二次函数中直角三角形存在性问题
1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么
以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
例一：如图，抛物线()2
230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；
（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.
例二、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：
2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP
是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？
若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （12，52
）和B(4，m)，点P 是线
段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
6、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角
三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数与图形专题 姓名： 图象型 经典例题 例1.如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交 AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ） D O 4 2 4O 424 O 4 24 O 4 24 A y x B C C A E F B D 例2.(2013年南京建邺区一模)矩形ABCD 中，AD =8 cm ，AB =6 cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：cm 2 )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 （ ） 变式训练*举一反三 1.如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD =45°，DF ⊥AB 于点F ,EG ⊥AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时，设AF =x ，DE =y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的 图象大致是（ ） 2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ． 2 425 y x = B ．225y x = C ．2225y x = D ．2 45 y x = 3．（赵州二中九年七班模拟）点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF 、 EF ．设AF ＝x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） 第3题 A B C D
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
1 / 13
二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
2 / 13
巧用数形结合思想解二次函数中的问题 摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，已经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理,亦能解决, 但运算繁、技巧强、难度大若以形助数, 则运算简、技巧弱、难度小。 关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数 由于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。 一、数形结合思想概述 法国著名的自然辨证哲学家恩格斯曾经说过“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓
我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径．因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法．而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学． “数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面．一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样．有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体。永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛．大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。巧妙运用“数形结合”思想解题．可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果。 二、二次函数与系数之间的关系
图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB 二次函数中与角有关的存在性问题 与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。 然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。 【类型一 相等角的存在性问题】 （一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角 例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2 与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标. （二）.利用相似三角形构造相等角 例2 如图，抛物线c bx x y ++=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交 抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标； （2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标； 解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将 B 、 C 点 坐 标 代 入 解 析 式 ， 得 ()822 162212 2--=--= x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8） （2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设?? ? ?? --6221, F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ， 所以BDE FAG ∽△△，所以 FG AG EB DE = ，即2622 12482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422 --=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为?? ? ??297，； 当点F 在x 轴下方时，则有）（12422 ---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为??? ? ?-275， ，,综上可知点F 的坐标为??? ?? 297，或?? ? ? ?-275， . 二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由． 课题：数形结合在二次函数中的应用 公主岭四中 曹立华 教学目标： 1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。 2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。 3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。 教学过程： 数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。 一、数促形，让感性的形多一分理性 思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑： （1）a 、b 、c 的符号 （2）2 4b ac -的符号 （3）顶点位置 例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >- 中正确的个数是( ) (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中 各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。 归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。 图形问题可以转化为数量问题。同样有时数量问题也可以转化为图形问题。 二、形帮数，让理性的数多一些感性。 x … -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 … （1）该抛物线对称轴的直线方程是 。 （2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC 分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。 二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ， 中考数学二次函数考点分析 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。 二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2010年河北中考11题，2009河北中考22题，2007河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2010年河北中考26题，2008河北中考25题，2006河北中考24题。 考点1：二次函数的有关概念 一般的，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 例m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？考点2：二次函数的图象性质 （1）抛物线的形状 二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 （2）抛物线的平移 二次函数y=ax?向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax?+bx+c。新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。 （3）抛物线与坐标轴的交点 抛物线与x轴相交时y＝0，抛物线与y轴相交时x＝0。 （4）抛物线y=ax2+bx+C中a、b、c的作用 a决定当开囗方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 a和b共同决定对称轴。 C决定与y轴交点。 （5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值 顶点式：y=a(x-h)2+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。 