函数等知识，用到了待定系数法、数形结合等数学思想．难度较大．

13. 已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的

（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q 是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。

【答案】解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为

∵的图像经过了点B(5,5)

∴解得

∴

即：

⑵.

如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。

∵A(1,5),B(5,1)

∴

∴

⑶.①如图

∵

∴直线AB的解析式为

∴直线与直线的交点

∵，点Q为OP的中点

∴

∵△PBR与直线CD有公共点，

∴，即

【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

2020上海中考数学压轴题专项训练

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、 Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；

⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线 l 过()01-，点． ⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

初中二次函数计算题专项训练与答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

中考数学压轴题 易错题难题专项训练检测试题

一、中考数学压轴题 1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点． （1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是 O 一点，1cm OM =． ①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 2．如图1，在 O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ， AD AB =． （1）求证：2CAO CDB ∠=∠ （2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE += （3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长． 3．已知抛物线2 17 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．

4．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中， DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积． 5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接 BE ，DE ． （1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长； （2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且 DF CD =，求证：12 AB EF =； （3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系 6．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =， 3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，

二次函数综合大题压轴题Word版

姓名学生姓名填写时间 学科数学年级初三教材版本人教版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（ 2）课时 课题名称二次函数综合大题（压轴题） 课时计划 第（ 1、2 ） 课时 共（ 4 ）课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容学校同步学到圆周角，1对1提前学到圆结束 个性化学习问题解决二次函数综合大题（压轴题） 教学过程 教师活动 二次函数综合大题（压轴题） 一、经典例题精讲 面积类 例1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

二次函数培优专项练习

学习必备 欢迎下载 1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是 2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与 抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数, 则k 的值是______ ４.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５. 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2 )13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增 大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为 12.若二次函数k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠） 时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2)3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４ 时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 16.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的 形式，则n m ?=_____。 ★17. 已知抛物线在X 轴上截得的线段长为６.且顶点 的顶点到x 轴的距离是3, 那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14 19.二次函数y=x 2 -(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 20.若0 Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 30.抛物线y= (k 2-2)x 2 +m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= - 2 1 +2上，求函数解析式。 31.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 32.y= ax 2 +bx+c 图象与x 轴交于A 、B 与y 轴交于C ，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式 32.抛物线562 -+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为C.与Y 轴交于点D (1)求△ABC 的面积。 (2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。求M 点坐标(得分点的把握) （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得 △QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 4)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBAC 是等腰 梯形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由

二次函数和几何综合压轴题题型归纳

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 课 题 函数的综合压轴题型归类 教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______

二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交 图2

于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

中考数学二次函数压轴题题型归纳

1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

2017二次函数应用题专题训练

作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？

3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案 一、二次函数 1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D . （1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标； （2）点(,0)P t 是x 轴上的动点， ①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标； ②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2 ||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围. 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最 ，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或 332t ≤<或72t =. 【解析】 【分析】 （1）先利用对称轴公式x=2a 12a --=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式； （2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； （3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ?-++≥=?--+

人教版初中数学九年级上册 二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11，抛物线与轴 相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物 线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）. (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛 物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与 △APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的 坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、 A（1，0） 设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 （2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时，PM的最大值为92 ②M1（0，6） M2（-14，678） 2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P， A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另 一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l 交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在 点D的位置． (1) (3分) 求直线l的函数解析式； 图9 (2) (3分) 求点D的坐标； (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．