人教版数学八年级上册三角形解答题单元培优测试卷
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：
(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；
(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；
(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.
【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝
∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1
2
x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得
∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；
(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,
则∠DGE=90°+1
2
x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=
1
2
（180°-x），所以
∠CDF+∠HDC=1
2
（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；
（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可
得：∠EDF＝∠EBF=1
2
（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出
∠BED=90°，完成证明.【详解】
解：（1）BE⊥DE，理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
设∠HDC＝∠AB H=x
∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E
∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x
又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）
DF∥AB,理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
∵BE平分∠ABH，
∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x
∴∠DGE=90°+1 2 x
∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM
∴∠CDF=1
2
（180°-x）=90°-
1
2
x
∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1
2
x+x=90°+
1
2
x
∴∠DGE=∠HDF
∴DF∥AB
（3）
BE⊥DE，证明如下：
设∠BFA＝∠CFD=x,
∵∠A＝∠C＝90°
∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，
∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E
∴∠EDF＝∠EBF=1
2
（90°+x）
又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x
∴∠BFD=360°-1
2
（90°+x）-
1
2
（90°+x）-（180°-x）=90°
即BE⊥DE
【点睛】
本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.
2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．
（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．
【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】
（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1
ABE ABO 2
∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知
CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论；
（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知
1EAO BAO 2∠=∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO
和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】
（1）∠AEB 的大小不变，
∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴∠AOB=90°，
∴OAB OBA 90∠+∠=?，
∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，
∴1BAE OAB 2∠=
∠，1
ABE ABO 2
∠=∠， ∴()1
BAE ABE OAB ABO 452
∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；
（2）∠CED 的大小不变． 如图2，延长AD 、BC 交于点F ． ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴90∠=AOB °，
∴OAB OBA 90∠+∠=°， ∴PAB MBA 270∠+∠=°，
∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠， ∴()1
BAD ABC PAB ABM 1352
∠+∠=
∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°， ∴CDA DCB 225∠+∠=°，
∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线， ∴CDE DCB 112.5∠+∠=°， ∴E 67.5∠=°；
（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ， ∴1EAO BAO 2∠=
∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ， ∴()11
E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22
∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°．
在△AEF 中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°； ②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；
③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°； ④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°． ∴∠ABO 为60°或45°． 【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．（1）如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时， ①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）
③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A 与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD ≌△EA ′D ，其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ；②∠1=180°?2x ,∠2=180°?2y ； ③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=1
2
（∠2-∠1），见详解 【解析】 【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE ≌△A ′DE ；
②根据翻折方法可得∠AEA ′=2x ，∠ADA ′=2y ，再根据平角定义可得∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ；
③首先由∠1=180°-2x ，2=180°-2y ，可得x=90-
12∠1，y=90-1
2
∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y ，再利用等量代换可得∠A=1
2
（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】
（1）①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ，
其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ； ②）∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ； ③∠A=
1
2
（∠1+∠2）； ∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ，
∴x=90-
12∠1，y=90-1
2
∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=1
2
（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到， ∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=
1
2（∠2-∠1）． 【点睛】
此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=?，65B ∠=?，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处. （1）若140∠=?，2∠=________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.
②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．
（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________. 【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，已知70C ∠=?，65B ∠=?，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果； ②利用两次外角定理得出结论；
（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】
解：（1）∵70C ∠=?，65B ∠=?， ∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°， ∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°； （2）①122A ∠+∠=∠,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ， ∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ， ∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ； ②221A ∠=∠+∠，理由如下：
∵2∠是ADF 的一个外角 ∴2A AFD ∠=∠+∠. ∵AFD ∠是A EF '△的一个外角 ∴1AFD A '∠=∠+∠ 又∵A A '∠=∠ ∴221A ∠=∠+∠ （3）如图
由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'， ∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°． 【点睛】
题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
5．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=?． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，
则152
DCE αβ
-'=
=?∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
6．如图，将一块三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边PQ 上，直尺的另一边MN 与三角板的两边AC 、BC 分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD 为∠BAC 的平分线，∠B=300，∠ADE=150. （1）求∠BDN 的度数； （2）求证：CD=CE.
【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE 【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可； （2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论. 试题解析：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∠B=300, ∴∠BAC=600,又AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD=300,又∠ACD=900, ∴∠CDA=600 又∠ADE=150，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450 ∴∠BDN=∠CDE=450
（2）在△CED 中，∠ECD=900，∠CDE=450
∴∠CED=450
∴ CD=CE
点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.
7．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.