一般式：y=ax?+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。 例1.(2008河北中考9题)如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的 对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂 函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标． 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． ---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )； 二次函数中得数形结合 一、选择题 １．对于二次函数y=(ｘ﹣1)2+２得图象,下列说法正确得就是( ) A.开口向下B．对称轴就是x=﹣1 C.顶点坐标就是（1，2） D.与x轴有两个交点 ２．已知二次函数y=aｘ2＋bｘ＋c(ａ，ｂ,c就是常数,且ａ≠0)得图象如图所示,则一次函数y=ｃｘ+与反比例函数y=在同一坐标系内得大致图象就是（) A. B. Ｃ. Ｄ． ３.已知二次函数y=ax2+bｘ＋ｃ(a≠0)得图象如图,且关于x得一元二次方程aｘ2＋bx+ｃ﹣m=0 没有实数根，有下列结论:①b2﹣４ac>０;②aｂc<０；③m>2. 其中，正确结论得个数就是（ ) ?A． 0 B. 1? C． 2 Ｄ.3 ４.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象如图,给出下列四个结论:①4aｃ﹣ｂ２＜0;②４a+ｃ<2b;③3ｂ+2c<0;④m(aｍ+b)+ｂ＜a(m≠﹣1), 其中正确结论得个数就是( ) ?A.４个?Ｂ. 3个? C. ２个 D. １个 5.已知开口向下得抛物线y＝ａx2+bx+c得顶点为D(﹣1,2)，与x轴得一个交点A在点 （﹣3,０)与(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①ｂ2﹣４ac＜０;②a+b＋c<0；③c﹣a=2;④方程ａx2＋bx+c﹣2=0有两个相等得实数根. 其中正确结论得个数为( ） A．1个Ｂ.2个C.３个D.4个 6.已知a、h、k为三数,且二次函数ｙ=ａ(x﹣h)2＋k在坐标平面上得图形通过(0,5)、（１0, 8)两点.若a<0,０＜h<10,则h可能为 ( ) A．1 B.３Ｃ．5 D.７ ７.已知点A(a﹣2b，2﹣4ａb)在抛物线ｙ=ｘ２＋4ｘ+1０上,则点A关于抛物线对称轴得对称点坐标为( ) 8.当﹣2≤ｘ≤１时,二次函数ｙ=﹣(x﹣m)2＋ｍ2+1有最大值4,则实数m得值为( ） A．B. 或Ｃ. 2或D. ２或﹣或 ９.“如果二次函数y＝ax2+ｂx+ｃ得图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ａｘ2+ｂx+c=０有两个不相等得实数根.”请根据您对这句话得理解,解决下面问题:若m、n（m 已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小 点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大 点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值 连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N 变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题 点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题 “数形结合”在二次函数中的应用 数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。 1、“以形解数” 例1：已知：点（-1 ，1y ） （-3 ，2y ） （2，3y ）在y=3x 2+6x+2 的图象上， 则：1y 、2y 、3y 的大小关系为（ A. 1y ＞2y ＞3y B. 2y ＞1y ＞3y C. 2y ＞3y ＞1y D. 3y ＞2y ＞1y 分析：由y=3x 2+6x+2 =3（x+1）2- 1画出图象1抛物线的对称轴为直线x=-1 图1 即：x=-1 时,y 有最小值, 故排除A 、B ，由图象可以看出：x=2时 y 3的值,比x=-3时y 2的值大,故选c. 例2: 已知抛物线y=2x 2+x-2m+1与x 轴的两个交点，在原点的两 侧，则m 的取值范围是（ ） A m ＞1 2 B m ＜12 C m ＞-12 D m ＞7 16 分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法， 先画出抛物线y=2x 2+x-2m+1 的草图，易知当x=0时，y ＜0, 因此，只要解不等式-2m+1＜0即 可，即m ＞12 ，故选A 例3：二次函数 y=ax 2+bx+c 象限,则此抛物线开口向 ，c 的取值范围 ，b 的取值范围 ，b 2-4ac 的取值范围 。 解：由题意画出图象，如图： 从而判断：a ＞0, c ≥0 ∴对称轴：x=-2b a ＜0 ∴b ＞0 图象与x 轴有两个交点：∴ ?＞0 即b 2 -4ac ＞0 注：以上各题是“以形助数”即 将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。 2、“以数助形” 例4:已知：二次函数m x m x y ----=1)1(22的图像与x 轴交于 A （1x ，0）、 B （2x ，0），210x x <<，与y 轴交于点 C ，且满足 CO BO AO 211=- 求：这个二次函数的解析式； 解: ∵210x x << 中考数学二次函数存在性问题及参考答案 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。 三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点， 抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； 第十四讲 数形结合问题 【典型例题1】 如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的表达式； （2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到 顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?； （3）是否存在一点P ，使S △PAB =8 9 S △CAB ，若存在，求 出P 点的坐标；若不存在， 请说明理由. 解：(1)设抛物线的表达式为 4)1(21+-=x a y 。 把A （3,0）代入表达式，求得1-=a 。 所以324)1(2 2 1++-=+--=x x x y 。 设直线AB 的表达式为 b kx y +=2。 由322 1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 。 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中，解得 3,1=-=b k 。 所以32+-=x y 。 (2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2。 所以CD ＝4-2＝2。 3232 1 =??= ?CAB S (平方单位)。 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h 3)3()32(2 2 21+-=+--++-=-=。 由S △PAB = 89S △CAB ，得 38 9)3(3212 ?=+-??x x 。 化简得 091242 =+-x x 。 解得 2 3=x 。 将2 3= x 代入322 1++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)4 15 ,23(。 【知识点】 抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。 【基本习题限时训练】 1. 已知点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于原点对称，点P 的坐标为（4，3），那么△PAB 的面积等于（ ） （A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）24。 答案：C 。 2. 已知抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（ ） x C O y A B D 1 1 参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺 时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ． （1）求直线BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点 D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标， 利用待定系数法可求得直线BD 的解析式； （2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积； （3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标． 解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2 ﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ， 把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+； （2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ， 把E 点坐标代入可求得m=， ∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ， 解得x=，∴H 点到y 轴的距离为， 又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=； （3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1， 由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ， ∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）； ②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2， 则有△FOD ∽△DOM ， ∴=，即=，解得OM=6， ∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=， ∴G （0，﹣）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣， 解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）； ③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）； 综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与二次函数中和角有关的存在性问题
(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
数形结合在二次函数中的应用
二次函数的存在性问题(面积问题)
中考数学二次函数考点分析
二次函数(存在性问题)
-几何图形在二次函数中的存在性问题探解
二次函数中的数形结合
二次函数存在性问题总结
“数形结合”在二次函数中的应用
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
九年级二次函数与数形结合重点题---附答案
答案 二次函数-矩形的存在性问题
相关主题
文本预览