第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
教学目标：理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。
教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学过程：
一、回顾幂的相关知识：
a n 的意义：a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，?n 是指数．
二、导入新知：
1．问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
2．学生分析：总次数=运算速度×时间
3．得到结果：1012×103=121010)??
个(10×（10×10×10）=1510
1010)??? 个(10=1015． 4．通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
5.观察式子：1012×103=1015，看底数和指数有什么变化？
三、学生动手：
1．计算下列各式：
（1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n （m 、n 都是正整数）
2．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．
相乘结果的底数与原来底数相同 ，指数是原来两个幂的指数的和．
3.a m ·a n 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
a m ·a n =()a a a m 个a
·()a a a n 个a =a a a
(m+n)个a =a m+n a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
四、学以致用：
1.计算：
（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）x m ·x 3m+1
2.计算：（1）2×24×23 （2） a m ·a n ·a p
3.计算：（1）（-a ）2×a 6 （2）（-a ）2×a 4 （3）（-21）3×2
1 6 4.计算：（1）（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]7
（2）（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)7
（3）a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a 2
五、小结：
1.同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．
2.注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m ·a n =a m+n （m 、n 是正整数）． 作业：练习册1.2
课后反思：
14.1.2幂的乘方
教学目标： 经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的
意义，发展推理能力和有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘
方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
教学难点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
教学过程：
一、回顾同底数幂的乘法：
a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数）
二、自主探索，感知新知：
1.64表示_________个___________相乘.
2.(62)4表示_________个___________相乘.
3.a 3表示_________个___________相乘.
4.(a 2)3表示___ ______个___________相乘.
三、推广形式，得到结论：
1．（a m ） n =____×____×…×____ =____×____×…×____=_______ 即 （a m ）n = ______________(其中m 、n 都是正整数)
2．通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
四、巩固成果，加强练习：
1.计算：（1）（103）5 （2）[（3
2）3]4 （3）[（－6）3]4 （4）（x 2）5 （5）－（a 2）7 （6）－（a s ）3
2.判断题，错误的予以改正。
（1）a 5+a 5=2a 10 （ ） （2）（s 3）3=x 6 （ ）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）
（4）x 3+y 3=（x+y ）3 （ ） （5）[（m －n ）3]4－[（m －n ）2]6=0 （ ）
五、新旧综合：
在上节课我们讲到，同底数幂相乘在不同底数时有两个特例可以进行运算，上节我们讲了一种情况：底数互为相反数，这节我们研究第二种情况：底数之间存在幂的关系
1.计算：23×42×83
2.计算：（1）（x 3）4·x 2 （2） 2（x 2）n －（x n ）2 （3） [（x 2）3]7
六、提高练习：
1.计算：（1）5（P 3）4·（－P 2）3+2[（－P ）2]4·（－P 5）2
（2）[（－1）m ]2n +1m-1+02002―（―1）1990
2.若（x 2）m =x 8，则m=______
3.若[（x 3）m ]2=x 12，则m=_______
4.若x m ·x 2m =2，求x 9m 的值。
5.若a 2n =3，求（a 3n ）4的值。
6.已知a m =2,a n =3,求a 2m+3n 的值.
七、附加练习：
1.[-(x+y)3]4
2.(a n+1)2×(a 2n+1)3
3.(-32)3
4.a 3×a 4×a+(a 2)4+2(a 4)2
5.(x m+n )2×(-x m-n )3+x 2m-n ×(-x 3)m
八、小结：
会进行幂的乘方的运算。
课后反思：
14.1.3积的乘方
教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学 习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理 解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
教学重点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用．
教学难点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用．
教学过程：
一、回顾旧知：
1.同底数幂的乘法 ；
2.幂的乘方。
二、 创设情境，引入新课：
1.问题：已知一个正方体的棱长为2×103cm ，?你能计算出它的体积是多少吗？
2.提问：体积应是V=（2×103）3cm 3 ，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103
的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？?有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
三、自主探究，引出结论：
1.填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1）（ab ）2=（ab ）·（ab ）=（a·a）·（b·b）=a ( )b ( )
（2）（ab ）3=__=__=a ( )b ( )（3）（ab ）n =__=__=a ( )b ( )（n 是正整数）
2．分析过程：（1）（ab ）2 =（ab ）·（ab ）= （a·a）·（b·b）= a 2b 2，
（2）（ab ）3=（ab ）·（ab ）·（ab ）=（a·a·a）·（b·b·b）=a 3b 3；
（3）（ab ）n =()()()ab ab ab n 个ab
=()a a a n 个a ·()b b b
n 个b =a n b n 3．得到结论：积的乘方：（ab ）n =a n ·b n （n 是正整数）
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
a n ·
b n =（ab ）n （n 为正整数）【2】
a n ·
b n =()a a a n 个a ·()b b b
n 个b
──幂的意义 =()()()a b a b a b
n 个(a b)
──乘法交换律、结合律
＝（a·b）n ──乘方的意义
5.结论：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
四、巩固成果，加强练习：
1.计算:（1）（2a ）3 （2）（-5b ）3 （3）（xy 2）2 （4）（-2x 3）4
2.计算：
(1)2(x 3)2·x 3-(3x 3)3+(5x)2·x 7 (2)(3xy 2)2+(-4xy 3)·(-xy)
(3)(-2x 3)3·(2
1x 2)2 (4)(-x 2y)3+7(x 2)2·(-x)2·(-y)3 (5)[(m-n)3]p ·[(m -n)(m-n)p ]5 (6)(0.125)7×88
(7)(0.25)8×410 (8)2m ×4m ×(8
1)m 3.已知10m =5,10n =6,求102m+3n 的值.