(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．
(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠C＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析
【解析】
试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是?ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。（2）EF⊥BC，可得到∠EDF＝90°－∠DEF，∠EDF又是?ABD的外角，可得到∠BAD＝∠EDF－∠B=90°－∠DEF－∠B，然后可将∠ BAC用含∠DEF、∠B的角来表示，即∠BAC =2(90°－∠DEF－∠B),最后利用∠B、∠ BAC、∠C的和为180°求得三角之间的等量关系。
试题解析：(1)∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，
∴∠EDF＝80°.
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠E DF－∠B＝80°－40°＝40°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°.
∴∠C＝180°－40°－80°＝60°.
(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由如下：
∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°－∠DEF.
∵∠EDF＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠DEF－∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝180°－2∠DEF－2∠B.
∴∠B＋180°－2∠DEF－2∠B＋∠C＝180°.
∴∠C－∠B＝2∠DEF.
【点睛】本题主要考查考生对三角形外角和性质得理解及灵活运用，以及对三角形内角和，角平分线的定义的理解。此为易考点及重点。考查考生等量代换思想的形成及掌握，
在解题过程中涉及到角与角之间的转换。此为难点。
8．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝
2
DAC
DBC
S
S +.
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2
DBC
DAC
S
S +是否仍然成立?请
说明理由；
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论． 【答案】(1) S △DMC =2
DAC
DBC
S
S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -，理由见
解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=
1
2
（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的． （2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =
2
DAC
DBC
S
S +仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线
AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝
12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12
DC·(AE+BF)= 1
2DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2
DAC DBC S S +；
(2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而
S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.
9．已知:△ABC 中 ∠A=64°， 角平分线BP 、CP 相交于点P ．
1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值) 求证:0
1902
BPC A ∠=+∠.
2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)
3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值) 4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现
【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-
1
2
∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=1
2
∠A ． 【解析】 【分析】
①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC +∠PCB =90°-1
2
∠A ，根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°+
1
2
∠A ； ②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP =
12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =12
（∠A +∠ACB ）；根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°-
1
2
∠A ；
③根据BP为∠ABC的角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-
∠3，∠P=180°-∠4=∠5=180°-∠3-1
2
（∠A+2∠1），两式联立可得2∠P=∠A．
④根据前面的情况直接写出∠BPC与∠A的数量关系，
【详解】
解：（1）证明：∵在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠PBC+∠PCB=1
2（180°-∠A）=
1
2
×（180°-x°）=90°-
1
2
∠A
故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-1
2
∠A）=90°+
1
2
∠A；
则∠BPC=122°；
（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=1
2（∠A+∠ABC）、∠PBC=
1
2
（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-1
2
[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-1
2
（∠A+180°），
=90°-1
2
∠A；
则∠BPC=58°；
（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，
∴∠1=∠2，∠5=1
2
（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-1
2
（∠A+2∠1），
即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．
则∠BPC=32°；
（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-1
2
∠A；
若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=1
2
∠A．
故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．
【点睛】
此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
10．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
（简单应用）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，
求∠P的度数；
（问题探究）
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=1
3∠CAB，∠CDP=1
3
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为： ______ （用α、β表示∠P,不必证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）26°；（3）26°；（4）∠P=2
3
α+
1
3
β.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得
解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）列出方程组即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；
(2) 如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠B=∠3+∠P，
∠1+∠P=∠4+∠D，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(3)如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=
1
2
×（36°+16°）=26°；
(4)∠P=2
3
α+
1
3
β.
