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Hilbert空间中广义变分不等式的近似-似投影算法陈方琴;夏福全【摘要】In this paper, we consider the proximal projected-like method for solving generalized variational inequalities in Hilbert spaces. This method includes proximal method and projected-like method. At first, we obtain temporary iteration points by using proximal method, and then by using the projected-like method, we project the temporary point onto the feasible set of generalized variational inequalities to get the next iterative point. Under the assumptions that the set-valued mapping is maximal monotone, we prove that every weak accumulation point of the sequence is a solution of variational inequalities. Finally, under the condition that the distance-like function is a special function, we prove that the sequence has a unique weak accumulation point.%在Hilbert空间中研究了广义变分不等式解的近似-似投影算法,该算法包含了近似点算法和似投影算法.首先通过近似算法,获得暂时迭代点,然后利用似投影算法将该暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上,获得下一步的迭代点.在集值映象为极大单调的条件下,证明了迭代序列的任意弱聚点都是变分不等式的解.最后,在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列具有唯一的弱聚点.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)003【总页数】6页(P297-302)【关键词】近似点算法;似投影算法;似距离泛函;极大单调映象【作者】陈方琴;夏福全【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066【正文语种】中文【中图分类】O176.3;O178设H为Hilbert空间，X为H中的非空闭凸子集，T：X→2H为集值映射.本文研究下列广义的变分不等式问题：求x*∈X，w*∈T(x*)，使得本文始终假设广义变分不等式问题(1)的解集S非空，并且X∩int(dom(T))≠Ø，或int(X)∩dom(T)≠Ø，其中广义变分不等式问题(1)在经济平衡、运筹学、数学物理等方面都有着广泛的应用［1］.同时，广义变分不等式问题(1)也和许多非线性问题有密切的关系，如相补问题、平衡问题、不动点理论等［2-3］.特别地，当 T是真凸下半连续泛函 f：H→R∪{+∞}的次微分时，广义变分不等式问题(1)退化为下列非光滑约束优化问题因此，对广义变分不等式问题(1)的研究无论是理论还是应用都很有意义.当集值映象T是强单调或者可行集X具有某种特殊结构(比如X是盒子)时，已有很多的有效算法计算广义变分不等式问题(1)的解［4-5］.但是，当集值映象T不是强单调或者可行集X不具有某种特殊结构时，广义变分不等式问题(1)的有效算法却不多.在这种情况下，应用最广泛的算法是投影算法，例如文献［6］.然而，一般情况下投影算子本身难以计算(事实上，必须要求解一个优化问题才能找到投影)，这使得投影型算法难以实现.如何降低投影算子的计算难度或者如何实现投影成为众多数学和应用数学工作者关注的问题.最近，A.Auslender等［7-8］为了克服这一难点，引入了似距离泛函，定义了似投影算子，并在映射T是极大单调以及T在X的有界集上有界的条件下得到迭代序列{xk}的凸组合的极限点是广义变分不等式问题(1)的解.另一方面，广义变分不等式问题(1)也等价于下列的变分包含问题：求x*∈X使得其中，NX是闭凸集X的正规对偶算子，其定义为：显然广义变分不等式问题(1)是下列问题的特例：其中，A是Hilbert空间H到自身的一个集值映射.对于(3)式的求解算法有很多(参见文献［9-11］)，其中最常见的方法之一是近似点算法，它的一般形式为然而，上式的精确解一般难以计算，特别当A为非线性算子时更困难.为了克服上述难点，近年有很多文献提出了非精确的近似点算法.具体方法是在上式中添加容许误差，从而计算上式的近似解(参见文献［12-13］).受上述工作的启发，本文在Hilbert空间中研究了广义变分不等式问题(1)的近似-似投影算法.该算法包含有非精确的近似点算法，即在近似点算法中包含有误差ξ，它满足一个容易验证的条件(5)(见算法2.1).应用非精确的近似点算法，获得暂时的迭代点.然后应用似投影算子，将暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上，获得下一步的迭代点，进而构造出变分不等式的迭代序列.本文在集值映象T是极大单调的条件下证明了迭代序列的有界性，也证明了迭代序列的弱聚点都为广义变分不等式问题(1)的解.最后，在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列的弱收敛性.本文只假设T是极大单调映射，去掉了T在X的有界集上有界的条件.因此，本文的结果推广了文献［7］中的相应结果.1 预备知识文中R+代表全体正实数.首先介绍A.Auslender等［7］给出的似投影算子的定义及性质：定义1.1 对任给的g∈H，x∈X，定义似投影算子P(g，x)如下：其中d：X×X→R+∪{+∞}为给定的泛函，且对任意的y∈X都有：(d1)d(·，y)是X上的真凸下半连续泛函且有d(y，y)=0，▽1d(y，y)=0，其中▽1d(·，y)是d(·，y)的梯度.(d2)domd(·，y)⊂X，dom∂1d(·，y)=X，其中∂1d(·，y)是d(·，y)的次梯度映象. (d3)d(·，y)在X上ρ强凸，即存在ρ＞0对于任意的y∈X都有设D(X)表示满足条件(d1)～(d3)的所有泛函的集合.易知，若d∈D(X)，则对于任意的g∈H，x∈X都有P(0，x)=x.也需要下面的似距离泛函.定义1.2［8］ X是Hilbert空间H的闭凸子集，d∈D(X)，称泛函F：X×X→R+∪{+∞}为由d诱导的近似距离.