五、小结：
1.总结积的乘方法则，理解它的真正含义。
2.幂的三条运算法则的综合运用。
课后反思：
14.1.4整式的乘法（1）
教学目标： 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘
的法则，并运用它们进行运算．
教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学过程：
一、回顾旧知：
回忆幂的运算性质：
a m ·a n =a m+n (a m )n =a mn (ab)n =a n
b n (m ，n 都是正整数)
二、创设情境，引入新课：
1.问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
2.学生分析解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107
3.问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac 5·bc 2，如何计算？ ac 5·bc 2=(a·c 5)·(b·c 2)
=(a·b)·(c 5·c 2)
=abc 5+2 =abc 7
三、自己动手，得到新知：
1．类似地，请你试着计算：(1)2c 5·5c 2；(2)(-5a 2b 3)·(-4b 2c)【4】
2．得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
四、巩固结论，加强练习：
1.计算：
(1)（-5a 2b ）·（-3a ）
(2)（2x ）3·（-5xy 2）
2.小民的步长为a 米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?
3．计算：
(1)3222(2)a bc ab ?- (2) 323(3)x x -?
(3)(-10xy 3)(2xy 4z) (4)(-2xy 2)(-3x 2y 3)(4
1-
xy) (5) 3(x-y)2·[154-(y-x)3][ 23-(x-y)4] 4.判断：
（1）单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）
（2）两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ）
（3） 两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）
（4）两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）
5.计算：0.4x 2y·（2
1xy ）2-（-2x ）3·xy 3 6.已知a m =2,a n =3,求(a 3m+n )2的值。
7.求证：52·32n+1·2n -3n ·6n+2能被13整除
课后反思：
14.1.4整式的乘法（2）
教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘
的法则，并运用它们进行运算．
教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学过程：
一、回顾旧知：
单项式乘以单项式的运算法则：把它们的系数、相同字母分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
二、创设情境，提出问题：
1.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它
们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c 。你能用不同方法
计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
2.得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，
即总收入为：________ ；另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为：__________ 。
所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc
3.提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？
4.总结结论：
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)= ma+mb+mc
三、巩固练习：
1.计算：
（1）2a 2·(3a 2-5b) （2） ab ab ab 2
1)232(2?-) (3)(-4x 2) ·(3x+1)
2．若(-5a m+1b 2n-1)(2a n b m )=-10a 4b 4，则m-n 的值为______
3．计算：(a 3b)2(a 2b)3
4. 计算：(3a 2b)2+(-2ab)(-4a 3b)
5. 计算：)3
4232()25-(2y xy xy xy +-? 6．计算：)22
7(6)5)(3-(2222y xy x y x xy -+ 7．已知,3,2==b a 求)232()(32222a ab a ab ab ab b a ab -+--+的值
8．解不等式：12)23()1(222-?+--+x x x x x x
9．若m x x +-322与22-+mx x 的和中不含x 项，求m 的值，并说明不论x 取何值，它的值总是正数
课后反思：
14.1.4整式的乘法（3）
教学目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘
的法则，并运用它们进行运算．
教学重点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则．
教学难点：单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则． 教学过程：
一、回顾旧知：
单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则
二、创设情境，感知新知：
1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a 米，
宽m 米的长方形绿地增长b 米，加宽n 米，求扩地以后
的面积是多少？
2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示
方法之间有什么关系?
3．得出结果：方法一：这块花园现在长(a+b)米，宽(m+n)米，因而面积为
(a+b)(m+n)米2．
方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：am 米2、an 米2、bm 米2、bn 米2，故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．
(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积，
所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
三、学生动手，推导结论：
1.引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ， 把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就
转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学
们试着做一做．
2.过程分析：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) ----单×多
=am+an+bm+bn ----单×多
3.得到结论：多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
四、巩固练习：
1．计算：（1）)32)(2(22y xy x y x -+- （2）)65)(52(2+-+x x x
（3） )y xy -y)(x (x (5) y)-8y)(x -(x (4) 2)1)(x (3x 22++++
2.先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6.
3.化简求值：)32)(12()1)(1(3)3)(2(-+--+++-x x x x x x ，其中x=5
4. 4.一块长m 米，宽n 米的玻璃，长宽各裁掉a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少?
五、深入研究：
1.计算：①(x+2)(x+3)；②(x -1)(x+2)；③(x+2)(x -2)；④(x -5)(x-6)；
⑤(x+5)(x+5)；⑥(x -5)(x-5)；并观察结果和原式的关系。
2.解不等式组：?
