1991年全国高考数学理科

1991全国高考理科数学试题1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 () (A) 34-(B)43-(C) 43 (D) 34 (2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ()(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是() (A)2π(B) π(C) 2π(D) 4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ()(A) 12对 (B) 24对 (C) 36对 (D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ()(A) x =－2π (B) x =－4π (C)8π=x (D)45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的 ()(A) 垂心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 () (A) 5 (B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为()(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0） (D) (0，0)，(6，0) (9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ()(A) 140种 (B) 84种 (C) 70种 (D) 35种 (10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ()(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ()(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1－21+n )]的值等于 () (A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ()(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 () (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合 {x |f (x )g (x )=0}等于 () (A) NM ⋂ (B)N M Y (C)N M Y (D)N M Y二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg 31+arctg 21的值是____________ (17) 不等式226-+x x <1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．(22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．(25) (本小题满分12分)已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式log a x－log2a x＋12log3ax＋…＋n (n－2)1-n log na x>3)2(1n--loga(x2－a)(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13)B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4π (17) {x |－2<x <1} (18) 314(19) 1+510(20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1＋cos2x )——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)．——5分当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z}． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii +-23——2分=1－i． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值θ=47π．——8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．——6分作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK =111122222=⨯=⋅HGGCHO ．即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分． (24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x-= (x 1－x 2) (222121x x x x++)——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0．——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2－x 1x 2>0； ——6分当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0； ∴ f(x 2)－ f(x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0．——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则 f (x 2)－f (x 1)=x 31－x 32= (x 1－x 2)(222121x x x x++)． ——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0．——4分∵ x 1，x 2不同时为零， ∴ x 21＋x 22>0．又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2 ∴222121x x x x ++>0，∴ f (x 2)－f (x 1) = (x 1－x 2) (222121x x x x++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·naa axloglog=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x =3)2(1n--log a x 故原不等式可化为3)2(1n--log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411ax a a x——6分因为2411a+-<0，2411a++>24a =a ，所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a ++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n--<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔02a x x a x x⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411ax a x或⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x a x①——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411——12分所以，不等式③的解集为{x |x >2411a ++}．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}；当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411a x ++>}(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b a c c x y b y a x 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则a b =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356a b ca x x -=+ ④222222213553a b b a c a x x -+-=⑤——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))．由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1，整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥ 将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因为 a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以c =22b a +=2a．——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42．整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1．——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403a b ab c a ---④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))．由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2．——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42．即 (x 2－x 1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0．——10分将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1， 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3． 故所求双曲线方程为 x 2－32y =1．——12分。