若F在X×X上为有限值，且存在σ＞0，γ∈(0，1］，使得对任意的a，b∈X有：引理1.1［8］假设d∈D(X)，F是满足定义1.2的似距离泛函，P是定义2.1中的似投影算子，则对于任意的τ∈X，y∈X都有定义1.3 设X是一个Hilbert空间H的非空子集，T：X→2H为集值映射，称(i)T为单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(ii)T为极大单调的，如果T为单调映射，并且对于任何的单调映射只要满足都有引理 1.2［14］假设η∈［0，1)且μ=若v=u+ξ，其中‖ξ‖2≤η2(‖u‖2+‖v‖2)，则2 近似-似投影算法及其性质在本节中，首先介绍广义变分不等式问题(1)的近似-似投影算法;然后再研究该算法的一些有用性质.选取正实数序列{λk}和正数η∈［0，1)，构造下列的迭代算法：算法2.11)选取初始点z0∈H.令k=0.2)求xk∈X，使得其中，ξk∈H满足3)若gk+ωk=0，则算法停止，否则令其中4)令k=k+1，然后回到第2步.令A=T+NX，其中NX是由(2)式定义的闭凸集X的正规对偶算子，若T为极大单调映象且dom(NX)∩intdom(T)≠Ø，则A为极大单调映象.从而(I+λkA)-1有意义且是单值的［15］.由(4)式知xk=(I+λkA)-1(zk+ξk)，从而序列{xk}、{zk}有定义. 本文总假设T是极大单调集值映射，η∈［0，1)，现介绍算法2.1产生的迭代序列的一些性质.且序列{λk}满足性质2.1 若则证明令v=λk(gk+ωk)，u=zk-xk，将其带入引理1.2就可以得到性质(i)和(ii).对于(iii)一方面利用Cauchy-Schwarz不等式及(i)有另一方面由(ii)可知注2.1 在算法2.1的第3步中，若gk+ωk= 0，则-ωk∈NX(xk)，从而有因此，xk是广义变分不等式问题(1)的解.另一方面，若gk+ωk≠0，由性质2.1(ii)知由T的伪单调性知对于任意的x*∈S，又因为gk∈NX(xk)则可得性质2.2 设且对任意k都有gk+ωk≠0，则且序列{F(x*，zk)}收敛.证明在引理1.1中，令τ=x*，g=βk(gk+ ωk)，结合(6)式有从而由定义2.2(ii)，上式等于这里由(10)式可得.另一方面所以将(11)～(12)式相结合有由(7)式，上式等于由(7)、(9)式以及可知从而即序列{F(x*，zk)}单调递减.又根据似距离泛函F的定义知对任意的k都有F(x*，zk)≥0，故序列{F(x*，zk)}收敛.性质2.3 假设序列{λk}满足(8)式，则存在一个常数ζ＞0使得证明如果gk+ωk=0，则上式成立.现假设gk +ωk≠0.由性质2.1(ii)有因为λk∈［α1，α2］，所以令性质2.4 假设序列{λk}满足(8)式且1-则证明若gk+ωk≠0，则由(8)、(13)和(14)式以及性质2.1(iii)可知，对于任意的k 有对上式取极限并由序列{F(x*，zk)}的收敛性得性质2.5 假设{xk}、{zk}是由算法2.1产生的两个无限序列，{λk}满足(8)式，则{xk}、{zk}都有界且具有相同的弱聚点.证明由性质2.2和定义1.2(iii)知序列{zk}有界，利用性质2.4和性质2.1(i)，可得所以有因为{zk}有界，从而可得{xk}有界.由(15)式知{xk}和{zk}具有相同的弱聚点.3 收敛性分析定理3.1 如果由算法2.1产生的序列{xk}是有限序列，则序列最后一项为广义变分不等式问题(1)的解.证明若序列{xk}为有限序列，则对于序列的最后一项算法2.1将在第3步停止，故有gk+ωk= 0.由注2.1知xk∈X且是广义变分不等式问题(1)的解.现在假设由算法2.1产生的序列{xk}是无限序列，下面将证明{xk}的弱聚点是广义变分不等式问题(1)的解.定理3.2 设{xk}是由算法2.1产生的序列，则{xk}的任意弱聚点都是广义变分不等式问题(1)的解.证明假设是{}的任意一个弱聚点，由此可以得到一个{xk}的子列弱收敛于.不失一般性，假设xk=(弱收敛).因为{xk}⊂X，所以∈X.由性质2.5知对于所有的v∈H，任意选取u∈T(v)+NX(v)，则存在点ω'∈T(v)和g'∈NX(v)，使得ω'+g'=u.因此，两个不等式相加有因为ω'+g'=u，所以由于‖ωk+gk‖→0，且{xk}有界，故有对(16)式取极限所以故存在使由NX的定义知从而所以是广义变分不等式问题(1)的解.当似距离泛函F(x，y)具有特殊结构时，将证明算法2.1产生的迭代序列{zk}、{xk}弱收敛于广义变分不等式问题(1)的解.下面推论的证明与R.T.Rockafellar［16］中证明序列收敛的方法一样.推论3.1 令F(x，y)=m‖x-y‖2，其中常数则由算法2.1产生的序列{zk}有唯一的弱聚点，从而{xk}和{zk}弱收敛.证明对于任意的x*∈S，由性质2.2知{m‖x*-zk‖2}收敛，下面证明序列{zk}有唯一的弱聚点.假设是{zk}的两个弱聚点，{zkj}和{zki}是{zk}的两个子序列且分别弱收敛于由性质2.5知是序列{xk}的弱聚点.再由定理3.2知根据性质2.2知序列和收敛.令则分别对(17)～(18)式取极限，由于{zkj}、{zki}分别弱收敛于所以〈和都收敛于0.由α1、α2、θ的定义可得由(19)和(20)式可得从而θ=0，故所以{zk}的所有子列具有相同的弱聚点，从而{zk}弱收敛，由性质2.5知{xk}弱收敛.参考文献［1］Fang Y P，Huang N J.Variational-like inequalities with generalized monotone mappings in Banach spaces［J］.Optim Theo Appl，2003，118(2)：327-338.［2］吴定平.随机变分不等式和随机相补问题［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2005，28(5)：535-537.［3］张石生.变分不等式和相补问题理论及应用［M］.上海：科学技术文献出版社，1991.［4］Auslender A，Teboulle M.Interior gradient and proximal methods for convex and coinc optimization［J］.SIAM J Optim，2006，16：697-725. ［5］Xia F Q，Huang N J，Liu Z B.A projected subgradient method for solving generalized mixed variational inequalities［J］.Oper Research Lett，2008，36：637-642.［6］Solodov M V，Svaiter B F.A new projection method for variational inequality problems［J］.SIAM J Control Optim，1999，37(3)：765-776. ［7］Auslender A，Teboulle M.Projected subgradient menthods whih non-euclidean distances for non-differentiable convex minimization and variational inequalities［J］.Math Program，2009，120：27-48.［8］Auslender A，Teboulle M.Interior projection-like methods for monotone variational inequalities［J］.Math Program，2005，A104：39-68.