导数概念与运算
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1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x
y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，
x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim
→?x x y ??=0
lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：
（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x
y ??=x x f x x f ?-?+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim
。 2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就
是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f
/（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:
①0;C '= ②()1;n n x nx
-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x
'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (.)'
''v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=
若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：??
? ??v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇
|U ·u ＇|X
导数应用
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1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧 为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值： 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 课前预习 1．求下列函数导数 （1）)11(32x x x x y ++ = （2）)11)(1(-+=x x y （3）2 cos 2sin x x x y -= （4）y=x x sin 2 2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 3．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 4．曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。 5．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 典型例题 一 导数的概念与运算 例1：如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为 变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ?∈，?常数0M >， 都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. （1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=1 1)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 例：求所给函数的导数：3321log ; ; sin n x x y x x y x e y x -=+==。 变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0. 且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是 例2：已知函数ln y x x =.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线的方程. 变式1：已知函数x e y =. （1）求这个函数在点e x =处的切线的方程； （2）过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程. 变式2：函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ 例3：判断下列函数的单调性，并求出单调区间： 332(1)()3; (2) ()sin ,(0,); (3)()2324 1. f x x x f x x x x f x x x x π=+=-∈=+-+ 变式1：函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是 变式2：已知函数53 123-++= ax x x y (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 . (2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 例4：求函数31()443f x x x = -+的极值. 求函数31()443 f x x x = -+在[]0,3上的最大值与最小值.. 变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数 '()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值. 变式2：若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34- ， （1）求函数的解析式； （2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 变式3：已知函数321()22f x x x x c =- -+，对x 〔－1，2〕，不等式f （x ）c 2恒成立，求c 的 取值范围。 实战训练 1. 已知曲线S :y =3x －x 3 及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为 2. y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于 3. 函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 4.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(2 π,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________. 5. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2+bx 的单调递减区间 为 . 6．（07湖北）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x = +，则(1)(1)f f '+= 7．（07湖南）函数3()12f x x x =-在区间[33]-， 上的最小值是 实战训练B 1．（07海南）曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2．（07江苏）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0) f f 的最小值为 3．（07江西）若π02x << ，则下列命题正确的是（ ） A ．2sin πx x < B ．2sin πx x > C ．3sin πx x < D ．3sin π x x > 4．（07全国一）曲线313y x x =+在点413?? ??? ，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 5．（07全国二）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为 6． (07北京)()f x '是31()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 8．（07广东）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 9．（07江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=
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