二次函数
●知识梳理
二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n .
（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=
2
1
（p +q ）. 若－
a
b
2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b
2）=m ，f （q ）=M ；
若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b
2）=m ；
若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .
●点击双基
1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2
2
1x x +）等于
A.－
a
b
2 B.－
a b C.c
D.a
b a
c 442-
解析：f （221x x +）=f （－a
b
2）=a b ac 442-.
答案：D
2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B
3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25
解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8
m
，+∞）上递增，由题设只
需
8
m
≤－2?m ≤－16， ∴f （1）=9－m ≥25. 答案：A
4.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.
解析：f （x ）=2（x －23）2－2
7
.
当x =1时，f （x ）min =－3；当x =－1时，f （x ）max =9. 答案：－3 9
5.（2003年春季上海）若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =__________.
解法一：二次函数y =x 2+（a +2）x +3的图象关于直线x =1对称，说明二次函数的对称轴
为1，即－2
2
+a =1.∴a =－4.而f （x ）是定义在［a ，b ］上的，即a 、b 关于x =1也是对称的，
∴2
b a +=1.∴b =6.
解法二：∵二次函数y =x 2+（a +2）x +3的对称轴为x =1，∴f （x ）可表示为f （x ）=（x －1）2+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a +2=－2.∴a =－4，b 的计算同解法一.
解法三：∵二次函数的对称轴为x =1，∴有f （x ）=f （2－x ），比较对应项系数，∴a =－4，b 的计算同解法一.
答案：6 ●典例剖析
【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是
A.－1241
B.18
C.8
D.4
3
剖析：由Δ=（－2a ）2－4（a +6）≥0，得a ≤－2或a ≥3.
于是有（x －1）2+（y －1）2=x 2+y 2－2（x +y ）+2=（x +y ）2－2xy －2（x +y ）+2=（2a ）2
－2（a +6）－4a +2=4a 2－6a －10=4（a －43）2－449
.
由此可知，当a =3时，（x －1）2+（y －1）2
取得最小值8. 答案：C 深化拓展
Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.
【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y =ax 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y
6
－4
－6
－6
－4
6
则不等式ax +bx +c ＞0的解集是______________. 解析：由表知y =a （x +2）（x －3），又x =0，y =－6，代入知a =1.∴y =（x +2）（x －3）. 答案：{x |x ＞3或x ＜－2} 【例3】 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c
＞0的解是－
21＜x ＜3
1
，求a 、b 、c 的取值范围. 解：依题意ax 2+bx +c －25=0有解，故Δ=b 2－4a （c －25）≥0.又不等式ax 2+bx +c ＞0的解是－21＜x ＜3
1
，
∴a ＜0且有－a
b =－61，a
c =－61
.
∴b =61a ，c =－6
1a .
∴b =－c ，代入Δ≥0得c 2+24c （c －25）≥0.
∴c ≥24.故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.
评述：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
●闯关训练 夯实基础
1.下图所示为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象，则｜OA ｜·｜OB ｜等于
A.
a
c B.－
a
c C.±
a
c D.无法确定
解析：|OA |·|OB |=|OA ·OB |=|x 1x 2|=|
a c |=－a
c
（∵a ＜0，c ＞0）. 答案：B
2.已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________.
解析：通过画二次函数图象知m ∈［1，2］. 答案：［1，2］
3.已知函数y =（e x －a ）2+（e －
x －a ）2（a ∈R ，且a ≠0），求y 的最小值.
解：y ＝（e x ＋e －x ）2－2a （e x ＋e －x ）＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －
x ，则f （t ）＝t 2－2at ＋2a 2－2.
∵t ＝e x ＋e －
x ≥2，∴f （t ）＝（t －a ）2＋a 2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t ＝a ，
∴当a ≥2时，y min ＝f （a ）＝a 2－2；当a ＜2且a ≠0时，y min ＝f （2）＝2（a －1）2. 4.要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为___________________.
解析：要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则y =x 2+4x 在［a ，+∞）上是单调函数.∴a ≥－2.
答案：－2
5.已知函数f （x ）=mx 2+（m －3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.
解：若m =0，则f （x ）=－3x +1，显然满足要求. 若m ≠0，有两种情况：
①原点的两侧各有一个，则
???
?
??<=>--=0
1
04)3(212m x x m m Δm ＜0； ②都在原点右侧，则???
?
?
?
???
>=>-=+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ 解得0＜m ≤1.
