初等数论试卷
一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）
１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A )
Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+；
Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+．
２．下列命题中不正确的是( B )
Ａ．整数12,,
,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数
Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数
Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数
３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d
=-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d
=+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d
=+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±
４．下列各组数中不构成勾股数的是( D )
Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；
Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７
５．下列推导中不正确的是( D )
Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+
Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡
Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡
６．模１０的一个简化剩余系是( D )
Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;
Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.
７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( E ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +
８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C )
Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;
Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．
9、设f(x)=10n n a x a x a +
++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( C )
A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ?≡≡?>一定为的一个解
B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ??≡?>≡一定为的一个解
C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中
D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有
10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式
()()0mod f x p ≡的解数：
（ B ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p
C ．等于p
D ．等于n
11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )
A ．3
B ．11
C ．13
D ．23
13．()
()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1
14． 模12的所有可能的指数为;( A )
A ．1，2，4
B ．1，2，4，6，12
C ．1，2，3，4，6，12
D ．无法确定
15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( D )
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 12
18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( B )
A ．a
B ．b
C ．ab
D ．无法确定
19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A )
A ．()()f a g a 为可乘函数；
B ．()()
f a
g a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数
20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立
A ．()11μ=
B ．()11μ-=
C ．()21μ=-
D ．()90μ=
二．填空题：（每小题1分，共10分）
21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；
22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，
2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；
23．有理数a b
，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；
24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有
解为_________________________；
27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；
28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；
29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；
30． ()48?=_________________________________。
三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。
32．“若)(
,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。
33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。
34．设1212k k a p p p ααα=为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？
四．计算题。（7分／题×4题＝28分）
35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。
36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡??≡??≡?
37．解同余式2x ≡11(mod125)
38．求模13的所有原根。
五、证明题：（7分/题×2题=14分）
39、试证： 2222x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：
22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+
这里0a b >>，(),1a b =，并且
一为奇数，一为偶数。
40、设a 为正整数，试证： ||()()d a d a a
d a d φφ==∑∑
其中|d a ∑表示展布在a 的一切正因数上的和式。
六、应用题：（8分）
41、求30！中末尾0的个数。
参考答案
一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。
二．填空题：21．21；22．()12,,,|n a a a N ；23．(),101b =；24．()0,0,1,2,,m x t t a m +=±±；
25．()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1；
27．()1
21mod p a p -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16
三．简答题：31．答：命题正确。
()()2211211m m +-=++????()211m +-???? ()()22241m m m m =?+=+ 而()1m m +必为2的倍数。
86页
32．正确．证明见教材47P 。
33．在摸p 的简化剩余系中与2
2211,2,,2p -?? ???
同余的数是数p 的平方剩余，
()117,182
p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡ 故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。
34．()()1211111i i k k
i
i i i i i p s a p p p p αα+==-=++++=-∏∏ ()()()()12111k a τααα=+++
证明：若()f a 为可乘函数，则()()()()|11i k i i a i f f p f p ααα==++∑∏．
分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。
四．计算题
35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。
又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解
''0
016,1x y ==-。所以原方程的一个解是00400,25x y ==- 所以，原方程的一切整数解是：（ ）
40031252x t r t
=+=-- t 是整数 36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模
5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：
()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得
()3mod5x ≡， ()1mod6x ≡-，()4mod7x ≡
因此所给同余方程组的解是：
()()423135133042mod210x ≡??+?-?+??
即：()26151mod210x ≡≡
37．解：从同余方程()()211mod51mod5x x ≡≡得，
()()()222111511mod5,1010mod5t t +≡≡再从得，
()()
2111mod5,16mod5t t ≡+≡因此于是，
是()()()22223211mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从
得()()32230025mod5,121mod5t t ≡-≡-因此
即()222mod5,65256t x ≡=+?=所以 是所给方程的一个解，于是所解为：
()56mod125x ≡± 解毕。
38．解：()2131223,φ==? 122,3g g == 为其质因数
()
()
13136,423φφ==，故g 为模13的原根的主要条件是：
()61mod13g ≡/，()41mod13g ≡/
用 g=1，2，……12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根，
因为()124φ=，故模13原根只有4个，即为所求。
五、证明题：
39．证明：易验证所给的解为原方程的解，因y 为偶数，原方程可化为：
2222z x z x r +-???= ???
但 ,|,2222z x z x z x z x z +-+-????= ? ?????
,|,2
222z x z x z x z x x +-+-????= ? ????? 而，所以（2z x +，2
z x -）=1 由书中引理，我们可假设
2z x +=2a ， 2
z x -=b 2 显然a >b ， (a ，b)=1， 于是 X=2a －b 2， z=2a +2b ，y=2ab
因子为奇数，所以a ，b 一定是一为奇，一为偶，证毕
40．证明：假定1d ，---， k d 为a 的所有正约数，那末
1a d ，---，k
a d 也是a 的所有正约数，于是 ()d a d φ∑=()d a a d
φ∑
再因为在a 的完全剩余系中任一数a 的最大公约数
必定是1d ，---， k d 中某一个数，而完全剩余系中与a 的最
大公约数为i d 的数有()i
m
d φ ，所以：
()d a
m
d φ∑= m
证毕 六．应用题：
41．解：5在30！中的最高次幂=305??????+2305??????+330
5??
????
=6+1+0=7
2在30！的最高次幂=302??????+2302??????+3302?
?????+4302??????+5302??
????
=15+7+3+1+0=26
10=2×5，故 30！的末尾有7个零。
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(mod m bc
D b
a ≠
5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),(
6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程144219=+y x .
3、解同余式)45(mod 01512≡+x .
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数
6233
2n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D.
2、A
3、C
4、A
5、A
6、B
二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍
数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互
素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
=[391,17221136?]
=[1768,391] ------------(4分) = 17391
1768?
=104?391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程144219=+y x .（8分）
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）
化简得4873=+y x ； -------------------（1分）
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）
所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）
因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 -------------------（2分）
3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）
即定理4.1中的100=x . ------（1分）
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , ---------（1分）
)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , -----------------（1分）
)45(mod 40)45(mod 345210≡?
+≡x .---------（1分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数
6233
2n n n ++是整数. (10分)
证明 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分） 并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,-----（3分） 即623
3
2n n n ++是整数. -----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
证明 因为133)1(2
33++=-+n n n n , -------------（3分）
所以只需证明1332++n n T )5(mod . 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332++n n 分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 1332++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
所以1332++n n T )5(mod ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分） 如果
22y x n +=, ---------（1分） 则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,
所以22,y x 只能与0,1同余,
所以
)4(m od 2,1,022≡+y x , ---------（4分）
而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分）