??++?+-?+-++)2)(5()6)(1(22)1()3)(2(x x x x x x x x 3.求证：对于任意自然数n ，)2)(3()5(+--+n n n n 的值都能被6整除
4.计算：(x+2y-1)2
5.已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
课后反思：
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
教学目标：经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公
式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．
教学重点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学难点：平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程：
一、学生动手，得到公式：
1.计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）
2.提出问题：
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
3.特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的
平方差。
4.得到结论：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
即（a+b）（a-b）=a2-b2 【1】
二、学以致用：
1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
（1）)
(b
2
)(
a
3
2
-
+
a-
b
)(
3
2
3
2(b
3
a-
a
b
+（2）)
(3))
2
3
2
)(
(b
-
3
-
a-
b
a
3
2
3
)(
- (4))
(b
2
+
a
-
a+
b
(5))
a
(c
c
b
-
)(
-
+
a-
b
a+
+（6）)
(c
)(
a
b
+
-
b
c
2.认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号
的是b
三、直接运用：
1.计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
2.简便计算：
（1）102×98【3】 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
3.计算：（1） )2)(2(x y y x +--- （2）)25)(52(x x -+
（3）)25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x （4）22)6()6(--+x x
（5）100.5×99.5 （6）99×101×10001
四、提高训练：
1.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方
2.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数
课后反思：
14.2.2安全平方公式（1）
教学目标：完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视 学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。 教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。 教学过程：
一、提出问题，学生自学：
1.问题：根据乘方的定义，我们知道：a 2=a ·a ，那么（a+b ）2 应该写 成什么样的形式呢？（a+b ）2的运算结果有什么规律？计算下列各式， 你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______.
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______.
2.得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p 2+2p+1
（m+2）2=（m+2）（m+2）= m 2+4m+4
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p 2-2p+1
（m-2）2=（m-2）（m-2=m 2-4m+4
3.分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p ·1，4m=2·m ·2， 恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。
推广：计算（a+b ）2=_____ ___ （a-b ）2=_____ ___
二、得到公式，分析公式：
1.结论：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
2.几何分析：图（1），可以看出
大正方形的边长是a+b ，它是
由两个小正方形和两个矩形
组成，?所以大正方形的面积
等于这四个图形的面积之和．
三、运用公式直接运用：
1.应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n ）2 （2）（y-12
）2 （3）（-a-b ）2 （4）（b-a ）2
2.简便计算：
（1）1022 （2）992 （3）50.012 （4） 49.92
四、附加练习：
1.计算：（1）2)4(y x - （2）222)43(c ab b a -
（3）-x 5( ）2= 4210y xy +-
(4))3)(3(b a b a --+ (5)2)1(x x + （6）2)1(x
x - 2.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？
(1)442+-x x (2)2161a + （3）12-x
（4）22y xy x ++ （5）224
139y xy x +- 五、小结：
全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
课后反思：
14.2.2安全平方公式（2）
教学目标：完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视 学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。 教学难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。 教学过程：
一、回顾完全平方公式：
1.(a+b)2=a 2+2ab+b 2
2.(a-b)2=a 2-2ab+b 2
二、提出问题，解决问题：
1.在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体。例如：))((c b a c b a +-++和2)(c b a ++，这就需要在式子里添加括号。那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
2.解决问题： 在去括号时：c b a c b a ++=++)（ c b a c b a --=+-)( 反过来，就得到了添括号法则：
（1）)(c b a c b a ++=++ （2）)(c b a c b a +-=--
3.理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；?如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
4.运用法则：
（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）
5.判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-2c =2a-（b-2
c ） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）
6.总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，?所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
三、在公式里运用法则：
1.计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c ）2
（3）（x+3）2-x 2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
2.计算：（1）2)2(c b a +- （2）22)()(c b a c b a ---++
四、两公式的综合运用：
1.如果81362++x kx 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？
2.如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？
3.如果422=-y x ，那么22)()(y x y x +-的结果是多少？
4.已知5=+b a
5.1=ab ，求22b a +和 2)(b a -的值已知31=+
x
x ，求221x x + 和2)1(x x -的值 5.已知-7=+b a 12=ab ，求ab b a -22+和 2)(b a -的值
6.证明25)12(2-+n 能被4整除
五、小结：
利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运
用公式进行运算
课后反思：
14.3因式分解
14.3.1提公因式法（1）
教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用 提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
教学重点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。
教学难点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。
教学过程：
一、提出问题，感知新知：
1.问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x 2+x=_________ （2）x 2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _
2.得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理，
（1）x 2+x=x （x+1） （2）x 2
-1=（x+1）（x-1）（3）am+bm+cm=m （a+b+c ） 分析特点：等号的左边：都是多项式 等号的右边：几个整式的乘积形式。
二、获得新知：
1.总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
2.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形 。
注意： 因式分解不是运算，只是恒等变形 。
形式：多项式=整式1×整式2·×··×整式n
3.强化训练：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；
(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；
(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2；
(5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x x x x x 3)2)(2(342++-=+- (7))11(1x x x +=+； (8)18a 3bc=3a 2b ·6ac 。
4.分解范围：在不同的范围内，分解的结果是不一样的。
如：44-x ，在有理数范围里是：)2)(2(22-+x x
在实数范围里是： )2)(2)(2(2-++x x x
三、探究新知：
1.分析例题：（1）x 2+x ；（2）am+bm+cm .