综上可得m ∈（－∞，1］. 培养能力
6.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）当a ≤－1时，f （x ）min =f （－1）=3+2a ，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立
?
f （x ）min ≥a ，即3+2a ≥a ?a ≥－3.故此时－3≤a ≤－1.
（2）当a ＞－1时，f （x ）min =f （a ）=a 2－2a 2+2=2－a 2，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立?f （x ）min ≥a ，即2－a 2≥a ?a 2+a －2≤0?－2≤a ≤1.故此时－1＜a ≤1.
由（1）（2）知，当－3≤a ≤1时，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立. 7.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.
（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；
（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1，b =－2时，f （x ）=x 2－x －3=x ?x 2－2x －3=0?（x －3）（x +1）=0?x =3或x =－1，∴f （x ）的不动点为x =3或x =－1.
（2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点?对任意实数b ，ax 2+（b +1）x +b －1=x 恒有两个不等实根?对任意实数b ，Δ=（b +1）2－4a （b －1）＞0恒成立?对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立?Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）＜0?（1－4a ）2－（1+4a ）＜0?4a 2－3a ＜0?a （4a －3）＜0?0＜a ＜
4
3. 8.（2003年全国，文）设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R . （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.
解：（1）f （x ）=?????<+-≥-+.
2,1,
2,322x x x x x x
∵f （0）=1≠0，
∴f （x ）不是R 上的奇函数.
∵f （1）=1，f （－1）=3，f （1）≠f （－1）， ∴f （x ）不是偶函数.
故f （x ）是非奇非偶的函数.
（2）当x ≥2时，f （x ）=x 2+x －3，此时f （x ）min =f （2）=3.
当x ＜2时，f （x ）=x 2－x +1，此时f （x ）min =f （21）=4
3. 总之，f （x ）min =
4
3
.
探究创新
9.二次函数f （x ）=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足2+m p +1+m q +m
r
=0，其中m ＞0， 求证：（1）pf （
1
+m m
）＜0； （2）方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解.
证明：（1）pf （1+m m ）=p ［p （1+m m ）2+q （1
+m m
）+r ］
=pm ［
2)1(+m pm +1+m q +m r ］
=pm ［
2
)
1(+m pm －2+m p
］ =p 2
m ［)
2()1()1()2(2
2
+++-+m m m m m ］ =p 2m ［－
)
2()1(1
2
++m m ］. 由于f （x ）是二次函数，故p ≠0.
又m ＞0，所以pf （
1
+m m
）＜0. （2）由题意，得f （0）=r ，f （1）=p +q +r .
①当p ＞0时，由（1）知f （1+m m
）＜0.
若r ＞0，则f （0）＞0，又f （1
+m m
）＜0，
∴f （x ）=0在（0，1
+m m
）内有解；
若r ≤0，则f （1）=p +q +r =p +（m +1）（－2+m p －m r ）+r =2+m p －m
r
＞0，
又f （1
+m m
）＜0，
所以f （x ）=0在（1
+m m
，1）内有解.
因此方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解. ②当p ＜0时，同样可以证得结论. 评述：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p ≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.
（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好的.
●思悟小结
1.二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次
函数问题的重要依据.
2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
●教师下载中心 教学点睛
1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）中a 、b 、c 的值.二次函数也可以表示为y =a （x －x 0）2+h 或y =a （x －x 1）（x －x 2）（b 2－4ac ≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：
（1）方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f （r ）＜0.
（2）二次方程f （x ）=0的两根都大于r ??
?
????>?>->-=?.0)(,
2,042r f a r a b
ac b Δ （3）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根???????
??>?>?<-
<>-=?.
0)(,0)(,2,042p f a q f a q a
b p a
c b Δ （4）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根?f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，
另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.
（5）方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）???>?
0)(,
0)(q f a p f a
4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：
（1）二次不等式f （x ）=ax 2+bx +c ≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞）?a ＜0且f （α）=f （β）=0.
（2）当a ＞0时，f （α）＜f （β）?|α+
a b 2|＜|β+a b 2|； 当a ＜0时，f （α）＜f （β）?|α+a b 2|＞|β+a
b
2|.
（3）当a ＞0时，二次不等式f （x ）＞0在［p ，q ］上恒成立??????><-0)(,2p f p a b
或??????
?
>-<-≤0)2(,2a b f q a
b p 或?????≥≥-
.
0)(,2q f q a b
（4）f （x ）＞0恒成立????<>0,0Δa 或???>==;0,
0c b a
f （x ）＜0恒成立????<<0,0Δa 或?
