缺口试样在弹性状态下的局部应力和局部应变
1. 应力集中和应变集中
一薄板的中心边缘开缺口，并承受拉应力σ作用。缺口部分不能承受外力，这一部分外力要有缺口截面其他部分材料来的承担，因而缺口根部的应力最大。或者说，远离缺口处的截面上的力线的分布是均匀的，而在缺口截面上，由于截面突然缩小，力线密度增加，越靠近缺口根部力线越密，出现所谓应力集中的现象。
应力集中程度以应力集中系数表示之：
max
max l
t n
l n K σσσσ=－缺口截面轴向最大应力－缺口净截面平均轴向应力（名义应力）
K t 和材料性质无关，只决定于缺口几何形状（所以又称为几何应力集中因子或弹性应力集中因子）。例如：
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
关于应力应变状态问题（含组合变形） 2009年10月29日星期四 应力应变状态重点公式： 基本公式：ατασσσσσα2sin 2cos 22 xy y x y x --+ += ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 90xy y x y x +-- += +ο ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= y x xy σστα-- =22tan ()2 2 max 4212 xy y x y x τσσσσσ+-++= ()22 min 42 12 xy y x y x τσσ σσσ+-- += 应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即：点面 对应，转向相同，转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。 广义胡可定律及其公式： (){}z y x x E σσμσε+-=1 G xy xy τγ= (){}x z y y E σσμσε+-=1 G yz yz τγ= (){}y x z z E σσμσε+-= 1 G zx zx τγ= (){}32111 σσμσε+-= E ；(){}13221σσμσε+-=E ；(){}21331σσμσε+-=E 习题：P255 7.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
四种常用强度理论： 最大拉应力理论（第一强度理论）[]σσ≤1 最大伸长线应变理论（第二强度理论）()[]σσσμσ≤+-321 最大切应力理论（第三强度理论）[]σσσ≤-31 畸变能密度理论（第四强度理论） ()()()[] []σσσσσσσ≤-+-+-2132322212 1 01、十、图示为一平面应力状态下的单元体。试证明任意互相垂直截面上的正应力之和为常数。即：ο90++=+αασσσσy x 或min max σσσσ+=+y x 。（7分）（2009吉大） 02、4、已知平面应力状态如图（应力单位MPa ），试计算主应力大小及方位，在图上标出主应力方位。（15分）（2009北工大） 题二.4图 03、5、已知铸铁构件上危险点的应力状态如图3-5所示。若铸铁拉伸许用应力[σ]+= 30MPa ，试校核该点处的强度。（15分）（2008华南理工）
1.局部应力应变分析法、名义应力疲劳设计法、疲劳可靠性设计法、损伤容限设计法 2.磨损、腐蚀、断裂 3.交变应力水平低、脆性断裂、损伤积累过程、断口在宏观和微观上有特征 4.表面应力水平比内部高、表面晶体束缚少，易发生滑移、表面易发生环境介质腐蚀、表面的加工痕迹或划痕会降低零件疲劳强度 5.材料在循环应力、应变作用下，某点或某些点发生局部永久性结构变形，在经过一定循环次数后产生裂纹或发生断裂的过程。 6.外加应力水平和标准试样疲劳寿命之间关系的曲线 7.疲劳寿命无穷大时的中值疲劳强度 8.在各级应力水平下的疲劳寿命分布曲线上可靠度相等的点连成曲线就能得到给定可靠度的一组SN曲线 9.理论应力:局部应力与名义应力的比值Kt=6t/6n 10.在应力集中和终加工相同的情况下，尺寸为d的零件的极限寿命与标准直径试样的极限寿命的比值 11.史密斯图、海夫图、等寿命图（相同寿命时在不同应力下的疲劳极限间关系的线图） 12.线性积累损伤理论： 13.载荷随时间变化的历程应力随时间变化的历程 14.零件的疲劳破损都是从应变集中部位最大局部应变处开始的 裂纹萌生以前，一般都会产生塑性变形 塑性变形是裂纹萌生和扩展的先决条件 零件的疲劳强度和寿命由应变集中部位的最大局部应力应变决定 15参数应力（名义应力）应变（局部应变） 特征应力疲劳应变疲劳 范围104-105-5*106 103-104-105 寿命总寿命裂纹形成寿命 曲线SN曲线古德曼曲线EN曲线，循环应力应变曲线 变形弹性变形应力应变成正比塑性变形较大 16真实应力 17材料在循环载荷作用下的应力应变响应循环应力应变曲线 18循环硬化：应力幅6a为常数，应变幅Ea随着循环次数增加而减少，最后趋于稳定 循环软化：应变幅Ea为常数，应力幅6a随着循环次数增加而逐渐减少 19.漫森四点：应变寿命曲线的弹性线上取2点，塑性线上取2点，通用斜率法 20.雨流法：Y方向为时间，X方向为应力大小 21.在循环加载作用下应力应变响应称为循环应力应变曲线 在循环加载作用下应力应变轨迹线称为应力应变迟滞回线 件加载拉伸到A卸载到O加载压缩到B加载拉伸到C（与A重合）形成的环线 22.损伤容限设计：以断裂力学理论为基础 以无损检测技术和断裂韧性与疲劳裂纹扩展速率的测定技术为手段 以有初始缺陷的寿命估算为中心 以断裂控制为保障 确保零件在使用期内能够安全使用的一种疲劳计算方法 23.应力强度因子：K是度量裂纹端部应力场强弱程度的一个参数 24.断裂韧度：应力强度因子的临界值，发生脆断时的应力强度因子。 25.性能、可靠性（规定条件规定时间完成规定功能）、维修性指标（规定条件时间程序方法恢复到规定状态） 26.广义可靠性=狭义可靠性（不可维修产品的可靠性）+可维修性 27.故障和失效（产品不能完成其规定功能的状态） 28.可靠度（规定条件时间完成规定功能的概率）