［9］Eckstein J，Bertsekas D P.On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal monotone operators［J］.Math Program，1992，55：293-318.［10］Eckstein J，Svaiter B F.A family of projective splitting methods forthe sum of two maximal monotone operators［J］.Math Pro-gram，2008，111：173-199.［11］Eckstein J，Ferris M.Smooth methods of mulitipliers forcomplementarity problems［J］.Math Program，1999，86：65-90. ［12］Solodov M V，Svaiter B F.Error bounds for proximal point subproblems and associated inexact proximal point algorithms［J］.Math Program，2002，88：371-389.［13］Solodov M V，Svaiter B F.A hybrid projection-proximal point algorithm［J］.J Convex Anal，1999，6：59-70.［14］Solodov M V，Svaiter B F.A unified framework for some inexact proximal point algorithms［J］.Numer Funct Anal Optim，2001，22：1013-1035.［15］Minty G.A theorem on monotone sets in Hilbert spaces［J］.J Math Anal Appl，1967，97：434-439.［16］Rockafellar R T.Monotone operators and the proximal point algorithm［J］.SIAM J Control Optim，1976，14：877-898.［17］Ding X P，Xia F Q.A new class of completely generalized quasi-variational inclusions in Banach spaces［J］.J Comput Appl Math，2002，147：369-383.［18］Xia F Q，Huang N J.Variational inclusions with general H-monotone operators in Banach spaces［J］.Comput Math Appl，2007，54：24-30. ［19］Rockafellar R T，Bets R J.Variational Analysis［M］.New York：Springer-Verlag，1988.［20］Teboulle M.Convergence of proximal-like algorithms［J］.SIAM J Optim，1997，7：1069-1083.。
广义非凸变分不等式解的存在性与投影算法闻道君;陈义安【摘要】本文运用Banach压缩映象原理和投影技巧研究一类新的广义非凸变分不等式问题解的存在唯一性,并在非凸集上建立一个逼近广义非凸变分不等式解的三步投影算法,在一定条件下证明了该投影算法所产生的迭代序列的收敛性.%In this article, a new general nonconvex variational inequality is introduced and considered, and the existence and uniqueness of solution of the variational inequality problems is studied with Banach contraction principle and projection technique. A three-step projection method is established for solving the general nonconvex variational inequality, and the convergence of the projection method is discussed under suitable conditions.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】6页(P475-480)【关键词】广义非凸变分不等式;近似正规锥;不动点;投影算法【作者】闻道君;陈义安【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067;重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O177.91变分不等式理论在现代非线性分析中具有非常重要的作用,被广泛应用于经济决策、动力系统、优化理论和算子理论等领域.近年来,变分不等式问题已经被许多作者深入研究,出现了混合变分不等式、拟变分不等式和随机变分不等式等各种推广形式,并获得了一系列很好的结果[1−6].因此,讨论各种变分不等式问题解的存在性和有效数值解法有着重要的理论意义和实用价值.目前,变分不等式问题的数值解法主要包括投影技巧、预解算子技巧和辅助原理方法,其中投影方法具有重要作用.然而,求解变分不等式问题的各种投影算法,几乎关于所有收敛性分析的结论都是建立在凸集上的,这是因为投影算子在凸集上具有的一些性质可能在更为一般的非凸集上不再成立.例如,在Hilbert空间中投影算子在闭凸集上是非扩张的,然而,非扩张映象在凸集上和在非凸集上的性质却大不相同.如果非扩张映象在一个非空闭凸集上的不动点集是非空的,则该不动点集一定是闭凸集,就可以在该不动点集上研究投影问题;而非扩张映象在一个非凸集上的不动点集却不一定是凸的,一般也就不能相应地考虑投影问题.另一方面,在一致凸Banach空间中的有界闭凸集上的非扩张映象有不动点,在非凸集合上,该结论却不一定成立,等等.最近,文献[7,8]基于非线性凸分析和非光滑分析的观点,给出了一致近似正规集(非凸集)的定义.在此基础上,Noor[5,9]引入了一类非凸变分不等式问题:设T为一非线性算子,Kr为Hilbert空间H 中的一非凸子集,求u∈Kr,使得建立了求解非凸变分不等式问题(1.1)的投影算法,并在算子T具有强单调性的条件下证明了相应迭代序列的收敛性.本文将进一步研究广义非凸变分不等式问题:设T,g为非线性算子,Kr为Hilbert空间H 的一非凸子集,求u∈Kr,使得运用(1.2)式与不动点问题的等价性(引理3.1),定义一个求解广义非凸变分不等式问题的三步投影算法:对给定的u0∈Kr和常数ρ＞0,由下式计算{un}:其中αn,βn,γn∈(0,1),且PKr表示H 在非凸集Kr上的投影.本文的目的是在Hilbert空间中,将投影算法推广到广义非凸变分不等式问题,并且在收敛分析中将对算子T的限制条件从强单调减弱到松弛余强制,所得的结果改进并推广了文献[5,6,9]中相应的结论.