??<==.0,
0c b a
拓展题例
【例1】 已知当m ∈R 时，函数f （x ）＝m （x 2－1）＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.
解：（1）m =0时，f （x ）=x －a 是一次函数，它的图象恒与x 轴相交，此时a ∈R . （2）m ≠0时，由题意知，方程mx 2＋x －（m ＋a ）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m （m ＋a ）＝4m 2＋4am ＋1≥0.又只需Δ′＝（4a ）2－16≤0，解得－1≤a ≤1，即a ∈［－1，1］.
∴m ＝0时，a ∈R ；
m ≠0时，a ∈［－1，1］.
评述：g （a ）是a 的函数，可作出g （a ）的草图来求最大值. 【例2】 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使
不等式x ≤f （x ）≤2
12+x 对一切实数x 都成立？
解：∵f （x ）的图象过点（－1，0）， ∴a －b +c =0
①
∵x ≤f （x ）≤2
1
2+x 对一切x ∈R 均成立，
∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1.
②
由①②得b =21，c =21－a . ∴f （x ）＝ax 2＋21x ＋2
1
－a .
故x ≤ax 2
＋21x ＋2
1－a ≤212+x 对一切x ∈R 成立，
也即?????≥+--≥-+-02)21(,
0212122a x x a a x ax 恒成立?????????>->≤--≤--???????
?>->≤≤?.
021,0,0)21(81,0)21(441
02100021a a a a a a a a ΔΔ 解得a =
41.∴c =21－a =4
1
. ∴存在一组常数a =41，b =21，c =4
1
，使不等式x ≤f （x ）≤212+x 对一切实数x 均成立.
评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法.
最新人教版二年级数学上册单元测试题全套及答案 第一单元达标测试卷 一、我会填。(每空1分，共20分) 1．测量笔盒的宽用() 作单位，测量教室的长用()作单位。2．小学生的两臂长大约1()，手掌宽大约7()。 3．线段有()个端点，直尺上从刻度3到刻度8是()厘米。 4． 钢笔大约()个长树叶大约()个长 5. 铅笔长()厘米木条长()厘米 木棍长()厘米钉子长()厘米 6．2米＝()厘米1米35厘米＝()厘米400厘米＝()米160厘米＝()米()厘米 7．在()里填上“厘米”或“米”。 楼房高约30()蜜蜂身长约2()马高约2()
二、先估一估，再量一量。(每空1分，共10分) 1. 2. 三、我会比。(6分) 8厘米8米1米96厘米200厘米2米 10米100厘米6米60厘米83米38米 四、我会画。(4题4分，其余每题2分，共10分) 1．画一条比4厘米短的线段。 2．画一条比3厘米长2厘米的线段。 3．画一条和下面线段同样长的线段。 4．在小兔子左边2厘米处画一根萝卜，右边4厘米处画一朵小花。
五、我会选。(每题2分，共10分) 1．下面三个图形中是线段的是()。 2．黑板的长大约是()。 ①40厘米②4米③15厘米 3．笑笑参加短跑比赛用了18秒，她跑完了100()。 ①厘米②元③米 4．下面的测量方法正确的是()。 5．1米长的绳子和100厘米长的铁丝比，()。 ①绳子长②铁丝长③同样长 六、我会辨，对的画“√”，错的画“×”。(每题2分，共10分) 1．10厘米和1米同样长。() 2．小明一拃长20米。() 3．教室门高比1米高。() 4．方桌边，书本的边，黑板的边，圆桌的边都可以看作是线段。() 5．直尺上从刻度1到刻度10的长度是10厘米。() 七、我会排。(5分) ()>()>()>()>()
22.1 二次函数复习题 （一）、学习反馈 一、选择题： １.在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次 函数关系 ２.已知函数 y ＝(m ＋2)22 m x 是二次函数，则 m 等于（ ） A 、±2 B 、2 C 、－2 D 、± ３.已知 y ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ） A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0 B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0 D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0 ４.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足S ＝gt 2（g ＝9.8）， 则 s 与 t 的函数图像大致是（ ） A B C D ５.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是 y 轴 C 、与 y 轴不相交 D 、最高点是原点 ６.抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ） A 、0 B 、4 C 、－4 D 、2 二、填空题： １.抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向_________。 ２.抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是_________。 ３.函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为_________。 ４.将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式 为__________________。 ５.函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝_________。 ６.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝_________时，y 有最小值。 212s t O s t O s t O s t O x y O 三题图