各向异性弹性体的应力和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发,用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式,如果对切应变γxy求偏导数，有。 同理,有;对 于上式,如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，Ｃ1４＝C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析,则Ｃmn＝Cｎｍ 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程,推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动ｚ轴转动π 角度,成为新的Ｏx'ｙ'ｚ'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z ｘ'l =-1m1=0n1=0 １ ｙ＇l =-1ｍ2＝0n2=0 ２ z'l3=-1m３=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以σx'=σx，σy'＝σy,σz＇＝σz，τｘ'y' =τxy，τy'z'＝τyz，τz'ｘ' =τｚx εx＇=εx，εｙ' =εy,εz' =εz,γx'y' =γxy，γｙ＇ｚ＇＝γyz,γz'x' ＝γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时,本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C１4=C16=C24＝Ｃ26=C３４=C3６=C54=C５6=０ 这样,对于具有一个弹性对称面的弹性体,其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果对 切应变γxy求偏导数，有。 同理，有；对于上 式，如果对正应变εx求偏导数，有。 因此，C14=C41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C mn=C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l1=-1m1=0n1=0 y'l2=-1m2=0n2=0 z'l3=-1m3=0n3=0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 σx' =σx，σy' =σy，σz' =σz，τx'y' =τxy，τy'z' =τyz，τz'x' =τzx εx' =εx，εy' =εy，εz' =εz，γx'y' =γxy，γy'z' =γyz，γz'x' =γzx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0 这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
1.应力 物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。 在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。 应力仪或者应变仪是来测定物体由于内应力的仪器。一般通过采集应变片的信号，而转化为电信号进行分析和测量。 方法是：将应变片贴在被测定物上，使其随着被测定物的应变一起伸缩，这样里面的金属箔材就随着应变伸长或缩短。很多金属在机械性地伸长或缩短时其电阻会随之变化。应变片就是应用这个原理，通过测量电阻的变化而对应变进行测定。一般应变片的敏感栅使用的是铜铬合金，其电阻变化率为常数，与应变成正比例关系。 通过惠斯通电桥，便可以将这种电阻的比例关系转化为电压。然后不同的仪器，可以将这种电压的变化转化成可以测量的数据。 对于应力仪或者应变仪，关键的指标有：测试精度，采样速度，测试可以支持的通道数，动态范围，支持的应变片型号等。并且，应力仪所配套的软件也至关重要，需要能够实时显示，实时分析，实时记录等各种功能，高端的软件还具有各种信号处理能力。另外，有一些仪器是通过光谱，膜片等原理设计的。 应力的单位：应力的单位是Pa，简称帕（这是为了纪念法国科学家帕斯卡Blaise· pascal而命名的），即牛顿/平方米（N/ ㎡）。 2.应变 物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。应变有正应变（线应变），切应变（角应变）及体应变。正应变公式为 ，式中l是变形的前长度，Δl是其变形后的伸长量。 应变单位：应变是形变量与原来尺寸的比值，用ε表示，即ε=ΔL/L，无量纲，常用百分数表示。 3.弹性模量 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。 材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。又称杨氏模量，弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，是物体弹性变形难易程度的表征，用E表示。定义为理想材料有小
各向异性弹性体的应力 和应变关系 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。 1.完全各向异性弹性体 根据格林公式和广义胡克定律，有 ；对于上式，如果 对切应变xy 求偏导数，有 。 同理，有 ；对于上 式，如果对正应变x 求偏导数，有 。 因此，C 14=C 41。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则 C mn =C nm 上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为 2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体? 如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。 