1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3C ． 它的首项是﹣3，公差是2D ． 它的首项是3，公差是﹣ 23．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 24．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy 中，参数方程（其中t 是参数）表示的曲（ ）A ． 双曲线B ． 抛物线C ． 直线D ． 圆 5．（3分）（1991•云南）设全集I 为自然数集N ，E={x 丨x=2n ，n ∈N}，F={x 丨x=4n ，n ∈N}，那么集合N 可以表示成（ ） A ．E ∩F B ． ∁U E ∪F C ． E ∪∁U F D ． ∁U E∩∁U F 6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线 C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线 D ． 椭圆7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ．﹣C ． ﹣D ． ﹣8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin ﹣icos ）的辐角的主值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．16017．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S318．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为_________．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于_________．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为_________．22．（3分）（1991•云南）=_________．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为_________．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有_________个整数．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．26．（1991•云南）解不等式：．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．1991年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）（1991•云南）sin15°cos30°sin75°的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 二倍角的正弦．专题： 计算题；三角函数的求值．分析： 利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案． 解答：解：∵sin15°cos30°sin75° =sin15°cos15°cos30° =sin30°cos30° =sin60° =×=．故选B ．点评：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，属于中档题．2．（3分）（1991•云南）已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） A ． 它的首项是﹣2，公差是3 B ． 它的首项是2，公差是﹣3 C ． 它的首项是﹣3，公差是2 D ． 它的首项是3，公差是﹣2考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意可建立关于a 1和d 的方程组，解之即可． 解答： 解：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得，解得，故选A点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和运算，属基础题．3．（3分）（1991•云南）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 2考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，结合正六边形面积的求法，及正六棱锥侧棱长、高、对角线的一半构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以分别求出其底面积和高，代入棱椎体积公式，即可得到答案解答：解：∵正六棱锥的底面边长为1，则S=6•=底面积又∵侧棱长为则棱锥的高h==2故棱锥的体积V=×S×h=××2=底面积故选C点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题的关键．4．（3分）（1991•云南）在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t是参数）表示的曲（）A．双曲线B．抛物线C．直线D．圆考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程，再依据变通方程的形式判断此曲线的类型，由此参数方程的形式，可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程．解答：解：由题意，由（1）得2t=x﹣1代入（2）得2y=（x﹣1）2﹣2，即y=（x﹣1）2﹣1，其对应的图形是一条抛物线．故选B．点评：本题考查直线的参数方程，解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元，本题易因为忘记判断出x，y的取值范围而误判此曲线为直线，好在选项中没有这样的干扰项，使得本题的出错率大大降低．5．（3分）（1991•云南）设全集I为自然数集N，E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，那么集合N可以表示成（）A．E∩F B．∁U E∪F C．E∪∁U F D．∁U E∩∁U F考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据已知条件，对四个选项一一进行验证，看它们运算的结果是否是自然数集N，即可得出答案．解答：解：∵E={x丨x=2n，n∈N}，F={x丨x=4n，n∈N}，对于选项A：E∩F=F，不合．B：∁U E∪F={x|x=2n+1，n∈N}∪F，其中不能含有元素2，故不合题意；C：E∪∁U F=N，正确；D：∁U E∩∁U F=∁U（E∪F）={x|x=2n+1，n∈N}≠N，故不合题意．故选C ．点评： 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了自然数集N 的概念，属于基础题．6．（3分）（1991•云南）已知Z 1，Z 2是两个给定的复数，且Z 1≠Z 2，它们在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2．如果z 满足方程|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，那么z 对应的点Z 的集合是（ ） A ． 双曲线 B ． 线段Z 1Z 2的垂直平分线C ． 分别过Z 1，Z 2的两条相交直线D ． 椭圆考点： 复数求模． 专题： 计算题．分析： 利用复数z 的几何意义可知|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0中z 对应的点Z 的集合． 解答： 解：∵|z ﹣z 1|﹣|z ﹣z 2|=0，∴|z ﹣z 1|=|z ﹣z 2|，又复数z 1，z 2在复平面上分别对应于点Z 1和点Z 2， ∴z 对应的点Z 到点Z 1和点Z 2的距离相等， ∴点Z 为线段Z 1Z 2的垂直平分线． 故选B ．点评： 本题考查复数z 的几何意义，考查理解与转化能力，属于中档题．7．（3分）（1991•云南）设5π＜θ＜6π，cos =a ，那么sin 等于（ ）A ．﹣B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣考点： 二倍角的余弦．专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 5π＜θ＜6π⇒∈（，3π）⇒∈（，），由cos=a 即可求得sin．解答：解：∵5π＜θ＜6π ∴∈（，3π），∈（，），又cos=a ，∴sin =﹣=﹣．故选D ．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查平方关系的应用，考查运算能力，属于中档题．8．（3分）（1991•云南）函数y=sinx ，x的反函数为（ ）A ． y =arcsinx ，x ∈[﹣1，1]B ． y =﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]C ． y =π+arcsinx ，x ∈[﹣1，1]D ． y =π﹣arcsinx ，x ∈[﹣1，1]考点： 反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x的反函数．解答：解：由于x时，﹣1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[﹣1，1]，表示在区间[﹣，]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x的反函数为y=π﹣arcsinx，x∈[﹣1，1]，故选D．点评：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．9．（3分）（1991•云南）复数z=﹣3（sin﹣icos）的辐角的主值是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用诱导公式即可得出．解答：解：===．∴argZ=．故选C．点评：熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出．10．（3分）（1991•云南）满足sin（x﹣）的x的集合是（）A．{}B．{}C．{}D．{x|2kπ}}考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，由此求得满足sin（x﹣）的x的集合．解答：解：由sin（x﹣），结合正弦函数的单调性可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z．解得，故选A．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，属于中档题．11．（3分）（1991•云南）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：直线与圆．分析：设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论．解答：解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选D．点评：本题考查直线中的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（3分）（1991•云南）极坐标方程4sin2θ=3表示的曲线是（）A．二条射线B．二条相交直线C．圆D．抛物线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据极坐标方程4sin2θ=3可知4ρ2sin2θ=3ρ2，然后根据y=ρsinθ，x=ρcosθ可得其直角坐标方程，即可得到答案．解答：解：∵4sin2θ=3∴4ρ2sin2θ=3ρ2则4y2=x2+y2，∴x=y或x=﹣y，则极坐标方程4sin2θ=3表示的图形是两条直线．故选B．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．13．（3分）（1991•云南）由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A．210个B．300个C．464个D．600个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个分类计数问题，由题意知个位数字小于十位数字，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题∵由题意知个位数字小于十位数字，∴个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A41A31A33个、A31A31A33个、A21A31A33个、A31A33个，∴共有A55+A41A31A33+A31A31A33+A21A31A33+A31A33=300，故选B．点评：本题考查排列组合及分类计数原理，是一个数字问题，这种问题比较容易出错，解题时要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．14．（3分）（1991•云南）如图是周期为2π的三角函数y=f（x）的图象，那么f（x）可以写成（）A．s in（1+x）B．s in（﹣1﹣x）C．s in（x﹣1）D．s in（1﹣x）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意知，f（x）=sin（x+φ），利用1+φ=π+2kπ，k∈Z，求得φ，即可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（x+φ），∵函数y=f（x）经过（1，0），∴1+φ=π+2kπ，k∈Z，∴φ=π+2kπ﹣1，k∈Z，∴f（x）=sin（x+π+2kπ﹣1）=sin（π+x﹣1）=﹣sin（x﹣1）=sin（1﹣x），故选D．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得φ是关键，考查诱导公式与运算能力，属于中档题．15．（3分）（1991•云南）设命题甲为lgx2=0；命题乙为x=1．那么（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义判断．解答：解：由lgx2=0，的x2=1，所以x=1或x=﹣1，所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断．16．（3分）（1991•云南）的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．17．（3分）（1991•云南）体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S3考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意求出正方体，球，及圆柱的体积，通过相等即可得到棱长，球半径，及圆柱半径和母线长，求出三者的表面积即可得到大小关系．解答：解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，圆柱的底面半径是r，所以球的体积为：πR3，正方体的体积为：a3，圆柱的体积为：2πr3；故a3=πR3=2πr3且球的表面积为：4πR2，正方体的表面积为：6a2，圆柱的表面积为：6πr2；因为S2﹣S1=4πR2﹣6a2=4πR2﹣6×（πR3）=4πR2﹣6×（π）R2＜0．∴S2＜S1同样地，S2＜S3＜S1故选C．点评：本题是基础题，考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系，考查计算能力．18．（3分）（1991•云南）曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2﹣4x﹣5=0的公共点的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：曲线与方程．专题：计算题；直线与圆．分析：将两个曲线方程联解，消去y得得2x2﹣11x﹣13=0，解之得x=﹣1或x=．再将x的回代到方程中，解之可得只有x=﹣1、y=0符合题意．由此即可得到两个曲线有唯一的公共点，得到答案．解答：解：由消去y2，得2x2﹣11x﹣13=0解之得x=﹣1或x=当x=﹣1，代入第一个方程，得y=0；当x=时，代入第一个方程得2y2++3=0，没有实数解因此，两个曲线有唯一的公共点（﹣1，0）故选：D点评：本题求两个已知曲线公共点的个数，着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识，属于基础题．二、填空题：把答案填在题中的横线上.19．（3分）（1991•云南）椭圆9x2+16y2=144的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的标准方程和离心率计算公式即可得出．解答：解：由椭圆9x2+16y2=144化为，∴a2=16，b2=9．∴=．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键．20．（3分）（1991•云南）设复数z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则复数的虚部等于1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算性质将+转化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可求得答案．解答：解：∵z1=2﹣i，∴=2+i，∴===﹣+i；又z2=1﹣3i，∴=1+3i，∴=+i；∴+=i，∴+的虚部等于1．故答案为：1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于中档题．21．（3分）（1991•云南）已知圆台的上、下底面半径分别为r、2r，侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长，最后根据解直角三角形求出它的高即可．解答：解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为S上=π•r2=r2π圆台的下底面面积为S下=π•（2r）2=4r2π所以圆台的两底面面积之和为S=S上+S下=5r2π又圆台的侧面积S侧=π（r+2r）l=3πrl于是5r2π=3πrl即l=，圆台的高为h==，故答案为：．点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的高，考查计算能力，是基础题．22．（3分）（1991•云南）=0．考点：极限及其运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：把分式的分子分母同时除以n•3n，然后取极限值即可得到答案．解答：解：==．故答案为0．点评：本题考查数列的极限，解答的关键是消去趋于无穷大的式子，是基础题．23．（3分）（1991•云南）在体积为V的斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知S是侧棱CC′上的一点，过点S，A，B的截面截得的三棱锥的体积为V1，那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：我们可设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d，根据斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，再根据同底同高的棱锥体积公式，求出四棱椎S﹣ABB′A′的体积，进而得到答案．解答：解：设侧棱CC′到侧面ABB′A′的距离为d∵斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面ABB′A′的面积与d的乘积的一半，∴V=S ABB'A'•d，又四棱椎S﹣ABB′A′的体积等于S ABB'A'•d=V，则那么过点S，A′，B′的截面截得的三棱锥的体积为等于V﹣V1﹣V=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，考查割补法．属于基础题．24．（3分）（1991•云南）设函数f（x）=x2+x+的定义域是{n，n+1}（n是自然数），那么在f（x）的值域中共有2n+2个整数．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）的对称轴是x=﹣，当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，因为f（n）和f（n+1）都不是整数，故f（x）的值域中的整数个数问题只要计算f（n+1）﹣f（n）即可；n=0时，值域为[f（0），f（1）]．解答：解：当n≥1时，f（x）在[n，n+1]上是单调递增的，f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2+（n+1）+﹣n2﹣n﹣=2n+2，故f（x）的值域中的整数个数是2n+2，n=0时，值域为[f（0），f（1）]=[，]，有1，2两个整数．故答案为：2n+2点评：本题考查二次函数的值域问题，对问题的化归转化能力．三、解答题.25．（1991•云南）已知α，β为锐角，cosα=，tan（α﹣β）=，求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由cosβ=即可求得答案．解答：解：∵α为锐角，cosα=，∴sinα==，∴tanα==．∵tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，又β是锐角，∴cosβ===．点评：本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题．26．（1991•云南）解不等式：．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先移项平方后化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．解答：解：①当x＜0时，由于等价于5﹣4x﹣x2≥0即有﹣5≤x≤1，故不等式的解集是[﹣5，0）；②当x=0时，由于，显然x=0满足题意；③当x＞0时，由于等价于即有由于故不等式的解集是．综上可知，不等式的解集是．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，考查计算能力．27．（1991•云南）如图：已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M．考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：要证，只要A1M⊥AC1，B1C1⊥AC1即证MA1⊥AB1C1，从而可证AB1⊥A1M解答：证明：连接AC1∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，∴=Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1==Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1==∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1∴A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1且MA1⊂面AA1C1∴B1C1⊥MA1，又AC1∩B1C1是=C1根据线面垂直的判定定理可知MA1⊥平面AB1C1∴AB1⊥A1M点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，线线垂直与线面垂直的相互转化，属于中档试题28．（1991•云南）设{a n}是等差数列，a1=1，S n是它的前n项和；{b n}是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n项和，如果a3=b2，S5=2T2﹣6，，{a n}，{b n}的通项公式．考点：数列的极限；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得b1和q的值，可得d的值，从而求得，{a n}，{b n}的通项公式．解答：解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q（|q|＜1）．则由题意可得，化简可得3b1q=2b1﹣6 ①．再由=②，由①②构成方程组，解方程组求得，故有d=．∴a n=1+（n﹣1），b n=6•．点评：本小题考查等差数列、等比数列的概念，数列的极限，运用方程（组）解决问题的能力，属于中档题．29．（1991•云南）已知双曲线C的实半轴长与虚半轴的乘积为，C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为tanψ=，l与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且|PQ|：|QF2|=2：1．求双曲线C的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，可得直线PQ的方程为，得到点P的坐标．由线段的定比分点坐标公式得点Q的坐标，代入双曲线的方程即可得到．又ab=，联立即可得出．解答：解：如图，以F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．设双曲线的方程为，直线PQ的方程为，则P，由线段的定比分点坐标公式得，=．∴．代入双曲线的方程得，整理得，解得，或=．（舍去）．∴．又ab=，∴，a=1．故所求的双曲线方程为．点评：本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想，线段的定比分点坐标公式，双曲线的有关知识及综合解题能力．30．（1991•云南）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）证明：对于任意不小于3的自然数n，都有f（n）＞．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：证明题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，而f（x）==1﹣，利用作差证明f（x2）＞f（x1）即可；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．用数学归纳法即可证明；解答：（Ⅰ）证明：设x1，x2为任意两个实数，且x1＜x2，f（x）==1﹣，f（x2）﹣f（x1）==，由指数函数性质知，＞0，＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）要证f（n）＞（n∈N，n≥3），即要证1﹣，即要证2n﹣1＞2n（n≥3）．①现用数学归纳法证明①式．（1）当n=3时，左边=23﹣1=7，右边=2×3=6，∴左边＞右边，因而当n=3时①式成立．（2）假设当n=k（k≥3）时①式成立，即有2k﹣1＞2k，那么2k+1﹣1=2•2k﹣1=2（2k﹣1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+（2k﹣1），∵k≥3，∴2k﹣1＞0．∴2k+1﹣1＞2（k+1）．这就是说，当n=k+1时①式成立．根据（1）（2）可知，①式对于任意不小于3的自然数n都成立．由此有f（n）＞．（n≥3，n∈N）．点评：本小题考查指数函数，数学归纳法，不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力．。