设H 是一个实Hilbert空间,其内积和范数分别表示为〈·,·〉和‖·‖,K 是H 中的一个非空凸集.首先,我们介绍一些文献[7,8]中的基本概念和结论.设u为Hilbert空间H中的一点,以dK(u)=infv∈K‖v-u‖ 表示H 到K 的距离,称设Kr为H 的一个非空子集,对给定的常数r∈(0,∞],如果Kr的每一个非零近似正规锥(u)都可以表示为一个r-球,即对任意u∈Kr和0/=ξ∈(u),满足则称Kr为一致r-近似正规集.从文献[7,8]可知,一致近似正规集包含p-凸集,H 中的C1,1子流形(可能包含边界)等类型的凸集和非凸集合.如果r=∞,则一致r-近似正规集Kr与K等价,即Kr=K;如果Kr是一致近似正规集,则近似正规集(u)是闭的集值映象,所以引理2.1[8,9]设K 为H 的非空闭子集,r∈(0,+∞]如果Kr={u∈H:d(u,K)＜r}是一致近似正规集,则定义2.1称映象T:H→H 为µ-Lipschitz连续:如果存在常数µ＞0,使得定义2.2称映象T:H→H 为r-强单调:如果存在常数r＞0,使得定义2.3称映象T:H→H 为α-强制:如果存在常数α＞0,使得定义2.4称映象T:H →H 为松弛(γ,r)-余强制:如果存在常数γ＞0,r＞0,使得注2.1当γ=0时,松弛(γ,r)-余强制映象即r-强单调映象,但其逆命题并不成立.因此,松弛(γ,r)-余强制映象是比r-强单调映象条件更弱的一类映象形式.由文献[9]可知,非凸变分不等式问题(1.1)与如下变分包含问题等价:其中(u)表示Kr在u的近似正规锥.类似地,可以建立广义非凸变分不等式问题(1.2)等价的变分包含问题,并进一步推导如下引理:引理3.1 u∈Kr为广义非凸变分不等式(1.2)的解的充分必要条件是其中PKr为H 在一致近似正规集Kr上的投影.证设u∈Kr为问题(1.2)的解,由式(3.1)得记由引理3.1可知F(u)的不动点即广义非凸变分不等式(1.2)的解.据此,分析问题(1.2)解的存在唯一性和投影算法(1.3)的收敛性.由式(3.2)得θ∈(0,1),则由Banach压缩映象原理可知F(u)存在唯一不动点,即问题(1.2)的唯一解.证设u∗∈Kr为式(1.2)的解,由式(1.3),(3.7)和引理3.1得由式(3.8)可知θ∈(0,1).同理可得由式(3.10)和(3.11),以及βn,γn∈(0,1)得将式(3.12)代入式(3.9)得注3.1定理3.1和定理3.2改进并推广了文献[5,9]中相应的结论.注3.2式(3.2)是文中收敛性分析的关键条件,如果取k=,δ=2,µ1=2,r1=4,γ1=0.51,可得ρ∈(0.49-,0.49+),说明的确存在这样的系数使得不等式(3.2)成立.【相关文献】[1]闻道君.混合拟变分不等式的预测-校正算法[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009,34(5):41–44.[2]Xu H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J.London Math.Soc.,2002,2:240–256.[3]Verma R U.Generalized system for relaxed cocoercive variational inequalities and projection methods[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121(1):203–210.[4]闻道君,邓磊.一般变分不等式的三步迭代算法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2009,32(4):436–438.[5]Noor M A.Iterative schemes for nonconvex variational inequalities[J].J.Optim.Theory Appl.,2004,121,385–395.[6]Pang L P,Shen J,Song H S.A modified predictor-corrector algorithm for solving nonconvex generalized variational inequalities[J].Comput.Math.Appl.,2007,54:319–325.[7]Clarke F H,Ledyaev Y S,Wolenski P R.Nonsmooth analysis and controltheory[M].Berlin:Springer,1998.[8]Poliquin R A,Rockafellar R T,Thibault L.Local differentiability of distancefunctions[J].Trans.Am.Math.Soc.,2000,352:5231–5249.[9]Noor M A.Projection methods for nonconvex variationalinequalities[J].Optim.Lett.,2009,3:411–418.[10]Noor M A,Noor K I.Projection algorithms for solving system of general variational inequalities[J].Nonl.Anal.,2009,70:2700–2706.。
Hilbert空间中广义变分不等式的投影算法李涛; 夏福全【期刊名称】《《四川师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2011(034)005【总页数】5页(P610-614)【关键词】投影算法; 弱收敛; 伪单调.映象【作者】李涛; 夏福全【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O176.3; O178设H为Hilbert空间，X为H中的非空闭凸子集，T：X→2H为集值映射.本文研究下列广义变分不等式问题：求x*∈X，w*∈T(x*)使得变分不等式问题在经济平衡、运筹学、数学物理等方面都有着广泛的应用［1－2］.同时，变分不等式问题也和许多非线性问题有密切的关系，如优化问题、相补问题、平衡问题、不动点理论等［3－5］.因此，对变分不等式(1)无论是理论还是应用上都有着深入的研究.同时，也有许多的迭代算法计算问题(1)的解.然而，为了迭代算法的收敛，很多算法都要求变分不等式中的映象为单值的或严格单调的，只有很少的方法克服了这一难题，比如平均算法等［6－7］.当变分不等式中的映象为集值映象时，这些算法至少都要求问题(1)中的映象是单调的.当集值映象非单调时，这些算法产生的迭代算法都不收敛.因此，很有必要研究非单调的情况下变分不等式问题(1)的迭代算法.最近，F.Q.Xia等［8］在Hilbert中研究了广义混合变分不等式解的投影算法，他们在集值映象仿单调的假设条件下，证明了迭代算法的序列收敛于混合变分不等式的解.众所周知，投影算法最早起源于G.M.Korpelevich［9］的外梯度算法，它有比较容易实现且适用范围广泛等特点.并且，在许多单值变分不等式的投影算法中，都只要求映象连续而非单调［10－11］.