第9章 第2节
1．(2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4
D ．0.5
【解析】 落在[114.5,124.5)内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为
410＝2
5
＝0.4. 【答案】 C
2．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
【解析】 由直方图得样本数据在[10,12)内的频率为0.18.则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.
【答案】 B
3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5 B ．91.5和92 C ．91和91.5
D ．92和92
【解析】 将此组数据按从小到大排列得到：87,89,90,91,92,93,94,96，易得到中位数为91.5；平均数＝
1
8
×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5，故选A. 【答案】 A
4．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.
【解析】 平均数x ＝
10＋6＋8＋5＋6
5
＝7.
∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝1
5×(9＋1＋1＋4＋1)＝3.2.
【答案】 3.2
5．(2012·河北衡水中学高三调考)为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
(1)000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
【解】 (1)编号为016. (2)
(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是16
50＝0.32，即获二
等奖的概率的为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．
故获二等奖的大约有256人．
课时作业
【考点排查表】
1．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A.2
11 B.13 C.12
D.23 【解析】 由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为
22
66＝13
. 【答案】 B
2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别为15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．c >b >a
【解析】 由题意易得，a <15，b ＝15，c ＝17.故选D. 【答案】 D
3．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示如图，s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s 1与s 2的关系是( )
A ．s 1>s 2
B ．s 1＝s 2
C ．s 1
D ．不确定
【解析】 由茎叶图可得x 甲＝
78＋81＋84＋85＋92
5
＝84，
x 乙＝76＋77＋80＋94＋935＝84，
所以
s 21＝(78－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(85－84)2＋(92－84)25＝22，
s 22＝(76－84)2＋(77－84)2＋(80－84)2＋(94－84)2＋(93－84)25
＝62， 显然有s 1
4．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A ．90
B ．75
C ．60
D ．45
【解析】 由频率分布直方图可知，产品净重小于100克的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为36
0.3＝120，产品净重大于或等于104克的频率为0.075×2＝
0.15，∴产品净重大于或等于98克而小于104克的概率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此
范围内的产品个数为120×0.75＝90个．
【答案】 A
5．(2012·太原质检)一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是() A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
【解析】平均数增加，方差不变．
【答案】 D
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出一个容量为n且支出在[20,60)的样本，其频率分布直方图如图所示，其支出在[50,60)的同学有30个，则n的值为()
A．90 B．100
C．900 D．1000
【解析】[50,60)的频率为
1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝1－0.7＝0.3，
则n＝30
0.3＝100.
【答案】 B
二、填空题
7．在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是________．
【解析】观察茎叶图可知，这组数据的众数是31，中位数是26.
【答案】31,26
8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
【解析】 ∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a ＝0.030，设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]分别有x ，y ，z 人，∴x
100＝0.030×10，∴x ＝30，
同理y ＝20，z ＝10，∴在[140,150]内选取的人数为
10
30＋20＋10
×18＝3.
【答案】 0.030,3
9．(2013·昆明模拟)在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是________．
①平均数x ≤3；②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
【解析】 ①②③错，④对，若极值等于0或1，在x ≤3的条件下显然符合指标，若极值等于2，则有下列可能，(1)0,1,2 (2)1,2,3 (3)2,3,4 (4)3,4,5 (5)4,5,6在x ≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，符合指标．⑤对．若众数等于1且极差小于等于4，则最大数不超过5，符合指标．
【答案】 ④⑤ 三、解答题
10．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：
甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 【解】 (1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100 mm
x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006
＝100 mm.
s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝7
3
mm 2.
s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1 mm 2.
(2)因为s 2甲>s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求．
11．(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．
(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，
x n 的平均数)
【解】 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知， 乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝35
4
；
方差为：s 2＝14×8－3542＋8－3542＋9－3542＋10－3542＝11
16
.
(2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11； 乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10. 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，
用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．
故所求概率为P (C )＝416＝1
4
.
12．(2013·西安模拟)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[120,130)内的频率；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋110
2＝
105.)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
【解】 (1)分数在[120,130)内的频率为 1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. (2)估计平均分为
x ＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. (3)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)．[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ；
在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则基本事件共有(m ，n )，(m ，a )，…，(m ，d )，(n ，a )，…，(n ，d )，(a ，b )，…，(c ，d )共15种．
则事件A 包含的基本事件有(m ，n )，(m ，a )，(m ，b )，(m ，c )，(m ，d )，(n ，a )，(n ，b )，(n ，c )，(n ，d )共9种．
∴P (A )＝915＝35.
四、选做题
13．某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各50名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计，高三年级文科数学平均分是100分，两个班数学成绩的频率分布直方图如下(总分：150分)：
(1)文科1班数学平均分是否超过校平均分？
(2)从文科1班中任取一人，其数学成绩达到或超过校平均分的概率是多少？
(3)文1班一个学生对文2班一个学生说：“我的数学成绩在我班是中位数，从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是0.60”，则文2班数学成绩在[100,110)范围内的
人数是多少？
【解】 (1)文1班数学平均分至少是
80×4＋90×13＋100×19＋110×7＋120×5＋130×2
50＝100.4，
文科1班数学平均分超过校平均分．
(2)文科1班在[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分数段共有人数是33，从文科1班中任取一人，其数学成绩达到或超过校平均分的概率是P ＝0.66.
(3)设文1班这个学生的数学成绩是x ，则x ∈[100,110)，文2班数学成绩在[80,90)、[90,100)、[100,110)范围内的人数分别是b 、c 、y ，
如果x ＝100，则y ＋11＋3＋1
50
＝0.60，y ＝15，
即文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数至少是15人；
又∵????? b ＋c ＋y ＝35 ①3＜b ＜11＜c ＜y ②∴由②得：?
????
4≤b ≤1012≤c ≤y －1，
∴4＋12＋y ≤35＝b ＋c ＋y ≤10＋y －1＋y ?13≤y ≤19，
则文2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是15或16或17或18或19人．