1991年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（ ） A ． ﹣B ． ﹣C ．D ．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（ ） A ． y 2=8（x+1） B ． y 2=﹣8（x+1） C ． y 2=8（x ﹣1） D ． y 2=﹣8（x ﹣1） 3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是（ ） A ． B ． π C ． 2π D ． 4π4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ） A ． 12对 B ． 24对 C ． 36对 D ． 48对5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin （2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ． x=﹣B ． x=﹣C ． x=D ． x=6．（3分）6、如果三棱锥S ﹣ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ） A ． 垂心 B ． 重心 C ． 外心 D ． 内心 7．（3分）已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于（ ） A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 208．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0） 9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣514．（3分）圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 15．（3分）15、设全集为R ，f （x ）=sinx ，g （x ）=cosx ，M={x|f （x ）≠0}，N={x|g （x ）≠0}，那么集合{x|f （x ）g （x ）=0}等于（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg +arctg 的值是 _________ ．17．（3分）不等式的解集是_________ ． 18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于 _________ ． 19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a ＞1，那么a= _________ ． 20．（3分）空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球面的面积是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 21．（8分）求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．22．（8分）已知复数z=1+i ，求复数的模和辐角的主值．23．（10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2．求点B 到平面EFG 的距离．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．解答：解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A点评：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（）A．y2=8（x+1）B．y2=﹣8（x+1）C．y2=8（x﹣1）D．y2=﹣8（x﹣1）考点：抛物线的标准方程．专题：分析法．分析：先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．解答：解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．故选D．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，故选B点评：对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A．12对B．24对C．36对D．48对考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．分析：由异面直线定义入手，分类计数即可．解答：解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．故选B．点评：本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解答：解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1故选A．点评：本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．6．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．外心D．内心考点：棱锥的结构特征．专题：证明题；综合题．分析：顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．解答：解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．7．（3分）已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）A．5B．10 C．15 D．20考点：等比数列．分析：先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．解答：解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为（a3+a5）2=25又∵a n＞0∴a3+a5=5故选A点评：本题主要考查等比数列性质和解方程．8．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（ ）A ． （0，0），（6，π）B ． （﹣3，0），（3，0）C ． （0，0），（3，0）D ． （0，0），（6，0）考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题． 分析： 利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的焦距，从而确定焦点的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为ρ=，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=5，b=4，c=3．∴它的焦点的极坐标为（0，0），（6，0）．故选D ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ） A ． 140种 B ． 84种 C ． 70种 D ． 35种考点： 分步乘法计数原理． 分析： 本题既有分类计数原理也有分步计数原理． 解答： 解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C 52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C 42•5=30；不同的取法共有70种 故选C点评： 注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步． 10．（3分）如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限考点： 直线的一般式方程． 专题： 计算题． 分析： 先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC ＜0，BC ＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案解答：解：∵直线Ax+By+C=0可化为，又AC ＜0，BC ＜0 ∴AB ＞0，∴，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C ．点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ） A ． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ． 丙是甲的充要条件 D ． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 解答： 解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 故选A点评： 甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．12．（3分）[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）]等于（ ）A ． 0B ． 1C ．2 D ． 3考点： 极限及其运算． 专题： 计算题．分析：通过观察n （1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），先化简括号中的式子，再根据极限的定义求极限．解答：解：[n （1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）]=[n××××…×]==2．故选C ．点评：本题主要考查极限及其运算，较为简单．13．（3分）如果奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A ． 增函数且最小值为﹣5 B ． 增函数且最大值为﹣5 C ． 减函数且最小值为﹣5 D ． 减函数且最大值为﹣5考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5，则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5，故选B．点评：本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．解答：解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．15．（3分）15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合{x|f （x）g （x）=0}等于（）A．B．C．D．考点：交、并、补集的混合运算．专题：压轴题．分析：由f （x）g （x）=0可知f （x）=0或g （x）=0，所以{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}．而{x|f （x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分“或”与“且”．解答：解：{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0或g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}，故选D点评：本题考查集合的基本运算，较简单．注意区分“或”与“且”的含义．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）16．（3分）arctg+arctg的值是．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：设出表达式为α，然后两边取正切，利用两角和的正切公式求解即可．解答：解：设arctg+arctg=α所以tanα=tan（arctg+arctg）==所以α=故答案为．点评：本题考查反三角函数的运用，两角和的正切公式，考查计算能力，是基础题．17．（3分）不等式的解集是{x|﹣2＜x＜1}．考点：一元二次不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：把不等式右边的“1”变为60，然后根据指数函数的增减性得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可．解答：解：=60，因为底数6＞1，所以指数函数为增函数，则x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，所以或，解得﹣2＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}故答案为：{x|﹣2＜x＜1}点评：本题以指数函数为平台考查学生求一元二次不等式的解集，是一道基础题．本题的突破点是将“1”变为60．18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：作出三棱台的高，上下底面顶点到底面中心的距离的差，以及侧棱的长，满足勾股定理，求出三棱台的高，利用公式求其体积．解答：解：由于正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，所以上底面顶点到上底面中心的距离是：下底面顶点到下底面中心的距离是：侧棱与底面所成的角是45°，所以正三棱台的高是：正三棱台的体积是：=故答案为：点评：本题考查棱台的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=1+．考点：基本不等式；二项式定理．专题：计算题；压轴题．分析：先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数，再用等差中项的概念列出方程，解方程即可．解答：解：T k+1=C7K（ax）7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k，故x3、x2、x4的系数分别为C74a3，C75a2和C73a4，由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得：a=1+故答案为：1+点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识，属基本题型的考查．20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3πa2．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．故答案为：3πa2点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．三、解答题（共6小题，满分60分）21．（8分）求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：把函数关系式利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，提取然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．解答：解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+）．当sin（2x+）=﹣1时，y取得最小值2﹣当且仅当2x+=2kπ﹣即x=kπ﹣π时取最小，取最小值的x的集合为{x|x=kπ﹣π，k∈Z}．点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则化简复数，据复数模的公式求出复数模，判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．解答：解：===1﹣i．1﹣i的模r==．因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1，所以辐角的主值θ=π．点评：本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的，直接作垂线求解即可．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=．即点B到平面EFG的距离为．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．考点：函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：利用原始的定义进行证明，在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=﹣x3+1进行证明．解答：证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2＞0；当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．∵x1，x2不同时为零，∴x12+x22＞0．又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2∴x12+x1x2+x22＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．点评：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．考点：对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．解答：解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x﹣4•+12•++n（﹣2）n﹣1•=[1﹣2+4++（﹣2）n﹣1]log a x=log a x故原不等式可化为log a x＞log a（x2﹣a）．①当n为奇数时，＞0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．②因为a＞1，②式等价于因为＜0，＞=，所以，不等式②的解集为{x|＜x＜}．当n为偶数时，＜0，不等式①等价于log a x＞log a（x2﹣a）．③因为a＞1，③式等价于或因为，所以，不等式③的解集为{x|x＞}．综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}点评：本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b2﹣3a2=0，可推出矛盾；若5b2﹣3a2≠0，设其两根为x1，x2，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x1+x2及x1x2，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为﹣1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c2=a2+b2，最后解a、b、c的方程组即可．解答：解：设双曲线的方程为=1．依题意知，点P，Q的坐标满足方程组整理得（5b2﹣3a2）x2+6a2cx﹣（3a2c2+5a2b2）=0 ①．若5b2﹣3a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2﹣3a2≠0．设方程①的两个根为x1，x2，则有②，③，由于P、Q在直线y=（x﹣c）上，可记为P（x1，（x1﹣c）），Q（x2，（x2﹣c））．由OP⊥OQ得•=﹣1，整理得3c（x1+x2）﹣8x1x2﹣3c2=0 ④．将②，③式及c2=a2+b2代入④式，并整理得3a4+8a2b2﹣3b4=0，即（a2+3b2）（3a2﹣b2）=0．因为a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c==2a．由|PQ|=4，得（x2﹣x1）2+[（x2﹣c）﹣（x1﹣c）]2=42．整理得（x1+x2）2﹣4x1x2﹣10=0 ⑤．将②，③式及b2=3a2，c=2a代入⑤式，解得a2=1．将a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求双曲线方程为x2﹣=1．点评：本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．。

