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一次函数的对称性专题-教师版

一次函数的对称性专题

1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（）

A ．关于直线y x =-对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y x =对称

【答案】B

2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x =

+的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为．【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________；

②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________．

【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a

=+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________．和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________．

【答案】53y x =--；2y x =+

5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式．

【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-．

6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ．【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=??+=-?，解得11k b =-??=-?

．

7．已知某一次函数的图象如图所示．

（1）求这个一次函数的解析式．

（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．【答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y kx b

=+，据图可知：直线经过(0,3)和(2,0)两点

∴

k b

，

解之得：

，

∴一次函数的解析式为：

y x

=-+；

（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：

y x

=+．

8．因为一次函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠互为“镜子”函数．

（1）请直接写出函数32y x =-的“镜子”函数：；

（2）如果一对“镜子”函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=?，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．

【答案】解：（1）根据题意可得：函数32y x =-的“镜子”函数：32y x =--；故答案为：32y x =--；

（2）ABC ?是等腰直角三角形，AO BC ⊥，

AO BO CO ∴==，

∴设AO BO CO x ===，根据题意可得：12162

x x ?=，解得：4x =，

则(4,0)B -，(4,0)C ，(0,4)A ，

将B ，A 分别代入y kx b =+得：

404k b b -+=??=?

，解得：14k b =??=?

，故其函数解析式为：4y x =+，

故其“镜子”函数为：4y x =-+．

9．如图，一次函数33y x =-+的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB

为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=?；

（1）如果点3P m ?? ? ???

，在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值；

（2）如果QAB △是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；

（3）是否存在实数a ，b 使一次函数33y x =-+和y ax b =+的图象关于直线y x =对称？

若存在，求出ab a b

+的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）如图，过点P 作PD x ⊥轴于D ，点3(,

)P m 在第二象限内， 3PD ∴=，OD m =-，令0y =，则330x -+=，

解得1x =，

令0x =，则3y =，

∴点(1,0)A ，(0,3)B ，

1OA ∴=，3OB =，

由勾股定理得，22221(3)2AB OA OB =+=+=， 30ABO ∴∠=?，

AOB PDO AOPB PDOB S S S S ??=+-四边形梯形，

111

)1()222m m =?-+??-

=+，

∴四边形AOPB 的面积=； APB AOP AOPB S S S ??=-四边形，

112=-?，

=+， 30ABC ∠=?，

tan302AC AB ∴=?=

122ABC S ?∴=?=， APB ?与ABC ?面积相等，

=，解得56m =-，故，当APB ?与ABC ?面积相等时，56

m =-；

（2）①点A 是顶角顶点，AB 是腰时，2AQ AB ==，若点Q 在x 正半轴，则123OQ AO AQ =+=+=，若点Q 在x 轴负半轴，则211OQ AQ AO =-=-=，

若点Q 在y 轴负半轴，则OQ BO ==

∴点Q 的坐标为(3,0)或(1,0)-或(0,， ②点B 是顶角顶点，AB 是腰时，2BQ AB ==，

若点Q 在y 轴正半轴，则2OQ BO BQ =+=，

若点Q 在y 轴负半轴，则2OQ BQ BO =-= 若点Q 在x 轴负半轴，则1OQ AO ==，

∴点Q 的坐标为2)或2)或(1,0)-；

③AB是底边时，若点Q在y

轴上，则tan301

OQ OA

=?==，

若点Q在x轴上，则1

OQ AO

==，

∴点Q

的坐标为或(1,0)

-，

综上所述，QAB

?是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为(3,0)或(1,0)

或(0,

或2)

或；

（3）(1,0)

A关于y x

=的对称点为(0,1)，

B关于y x

的对称点为0)，

∴

，

解得

，

∴

a b

，

=．

6、函数之函数的单调性(教师版)

6、函数之函数的单调性函数单调性的相关知识点：一：函数的单调性的定义。（设函数)(x f y = 的定义域为 I ）。 1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。 2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。 3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。二：证明或判断单调性的方法与步骤。 1. 定义法：（1）取值。（2）作差变形。（3）定号。（4）下结论。 2. 导数法：（1）求导。（2）判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0，则函数为增函数。若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。 3. 图像法：主要用来判断。三：函数单调性的有关性质。若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。 2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0

调性。 3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数 )() (1 x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。 5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。 6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f ?：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。 7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。 8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。则：()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121>-->-?-?