（1）中各项都有一个公共的因式x ，
（2）中各项都有一个公共因式m,
2.因此，我们把每一项都含有的因式叫做：公因式。
3.认识公因式：
多项式 3322328714n m n m n m -+的公因式是什么？（是7n m 2）
4.找出公因式：
（1）c ab ab b a 3222834+-；（2）532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+---；
（3）xz xy x -+-
22
12； （4）yz x z xy z y x 223323153510+--. 课后反思：
14.3.1提公因式法（2）
教学目标：因式公解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用 提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
教学重点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。
教学难点：1.因式公解；2.公因式；3.提公因式法分解因式。
教学过程：
一、回顾旧知识：
1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
2.公因式：我们把每一项都含有的因式叫做公因式。
二、学生动手，总结方法：
1.我们上节课已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解。
把8a 3b 2-12ab 3c 分解因式。
2.学生动手
3.分析过程：①先确定公因式：24ab ； ②然后用每一项去除以公因式；
③结果：)32(422bc b a ab -。
4.总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提取公因式.
5.解答过程：
解：8a 3b 2-12ab 3c=2224a ab ?-bc ab 342?=)32(422bc a ab -
三、加强练习：
1.因式分解：
（1）2a （b+c ）-3（b+c ） （2）3x 3-6xy+x
(3)-4a 3+16a 2-18a （4）6（x-2）+x （2-x ）
2.简便计算： (1)7
622110-74125.21-76135.1074175.31???+? (2)5
14013-132.04.24136.2551????+?? （3）72.4624
1.23?-? （4）14.37.014.35414.31.2?+?-
? 3.分解因式：
（1）ax x a ax +-223 （2）3233452015y x y x y x +--
（3）xy xy y x -+-22 （4）)2()2(52x a x -+-
（5）)()()(23y x y x y x ---++ （6）)23)(5()7)(32(a b y x y x b a --++-
（7）)3()3()3(-+---x c x b x a
4.求证：若n 为正整数，则n n 33
2-+能被24整除。
课后反思：
14.3.2公式法（1）
教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式 和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．
教学重点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学难点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学过程：
一、提出问题，得到新知：
1.观察下列多项式：25422--y x 和，
问题：（1）它们有什么共同特点吗？（2）能否进行因式分解？你会想到什么公式？
2.总结：（1）它们有两项，且都是两个数的平方差；
（2）会联想到平方差公式。
公式逆向：))((22b a b a b a -+=-
如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
二、熟悉，运用公式：
1.填空：
（1）4a 2=（ ）2
（2）49
b 2=（ ）2 （3）0.16a 4=（ ）2 （4）1.21a 2b 2=（ ）2 （5）214x 4=（ ）2（6）549x 4y 2=（ ）2
2.下列多项式能否用平方差公式进行因式分解：
（1）2201.021.1-b a + （2）226254b a +
（3）454916y x - （4）22364-y x -
3.因式分解：（1）942-x ； （2）22)()(p x p x --+；
（3）44y x - ； （4）33ab b a - .
三、巩固练习：
1.因式分解： （1）2xy x - （2） 2220
951b a - (3)22)23()32(y x y x --+ (4)424255b m a m -
(5)xy xy 333- (6)b a b a 2423---
(7) a ax ax ax -+-23
2.简便计算：(1)22171429- ； （2）244852451522?-?.
四、小结：
1.平方差公式：))((22b a b a b a -+=-
2.适用范围：它们有两项，且都是两个数的平方差。
3.和提取公因式的综合：
（1）如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
（2）如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
（3）第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，?则需要进一
步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．
课后反思：
14.3.2公式法（2）
教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式 和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．
教学重点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学难点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学过程：
一、回顾旧知识：
平方差因式分解：))((22b a b a b a -+=-
二、提出问题，得到新知：
问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，?分析和推测运用完全
平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什
么特点？
1.能否把下列各式分解因式？（1）a 2+2ab+b 2 （2）a 2-2ab+b 2 你会想到什么公式？
2.分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：
222)(2b a b ab a ±=+±
3.公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个
数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数。
三、熟悉运用公式：
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a 2-4a+4 （2）x 2+4x+4y 2 （3）4a 2+2ab+
14
b 2 （4）a 2-ab+b 2 （5）x 2-6x-9 （6）a 2+a+0.25
2.分解因式：
（1）16x 2+24x+9 （2）-x 2+4xy-4y 2
3.分解因式：
（1）3ax 2+6axy+3ay 2 （2）（a+b ）2-12（a+b ）+36
四、巩固练习：
因式分解：
(1)234242x x x ++ (2)m ma ma 442+-
(3)1)2(6)2(92+---b a b a (4)222)(25)(4016b a x b a xy y -+-+ (5)22882ay axy ax ++ (6)a 2＋2ab ＋b 2－a －b
课后反思：
14.3.2公式法（3）
教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式 和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式。
教学重点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学难点：1．平方差公式；2.完全平方公式；3.灵活运用3种方法。 教学过程：
一、因式分解：
1．224)23(c b a -+
2．222224)(b a b a -+
3．222222))((2)(b a b a b a +++--
4．y x y x +++)(20
5．b a b a m --+)(2
6．1+++xy y x
7．2233xy y x y x -+-
8．x xy y x 43342--+
二、因式分解的应用：
1.若22494y kx x +-可以分解成完全平方的形式，则k =？
2.已知在三角形ABC 的三条边为c b a ,,，且三边满足等式ac bc ab c b a ++=++222，判断三角形ABC 的形状。
3.当x =？时，代数式322++x x 有最小值为多少？
4.设x 为任意有理数，求证：
522+-x x 恒大于零. 5.已知在三角形ABC 的三条边为c b a ,,，且三边满足等式
c b a c b a 262410338222++=+++，判断三角形ABC 的形状。
6.已知在三角形ABC 的三条边为c b a ,,，试判断bc c b a
2---222 的符号。
7.比较大小：
（1）13+x 和 x x +2 ；
（2）55y x
+ 和44xy y x +.