(详细解析)1991年全国高考数学理科1991年全国高考数学（理科 ）试题考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分．一． 选择题（共15小题，每小题3分，满分45分． 每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于A ．34-B ．43- C ．43D ．34 【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x yB ．)1(82+-=x yC ．)1(82-=x yD ．)1(82--=x y【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数xx y 44sin cos-=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B 【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x=-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．5．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=x D ．45π=x 【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．6．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．7．已知}{na 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a an，那么53a a+的值等于A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355aa +=．8．如果圆锥曲线的极坐标方程为1653cos ρθ=-，那么它的焦点的极坐标为A ．(0,0),(6,)πB ．)0,3(),0,3(-C ．)0,3(),0,0(D ．)0,6(),0,0( 【答案】D【解析】曲线是椭圆，当0θ=时得8,a c θπ+==时得2a c -=，∴26c =，故焦点的极坐标为)0,6(),0,0(．9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C CC C +=．间接法：33374570C C C --=．10．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通．．过．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】A Cy x B B=--，由于AC <且BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n Λ的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++L L 2lim22n nn →∞==+．13．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是A．增函数且最小值为5-B．增函数且最大值为5-C．减函数且最小值为5-D．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]-=-是增函-∈，()()f x f xx∈--，则[3,7]x数的最大值为(3)f-=f-=-．(3)514．圆22+++-=上到直线102430x x y y++=的距离为2x y的点共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】圆的标准方程为222+++=，圆心(1)(2)(22)x yx y++=++=的距离为2，故与直线10 --到直线10x y(1,2)平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．15．设全集为R，()sin,()cos==，f x xg x x{()0},{()0}M x f x N x g x =≠=≠，那么集合{()()0}x f x g x =等于A ．M N IB ．M N UC ．M N UD ．M N U 【答案】D【解析】由题设{,},{,}2M x x k k Z N xx k k Z πππ=≠∈=≠+∈，则{()()0}x f x g x =，M N=U ．二．填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．11arctan arctan 32+的值是 ． 【答案】4π 【解析】由于1111tan(arctan )tan(arctan )113232tan(arctan arctan )11111321tan(arctan )tan(arctan )13232+++===-⋅-⋅，所以11arctan arctan 324π+=．17．不等式1622<-+x x 的解集是 ．【答案】{21}x x -<<【解析】22226166x x xx +-+-<⇒<，得220xx +-<，解得解集是{21}x x -<<．18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45︒，那么这个正三棱台的体积等于 ． 【答案】314 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为23，故正三棱台的体积为12314334343)333V =⨯⨯=．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772Ca C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030aa -+=，由于1>a ，所以101a =．20．在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===，那么这个球面的面积是 ． 【答案】23a π【解析】因为球的直径等于以,,PA PB PC 为棱的长方体的对角线的长，从而23R a=，故球面的面积为2234)32a S a ππ==球面．三．解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数xx x x y 22cos 3cos sin 2sin++=的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x=+++——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++——3分2sin 2cos 222)4x x x π=++=+．——5分当sin(2)14x π+=-时y取得最小值22=- ——6分使y取最小值的x的集合为3{|,}8N x x k k Z ππ==-∈． ——8分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++——2分1i=-．——4分1i-的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-，所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB AD的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =．求点B 到平面EFG的距离．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．如图，连结,,,,EG FG EF BD AC ，,EF BD 分别交AC 于,H O．因为ABCD 是正方形，,E F 分别为AB 和AD 的中点，故//EF BD ，H 为AO 的中点．BD不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知//BD 平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG的距离．——4分 ∵BD AC⊥，∴EF HC⊥．∵GC ⊥平面ABCD ，∴EF GC ⊥， ∴EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK HG ⊥交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，2GC =， ∴ 42,2,32AC HO HC === ∴ 在Rt HCG ∆中，()2232222HG =+=．由于Rt HKO ∆和Rt HCG ∆有一个锐角是公共的，故Rt HKO Rt HCG∆∆:．∴22111122HO GCOK HG⋅===．即点B到平面EFG的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．【编者注】本题用“等积代换”，即B EFGG EFBV V --=亦可．24．（本小题满分10分）根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x=-+在),(+∞-∞上是减函数．【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分． 证法一：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <， ——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++——3分∵12x x <，∴120x x -<．——4分当120x x <时，有22211221212()0x x x x x x x x ++=+->；——6分当12x x ≥时，有2211220xx x x ++>；∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<．——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分证法二：在),(+∞-∞上任取12,x x 且12x x <，——1分则33222112121122()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++． ——3分∵12x x <，∴120x x -<．——4分∵12,x x 不同时为零，∴22120xx +>．又 ∵2222121212121()2xx x x x x x x +>+≥≥-，∴2211220x x x x ++>，∴2221121122()()()()0f x f x x x x x x x -=-++<． ——8分即21()()f x f x <．所以，函数3()1f x x =-+在),(+∞-∞上是减函数． ——10分25．（本小题满分12分）已知n 为自然数，实数1a >，解关于x 的不等式23log4log 12log aa a x x x -++L121(2)(2)log log ()3n nn a a n x x a ---+->-．【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．利用对数换底公式，原不等式左端化为 231log 4log 12log (2)log nn aaaa x x x n x --+++-L11(2)[124(2)]log log 3nn a a x x---=-+++-=L 故原不等式可化为21(2)1(2)log log ()33n na a x x a ---->-． ①当n 为奇数时，1(2)03n-->，不等式①等价于2log log ()a a x x a >-． ②因为1a >，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x a x x ,11411422x a a ax ⎧>⎪⇔⎨+++<<⎪⎩——6分1140a-+<1144a aa ++>=，所以，不等式②的解集为114{|}ax a x ++<<． ——8分当n 为偶数时，1(2)03n--<，不等式①等价于2log log ()a a x x a <-． ③因为1a >，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x a x x,114x a ax ⎧>⎪⇔⎨-+<⎪⎩ 或,114x a a x ⎧>⎪⎨++>⎪⎩——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411——12分所以，不等式③的解集为114{|}2ax x ++>．综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是114{|}2ax a x +<<；当n为偶数时，原不等式的解集是114{|}2ax x +>．26．（本小题满分12分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于,P Q两点．若,4OP OQ PQ ⊥=，求双曲线的方程．【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分． 解法一：设双曲线的方程为22221x y a b-=．依题意知，点,P Q的坐标满足方程组)22222213()5x y a b y x c c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-=+⎪⎩其中将②式代入①式，整理得22222222(53)6(35)0b a x a cx ac b c -+-+=．③ ——3分设方程③的两个根为12,x x ，若2253ba =，则35b a =即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以22530ba -≠．根据根与系数的关系，有21222222212226533553a c x x b a a c a b x x b a ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩——6分 由于,P Q在直线3()5y x c =-上，可记为112233(()),(())55P x x c Q x x c --．由OP OQ ⊥121233()()551x c x c --=-，整理得212123()830c x x x x c +--=．⑥将④，⑤式及222ca b =+代入⑥式，并整理得42243830a ab b +-=，2222(3)(3)0a b a b +-=．因为2230a b +≠，解得223ba =，所以222c a b a=+=．——8分由4PQ =，得222212133()()()]455x x x c x c -+---=．整理得21212()4100x x x x +--=． ⑦将④，⑤式及223ba =，2c a =代入⑦式，解得21a =． ——10分 将21a =代入223ba = 得23b=． 故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分解法二：④式以上同解法一．——4分解方程③得221340a c ab x -+=，222340a c ab x --=④ ——6分由于,P Q在直线3()5y x c =-上，可记为112233(()),(())55P x x c Q x x c --．由OP OQ⊥，得121233()()055x x x c x c --=． ⑤将④式及222c a b =+代入⑤式并整理得42243830a ab b +-=，即2222(3)(3)0a b a b +-=．因2230a b +≠，解得223b a =． ——8分由4PQ =，得222212133()()()]455x x x c x c -+---=．即221()10x x -=． ⑥将④式代入⑥式并整理得22224(53)160b a a b --=． ——10分将223b a =代入上式，得21a=， 将21a=代入223ba =得23b=．故所求双曲线方程为2213y x -=． ——12分1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．。