广西桂林十八中2020届高三（7月份）高考数学（文科）第十次适 应性试题 一、单选题 (★★) 1. 已知全集，集合，（） A．B．C．D． (★) 2. 若为纯虚数，则 z＝（） A．B．6i C．D．20 (★) 3. 已知等差数列的前 n项和为，若，则（） A．7B．10C．63D．18 (★★) 4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( ) A．B． C．D．
(★★) 5. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（） A．B． C．D． (★★) 6. 已知为锐角，且，则等于（） A．B．C．D． (★★) 7. 若，，，则，，的大小关系为（） A．B．C．D． (★★★) 8. 已知在边长为3的等边中，，则（） A．6B．9C．12D．－6 (★★★) 9. 函数的图象大致为（） A．B． C．D．
(★★★) 10. 如图是函数图象的一部分，对不同的，，，若，有，则（） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 (★★★)11. 定义在上的偶函数，满足，当时，，则不等式的解集为（） A．，B．， C．，D．， (★★) 12. 设函数在定义域内只有一个极值点，则实数 a的取值 范围为（） A．B．C．D． 二、填空题 (★) 13. 函数在处的切线方程是________. (★) 14. 如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据
1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单 价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
二年级上册数学总复习资料 一、米和厘米 1、测量物体的长度时，要用统一的标准去测量；常用的长度单位有：米和厘米。 2、测量较短物体通常用厘米作单位，用字母（cm）表示；测量较长物体通常用米作单位，用字母（m）表示。 3、测量时：一般是把尺子的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几，对着几就是几厘米。 例：画一条4厘米长的线段，一般应从尺的（0）刻度画起，画到（4）厘米的地方；还可以从尺的（ 1 ）刻度画起，画到（ 5 ）厘米的地方。 4 5、拉紧的一段线，可以看成一条线段 线段的特点：①线段是直的可以量出长度。②线段有两个端点。 6、图钉的长大约1厘米；食指的宽大约1厘米；田字格宽大约1厘米； 小朋友的肩宽大约30厘米 7、课桌宽60厘米黑板长4米 教室长8米操场长200米 铅笔长20厘米跳绳长2米 数学书长26厘米灯管长50厘米 房间高3米字典厚4厘米 大树高8米旗杆高15米 升国旗的旗台高60厘米 爸爸的身高1米75厘米或175厘米 小朋友的身高120厘米或1米20厘米 【角和直角】 1、角有一个顶点，两条边。 【练一练】标出角的各部分名称 （） （） （） 2、角的画法：先画顶点后画边 从一个点起，用尺子向不同的方向画两条边，就画成一个角。 3、用三角尺可以画出直角。 要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。 （点对点，边对边，边重合，是直角） 4、三角尺上有3个角，其中最大的那1个是直角，其余2个都是锐角。 正方形、长方形都有4个角，4个角都是直角。 5、角的大小与两条边的长短无关，只和两条边张开的大小有关。 【用放大镜看一个角，这个角的大小不改变。】 直角比直角大的角叫做钝角比直角小的角叫锐角 6、用三角尺画直角的方法： 从一个点起引出一条射线,再在三角尺上找一个刻度与这条射线重合画出另一条射线。 7、所有的直角大小都一样。
F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=
A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是
第一单元认识长度单位 一．填一填。 1．要知道物体的长度，可以用（）来量。 2．量比较短的物体，通常用（）作单位，量比较长的物体或距离，通常用（）作单位。 3．回形针的长大约是3（）。 4．1米=( )厘米，操场跑道的长是250（）。 5．量一个物体时，米尺的（）刻度要对准这物体的左端。 6．一张床的长度大约是2（），手指的宽大约是（）厘米。 7．你的尺子上，从0到1是（）厘米，从0到8是（）厘米，从6到13是（）厘米。 10．三角形是由（）条线段围成的，正方形是由（）条线段围成的。 11．一条线段长是100个1厘米，这条线段长（）米。 12．小红今年上二年级，她的身高大约是125（）。 13.下图中有多少条线段? ( )条 二．正确的在( )里画√，错误的在( )里画×。1、小明今年读二年级了，他的身高是128厘米。 ( ) 2、1米的绳子比100厘米的绳子长。( ) 3、画一条6厘米长的线段，从尺子的刻度1画到6。( ) 4、爸爸的身高有178米。( ) 三．计算。 5米+8米=（）米32厘米+40厘米=( )厘米 35厘米一25厘米=（）厘米45厘米+54厘米=( ) 厘米 39厘米+17厘米=（）厘米85厘米一26厘米=（）厘米1米一15厘米=（）厘米36厘米+64厘米=（）厘米=（）米 四、比较大小。 20厘米（）2米 5米（）50厘米 1米8厘米（）180厘米99厘米（）1米 4米（）400厘米3米10厘米（）400厘米 五．小小画家。 1．画一条3厘米长的线段。 2．画一条比4厘米长2厘米的线段。 3．先画一条5厘米长的线段，再画一条比它短2厘米的线段。 4．画一个边长为3厘米的正方形。