课后反思：
课题：因式分解的复习
教学目标：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.
教学重点：用提公因式法和公式法分解因式.
教学难点：用提公因式法和公式法分解因式.
教学过程：
一、引入:
在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种
变形就是因式分解.什么叫因式分解？
二、知识详解：
1.知识点1：因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如：
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个
多项式分解因式？
2.知识点2 ：提公因式法
多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc 除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).
3.探究交流：下列变形是否是因式分解？为什么？
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.
4.典例剖析，师生互动：
用提公因式法将下列各式因式分解.
(1) -x3z+x4y； (2) 3x(a-b)+2y(b-a).
小结:运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不
能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成幂的形式.
5.学生做一做:把下列各式分解因式.
(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) ；(2) 4p(1-q)3+2(q-1)2
6.知识点3:公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和
与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的
和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
7.探究交流:
下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.
把下列各式分解因式.(1) (a+b)2-4a2；(2)1-10x+25x2；
(3)(m+n)2-6(m+n)+9.
把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).
8.综合运用:分解因式.(1)x3-2x2+x；(2) x2(x-y)+y2(y-x)
小结:解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；
如果没有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 是三
项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
9.探索与创新题:
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
10.学生做一做:若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= .
三、自我评价，知识巩固：
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( ) A.2 B.4 C.6
D.8
3.分解因式：4x2-9y2= .
4.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式。
6.分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.
15.1.4.1 整式的乘法（一）教学设计 单项式与单项式相乘 ——谢海喜 教学目标： 知识与技能： 掌握整式的乘法的法则，会进行单项式与单项式的乘法的运算，熟练地进行整式的计算与化简。 过程与方法： 通过自主探索、自主发现、自主体验来真正理解法则的来源、本质和应用。 情感态度与价值观： 通过对单项式与单项式的乘法法则的探索、猜想、体验及应用，感受学习的乐趣。 教学重点: 单项式与单项式相乘的法则。 教学难点： 迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题。 教学方法： 先学后教，当堂训练。 教学用时: 1课时。 教学过程： （一）通过复习，导出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的公式。 算一算： =?422 =?32x x ()=2310 ()=32x ()=22b ()=-3 23a 公式：()()。，，n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===+ （二）新授。 <一>出示自学目标： 1、复习乘法的运算律。 2、了解单项式乘法的法则的来历，掌握法则。 3、学会运用单项式乘法的法则进行计算。出示自学提纲。
<二>出示自学提纲： 1、乘法运算律有哪些？ 2、同底数幂乘法的法则是什么？ 3、单项式乘法的法则是如何推导出来的，用到哪些知识？ 4、单项式乘法的法则内容是什么？ 5、单项式乘法要注意哪些问题？ <三>通过自学教材P 144~145页内容，和同学们讨论或自主完成下列题目。 自学检测： 1、计算下列各题： （1）()()243b ab -?- （2）()()y x x 2325? （3）()()236a ay -?- （4）236 53b b ? 2、填空： （1）()()x a ax 22?= （2）（ ）()3522y x y x -= （3）()()()=-?-?-3433y x y x （4）22216??? ???-abc b a = （5）()() =-?-52323243b a b a （6）=??--11215n n n y x y x <四>通过学生做题反应的情况，酌情讲解教材上的例题。 <五>引导学生自主探究、归纳出单项式与单项式相乘的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 <六>依据单项式与单项式相乘的法则，所有学生自主单独完成下列题目。 当堂检测： 1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）532743a a a =? （2）1243532x x x =? （3）()2221553m m m -=-? 2、填空： （1）=?2552x x （2）=?323 22a ab （3）=?xyz y x 1655232 （4）()()=?-?23 2243x xy y x 3、计算下列各题： （1）??? ??-?322834yz x xy （2）?? ? ??-???? ??c b a b a 332331273
整式的乘法及因式分解 章节测试题 B. 4 或-4 8.如图，两个正方形边长分 a,b ,如果a 则阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D .18 二、填空题（每小题2分，共20分） 1. 、选择题（每小题 （1） 1等于（ 2. 3. 4. 5. 6. 7. A. 计算 A. xy 考试时间 3分，共24分） B. -4 （xy ）2，结果是 B. y F 列式子计算正确的是（ 6 6^ A. a a 0 C. ( a b)2 a 2 2ab b 2 ：90分钟 满分:100分 F 列从左到右的变形，属于分解因式的是 A. (a C. a 2 2 把2x y C. C. B. D. D. D. 3)(a 3) a 2 9 a a(a 1) B. D. 8xy 8y 分解因式，正确的是（ 2 A. 2(x y 4xy 4y) C. 2y(x 2)2 F 列各式能用平方差公式计算的是 A. (2 a b)(2b a) C. (a b)(a 2 b) B. D. B. D. 若二项式4a 2 ma 1是一个含 2、3 2a ) 6a 6 b)( a b) x(x x x 2 2 2y(x 2y(x 4x 2)2 1)( 4) (2x 1)( 2x 1) a 的完全平方式，则 2 xy a 2 b 2 1) 5 1) m 等于（ ） C. 2 A. 4 D. 2 或-2