1991年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.【】[Key]一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.常规卷和A型卷答案(1)A(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1)【】[Key] (2)D(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【】[Key] (3)B(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对【】[Key] (4)B【】[Key] (5)A(6)如果三棱锥S ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心【】[Key] (6)D(7)已知{a n},且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)5 (B)10 (C)15 (D)20【】[Key] (7)A(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)【】[Key] (8)D(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种【】[Key] (9)C(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【】[Key] (10)C(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【】[Key] (11)A(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【】[Key] (12)C(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5【】[Key] (13)B(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【】[Key] (14)C(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于【】[Key] (15)D二、填空题:把答案填在题中横线上.(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于 .(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a>1,那么a= .(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是 .[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.[Key] 三、解答题.(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x[Key] (22)本小题考查复数基本概念和运算能力.(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.[Key] (23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.∵BD⊥AC,∴EF⊥HC.∵GC⊥平面ABCD,∴EF⊥GC,∴EF⊥平面HCG.∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.[Key] (24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.∵x1,x2不同时为零,即f(x2)<f(x1).所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式[Key] (25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为因为a>1,②式等价于log a x<log a(x2-a).因为a>1,②式等价于[Key] (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.依题意知,点P,Q的坐标满足方程组将②式代入①式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③根据根与系数的关系,有整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.将a2 =1代入b2=3a2得b2=3.解法二:④式以上同解法一.将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0, 即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.即(x2-x1)2=10. ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为。