2014年广西高考数学试卷（文科）（全国大纲版） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（） A．2B．3C．5D．7 2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣ 3．（5分）不等式组的解集为（） A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（） A．B．C．D． 5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（） A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R） 6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）?=（）A．﹣1B．0C．1D．2 7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（） A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64 9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率
为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（） A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1 10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A．B．16πC．9πD． 11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线 的距离为，则C的焦距等于（） A．2B．2C．4D．4 12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（） A．﹣2B．﹣1C．0D．1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答） 14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是． 15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为． 16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于． 三、解答题 17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2． （Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列； （Ⅱ）求{a n}的通项公式． 18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，
高考考前指导及考前注 意事项 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高考考前指导及考前注意事项 一、考前一周 1、作息： 考前一周内应遵循平时学习习惯，切忌“开夜车”，要保证有足够的睡眠时间。这直接关系到考生的临场发挥：睡眠充足，场上才能保证头脑清醒，思维敏捷。如果睡不着，情绪兴奋也要躺在床上，闭上眼睛，告诉自己这也是在休息。 每天中午应坚持半个小时的午睡，以强化大脑皮层的兴奋和抑制过程。要坚持早起，按时锻炼身体，以轻缓运动为宜，如散步、做操等。 2、饮食 应讲究均衡饮食，瓜、果、青菜、鱼、豆类等都要吃一点。 家长应做好考生的“后勤”，菜的花样要多。平时吃什么，考前就吃什么。要吃经常吃的熟悉的食物，不要吃从来没吃过的东西，以防食物过敏。消化道过敏会造成恶心、呕吐、腹泻、腹痛。脑细胞主要能量来源是碳水化合物，所以应多吃主食。还要多吃新鲜的蔬菜和水果。不可过度“开小灶”，不要太过油腻。高热能的饮食会造成孩子的消化负担，甚至会产生恶心、厌食这些症状；还会产生嗜睡的感觉，精力不集中。油炸食品还会产生胃部的饱胀感，不消化。切莫吃不卫生的食品。不吃生食、冷饮、剩菜剩饭。不吃补品。如果平时喜欢吃辣，无辣不欢，考前也可以吃，只需适当调整。
一定要吃早饭。考前一两周如逢厌食现象，可吃米粥，温度不要过烫，近于体温，在舒适的环境中吃。还可以吃温拌菜，加点甜酸味道的调料，可以减轻厌食症状。 3、家长不可过分“优待”： 家长往往对孩子应考的期望过高，对孩子的“优待”也会随之升级，突出的作法便是陪读，甚至白天不上班。殊不知，如此过分“优侍”，对考生的负面效应往往大于正面效应，易增加“有负家长厚望”的心理压力。家长只须在生活、饮食方面给予适当调整就可以了， 大可不必过分“优待”。 4、关于女生“例假”： 月经不影响智力。正常月经可以无视，不影响高考。轻度痛经，可遵医嘱服用止痛药。对于非常严重的痛经，可咨询医生通过药物方法改变月经日期，但副作用较大，不推荐。 二、考前准备 1、准备好考试用具：
2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