9. ⑴计算：3a2b 2ab= _______ . (2)(-0. 25)11N-4)12= _________ . 10. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无 花果，质量只有0. 000 000 076克，用科学记数法表示是____________ 克。 11. (1)若3x 4,9y 7，则3x 2y的值为___________________ . ⑵已知2m 5n 3 0，则4m 32n的值为 ____________________ . 1 2 2 12. (1)若a b 1，则一(a b ) ab = _________ . 2 ⑵已知a b 8,ab 10，则a2 ab b211= _______ . 13. 计算(x a)(2x 1)的结果中不含关于字母x的一次项，则a= ________________ . 14. 3108与2144的大小关系是__________ . 15. 已知s t 4,则s2 t2 8t= _______________ . 16. 如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a b)，将余下部分拼 成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a,b的恒等式为 17. 观察下列关于x的单项式，探究其规律:X,3X2,5X3,7X4,9X5,11X6,……按照上述规 律，第2 016个单项式是___________ . 18. 若多项式4x4 1加上一个含字母x的单项式，就能变形为一个含x的多项式的平方， 则这样的单项式为___________ . 三、解答题洪56分) 19. (8分)计算. (1) (2) 3220.25 | 6 ( 3.14)0; ⑵山1 ( 2016)0 ( 1)2017; 2 0 1 2 3
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
整式的乘法与因式分解 一．选择题（共16小题） 1．下列运算正确的是（） A．||=B．x3x2=x6C．x2+x2=x4D．（3x2）2=6x4 2．下列运算正确的是（） A．a+2a=3a2B．a3a2=a5C．（a4）2=a6D．a4+a2=a4 3．若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 4．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（） A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19 5．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为（） A．6 B．12 C．±12 D．±6 6．下列运算中正确的是（） A．（x4）2=x6B．x+x=x2C．x2x3=x5D．（﹣2x）2=﹣4x2 7．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定 8．（﹣a m）5a n=（） A．﹣a5+m B．a5+m C．a5m+n D．﹣a5m+n 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 10．（x n+1）2（x2）n﹣1=（） A．x4n B．x4n+3 C．x4n+1 D．x4n﹣1 11．下列计算中，正确的是（） A．aa2=a2B．（a+1）2=a2+1 C．（ab）2=ab2D．（﹣a）3=﹣a3 12．下列各式中不能用平方差公式计算的是（） A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y） 13．计算a5（﹣a）3﹣a8的结果等于（）
整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若12551 2=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +1?3x -1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。 7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，(x +y )(-y +x ) 2、符号变化，(-x +y )(-x -y ) 3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4 4、系数变化，(2a +b )(2a -b ) 5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] 6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) 7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) 8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2 3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2） 22007200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧
整式的乘法 【教学要求】 1. 探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算。 2. 探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式的乘法运算。 3. 会由整式的乘法推导乘法公式，并能运用公式进行简单计算。 4. 理解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想。 5. 会用提公因式法、公式法、分组法、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）。 6. 让学生主动参与到一些探索过程中去逐步形成独立思考，主动探索的习惯，提高自己数学学习兴趣。 教学过程： 1. 正整数幂的运算性质： （1）同底数幂相乘： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 即：a a a m n m n ·=+（m 、n 均为正整数） （2）幂的乘方： 幂的乘方：底数不变，指数相乘。 即：()a a m n m n =·（m 、n 均为正整数） （3）积的乘方： 积的乘方：等于各因数的乘方之积（把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘）。 即：()a b a b m m m ·=（m 为正整数） 注：①用同底数幂的乘法法则，首先要看是否同底，底不同，就不能用。只有底数相同，才能指数相加。 如：a a 23·中底数a 相同，指数2和3才能相加。 ②同底数幂的乘法法则要注意指数是相加，而不是相乘，不能与幂的乘方法则中的指数相乘混淆。 ③同底数幂乘法法则中，底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个式子，如：单项式、多项式等。 如：()()()()x y x y x y x y --=-=-+23235·，其中x y -是一个多项式。 ④同底数幂乘法法则中，幂的个数可以推广到任意多个数。 如：()()()()()a b a b a b a b a b +++=+=+++23523510·· ⑤要善于逆用积的乘方法则，有时可得不错结果，可使计算简便。
整式的乘法 注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错． 1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数. 2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数. 3.整式的概念：单项式和多项式统称整式. 注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式. 4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式. 注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积； ②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式； ④单项式乘以单项式的结果仍是单项式； ⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用. （2）单项式乘法中，若有乘、乘法等混合运算，应按“先乘、再乘法”的顺序进行. 例1.计算：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） （9）（10） （11）（12） （13）（14）