1991年高考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集I = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，则(∁_IA)∪(∁_IB)=（）A. varnothingB. {1, 2, 4, 5}C. {1, 2, 3, 4, 5}D. {3}2. 函数y = sin(x)/(2)cos(x)/(2)的最小正周期是（）A. 4πB. 2πC. πD. (π)/(2)3. 已知α、β是方程x^2-2x - 4 = 0的两个实数根，则α^3+8β + 6=（）A. -1B. 2C. 22D. 304. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）A. 12对。

B. 24对。

C. 36对。

D. 48对。

5. 方程sin 4xcos 5x=-cos 4xsin 5x的一个解是（）A. 10^∘B. 20^∘C. 50^∘D. 70^∘6. 已知y = log_a(2 - ax)在[0, 1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (0, 2)D. [2,+∞)7. 函数y=(sin x)/(2 - cos x)的值域是（）A. [-(√(3))/(3),(√(3))/(3)]B. [-(√(3))/(6),(√(3))/(6)]C. (-(√(3))/(3),(√(3))/(3))D. (-(√(3))/(6),(√(3))/(6))8. 双曲线3x^2-y^2=3的渐近线方程是（）A. y=± 3xB. y = ±(1)/(3)xC. y=±√(3)xD. y=±(√(3))/(3)x9. 已知f(x)=x^5+ax^3+bx - 8，且f(-2)=10，则f(2)=（）A. -26B. -18C. -10D. 1010. 圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A. ((l)/(6))^3πB. (1)/(9)((l)/(2))^3πC. ((l)/(4))^3πD. 2((l)/(4))^3π11. 已知z∈ C，| z - 2| = 1，则| z + 2 + 5i|的最大值和最小值分别是（）A. √(41)+1和√(41)-1B. 3和1C. 5√(2)和√(34)D. √(39)和312. 复数z = 1 + cosθ + isinθ(π<θ<2π)的模为（）A. 2cos(θ)/(2)B. -2cos(θ)/(2)C. 2sin(θ)/(2)D. -2sin(θ)/(2)13. 由数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个。