二年级上册数学知识点归纳总结 第一单元、《长度单位》 1、测量物体的长度时，要用统一的标准去测量；常用的长度单位有：米和厘米。 2、测量较短物体通常用厘米作单位，用字母（cm）表示； 测量较长物体通常用米作单位，用字母（m）表示。 3、测量时：一般是把尺子的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几就是几厘米。例：画一条4厘米长的线段，一般应从尺的（）刻度画起，画到（）厘米的地方； 还可以从尺的（）刻度画起，画到（）厘米的地方。 4 5、拉紧的一段线，可以看成一条线段。两点之间可以画（1）条线段，线段有长短。 线段的特点：①直直的。②有两个端点。③线段可以测量出长度，是有限的。 6、图钉的长大约1厘米；食指的宽大约1厘米；田字格宽大约1厘米； 7、课桌宽60厘米黑板长4米教室长8米操场长200米 铅笔长20厘米跳绳长2米数学书长26厘米灯管长50厘米 房间高3米字典厚4厘米大树高8米旗杆高15米 升国旗的旗台高60厘米；小朋友的肩宽大约30厘米 爸爸的身高（1米75厘米）或（175厘米） 小朋友的身高（120厘米）或(1米20厘米) 8、（尺子）是测量（长度）的工具。要知道物体的长度，可以用（尺子）来量。 9、三角形由（3）条线段组成，正方形由（4）条线段组成。 第二单元、《100以内的笔算加法和减法》 1、用竖式计算两位数加法时应注意：①（相同数位）要对齐。②从（个位）加起。 ③（个位上的数字相加满10），要（向十位进1）。 用竖式计算两位数减法时应注意：①（相同数位）要对齐。②从（个位）减起。 ③（个位不够减），要（从十位退1）； 在原来的个位数字上加10再减， 计算时十位要记得减去退掉的1。 笔算两位数的加减法时，从（个）位算起。 2、连加、连减、加减混合运算顺序：从左往右依次计算，有括号的要先算括号里的。 注意：看清加减号，不要混乱。 3、【估算】：把一个接近整十整百的数看作整十整百来计算。 方法：个位小于5的少看，个位等于或大于5的多看，看成最为接近的整十或整百数。 如：49+42≈90 28+45+24≈100 50 40 30 50 20 注意：当问题里上出现了“大约”两个字时，就需要估算。 4、求比一个数多几的数是多少，用加法计算。求比一个数少几的数是多少，用减法计算。 5、连续两问的解决问题的解决方法： 先根据已知的数学信息，解决一个问题，再把答案作为已知的数学信息，解决第二个问题。 第三单元《角的初步认识》 1、一个角有（1）个顶点，有（两）条边；两条边是（直直的），都从顶点出发。 【练一练】标出角的各部分名称 （边） （顶点） （边） 2、角的画法：先画顶点，再画边。 画角时，从一个（点）起，用（尺子）向不同的方向画（两）条直直的线，就画成一个（角）。
2014新人教版九年级上数学二次函数练习题 1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2229，则下列结论： ①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相等；③4a＋b＝0；④当y＝－2时，x的值只能为0，其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个 2、二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2228.当y＜0时，自变量x的取值范围是( ) A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3 2228 图2229 图2215 3、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图2215，则下列结论中正确的是( ) A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0 4、将抛物线y＝3x2平移得到抛物线y＝3(x－4)2－1 的步骤是( ) A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 5、二次函数图像如图所示，下列正确的个数为（）①②③④有两个解，⑤⑥当时，随增大而减小 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （6题图后面的图） 6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） 6题 7、二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③； ④当时，．其中正确的是（） A．①②B．①④C．②③D．②③④ 8、若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）
2020年广西高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（） A．2B．3C．4D．5 2、若（1+i）＝1﹣i，则z＝（） A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i 3、设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（） A．0.01B．0.1C．1D．10 4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎 累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊 病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3） A．60B．63C．