指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.
1.比较大小
例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x
f c 的大小关系是_____.
分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内.
解:∵(1)(1)f x f x +=-,
∴函数()f x 的对称轴是1x =.
故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-,
∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3
21x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x
f f >.
综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
2.求解有关指数不等式
例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________.
分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:∵22
25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,
∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x >.∴x 的取值范围是14??+ ???
,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.
3.求定义域及值域问题
例3 求函数y
解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤,
∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-,
∞.
令26x t -=,则y
又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴206
1x -<≤,即01t <≤.
∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数的值域是[
)01,.
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
4.最值问题
例4 函数221(01)x x y a
a a a =+->≠且在区间[11]-,上有最大值14,则a 的值是_______. 分析:令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围.
解:令x t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-.
∴当1a >时,∵[]11
x ∈-,, ∴1x a a a ≤≤,即1t a a
≤≤. ∴当t a =时,2max (1)214y a =+-=.
解得3a =或5a =-(舍去);
当01a <<时,∵[]11
x ∈-,, ∴1x a a a ≤≤,即1a t a
≤≤, ∴ 1t a =时,2max 11214y a ??=+-= ???
, 解得13a =或15a =-(舍去),∴a 的值是3或13
. 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等.
5.解指数方程
例5 解方程223380x x +--=.
解:原方程可化为29(3)80390x x ?-?-=,令3(0)x t t =>,上述方程可化为298090t t --=,解得9t =或19
t =-
(舍去),∴39x =,∴2x =,经检验原方程的解是2x =. 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.
6.图象变换及应用问题
例6 为了得到函数935x y =?+的图象,可以把函数3x y =的图象( ).
A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度
B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度
C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度
D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度
分析:注意先将函数935x y =?+转化为23
5x t +=+,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵29353
5x x y +=?+=+,∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数935x y =?+
的图象,故选(C ).
评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变
化规律,比如:平移、伸缩、对称等.
习题
1、比较下列各组数的大小:
(1)若
,比较 与 ; (2)若
,比较 与 ; (3)若
,比较 与 ; (4)若
,且 ,比较a 与b ; (5)若 ,且 ,比较a 与b .
解:(1)由 ,故 ,此时函数 为减函数.由 ,故 .
(2)由 ,故 .又 ,故 .从而 .
(3)由 ,因 ,故 .又 ,故 .从而 .
(4)应有
.因若 ,则 .又 ,故 ,这样 .又因 ,故 .从而 ,这与已知
矛盾. (5)应有 .因若 ,则 .又 ,故 ,这样有 .又因 ,且 ,故
.从而 ,这与已知 矛盾.
小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.
2曲线
分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ).
(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令
,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)
题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
(1)y =231 x ; (2)y =4x +2x+1+1.
解:(1)∵x-3≠0,∴y =2
31-x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}.又∵31-x ≠0,∴231-x ≠1, ∴y =23
1
-x 的值域为{y |y>0且y ≠1}. (2)y =4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y =4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2>1.
∴y =4x +2x+1+1的值域为{y |y>1}.
4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值
解:设t=3x ,因为-1≤x ≤2,所以
931≤≤t ,且f(x)=g(t)=-(t-3)2
+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ,求函数 的最大值和最小值. 分析:注意到
,设 ,则原来的函数成为 ,利用闭区间上二次函数的值域
的求法,可求得函数的最值.
解:设 ,由 知,
,函数成为 , ,对称轴 ,故函数最小值为
,因端点
较 距对称轴 远,故函数的最大值为 .
6(9分)已知函数
)1(122>-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值. .解: )1(122>-+=a a a y x x , 换元为)1(122a t a
t t y <<-+=,对称轴为1-=t . 当1>a ,a t =,即x =1时取最大值,略
解得 a =3 (a = -5舍去)
7.已知函数
( 且 ) (1)求 的最小值; (2)若 ,求 的取值范围.
.解:(1) , 当 即 时,
有最小值为 (2)
,解得 当
时, ; 当 时, .
8(10分)(1)已知
m x f x +-=132)(是奇函数,求常数m 的值; (2)画出函数|13|-=x y 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方程|3X-1|=k 无
解?有一解?有两解?