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)物理第I卷（选择题共50分）一、本题共13小题;每小题2分,共26分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的. 1．以初速v0竖直上抛一小球．若不计空气阻力,在上升过程中,从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是2．下列粒子从初速为零的状态经过加速电压为U的电场之后,哪种粒子的速度最大?A．质子B．氘核C．a粒子D．钠离子Na+3．如图所示,一位于XY平面内的矩形通电线圈只能绕OX轴转动,线圈的四个边分别与X、Y轴平行．线圈中电流方向如图．当空间加上如下所述的哪种磁场时,线圈会转动起来?A．方向沿X轴的恒定磁场B．方向沿Y轴的恒定磁场C．方向沿Z轴的恒定磁场D．方向沿Z轴的变化磁场4．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上．从t=0开始,将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上．在t=t1时刻力F的功率是5．如图所示,以9．8米/秒的水平初速度v0抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上．可知物体完成这段飞行的时间是6．有两个物体a和b,其质量分别为ma和mb,且ma>mb．它们的初动能相同．若a和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用,经过相同的时间停下来,它们的位移分别为Sa和Sb,则A．F a>F b且s a<s b B．F a>F b且s a>s bC．F a<F b且s a>s b D．F a<F b且s a<s b7．图中A、B是两块相同的均匀长方形砖块,长为l,叠放在一起,A砖相对于B砖右端伸出l/4的长度．B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌边平行．为保持两砖都不翻倒,B砖伸出桌边的长度x的最大值是8．如图,一均匀木棒OA可绕过O点的水平轴自由转动．现有一方向不变的水平力F作用于该棒的A点,使棒从竖直位置缓慢转到偏角θ<90°的某一位置．设M为力F对转轴的力矩,则在此过程中A．M不断变大,F不断变小B．M不断变大,F不断变大C．M不断变小,F不断变小D．M不断变小,F不断变大- 2 --3 -9．一伏特计由电流表G 与电阻R 串联而成,如图所示．若在使用中发现此伏特计的读数总比准确值稍小一些,采用下列哪种措施可能加以改进?A ．在R 上串联一比R 小得多的电阻B ．在R 上串联一比R 大得多的电阻C ．在R 上并联一比R 小得多的电阻D ．在R 上并联一比R 大得多的电阻10．两带电小球,电量分别为+q 和-q,固定在一长度为l 的绝缘细杆的两端,置于电场强度为E的匀强电场中,杆与场强方向平行,其位置如图所示．若此杆绕过O 点垂直于杆的轴线转过180°,则在此转动过程中电场力做的功为A ．零B ．qE lC ．2qE lD ．πqE l11．图中ABCD 是一条长轨道,其中AB 段是倾角为θ的斜面,CD 段是水平的．BC 是与AB和CD 都相切的一小段圆弧,其长度可以略去不计．一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放,沿轨道滑下,最后停在D 点．A 点和D 点的位置如图所示．现用一沿着轨道方向的力推滑块,使它缓慢地由D 点推回到A 点时停下．设滑块与轨道间的摩擦系数为μ,则推力对滑块做的功等于-4 -12．M 和N 是绕在一个环形铁心上的两个线圈,绕法和线路如图．现将开关K 从a 处断开,然后合向b 处．在此过程中,通过电阻R2的电流方向是A ．先由c 流向d,后又由c 流向dB ．先由c 流向d,后由d 流向cC ．先由d 流向c,后又由d 流向cD ．先由d 流向c,后由c 流向d13．两端封闭的等臂U 形管中,两边的空气柱a 和b 被水银柱隔开．当U 形管竖直放置时,两空气柱的长度差为h,如图所示．现将这个管平放,使两臂位于同一水平面上,稳定后两空气柱的长度差为l,若温度不变则A ．l>hB ．l=hC ．l=0D ．l<h,l≠0二、本题共8小题;每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中,至少有一项是正确的．各小题全选对的得3分,选对但不全的得1分,有选错的得0分．14．下列哪些是能量的单位?A ．焦耳B ．瓦特C ．千瓦小时D ．电子伏特15．下列固态物质哪些是晶体?A ．雪花B ．黄金C ．玻璃D ．食盐16．关于光谱,下面说法中正确的是A ．炽热的液体发射连续光谱B ．太阳光谱中的暗线说明太阳上缺少与这些暗线相应的元素C．明线光谱和暗线光谱都可用于对物质成分进行分析D．发射光谱一定是连续光谱17．恒定的匀强磁场中有一圆形的闭合导体线圈,线圈平面垂直于磁场方向．当线圈在此磁场中做下列哪种运动时,线圈中能产生感生电流?A．线圈沿自身所在的平面做匀速运动B．线圈沿自身所在的平面做加速运动C．线圈绕任意一条直径做匀速转动D．线圈绕任意一条直径做变速转动18．一束光从空气射向折射率n=2的某种玻璃的表面,如图所示．i代表入射角,则(A)当i>45°时会发生全反射现象(B)无论入射角i是多大,折射角r都不会超过45°(C)欲使折射角r=30°,应以i=45°的角度入射19．一矩形线圈,绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴转动．线圈中的感生电动势e 随时间t的变化如图所示．下面说法中正确的是A．t1时刻通过线圈的磁通量为零B．t2时刻通过线圈的磁通量的绝对值最大C．t3时刻通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大D．每当e变换方向时,通过线圈的磁通量绝对值都为最大- 5 -20．一物体从某一高度自由落下,落在直立于地面的轻弹簧上,如下页左图所示．在A点,物体开始与弹簧接触,到B点时,物体速度为零,然后被弹回．下列说法中正确的是A．物体从A下降到B的过程中,动能不断变小B．物体从B上升到A的过程中,动能不断变大C．物体从A下降到B,以及从B上升到A的过程中,速率都是先增大,后减小D．物体在B点时,所受合力为零21．一定质量的理想气体经历如上右图所示的一系列过程,ab、bc、cd和da这四段过程在p-T 图上都是直线段,其中ab的延长线通过坐标原点O,bc垂直于ab,而cd平行于ab．由图可以判断:A．ab过程中气体体积不断减小B．bc过程中气体体积不断减小C．cd过程中气体体积不断增大D．da过程中气体体积不断增大第Ⅱ卷(非选择题共50分)三、本题共8小题;每小题3分,共24分．把正确答案填在题中的横线上．22．一物体放在一倾角为θ的斜面上,向下轻轻一推,它刚好能匀速下滑．若给此物体一个沿斜面向上的初速度v0,则它能上滑的最大路程是．- 6 --7 -23．两个放射性元素的样品A 和B,当A 有15/16的原子核发生了衰变时,B 恰好有63/64的原子核发生了衰变．可知A 和B 的半衰期之比τA :τB = : ．24．已知高山上某处的气压为0．40大气压,气温为零下30℃,则该处每立方厘米大气中的分子数为 ．（阿伏伽德罗常数为6．0×1023摩-1,在标准状态下1摩尔气体的体积为22．4升．）25．在测定玻璃的折射率的实验中,对一块两面平行的玻璃砖,用"插针法"找出与入射光线对应的出射光线．现有甲、乙、丙、丁四位同学分别做出如图的四组插针结果．（1）从图上看,肯定把针插错了的同学是 ．（2）从图上看,测量结果准确度最高的同学是 ．26．在场强为E 、方向竖直向下的匀强电场中,有两个质量均为m 的带电小球,电量分别为+2q和-q ．两小球用长为l 的绝缘细线相连,另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂于O 点而处于平衡状态,如图所示．重力加速度为g ．细线对悬点O 的作用力等于 ．27．如上页右下图所示的电路中,三个电阻的阻值相等,电流表A 1、A 2和A 3的内电阻均可忽略,它们的读数分别为I 1、I 2和I 3,则I 1:I 2:I 3= : : ．-8 -28．一质量为m 、电量为q 的带电粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动,其效果相当于一环形电流,则此环形电流的电流强度I= ．29．一列简谐波在x 轴上传播,波速为50米/秒．已知t=0时刻的波形图象如图（1）所示,图中M 处的质点此时正经过平衡位置沿y 轴的正方向运动．将t=0．5秒时的波形图象画在图（2）上（至少要画出一个波长）．四、本题包括2小题,共8分．其中（31）题的作图可用铅笔．在用电流表和电压表测电池的电动势和内电阻的实验中,所用电流表和电压表的内阻分别为0．1欧姆和1千欧姆．下面分别为实验原理图及所需的器件图．30．试在下图中画出连线,将器件按原理图连接成实电路．31．一位同学记录的6组数据见表．试根据这些数据在下图中画出U-I 图线．根据图线读出电池的电动势ε= 伏,根据图线求出电池内阻r= 欧．9 -五、本题包括3小题,共18分．要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤．有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位．32．（5分）图中ε=10伏,R1=4欧,R2=6欧,C=30微法,电池内阻可忽略．（1）闭合开关K,求稳定后通过R1的电流．（2）然后将开关K断开,求这以后流过R1的总电量．33．（5分）用焦距8厘米的凸透镜,使一根每小格为1毫米的直尺成像在直径是6．4厘米的圆形光屏上．要求光屏上显示16个小格,应将直尺放在离透镜多远的地方?已知直尺和光屏都垂直于透镜的主光轴,光屏的圆心在主光轴上,直尺与主光轴相交．34．（8分）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于l（l比2r大得多）时,两球之间无相互作用力:当两球心间的距离等-于或小于l时,两球间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示．欲使两球不发生接触,v0必须满足什么?条件- 10 -1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)物理参考答案一、答案及评分标准:全题26分,每小题2分．答错的或不答的,都给0分．1．D 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C8．B 9．D 10．C 11．B 12．A 13．A二、答案及评分标准:全题24分,每小题3分．每小题全选对的给3分,选对但不全的给1分,有选错的给0分,不答的给0分．14．A,C,D．15．A,B,D．16．A,C．17．C,D．18．B,C,D．19．D．20．C．21．B,C,D．三、答案及评分标准:全题24分,每小题3分．答案正确的,按下列答案后面括号内的分数给分;答错的,不答的,都给0分．22．23．3:2 （3分）24．1．2×1019 （3分）（答1×1019或答数在1．0×1019—1．3×1019范围内的,都给3分．）25．乙（1分）．丁（2分）26．2mg+qE （3分）27．3:2:2 （3分）（只要有一个比例不对就给0分．）28．q2B/2πm （3分）29．（3分）（波形图象至少要画出一个波长,否则不给这3分．）四、参考解答及评分标准:30．参考解答如图．- 11 -评分标准:本题3分,接线出现任何错误都不给这3分．31．参考解答如图．ε=1．46伏,r=0．72欧．评分标准:全题5分．正确画得U-I图线给2分．U-I图上由各组数据标出的六个点的位置要准确,连直线时第四组数据（0．32安,1．18伏）标出的点应该舍去不顾．ε的答数在1．46±0．02伏范围内的都给1分．r的答数在0．72±0．05欧范围内的都给2分．五、参考解答及评分标准．32．解:（1）①（2）断开前,电容器上电压为IR2,储存的电量为q1=CIR2 ②断开,待稳定后,电容器上电压为ε,储存的电量为q2=Cε③流过R1的总电量为- 13 -△q=C （ε-IR 2） ④=1．2×10-4库评分标准:本题5分．得出①、②、③、④式,各给1分．算出数值再给1分．33．解:按题目的要求,在屏上能成像的一段物高y=1．6厘米．屏直径即像高y ＇=6．4厘米．②所以直尺到透镜的距离应是10厘米．评分标准:全题5分．得出①式给3分．得出②式给1分．明确表示出直尺到透镜的距离为10厘米再给1分．34．解一:A 球向B 球接近至A 、B 间的距离小于l 之后,A 球的速度逐步减小,B 球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小．当A 、B 的速度相等时,两球间的距离最小．若此距离大于2r,则两球就不会接触．所以不接触的条件是v 1=v 2①l +s 2-s 1②其中v 1、v 2为当两球间距离最小时A 、B 两球的速度;s 1、s 2为两球间距离从l 变至最小的过程中,A 、B 两球通过的路程．由牛顿定律得A 球在减速运动而B 球作加速运动的过程中,A 、B 两球的加速度大小为③设v 0为A 球的初速度,则由匀加速运动公式得联立解得⑥解二:A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小．当A、B的速度相等时,两球间的距离最小．若此距离大于2r,则两球就不会接触．所以不接触的条件是=v2①l+s2-s1②1其中v 1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程．设v0为A球的初速度,则由动量守恒定律得=mv1+2mv2 ③由动能定理得联立解得⑥评分标准:全题共8分．得出①式给1分．得出②式给2分．若②式中">"写成"≥"的也给这2分．在写出①、②两式的条件下,能写出③、④、⑤式,每式各得1分．如只写出③、④、⑤式,不给这3分．得出结果⑥再给2分．若⑥式中"<"写成"≤"的也给这2分．。