（15） 例2.计算： （1） （2） （3） （4）
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算． 2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 教学重、难点 同底数幂的乘法运算法则及其应用. 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ （1） 如何列出算式？ （2） 1015的意义是什么？ （3） 怎样根据乘方的意义进行计算？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） 5 2222() ?= ； （2）32()a a a ?= ； （3）5 55()m n ?= ． 你能将上面发现的规律推导出来吗？ 教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 m n m n a a a +?=（m ，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、 四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？ 这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a ++ +???= （m ， n ，p 都是正整数）． 例1(教科书第96页) 三、应用提高、拓展创新 课本96页 练习 m n a a ? m n a a a a +=???（）个 m n a += m a n a a a a a a a =?? ???? ?个个 （）（）
四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？ 五、布置作业： 习题14.1第1（1）、（2）题 教后反思： 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法． 教学重、难点 幂的乘方与积的乘方的性质． 教学过程设计 一、 创设问题，激发兴趣 问题1 有一个边长为a 2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: （1） （2） （3） 3 m m m m a a a a a ??（ ） （）== （m 是正整数）． 在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 多重乘方可以重复运用上述法则： 二、知识应用，巩固提高 计算 （1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3； （4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4． 问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n 是正整数） 你能发现有何运算规律吗？ 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 2322233333??（ ） （）==； 23222a a a a a ??（ ） （）==； =p m n mnp a a ???? （）
1.4 整式的乘法 ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行单项式与单项式相乘的运算. 2.理解单项式与单项式相乘的算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想. (二)能力训练要求 1.发展有条理的思考和语言表达能力. 2.培养学生转化的数学思想. (三)情感与价值观要求 在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣. ●教学重点 单项式与单项式相乘的运算法则及其应用. ●教学难点 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. ●教学方法 引导——发现法 ●教具准备 投影片四张 第一张：问题情景，记作(§1.4.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.4.1 B) 第三张：例题，记作(§1.4.1 C) 第四张：练习，记作(§1.4.1 D)
●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］整式的运算我们在前面学习过了它的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算的吗？ ［生］如果遇到有括号，利用去括号法则先去括号，然后再根据合并同类项法则合并同类项. ［师］很棒！其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还应有整式的乘法，整式的除法.下面我们先来看投影片§1.4.1 A 中的问题： 京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图1－1所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有8 1x 米的空白. (1)第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？ (2)若把图中的1.2x 改为mx ，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？ ［生］（1）从图形我们可以读出条件，第一个画面的长、宽分别为x 米，1.2x 米；第二个画面的长为1.2x 米，宽为(x －81x －81x)即4 3x 米；因此第一幅画的面积是x ·(1.2x)=1.2x 2 平方米，第二幅画的面积为(1.2x )·(4 3x)=0.9 x 2 平方米.
单项式乘以单项式
一、计算： （1）() ()x xy 243 -- （2）xyz y x 16 55232? （3）4y ·(-2x y 3)； （4）)()(63103102??? （5）23223)41)(21(y x y x - （6）y x y x n n 2 12 38?+ （7）)5.0)(54)(25.0(323 y x xy xy -- （8）xyz y x xy y x ))(2 1 )(2(2222--- （9）( ) ?? ? ??--++211 2613y x y x n n n 10）])2(31[)2(23232x y ab y x a ---- （1）)83(4322yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.3322n m mn - （4）)5 3 (32)21(322yz y x xyz -??- （5）)2.1()25.2()31(522y x axy ax x ?-?? （6）3322)2()5.0(5 2 xy x xy y x ?---?
（7）)4 7(123)5(2 32y x y x xy -?-?- （8）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? （1）)83(4322 yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)2.1()25.2()3 1 (52 2y x axy ax x ?-?? （4）3 322)2()5.0(5 2xy x xy y x ?---? （5）)4 7(123)5(2 3 2 y x y x xy - ?-?- （6）23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? 单项式乘多项式 (1)(2xy 2－3xy)·2xy ； (2)－x(2x ＋3x 2－2)；(3)－2ab(ab －3ab 2－1)； (4)(34a n ＋1－b 2)·ab. (5)-10mn ·(2m 2 n-3mn 2 ). (6)(-4ax)2 ·(5a 2 -3ax 2 ). (7)(3x 2y-2xy 2)·(-3x 3y 2)2. (8)7a(2ab 2-3b). （9）x(x 2-1)+2x 2(x+1)-3x(2x-5).