若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。 以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。 将x轴绕动 z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。 新旧坐标系之间的关系为 x y z x'l 1=-1 m 1 =0 n 1 =0 y'l 2=-1 m 2 =0 n 2 =0 z'l 3=-1 m 3 =0 n 3 =0 根据弹性对称性质。关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以 x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx 根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。 根据完全各向异性弹性体的本构方程，将 代入广义胡克定理，可得 将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有 C 14=C 16 =C 24 =C 26 =C 34 =C 36 =C 54 =C 56 =0
第八章 弹性体的应力和应变 习题解答 8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D 之间的应力。 、 、 。 解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面 、 、 ，对整体 取为隔离体 为拉应力 取为隔离体 为压应力
取为隔 离体 为拉应力 8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。若CD 杆内的应力不得超过 ，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。 解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。 由 得 8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横 截面等于且杨氏模量为 的钢杆，铝杆内允许最大应力为 ，钢杆内允许最大应力为。不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解： 钢杆能承受的最大拉力： 铝杆能承受的最大拉力： 杆下端能承担的最大负荷为。 由胡克定律： 8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。最大负载极限5.5KN。每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为 。 解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)
当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律： 因为：， 所以钢索拉力为： 该力与绳索内力相等即： 8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。求证杆体积的相对改变为。表示原体积，V表示变形后的体积。 （2）上式是否适用于压缩？ （3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。 （1 ）、解：设杆原长，经过拉伸后变为 两者之间关系分别为： 由纵向应变公式：，
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
第八章 应力、应变状态分析 8-2 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力。 题8-2图 (a)解：由题图所示应力状态可知， 45MPa 20MPa 10MPa 30=-===αηζζx y x ，，， 将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得 MPa 0.10)MPa 90sin 2 1030( MPa 0.40)MPa 90sin 202 10 30( =-==++= ααηζ (b)解：由题图所示应力状态可知， 5.22MPa 20MPa 10MPa 30===-=αηζζx y x ，，， 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 )MPa cos4520sin452 1030( MPa 3.38)MPa sin4520cos452 10 3021030( =+--=-=---++-= ααηζ (c)解：由题图所示应力状态可知， 60MPa 15MPa 20MPa 10-==-==αηζζx y x ，，， 由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为 MPa 5.20)]MPa 120cos(15)120sin(2 2010[ MPa 490.0)]MPa 120sin(15)120cos(2 20 1022010[ -=-+-+==---++-= ααηζ 8-3 试用图解法（应力圆）解题8-1。 解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3 由图a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 MPa 0.15MPa 0.104545=== ηηζζαα，＝ 由图b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 MPa 3.7MPa 3.473030-===-- ηηζζαα，＝ 8-6 图示双向拉伸应力状态，应力σσσ ==y x 。试证明任意斜截面上的正应力均等 于σ，而切应力则为零。 题8-6图 证明：由题设条件可知， 0===x y x ηζζζ， 将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有 02sin 2 02cos 2 2=+-==--++= αζ ζηζαζ ζζζζαα 由于式中α为任意值，故原命题得证。 8-7 已知某点A 处截面AB 与AC 的应力如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法 求主应力的大小及所在截面的方位。