因此，能不能用F.Q.Xia等［8］的投影算法研究非单调变分不等式(1)的解自然成为人们关心的问题.另一方面，J.P.Crouzeix等［12］研究了集值映象广义单调的定义，定义了比单调映象更弱的伪单调+、伪单调*、伪单调+*映象，并获得了下列结果：性质A 设X是Rn中的非空紧子集且集值映象T在X上是伪单调*和有界闭的.再设{xk}是X中的序列，rk∈T(xk)满足其中x*是变分不等式(1)的解.则序列{xk}的任意极限点都是变分不等式(1)的解.但文献［12］中，J.P.Crouzeix等并没有给出具体的算法.因此，自然会问，能不能构造一个具体的算法获得J.P.Crouzeix等［12］的收敛性结果.本文在Hilbert空间中研究了广义变分不等式的投影算法.在集值映象为伪单调*的条件下，证明了迭代序列弱收敛于广义变分不等式的解，获得了J.P.Crouzeix等［12］的收敛性结果.同时，本文也削弱了F.Q.Xia等［8］的映象为仿单调的假设条件，推广了文献［8］中的相应结果.1 预备知识设X⊂H是一个非空闭凸集，表示点z到X的距离.设PX［z］为点z到X上的投影，即PX［z］满足下面是投影算子的性质，将在后面用到.性质1.1 设X是一个Hilbert空间的非空闭凸集，则下面的性质成立：1)〈x－y，x－PX［x］〉≥0，∀x∈H，∀y∈X;2)对任意的x，y∈H都有‖PX［x］－PX［y］‖≤‖x－y‖.定义1.1 设X是一个Hilbert空间的非空子集，T：X→2H为集值映射，称：(i)T为单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(ii)T为伪单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有(iii)T为伪单调*的，如果T在X上是伪单调的，并且存在一个正数γ，使得对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有定义1.2 设X是一个Hilbert空间的非空子集，T：X→2H为集值映射，如果存在L＞0，使得对于X的任意子集B有称T在集合B上Lipschitz连续，其中H(·，·)为H中的非空有界闭子集上的Hausdorff度量.定义1.3 设T为X上的集值映射，{xk}⊂X且弱收敛到¯，wk∈T(xk).如果{wk}弱收敛于时总有，则称集值映射T在X上为弱闭的.显然，如果集值映射T在X上是弱闭的，则对任意的x∈X，T(x)为H空间上的弱闭子集.引理1.1 设αk和βk为实序列.假设对所有的k≥0有αk≥0且又设存在和θ＞0使得当时有βk≥0且对所有的k有则定义1.4 设H为Hilbert空间，V为H上的非空子集，如果对任意的存在和一个序列δk⊂R+使得当时有以及则称序列{xk}在集合V上拟Fejéi收敛.下面的结论为Y.I.Alber等［13］中的性质1.引理1.2 设{xk}为集合V上的拟Fejéi收敛序列，则下列性质成立：(a){xk}有界;(b)对所有的收敛;(c)如果序列{xk}的所有弱聚点属于V，则序列{xk}是弱收敛的且{xk}有唯一的聚点.2 投影算法从现在起假定条件(A1)～(A3)成立.(A1)广义变分不等式问题(1)的解集非空.(A2)伪单调*映射T：X→2H在X的非空有界集上有界和Lipschitz连续，并且在X上是弱闭的.(A3)设{xk}为非负实序列且满足由假设(A2)，易知T在X的任何有界子集上是有界的.下面介绍关于广义变分不等式问题(1)的算法.算法2.11)选取初始的x0∈X和w0∈T(x0).令k=0.2)如果0∈T(xk)则运算终止，否则进行第3)步.3)取ηk=max{1，‖wk‖}，令其中，αk满足条件(2)～(3)式.4)取wk+1∈T(xk+1)，满足令k=k+1，然后回到第2)步.注2.1 Hilbert空间H上集值映射T若是闭值的，则T为弱闭凸值的.由假设(A3)，知道T是非空有界闭的.因此，由Nadler定理［14］知存在wk+1∈T(xk+1)使得现在在Hilbert空间H中分析由算法2.1产生的序列{xk}的收敛性.定理2.1 若算法2.1产生的序列{xk}是有限的，则序列的最后一项xk为变分不等式(1)的解.证明如果序列{xk}是有限的，则在算法2.1中，对于某个xk，运算将终止于第2)步.因此，0∈T(xk)和存在w∈T(xk)，使得因此xk是变分不等式(1)的一个解.从现在开始，总假设算法2.1产生的序列为无限序列.将证明序列{xk}的收敛性.下面定理2.2的证明方法与Y.I.Alber等［13］的引理1的证明方法类似.定理2.2 假设条件(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}是有界的.证明设S为变分不等式(1)的解集.令由(4)式知对所有k都有xk∈X，因此PX［xk］=xk.利用性质1.1的2)和‖wk‖≤ηk可得由下面的式子，将推导出是有界的.由(6)式得由性质1.1的1)，上式由(6)式，上式由‖wk‖≤ηk，得上式即因x*∈S，所以存在w*∈T(x*)使得将y=xk代入(8)式得由T的伪单调性得知因此，βk≥0.由(7)式得现在证明序列{xk}是有界的.令由(3)式知r＜∞，故因为对所有k有所以因此，序列{xk}包含在以x*为中心的某邻域内，从而{xk}是有界的.定理2.3 设x*∈S为变分不等式(1)的一个解，βk=〈wk，xk－x*〉.如果假设条件(A1)～(A3)成立，则证明由定理2.2知，序列{xk}是有界的.对所有k，存在一个常数λ＞0使得‖xk‖≤λ.令B为包含{xk}的有界集.由假设(A2)知，{wk}是有界的，因此对所有的k存在常数ρ＞1使得‖wk‖≤ρ，从而由(11)式得对(12)式求和得由(3)式可得另一方面，由Cauchy－Schwartz不等式，上式由(5)式，上式由T的Lipschitz连续性以及(6)式，上式即由(9)式知对所有k有βk≥0.再由(2)、(14)、(15)式和引理1.1得定理2.4 假设(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}的每一个弱聚点都是变分不等式(1)的一个解.证明由定理2.2知，序列{xk}是有界的，故{xk}存在弱聚点.设¯x为{xk}的任一弱聚点，则存在{xk}的子列弱收敛于¯x.不失一般性，假设{wk}弱收敛于¯x.根据{xk}的有界性以及假设条件(A2)知，{wk}是有界的.因此，{wk}存在弱收敛子列.不妨假设{wk}弱收敛于¯w.由于T是弱闭的，所以¯w∈T(¯x).由定理2.3知由此可得根据T的伪单调性有又因为x*是变分不等式(1)的一个解，故存在w*∈T(x*)使得由(16)、(17)式知存在w*∈T(x*)使得又因为T是伪单调*的，所以存在正常数k使得.故存在使得这说明¯是变分不等式(1)的一个解.定理2.5 假设条件(A1)～(A3)成立，则由算法2.1产生的序列{xk}是弱收敛的.证明对任意的x*∈S，由(11)式可知由(3)式知，由定义1.4知序列{xk}是拟收敛的.再由定理2.4和引理1.2(c)可得序列{xk}是弱收敛的.参考文献［1］丁协平.一类广义变分不等式及应用［J］.四川师范大学学报：自然科学版，1994，17(6)：10－16.