三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A
8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4
7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q
数学综合测试题（北师大版·八年级） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若21 =+x x ，则221x x + =（ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 已知关于x 的不等式组230 320a x a x +>??-≥? 恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ． 23≤a ≤32 B . 43≤a ≤32 C ．43＜a ≤32 D ．43≤a ＜3 2 3. 已知a b c d 满足 2003 1 200212001120001+= -=+=-d c b a 则a b c d 四个数的大小关系为（ ） A ． a >c >b >d ( B ) b >d >a >c (C ) d >b >a >c (D ) c >a >b >d 4. 已知x 为整数，且分式 1 222-+x x 的值为整数，则x 可取的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B . a ＞1 C .－1＜a ＜0 D . a ＜－1 6. 下列因式分解正确的是 （ ） A ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x –y –1) B ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y –1) C ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x –y)2–1=(2x –y+1)(2x+y+1) D ．4x 2–4xy+y 2–1=(2x+y)2–1=(2x+y+1)(2x+y –1) 7. 13. 数据8，10，12，9，11的平均数和方差分别是 （ ） A ．10和2 B ．10和2 C ．50和2 D ．50和2 8. 延长线段AB 到C,使得BC= AB,则AC:AB=( ) A ．2:1 B ．3:1 C ．3:2 D ．4:3 9. 三角形三边之比为3:4:5，与它相似的另一个三角形的最短边为6cm ，则这个三角形的周长为（ ） A ．12cm B ．18cm C ．24cm D ．30cm 10. 如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是 AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其 最小值一定等于（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．3二、填空题（每小题3分，共30分） 1. 因式分解：x 3–4x= ． 2. 若543z y x = =，则x z y x 562-+= ． A E B D N
八年级上册数学三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．
【答案】 17 22 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， AD DE ADB EDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∴ 17 22 m <<． 故答案为： 17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 3．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
1、解不等式 （2）252133x -+-≤ +≤- 2、 求下列不等式组的整数解2(2)8 3373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2） 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数，不等式 ()12x a a -≥都成立，求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-?的解，求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233x x -<-的解，求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-??>?的解集为3x >，求m 的取值范围。
8、如果不等式组237,635x a b b x a -的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010x a x ->?? ->?，的整数解共有3个，求a 的取值范围。 12、已知关于x 的不等式组0321x a x -≥??-≥-?的整数解共有5个，求a 的取值范围。 13、若关于x 的不等式组2145,x x x a ->+??>?无解，求a 的取值范围。 14、设关于x 的不等式组22321 x m x m ->??-<-?无解，求m 的取值范围 15、若不等式组???<->a x a x 无解，那么不等式? ??<+>-11a x a x 有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由？
八年级全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0． （1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线； （2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求 2HK+EF的值． 【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8 【解析】 【分析】 （1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM, 根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论； （2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得 OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值． 【详解】 解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0 ∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0 ∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0 ∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0 ∴a＝b＝4 过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM ∴OA平分∠MON 即OA是第一象限的角平分线 （2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H
苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 【知识精读】 （-）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等; 3等腰三角形 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对 称轴的轴对称图形; 推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边相等推出两 角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、顶 角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等， 两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角 对 等边”。） 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 它是证明线段相等的重要定
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题, 在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 添加辅助线时, 有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况 来定。 【分类解析】 例1.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM 丄BC ,垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 所以/ 1 = - / ABC 2 又因为CE = CD ，所以/ CDE = / E 所以/ ACB = 2/ E 即/ 1=/ E 所以BD = BE ,又DM 丄BC ,垂足为 M 分析：欲证M 是BE 的中点，已知 DM 丄BC ,所以想到连结 BD ，证BD = ED 。因为△ ABC 是等边三角形，/ DBE = - / ABC ，而由 CE = CD ，又可证/ E = - / ACB ，所以/ 1 2 2 =/ E ,从而问题得证。 证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2.如图，已知: ABC 中，AB AC , D 是 BC 上一点，且 AD DB , DC CA , 求 BAC 的度数。 E D
第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc
第1页 共4页 第 2 页 共 4页 班级 姓名 准考证号 ……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线……………………… ……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………… 八年级培优班测试 数学卷 (满分100分 考试时间90分钟) 一、选择题（每小题5分，共30分） 1、下列命题中的假命题是( )． A 、一组邻边相等的平行四边形是菱形 B 、一组邻边相等的矩形是正方形 C 、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D 、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 2、如图1，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 3、如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（ ） A 、AC=2OE B 、BC=2OE C 、AD=OE D 、OB=OE 4、如图3，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） A 、34 B 、33 C 、24 D 、8 （图1） （图2） （图3） （图4） 5、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图4），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥， 那么下列说法中错误的是（ ） A 、红花、绿花种植面积一定相等 B 、紫花、橙花种植面积一定相等 C 、红花、蓝花种植面积一定相等 D 、蓝花、黄花种植面积一定相等 6、如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、3 二、填空题（每小题5分，共30分） 7、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 。 8、如图5，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。 9、已知矩形ABCD ，分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形CDF ，连接BE 和BF ，则 BF BE 的值等于 。 10、如图6，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB=a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ． 则DM+CN 的值为 。（用含a 的代数式表示） 11、矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP=DA,直线AP 与直线BC 交于点E ，则CE= 。 12、在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线 CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF= 。 （图5） （图6） 三、解答题（共40分） 13、（10分）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想． A B C D O E A B C D E F 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B A E C B D G H F a N M C D A B
数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论： BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF=AC，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF，故③正确． 作GM⊥AB于M．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC， ∴GH=GM＜DG， ∴S△DGB＞S△GHB， ∵S△ABE=S△BCE， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
2014新人教版七年级数学下册提高培优题 1、已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠5 =∠6.求证： ED 4、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AD ∥BE 。 证明：∵AB ∥CD （已知） ∴∠4=∠ （ ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠ （ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ） 即∠ =∠ ∴∠3=∠ （ ） ∴AD ∥BE （ ） 5、已知△ABC 中，点A （-1，2），B （-3，-2），C （3，-3）①在直角坐标系中，画出△ABC ②求△ABC 的面积 6、在平面直角坐标系中，用线段顺次连接点A （，0），B （0，3），C （3，3）， D （4，0）． （1）这是一个什么图形；（2）求出它的面积；（3）求出它的周长． 7、在平面直角坐标系中描出下列各点A （5，1），B （5，0），C （2，1），D （2，3），并顺次连接，且将所得图形向下平移4个单位，写出对应点A ＇、B ＇、C ＇、D ＇的坐标。 8、已知 ,求 的平方根. 9、已知关于x ，y 的方程组 与 的解相同，求a ，b 的值．
10、A、B两地相距20千米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时相向而行，两小时后在途中相遇．然后甲返回A地，乙继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的速度． 11、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨。已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同。 （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租 车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用。 12、若，求的平方根. 13、已知＋|2x－3y－18|＝0，求x－6y的立方根．14、若不等式组的解是，求不等式的解集。 15、解不等式组并把解集在数轴表示出来.(5分) 16、某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg ，计划用这两种原料生产两种产品50 件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？ （2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 17、李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？ （2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．
八年级上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD=2BF+DE． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得 △ABC≌△ADE； （2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数； （3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得 AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF． 【详解】 （1）∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， AB AD BAC DAE AC AE = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE， ∴∠E=45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA=∠E=45°，
等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E
C A B D
练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD三角形培优训练100题集锦.docx
三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” 。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 . 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . A E F B D C
初一数学下册第一、二章培优题一 一、单选题 1．若a 3(3a n -2a m +4a k )与3a 6-2a 9+4a 4的值永远相等,则m 、n 、k 分别为( ) A ．6、3、 1 B ．3、6、1 C ．2、1、3 D ．2、3、1 2．若，则 的值可以是（ ） A ． B ． C ．15 D ．20 3．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？（ ） A ．小刚 B ．小明 C ．同样大 D ．无法比较 4．（x 2﹣mx+6）（3x ﹣2）的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A ．0 B ． C ．﹣ D ．﹣ 5．图（1）是一个长为,宽为（ ）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把 它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（） A ． B ． C ． D ． 6．如图，AB ∥CD ，若 EM 平分∠BEF ，FM 平分∠EFD ，EN 平分∠AEF ，则与∠BEM 互余的角有( )． A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 7．如图,AB ∥EF ∥CD ,∠ABC=45°,∠CEF=155°,则∠BCE 等于( ) A ．10° B ．15° C ．20° D ．25° 8．点P 为直线l 外一点，点A 、B 、C 为直线l 上的三点，PA=2cm ，PB=3cm ，PC=4cm ，那么点P 到直线l 的距离是（ ） A. 2cm B. 小于2cm C. 不大于2cm D. 大于2cm ，且小于5cm 9．桌面上有木条b 固定，木条a 在桌面上绕点O 旋转n°（0＜n ＜90）后与b 平行，则n=（ ） A ．20 B ．30 C ．70 D ．80 10．如图，直线，将含有 角的三角板 的直角顶点 放在直线 上，若 ， 则的度数为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 11．计算：__________． 12．定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为 =ad －bc .则二阶行列式 的值为___. 13．计算:(0.125)2 018× = ___________. 14．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式), 请根据图写出一个代数恒等式是:__________. 15．一只船从点A 出发沿北偏东60°方向航行到点B ，再以南偏西25°方向返回，则∠ABC ＝_______． 16．某江段江水流经B ,C ,D 三点拐弯后与原来流向相同,如图, 若∠ABC=120° ,∠BCD=80°,则∠EDC=___________°. 17．如图，工厂A 要把处理过的废水引入排水沟PQ ，从工厂A 沿________方向铺设水管用料最省， 这是因为________． 三、解答题 18．已知x -＝3，求 的值． 19．探索题． (1)计算(x+1)(x-1)； (2)计算(x 2+x+1)(x-1)； (3)计算(x 3+x 2+x+1)(x-1)； (4)猜想(x n +x n-1+x n-2+…+x+1)( x -1)等于什么． 20．已知，求 的值. 21．如图，一条直线分别与直线BE 、直线CE 、直线CF 、直线BF 相交于点A ，G ，D ，H 且∠1=∠2，∠B=∠C （1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的；（2）证明：∠A=∠D ． 22．如图，已知：AB //CD ，求证：B +D +BED =360°（至少用三种方法）