整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解 一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．() n m a ＝ a mn （m 、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5 3． ()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习： （1）y x x 23 25? （2）)4(32 b ab -?- （3） a a b 23? （4）2 2 2z y yz ? （5）) 4()2(232 xy y x -? （6） 2 2253)(63 1 ac c b a b a -?? 4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例： （1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5 ÷（a b ）2 （4）（-a ）7÷（-a ） 5 （5） (-b ) 5÷(-b )2
5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1 ) 32(0 =-b a 成立，则b a ,满足什么条件？ 6．负指数幂的概念： a － p ＝p a 1 （a ≠0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p p n m m n ? ?? ??=? ? ? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()2 1 (n m n m -?- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例： （1） ) 35(222 b a ab ab + （2）ab ab ab 2 1 )23 2 (2 ?- （3） ) 32()5(-22n m n n m -+? （4） xyz z xy z y x ?++)(2322 9．多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项
北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的
想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) ①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 【教学说明】 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 【归纳结论】 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
14.1.4整式的乘法 教案 教学目标 1.知识与技能： （一）掌握单项式乘法的法则，会进行单项式的乘法运算； （二）掌握单项式与多项式的乘法法则，能熟练地进行有关计算； （三）掌握多项式的乘法法则，能熟练地进行多项式的乘法； （四）通过整式乘法中运算的转化体会数形结合，换元等数学方法和“转换”的数学思想. 2.过程与方法：通过讲练结合的方式，在复习单项式和多项式概念的基础上逐步讲解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式三种整式乘法运算. 3.情感态度与价值观：营造积极活泼的课堂气氛，引导学生思考，并逐步学以致用. 教学重点 单项式乘多项式及多项式乘法中不要出现漏乘，多乘现象. 符号问题. 教学难点 单项式乘法法则，单项式与多项式乘法法则，多项式的乘法法则，特殊二项式乘法公式的应用. 教学方法 讲练结合、引导探究. 教具学具 黑板. 教学过程 知识点1：单项式的乘法法则. 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 21x 2y·4xy 2=(2 1×4)·x 2+1y 1+2=2x 3y 3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用
所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点2：单项式与多项式相乘的乘法法则. 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=a m+a n+a p. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流 下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？ (1)3a(b-c+a)=3a b-c+a (2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨(1)(2)不正确，(3)正确. (1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘. (2)题错在没有将-2x中的负号乘进去. 知识点3：多项式相乘的乘法法则. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=a m+bm+a n+bn. 计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 典例剖析 1化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( ) A.-x6 B.x6 C.x5 D.-x5 (分析)本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：①原式=(-x3)·x2=-x5；②原式=(-x)5=-x5.故正确答案为D项. 2下列运算中，正确的是( )
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 单项式乘以单项式
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王*
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 一、计算： （1）()()x xy2 43- -（2）xyz y x 16 5 5 2 3 2?（3） 4y·(-2x y3)； （4）) () (6 310 3 10 2? ? ?（5）2 3 2 2 3) 4 1 )( 2 1 (y x y x-（6） y x y x n n2 1 2 3 8? +
（7）)5.0)(54)(25.0(323 y x xy xy -- （8）xyz y x xy y x ))(2 1 )(2(2222--- （9）( ) ?? ? ??--++211 2613y x y x n n n 10） ])2(31 [)2(23232x y ab y x a ---- （1）)83(4322yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)125.0(2.3322n m mn - （4）)5 3 (32)21(322yz y x xyz -??- （5）)2.1()25.2()3 1 (522y x axy ax x ?-?? （6） 3322 )2()5.0(52xy x xy y x ?---? （ 7 ） )4 7(123)5(232y x y x xy - ?-?- （8） 23223)4()()6()3(5a ab ab ab b b a -?--?-+-? （1）)83(4322 yz x xy -? （2）)3 1 2)(73(3323c b a b a - （3）)2.1()25.2()3 1(52 2y x axy ax x ?-?? （4）3 322)2()5.0(5 2xy x xy y x ?---?
整式的乘法与因式分解专题练习（解析版） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案． 【详解】 解： 设2为a ，3为b ， 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2， ∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ） ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8， 故选C ． 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式． 2．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 【答案】A 【解析】 【分析】 观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决． 【详解】 ∵m 2-m-1=0， ∴m 2-m=1，
第十四章整式的乘法与因式分解 14．1 整式的乘法 14．1.1 同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片)
问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2) ＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m ＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
14.1整式的乘法（3） （一）教学目标 知识与技能目标： 理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算. 过程与方法目标： 经历探索多项式乘法的法则的过程. 情感态度与价值观： 通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力. 教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用. 教学难点： ●多项式乘法法则的推导. ●多项式乘法法则的灵活运用. （二）教学程序 教学过程
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 展示多项式乘以多项式的过程. 也可以这样考虑: 当X=m+n时, (a+b)X=? 由单项式乘以多项式知(a+b)X=aX+bX 于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn =am+an+bm+bn 为学生提供不同的思维方式，以使学生更好的掌握此内容. 例题讲解： 例题1：计算： (1)(x+2y)(5a+3b)；(2)(2x-3)(x+4)； (3)(x+y)2；(4)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x+2y)(5a+3b) ＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b ＝5ax+3bx+10ay+6by； (2)(2x-3)(x+4) =2x2+8x-3x-12 =2x2+5x-12 (3)(x+y)2多项式乘以多项式的具体应用,通过教师演示向学生提供严格的书写过程培养学生严谨的思维训练.
=(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； (4)(x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 =x3+y3 例题2:计算以下各题： （1）(a+3)·(b+5)； （2）(3x-y) (2x+3y)； （3）(a-b)(a+b)； （4）(a-b)(a2+ab+b2) 解：(1) (a+3)·(b+5) =ab+5a+3b+15； (2) (3x-y) (2x+3y) =6x2+9xy-2xy-3y2(多项式与多项式相乘的法则) =6x2+7xy-3y2(合并同类项) (3)(a-b)(a+b) =a2+ab-ab-b2 = a2-b2 (4)(a-b)(a2+ab+b2) =a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3 = a3 -b3 例题3: 先化简，再求值： （2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17 解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4） ＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固 要点一、幂的运算 1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2. 幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3. 积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法 1. 单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2. 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3. 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多 项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4. 单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式 1. 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.