［2］Auslender A，Teboulle M.Interior gradient and proximal methods for convex and conic optimization［J］.SIAM J Optim，2006，16：697－725. ［3］吴定平.随机变分不等式和随机相补问题［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2005，28(5)：535－537.［4］张石生.变分不等式和相补问题理论及应用［M］.上海：科学技术文献出版社，1991.［5］Auslender A，Teboulle M.Projected subgradient methods with non－Euclidean distances for non－differentiable convex minimization and variational inequalities［J］.Math Program，2009，120(1)：27－48. ［6］Rockfellar R T.Monotone operators and the proximal point algorithm ［J］.SIAM J Control Optim，1976，14：877－898.［7］Iusem A N，Svaiter B F，Teboulle M.Entropy－like proximal methods in convex programming［J］.Math Oper Res，1994，19：790－814. ［8］Xia F Q，Huang N J，Liu Z B.A projected subgradient method for solving generalized mixed variational inequalities［J］.Operations Research 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求解变分不等式的实用投影算法的开题报告题目：求解变分不等式的实用投影算法一、研究背景及意义变分不等式作为一种重要的非线性问题，被广泛地应用于物理、经济和工程等领域。
在许多实际问题中，常常需要求解具有约束的优化问题，该问题不仅具有非线性、非凸等困难性质，而且不满足KKT条件。
因此，变分不等式的求解是一个十分重要的研究方向。
在实际应用中，求解变分不等式时，常常需要应用各种投影算法。
针对不同的应用场景，需要设计不同的投影算法。
因此，研究针对特定问题场景的实用投影算法的设计和实现，对于加快问题求解过程，提高求解效率和求解精度具有重要意义。
二、研究内容及目标1.通过研究变分不等式的求解方法，探索当前主流的投影算法，理解算法的原理和优缺点。
2.针对不同的变分不等式求解问题，设计实用的投影算法。
3.实现投影算法，并对比不同算法的性能。
4.通过实验研究，比较不同算法的求解效率和精度，评估算法的优缺点，并提出优化方案。
三、研究方法及技术路线本文将采用文献综述法和实验研究法相结合的方法，首先通过对已有文献的综述，了解目前已有的投影算法和其应用场景；然后，根据不同的问题场景，设计适合的投影算法；再实现投影算法并进行实验验证，并通过实验分析来评估不同算法的求解效果。
具体技术路线如下：1.研究变分不等式的相关理论和算法，掌握常用的投影算法。
2.通过文献综述法，了解各种变分不等式方程的求解算法。
3.确定实验数据集，设计实验方案，实现算法并进行实验验证。
4.分析实验数据，总结不同算法的优缺点，并提出改进方案。
四、预期研究成果1.设计出适合不同变分不等式方程的投影算法，提高求解效率和求解精度。
2.通过实验验证，评估算法性能，分析不同算法的优缺点。
3.在应用领域提供一定的参考和指导。
五、可行性分析1.时间可行性：本课题计划在两年左右完成，时间充裕。
2.经费可行性：研究过程中主要需要购买软件和实验用电脑等，经费可行。
3.技术可行性：本研究所采用的方法和技术已经在相关研究中得到验证，具有一定的可行性。
希尔伯特变换公式各字母意义摘要：希尔伯特变换的基本概念及应用领域概述1.希尔伯特变换的定义及公式2.希尔伯特变换中的各字母意义3.希尔伯特变换的应用领域4.希尔伯特变换在我国的研究与发展5.希尔伯特变换在实际工程中的案例解析6.希尔伯特变换的未来发展趋势与展望正文：希尔伯特变换是一种在无限维希尔伯特空间中进行的线性变换，它在数学、物理、信号处理等领域具有广泛的应用。
下面我们将详细介绍希尔伯特变换的基本概念、公式及其在各领域的应用。
一、希尔伯特变换的定义及公式希尔伯特变换是由希尔伯特空间中的内积推导出来的，它定义为：设函数f(x)和g(x)分别属于希尔伯特空间H1和H2，那么希尔伯特变换可以表示为：<f|g> = ∫[f(x) * g(x)]dx其中，∫表示积分，*表示共轭。
二、希尔伯特变换中的各字母意义1.f(x)和g(x)：分别为希尔伯特空间H1和H2中的函数。
2.<f|g>：表示f(x)和g(x)在希尔伯特空间中的内积，也称为希尔伯特变换。
3.dx：表示积分变量。
三、希尔伯特变换的应用领域1.数学：希尔伯特变换在数学领域中主要用于研究希尔伯特空间、巴拿赫空间等无限维空间的性质。
2.物理：希尔伯特变换在物理领域中应用于量子力学、波动方程等领域，如薛定谔方程、波动方程的求解等。
3.信号处理：希尔伯特变换在信号处理领域具有广泛应用，如希尔伯特-黄变换（HHT）、希尔伯特变换与小波变换等，用于信号的分解、重构、去噪等。
四、希尔伯特变换在我国的研究与发展我国学者在希尔伯特变换领域取得了丰硕的成果，包括理论研究、应用开发等方面。
在数学方面，我国学者对希尔伯特空间、巴拿赫空间等无限维空间的性质进行了深入研究；在物理方面，我国学者利用希尔伯特变换研究了量子力学、波动方程等问题；在信号处理方面，我国学者发展了希尔伯特-黄变换（HHT）等方法，并应用于实际工程中。
五、希尔伯特变换在实际工程中的案例解析1.信号分解：利用希尔伯特变换对信号进行分解，可以将信号分解为多个固有模态函数（IMF），从而更好地分析信号的内在结构。
变分不等式与非线性算子方程的逼近本学位论文主要研究无限维实Hilbert空间背景下几类新的变分不等式(系统)、不动点、非线性算子方程及它们的公共解问题。
本文分别利用投影算子技巧、Wiener-Hopf方程组技巧、辅助原理技巧和强正有界线性算子技巧,改进了Mann迭代方法、混合方法、外逼近方法、外梯度方法和粘性迭代方法,构造了几种新的迭代算法,并证明了迭代序列的收敛性。
其结果改进、推广与补充了之前文献中相应的结果。
全文共分五章。
第一章,介绍了变分不等式和非线性算子方程的研究背景,回顾了文中将要用到的一些基本概念和基本理论,并简述了本文的主要工作与结构安排。
第二章,研究了一类新的广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题。
首先,证明了广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题分别等价于相应的不动点问题和Wiener-Hopf方程组问题。
其次,利用投影算子技巧和Wiener-Hopf 方程组技巧,构造了两种新的迭代算法。
最后,证明了广义集值非线性隐拟变分不等式系统问题解的存在性和迭代序列的收敛性。
这是首次利用Wiener-Hopf方程组技巧求解变分不等式系统问题。
通过比较这两种方法所得到的结果,表明Wiener-Hopf方程组技巧比投影算子技巧更一般。