66D．69 5、已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（） A．B．C．D． 6、在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若?＝1，则点C的轨迹为（） A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线 7、设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点 坐标为（） A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0） 8、点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（） A．1B．C．D．2 9、如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A．6+4B．4+4C．6+2D．4+2 10、设a＝log32，b＝log53，c＝，则（） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 11、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（） A．B．2C．4D．8 12、已知函数f（x）＝sin x+，则（） A．f（x）的最小值为2 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的图象关于直线x＝对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为． 14、设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为． 15、设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝． 16、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．
高考考前指导及考前注意事项 一、考前一周 1、作息：? 考前一周内应遵循平时学习习惯，切忌“开夜车”，要保证有足够的睡眠时间。这直接关系到考生的临场发挥：睡眠充足，场上才能保证头脑清醒，思维敏捷。如 果睡不着，情绪兴奋也要躺在床上，闭上眼睛，告诉自己这也是在休息。? 每天中午应坚持半个小时的午睡，以强化大脑皮层的兴奋和抑制过程。要坚 持早起，按时锻炼身体，以轻缓运动为宜，如散步、做操等。 ?2、饮食 ? 应讲究均衡饮食，瓜、果、青菜、鱼、豆类等都要吃一点。 家长应做好考生的“后勤”，菜的花样要多。平时吃什么，考前就吃什么。要 吃经常吃的熟悉的食物，不要吃从来没吃过的东西，以防食物过敏。消化道过敏会造成恶心、呕吐、腹泻、腹痛。脑细胞主要能量来源是碳水化合物，所以应多吃主食。还要多吃新鲜的蔬菜和水果。不可过度“开小灶”，不要太过油腻。高热能的饮食会造成孩子的消化负担，甚至会产生恶心、厌食这些症状；还 会产生嗜睡的感觉，精力不集中。油炸食品还会产生胃部的饱胀感，不消化。切莫吃不卫生的食品。不吃生食、冷饮、剩菜剩饭。不吃补品。如果平 时喜欢吃辣，无辣不欢，考前也可以吃，只需适当调整。? 一定要吃早饭。考前一两周如逢厌食现象，可吃米粥，温度不要过烫，近于体温，在舒适的环境中吃。还可以吃温拌菜，加点甜酸味道的调料，可以减轻厌食症状。? 3、家长不可过分“优待”：? 家长往往对孩子应考的期望过高，对孩子的“优待”也会随之升级，突出的作法便是陪读，甚至白天不上班。殊不知，如此过分“优侍”，对考生的 负面效应往往大于正面效应，易增加“有负家长厚望”的心理压力。家长只 须在生活、饮食方面给予适当调整就可以了， 大可不必过分“优待”。? 4、关于女生“例假”：? 月经不影响智力。正常月经可以无视，不影响高考。轻度痛经，可遵医嘱服 用止痛药。对于非常严重的痛经，可咨询医生通过药物方法改变月经日期， 但副作用较大，不推荐。? 二、考前准备? 1、准备好考试用具： ? 文具准备双份，三支毫米黑色签字笔、两支2B铅笔。橡皮擦用于涂改机读答题卡，每次使用后，在干净的桌面上擦拭干净，以免影响下次涂改的效果。理科考试准备三角板、直尺、圆规等绘图工具。? 2、带好证件：出门前确认带好准考证，不能遗失。 准考证可交由送考老师保管，考前统一领取。一旦忘带，拨打110送考，可由家长回家取，考生在考场等待。提早出门，以为此类突发事件留出空余时间。?
二年级上册各单元知识点复习归纳 第一单元长度单位 1、统一长度单位的必要性和长度单位的作用。 2、认识厘米：认识厘米的长度，1厘米大于有多长，用字母cm表示；量比较短的物体，用厘米作单位；用尺子上以厘米为单位量物 体的长度。 3、认识米：认识米的长度，1米大于有多长，用字母m表示，量比 较长的物体，通常用米作单位；用尺子以米为单位量物体的长度； 厘米和米的关系：1米=100厘米。 4、认识线段：线段的特征：是直的，可以量出长度；会用尺子量线 段的长度（限整厘米和米）；根据图形数线段的数量；画线段：按 给定长度画线段（限整厘米）。 5、解决问题：估测物体的长度，选择合适长度单位（限厘米和米）。 第二单元100以内的加法和减法（二） 一、加法:相同数位对齐，从个位加起，个位满十，向十位进一。 注意个位进一后，在十位计算时不要加掉了。 1、不进位加法； 2、进位加法。 二、减法：相同数位对齐，从个位减起，个位不够，十位借一作十。 注意十位借一后，在十位计算时不要减掉了。 1、不退位减法： 2、退位减法。 三、两步计算：无括号，一个竖式来计算，有括号，分两步，先算 括号再算外，注意进位和退位，别把进退给忘掉。 1、无括号：连加；连减；加减混合。 2、有括号：括号在后面两个数上。 四、解决问题： 1、用画线段图的方法解决求比一个数多几（或少）的数。 通过连贯思考解决连续两问的问题。