1991年高考分数线一览表1991年是新中国历史上进行高考改革以来的第一次高考。

1991年的高考改革侧重于实行新的分数线体系，以及社会实践活动的加分，使高考考生有更多的机会参加高考。

当年的高考分数线一览表如下：一、文科1、英语：本科线110分，专科线100分；2、语文：本科线100分，专科线90分；3、数学：本科线90分，专科线80分；4、物理：本科线80分，专科线70分；5、化学：本科线80分，专科线70分；6、政治：本科线80分，专科线70分；7、历史：本科线80分，专科线70分；二、理科1、数学：本科线90分，专科线80分；2、物理：本科线80分，专科线70分；3、化学：本科线80分，专科线70分；三、社会实践活动加分为方便考生选择，1991年高考改革规定社会实践活动加分，其分数线如下：1、社会实践活动类别：全国性活动、省级活动、市级活动和县级活动；2、社会实践活动加分：全国性活动10分，省级活动8分，市级活动6分，县级活动4分；3、社会实践活动报名：每名考生最多可报名三项活动，其中一项可以是全国性活动，其余两项可以是省级活动或市级活动或县级活动；4、社会实践活动考核：每项活动考核成绩不低于90分，方可获得相应的加分；四、最高分报考1991年高考改革也规定，考生可以申请最高分报考，表现优异的考生可以申请本科最高分报考，考生的最高分报考分数高于本科线110分，低于专科线100分，每全国报考最高分人数不超过千人，每省报考最高分人数不超过百人，每市报考最高分人数不超过十人。

以上就是1991年高考分数线一览表，当年的高考改革对改变高考分数线体系，以及社会实践活动加分，以及最高分报考等措施，都起到了重要作用，使高考考生有更多的机会参加高考。