第三章,基于第二章,利用辅助原理技巧,研究了一类新的广义集值强非线性混合隐拟似变分不等式系统问题。
首先,证明了相应的辅助变分不等式系统问题解的存在性。
然后,利用这个解的存在性结果,构造了一个新的迭代算法。
最后,证明了原问题解的存在性和迭代序列的收敛性。
这是对Noor等(Koreanput.Appl.Math.1998,1:73-89;put.Appl.Math.1993,47:285-312)提出的公开问题做的肯定的回答。
第四章,为了寻找两族有限极大单调映射的公共零点集、非扩张映射的不动点集和具单调Lipschitz连续映射的变分不等式解集的公共元问题,介绍和研究了一种新的一般混合迭代算法。
广义集值混合变分不等式的一类单调算法置信域方法是一种常用的单调算法，其核心思想是在每次迭代中，通过构建一个置信域来控制迭代点的移动范围，以保证收敛性和单调性。
常用的置信域方法包括多目标函数投影算法（MOFA）和修正的广义集值投影算法（MGA）。
多目标函数投影算法是一种基于投影算法的单调算法，其主要思想是通过计算目标函数在当前迭代点上的投影向量，然后根据投影向量来更新迭代点，以使目标函数在新的迭代点上具有较小的值。
多目标函数投影算法的优点是可以处理多个目标函数，并且可以保证在每次迭代中至少有一个目标函数是单调下降的。
修正的广义集值投影算法是一种改进的多目标函数投影算法，其主要思想是在每次迭代中维护一个集值 subdifferential，以控制目标函数的下降和约束条件的满足。
修正的广义集值投影算法的优点是可以处理多个目标函数和约束条件，并且可以保证在每次迭代中所有的目标函数都是单调下降的。
经典的递归算法是另一种常用的单调算法，其核心思想是将原优化问题转化为一系列子问题，并通过递归求解子问题来得到最优解。
常用的递归算法包括递归算法和分解协调算法。
递归算法是一种基于递归分解的单调算法，其主要思想是将原优化问题分解为多个较小的子问题，并通过递归求解子问题来得到最优解。
递归算法的优点是可以处理多个目标函数和约束条件，并且可以保证最终得到全局最优解。
分解协调算法是一种基于分解协调的单调算法，其主要思想是将原优化问题分解为多个子问题，并通过协调子问题的求解来得到最优解。
分解协调算法的优点是可以处理多个目标函数和约束条件，并且可以保证每个子问题的解是单调递增的。
总之，广义集值混合变分不等式是一类重要的非线性优化问题，解决这类问题的单调算法有置信域方法和经典的递归算法。
这些算法可以处理多个目标函数和约束条件，并且可以保证最优解的单调性。
偏微分方程hilbert空间概述及解释说明1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本篇长文的主题以及所讨论的内容。
本文将着重探讨偏微分方程和Hilbert空间的概念，并比较解析解和数值解方法在偏微分方程求解中的优劣势。
通过对问题背景和相关领域的概况进行描述，引言部分将为读者提供整体上下文框架。
1.2 文章结构本文共分为五个主要部分，每个部分都有相应的子节。
以下是各个部分的简要介绍：第二部分“偏微分方程概述”将开始对偏微分方程的定义、常见类型以及与数学建模之间的关系进行全面阐述。
第三部分“Hilbert空间介绍”将详细描述Hilbert空间的定义、性质以及在数学和物理领域中的应用。
第四部分“解析解与数值解方法比较”将重点比较解析解和数值解方法对于偏微分方程求解所具有的特点和优势，并以实际案例进行深入探讨。
最后一部分“结论与展望”则会对整篇文章进行总结，展望未来可能的研究方向和发展趋势。
1.3 目的本文的目的是全面介绍偏微分方程和Hilbert空间，并探讨解析解与数值解方法在求解偏微分方程中的应用。
通过比较不同方法之间的优劣，读者可以对该领域有更深入的了解。
此外，我们还将提供一些未来可能的研究方向，以鼓励读者进一步探索相关领域，并对本文进行总结和结束语部分。
2. 偏微分方程概述：2.1 偏微分方程定义偏微分方程是描述多变量函数与其偏导数之间关系的方程。
它涉及未知函数的各种偏导数，以及独立变量（例如时间和空间）之间的关系。
一般而言，偏微分方程包含了函数本身及其对各个自变量的各阶偏导数。
2.2 常见类型的偏微分方程在实际问题中，我们常遇到几种类型的偏微分方程。
其中，常见的一类是椭圆型偏微分方程，如拉普拉斯方程；另一类是抛物型偏微分方程，如热传导方程；还有一类是双曲型偏微分方程，如波动方程。
每种类型的偏微分方程都具有不同的性质和解法。
2.3 数学建模与偏微分方程在科学研究和工程领域中，往往需要通过建立数学模型来描述实际现象或问题。
Hilbert空间中算子广义逆的共变性质靳宏伟【摘要】This paper mainly studies the covariance set of elements having closed range in Hilbert space, which the sufficient and necessary conditions of the covariance set are given. Moreover, we consider the properties of covariance of the EP operators and prove that EP operators with common range space have the same covariance.%主要研究了Hilbert 空间中算子的共变性质，给出了共变条件的充要条件；此外，考虑了EP算子的共变性质，并且证明了相同值域空间的EP算子具有相同的共变．【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)002【总页数】3页(P61-63)【关键词】Moore-Penrose逆;共变;EP算子【作者】靳宏伟【作者单位】广西民族大学理学院,南宁530006【正文语种】中文【中图分类】O151设X和Y是两个任意的Hilbert空间，L(X，Y)是从X到Y的所有有界线性算子的全体.L(X，X)记为L(X).我们用G(X)表示全体可逆算子组成的集合.若X满足:1)AXA=A;2)XAX=X;3)(AX)*=AX;4)(XA)*=XA，则X叫做A的Moore-Penrose逆，记作A†.我们用R(A),N(A),ind(A)分别表示A的值域、核和指标，用asc(A)和dsc(A)表示A的升指标和降指标，若N(Tk)=N(Tk+1)，就叫做A的升指标；若R(Tk)=R(Tk+1)，k叫A做的降指标.我们知道如果A的值域是闭的，那么A的Moore-Penrose逆存在.[A,B]表示AB-BA，显然，若AB=BA，则有[A,B]=0.AD表示A的Drzin逆，对于满足条件A†=AD的算子，叫做EP算子. 设A∈G(X)是可逆算子，如果对于任意可逆的算子T∈G(X)有：(TAT-1)-1=TA-1T-1，那么A-1叫做关于G(X)共变.如果A不可逆，我们用A†表示A的Moore-Penrose逆，一般情况下A†关于G(X)不是共变的.我们用C(A)={T:(TAT-1)†=TA†T-1}表示共变的集合.D.W.Robison在[1]中研究了矩阵的共变条件，并且解决了A的秩为1和2的情况.H.Schwerdtfeger在[2]中给出了矩阵具有任意秩的共变条件.注意到，前面的研究都在T是可逆的基础上进行的，这里，我们将研究Hilbert空间中的共变条件.