第三单元、三角形的初步认识 一、认识角 1、角的特征：一个顶点，两条边（直的） 2、角的大小：与两条边叉开的大小有关，与两条边的长短无关。 3、角的画法：（1）、定顶点。（2）、由这一点引一条直线。 （3）、画另一条边（直角时，用直角边对准画好的一条边后，沿着另一条直角边，画线） 二、角的分类： 1、认识直角：直角的特点， 2、认识锐角和钝角：锐角比直角小，钝角比直角大。 3、会用三角尺来判断直角、锐角和钝角：吧三角尺上直角的顶点与 被比较角的顶点重叠在一起，再将三角尺上直角的一条边与被比角 的一条边重合，最后比较三角尺上直角的另一条边与被比角的另一 条边，线上为直角，内为锐角，外为钝角。 4、画直角、锐角和钝角。 三、解决问题。 第四、六单位表内乘法（一）（二） 一、乘法的初步认识： 1、意义：几个几相加用乘法计算。相同的加数×相同加数的个数。 2、名称：乘数×乘数=积 二、1-9的乘法口诀：熟记口诀，会口算乘法算式。 1、补充口诀。 2、根据口诀写出乘法算式、看图写乘法算式。 三、解决问题。 1、已知每个多少和个数，求一共多少？每个数量×个数=一共的数。 2、加法和乘法对比解决问题：求一共有多少？
2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
人教版二年级数学上册知识点汇总 第一单元长度单位 一、米和厘米 1、测量物体的长度时，要用统一的标准去测量；常用的长度单位有：米和厘米。 2、测量较短物体通常用厘米作单位，用字母（cm）表示；测量较长物体通常用米作单位，用字母（m）表示。 3、测量时：一般是把尺子的“0”刻度对准物体的左端，再看物体的右端对着几，对着几 就是几厘米。 例：画一条4厘米长的线段，一般应从尺的（）刻度画起，画到（）厘米的地方；还可以从尺的（）刻度画起，画到（）厘米的地方。 （）厘米（）厘米 4、1米=100厘米100厘米=1米。 5、拉紧的一段线，可以看成一条线段 线段的特点：①线段是直的，可以量出长度。②线段有两个端点。 6、图钉的长大约1厘米；食指的宽大约1厘米；田字格宽大约1厘米； 7、课桌宽60厘米黑板长4米 教室长8米跑道长400米 铅笔长20厘米跳绳长2米 数学书长26厘米灯管长50厘米 房间高3米字典厚4厘米 大树高8米旗杆高15米 爸爸的身高1米75厘米或175厘米小朋友的身高120厘米或1米20厘米 第二单元100以内的加法和减法
1、用竖式计算两位数加法时：①（相同数位）要对齐。 ②从（个位）加起。 ③（个位上的数字相加满10），要（向十位进1）。 用竖式计算两位数减法时：①（相同数位）要对齐。 ②从（个位）减起。 ③（个位不够减），要（从十位退1）； 在原来的个位数字上加10再减， 计算时十位要记得减去退掉的1。 2、连加、连减、加减混合运算顺序； 从左往右依次计算，有括号的要先算括号里的。 3、求比一个数多几的数是多少，用加法计算。 求比一个数少几的数是多少，用减法计算。 4、连续两问的解决问题的解决方法： 先根据已知的数学信息，解决一个问题，再把答案作为已知的数学信息，解决第二个问题。 第三单元角的初步认识 1、角的特征：一个顶点，两条边（直的） 【练一练】标出角的各部分名称 （） （） （） 2、角的画法：先画顶点（定顶点）后画边 从一个点起，用尺子向不同的方向画两条边，就画成一个角。 3、认识锐角和钝角 4、用三角尺可以画出直角。 要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的直角比一比。 （点对点，边对边，边重合，是直角）
2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义 【知识梳理】 （一）本节课知识点 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数， 顶点式:2()(0)y a x h k a h k a =?+≠，，是常数， 双根式:若抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标分别为1(,0)x ，2(,0)x 则 12()()(0)y a x x x x a =??≠ 2.二次函数的图象 ①二次函数图象关于一条平行y 轴的直线对称的抛物线 ②抛物线2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，与y 轴必有一个交点，坐标为（0，c ）；与x 轴交点的个数则是由△=ac b 42?决定的。 （二）本节课的重、难点 1．重点：能通过观察函数图象读取相关信息解决问题． 2．难点：用函数观点看方程（组）与不等式（组）. 【典例剖析】 例 已知二次函数x x y 22 ?=. (1) 把它配成k h x a y +?=2)(的形式. (2) 写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. (3) x 取何值时，函数有最值？是最大值还是最小值？求出最大值或最小值. (4) 求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标. (5) 用五点法画出函数图象,并回答:当x 取何值时，y ＞0？y ＜0？ (6) 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ 例 已知直线721?=x y 与抛物线c bx ax y ++=22，抛物线2y 与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点B （1，0），C （5，0）两点.
（1）求抛物线的解析式并在同一坐标系中画出直线和抛物线的示意图. （2）结合图象回答: ①02≥y 时,x 的取值范围； ②50<