解: (1)常数m =1
(2)当k <0时,直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;
当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数
|13|-=x y 的图象有唯一的交点,所以方程有一解; 当0 9.若函数 是奇函数,求 的值. .解: 为奇函数, , 即 , 则 , 10. 已知9x -10.3x +9≤0,求函数y=(41)x-1-4·(21)x +2的最大值和最小值 解:由已知得(3x )2-10·3x +9≤0 得(3x -9)(3x -1)≤0 ∴1≤3x ≤9 故0≤x ≤2 而y=( 41)x-1-4·(21)x +2= 4·(21)2x -4·(2 1)x +2 令t=(21)x (14 1≤≤t ) 则y=f (t )=4t 2-4t+2=4(t-2 1)2+1 当t=21即x=1时,y min =1 当t=1即x=0时,y max =2 11.已知 ,求函数 的值域. 解:由 得 ,即 ,解之得 ,于是 ,即 ,故所求函数的值域为 12. (9分)求函数2222 ++-=x x y 的定义域,值域和单调区间 定义域为R 值域(0,8〕。(3)在(-∞, 1〕上是增函数 在〔1,+∞)上是减函数。 13 求函数y =23231+-?? ? ??x x 的单调区间. 分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y =u ?? ? ??31,u =x 2-3x+2,其中y =u ??? ??31为减函数 ∴u =x 2 -3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u =x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解:设y =u ?? ? ??31,u =x 2-3x+2,y 关于u 递减, 当x ∈(-∞,23)时,u 为减函数, ∴y 关于x 为增函数;当x ∈[23,+∞)时,u 为增函数,y 关于x 为减函数. 14 已知函数f(x)=1 1+-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性. 解:(1)易得f(x)的定义域为{x |x ∈R }. 设y =11+-x x a a ,解得a x =-11-+y y ①∵a x >0当且仅当-11-+y y >0时,方程①有解.解-11-+y y >0得-1 (2)∵f(-x)=11+---x x a a =x x a a +-11=-f(x)且定义域为R ,∴f(x)是奇函数. (3)f(x)=1 2)1(+-+x x a a =1-12+x a . 1°当a>1时,∵a x +1为增函数,且a x +1>0. ∴12+x a 为减函数,从而f(x)=1-12+x a =11+-x x a a 为增函数.2°当0 1+-x x a a 为减函数. 15、已知函数f (x )=a -1 22+x (a ∈R ), (1) 求证:对任何a ∈R ,f (x )为增函数. (2) 若f (x )为奇函数时,求a 的值。 (1)证明:设x 1<x 2 f (x 2)-f (x 1)=) 21)(21()22(22112x x x x ++->0 故对任何a ∈R ,f (x )为增函数. (2)x R ∈ ,又f (x )为奇函数 (0)0f ∴= 得到10a -=。即1a = 16、定义在R 上的奇函数)(x f 有最小正周期为2,且)1,0(∈x 时,142)(+=x x x f (1)求)(x f 在[-1,1]上的解析式;(2)判断)(x f 在(0,1)上的单调性; (3)当λ为何值时,方程)(x f =λ在]1,1[-∈x 上有实数解. 解(1)∵x ∈R 上的奇函数 ∴0)0(=f 又∵2为最小正周期 ∴0)1()1()12()1(=-=-=-=f f f f 设x ∈(-1,0),则-x ∈(0,1),)(142142)(x f x f x x x x -=+=+=--- ∴142)(+- =x x x f (2)设0 (3)∵)(x f 在(0,1)上为减函数。 ∴)0()()1(f x f f << 即)21,52()(∈x f 同理)(x f 在(-1,0)时,)52,21()(-- ∈x f 又0)1()0()1(===-f f f ∴当)2 1,52()52,21(?--∈λ或0=λ时 λ=)(x f 在[-1,1]内有实数解。 函数y =a |x |(a>1)的图像是 ( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像,以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1:(分类讨论): 去绝对值,可得y =?????<≥).0()1(),0(x a x a x x 又a>1,由指数函数图像易知,应选B. 解法2:因为y =a |x |是偶函数,又a>1,所以当x ≥0时,y =a x 是增函数;x <0时,y =a -x 是减函数. ∴应选B. ?????????∈+∈∈+-=(0,1) x 142{-1,0,1} x 0 (-1,0) x 142)(x x x x x f 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根. 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有 指数函数 1.指数函数の定义: 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征,就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____. 分析:先求b c ,の值再比较大小,要注意x x b c ,の取值是否在同一单调区间. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x の对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小の常用方法有:作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等.②对于含有参数の大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x の取值围是___________. 分析:利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得1 4x >.∴x の取值围是14 ??+ ??? , ∞. 评注:利用指数函数の单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同の指数式,并判断底数与1の大小,对于含有参数の要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x の定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数の值域是[)01, . 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a < b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 【例4】解 比较大小与>且≠,>. 当<<,∵>,>, a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() ()指数函数典型例题详细解析汇报
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