引理1[8] 设T∈L(X,Y)是一个闭值域算子，若T是单射，则T*T是可逆的，T†是T 的左逆.引理2 [6] 设A∈L(X)是一个闭值域算子，则下列条件等价:a)A是EP算子;b)AA†=A2(A†)2 且ascA<∞;c)A†A=(A†)2A2且dscA<∞.引理3 [7] 如果A,B∈L(X)是EP算子且AB=BA，则AB是EP算子.1 主要结果定理1 设A,T∈L(X)是闭值域算子，若T是单射，则T∈C(A)当且仅当[T*T,A†A]=0且[T*T,AA†]=0.证明: 必要性.设T∈C(A)，也就是(TAT†)†=TA†T†.因为T是单射，根据引理1，可得T†T=I.TAA†T†=(TAT†TA†T†)*=(TAA†T†)*=(T*)†AA†T*所以T†TAA†T†T=T†(T*)†AA†T*T.因此AA†=(T*T)†AA†(T*T).又因为T*T是可逆的，可得：T*TAA†=A†AT*T. 即：[T*T,AA†]=0.同理：[T*T,A†A]=0.充分性.因为T†T=I，很容易得到以下等式：(TAT†)(TA†T†)(TAT†)=TAT†;(TA†T†)(TAT†)(TA†T†)=TA†T†;((TA†T†)(TAT†))*=((T†)*T*TA†AT†)*=(T†)*A†AT*TT†=(T†)*T*TA†AT†=TA†AT†=(TA†T†)(TAT†)；同理,((TAT†)(TA†T†))*=(TAT†)(TAT†)†.证毕.推论1 设T∈L(X)是可逆的，T∈C(A)当且仅当[T*T，A†A]=0且[T*T，AA†]=0.定理2 设A，T∈L(X)是闭值域算子，若T是单射，则C(A)=C(A*)=C(A†)=C(AA†)∩C(A†A).证明:因为AA†=(AA†)*=(A†)*A*,A†A=(A†A)*=A*(A†)* ,则T*TAA†=AA†T*T当且仅当T*T(A†)*A*=(A†)*A*T*T.T*TA†A=A†AT*T当且仅当T*TA*(A†)*=A*(A†)*T*T.因此T∈C(A)当且仅当T∈C(A*);又因为(A†)†=A，可得T*TAA†=AA†T*T当且仅当T*T(A†)†A†=(A†)†A†T*T.T*TA†A=A†AT*T当且仅当T*TA†(A†)†=A†(A†)†T*T.因此T∈C(A)当且仅当T∈C(A†).又因为AA†=(AA†)†,所以T*TAA†=AA†T*T当且仅当T*TAA†(AA†)†=AA†(AA†)†T*T.(T∈C(AA†)).T*TA†A=A†AT*T当且仅当T*TA†A(A†A)†=A†A(A†A)†T*T.(T∈C(A†A)).所以T∈C(A)当且仅当T∈C(AA†)∩C(A†A).定理3 设A,B,T∈L(X)是闭值域算子，若T是单射，A,B是EP算子且R(A)=R(B)，则C(A)=C(B).证明:因为A=PR(A)，N(A*)A=PR(B)，N(B*)A=BB†A，所以AA†=BB†AA†.同理，BB†=AA†BB†.因此AA†=BB†AA†=PR(B)PR(A)=PR(A)PR(B)=AA†BB†=BB†.又因为A，B是EP算子，则有AA†=A†A,BB†=B†B.从而可得A†A=B†B.因此，根据定理2，C(A)=C(AA†)∩C(A†A)=C(BB†)∩C(B†B)=C(B).推论2 假设定理3的条件满足，如果AB=BA，则C(A)=C(B)=C(AB).证明: 因为AB=BA，根据引理3，可得AB也是EP算子，因为R(A)=R(B)=R(AB),根据定理3，可得C(A)=C(B)=C(AB).证毕.由此可以看出，具有相同值域空间的EP算子具有相同的共变.我们知道R(A)=R(A A†)=R(AA*)，R(A†)=R(A*)=R(A†A)=R(A*A).若A为EP算子，很容易得到:C(A)=C(A*)=C(A†)=C(AA†)=C(A†A)=C(A*A)=C(AA*).在[6]中提到了这样一类算子——左移位算子，设H是一个实的Hilbert空间，对任意的A∈L(H)，如果A(x1,x2,…)=(x2,x3,…)，则A称作左移位算子.如果A是左移位算子，A满足以下3个式子：1)AX=A*,(A†)*=A†;2)AA†=A2(A†)2;3)AAA†+(AAA†)*=A+A*.再根据引理2，有如下定理：定理4 设A∈L(H)，若A是EP算子或左移位算子，T是单射，则C(A)=C(A2)=…=C(Ak).证明: 设T∈C(A),则有T*TAA†=AA†T*T和T*TA†A=A†AT*T.又因为A是EP算子，根据引理2可得：AA†=A2(A†)2和A†A=(A†)2A2.因此，T*TA2(A†)2=A2(A†)2T*T;T*T(A†)2A2=(A†)2A2T*T.所以C(A)=C(A2).又因为AA†=A2(A†)2；A†A=(A†)2A2，则有AAA†A†=AA2(A†)2A†;A†A†AA=A†(A†)2A2A.即A2(A†)2=A3(A†)3,(A†)2A2=(A†)3A3.所以C(A2)=C(A3).同理，C(A)=C(A2)=…=C(Ak).如果A是左移位算子，我们有AA†=A2(A†)2，根据引理3，可得C(A)=C(A2)=…=C(Ak).证毕.[参考文献]【相关文献】[1]D.W.Robison. On the covariance of the Moore-penrose inverse[J].Linear Algebra Appl.,1984,61:91-99.[2]H.Schwerdtfeger. On the covariance of the Moore-penrose inverse[J].Linear AlgebraAppl.,1983,52/53：629-643.[3]D.W.Robison. Covariance of the Moore-penrose inverses with respect to an invertible matrix[J]. Linear Algebra Appl., 1985,71:275-281.[4]M.H.Alizadeh. On the covariance of the Moore-penrose inverse in C*-Algebra[J].ESCMSE. 2011,5:135-139.[5]A. Ben-Israel, T.N.E. Greville. Generalized Inverses: Theory and Applications[M].New York:Springer-Verlag,2003.[6]Dragan S. Djordjevic. Characerizations of normal, hyponormal and EP operators[J].J. Math. Anal. Appl.,2007,329(2):1181-1190.[7]Dragan S.Djordjevic. Products of EP operators on Hilbert spaces[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2000,129(6):1727-1731.[8]Dragan S. Djordjevic. General representations of pseudo inverses[J].Matematicki Vesnik (Belgrade),1999,51 (3-4):69-76.。