369 第八章弹性体的应力和应变 8.1.1 一钢杆的横截面积为42 5.010m -?，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和 C 、 D 之间的应力.4 1F 610N =?， 42F 810N =?，43F 510N =? ，44F 310N =?。 [解 答] 建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处， BC 间G 处，CD 间H 处. 42 123s s s 5.010m -===? 以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力 1 2 3 4 F=F F F F +++∑ X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程 81 11 F ?1.210 n s σ=- =? 由于1σ与X 轴同向，82 11.210(N /m )σ∴=?为拉应力。 在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得： 8220.410(N /m )σ∴=-?为压应力 最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得： 8230.610(N /m )σ∴=?为拉应力。 8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过 7max 1610Pa σ=?.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）. [解 答] 以杆AB 为隔离体。受力F,T ，建立坐标系 A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑，在z 轴方向投影方程为： 1.6F 1.0T 0-= 得到F=0.39T 对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=?故2 max max T r σπ= y 1.0m 0.6m
天然气管道穿孔局部应力应变分析 发表时间：2020-03-24T09:49:13.023Z 来源：《文化时代》2020年1期作者：张益 [导读] 本文主要以X70天然气管道为研究对象，针对穿孔管道的局部力学特性进行分析，通过模拟针对穿孔管道的局部等效应力和塑性应变分布状况进行分析。 中国石油天然气管道公司中原输油气分公司山东省德州市 253000 摘要：本文主要以X70天然气管道为研究对象，针对穿孔管道的局部力学特性进行分析，通过模拟针对穿孔管道的局部等效应力和塑性应变分布状况进行分析。 关键词：天然气管道；穿孔；局部应力；应变 引言 天然气是一种高效的清洁能源，目前在生产生活中的应用非常广泛，而管道运输是天然气输送的主要方式，这种推广方式具有安全、高效的特征。天然气管道在长期运行过程中不可避免的会受到腐蚀作用影响，腐蚀深度不断增加会最终导致天然气管道出现穿孔现象，进而引发天然气泄漏，造成不可挽回的后果。 1 天然气管道穿孔模型 1.1穿孔实验模型 天然气管道在出现腐蚀现象后，随着时间的不断推移，发生腐蚀的位置会逐渐扩散，最终会形成穿孔。本次实验中选择的天然气穿孔管道内壁直径达到20mm，外壁直径为6mm[1]。 1.2穿孔有限元模型 以上述天然气穿孔管道模型为基础，充分利用Solid185单元来建立起从内向外以及从外向内两种穿孔管道模型，将管道利用自由网格进行划分，并针对发生穿孔位置附近的管道进行网格加密，并在此基础上对网格质量进行多次性的改善。 1.3材料模型 本次研究中主要选取了X70管线钢天然气管道为模型，这种天然气管道材质本身的弹性模量达到了210Gpa，柏松比达到0.3。该管材具备了一定的连续屈服特征，而且没有明显的屈服平台，针对建立模型进行多线推动强化，以此来描述管道本身的弹塑性[2]。 2 内压对最大应力-应变的影响最大 2.1 应力-应变随内压变化分析 为了能够针对天然气管道穿孔在不同的压力状况下局部位置的应力以及应变分布状况进行全面分析。针对天然气管道内壁施加了一个压力为25.0MPa的内压，与此同时设置了50个子部，也就是说，每一个子部增加表示内压升高了0.5MPa，针对每一个子部的最终计算结果进行详细统计之后就能够最终得出不同压力状况下天然气管道的应力-应变分布状况。在针对天然气管道穿孔局部最大等效应力、塑性应变变化趋势进行分析，为了能够对其变化状况进行更加清晰的展示，以16.0MPa为基点将所有应变数据划分成两组，并分别绘制曲线。 针对最终绘制出的曲线进行分析后可以知道，在最大等效应力、塑性应变变化方面内外穿孔相似度非常高，当内压上升到5.0MPa的情况下，最大应力增长趋势趋于缓慢。而与穿孔位置距离较远的位置开始出现塑性应变时，内压达到了16.0MPa，而此时，天然气管道发生穿孔的位置，最大应力、应变增长速度开始明显变大。 之所以出现这种现象是因为只有穿孔位置周围的天然气管道进入了塑性区，其他部分天然气管道管壁仍然处在弹性阶段，而天然气管道的弹性性能对塑性区塑性流动会产生一定的限制作用，导致塑性区实际产生的应变并不明显，而随着整个管道大部分位置进入塑性区之后，穿孔位置附近实际产生的塑性流动受到了限制作用也逐渐减小，在此基础上使得应变出现了明显增加现象。 随着内压的进一步增加，达到19.5MPa的时候，穿孔位置的最大应力达到了极限强度，因此开始逐渐趋于稳定。内压进一步增长到20.0MPa的情况下，内外穿孔位置附近最大塑性硬件呈现出指数倍的增长，在这种情况下天然气管道非常容易出现开裂现象。而管道穿孔之后，内压与正常运行压力相比较要小很多，因此要想达到20.0MPa比较困难，因此常温状态下通常不会出现开裂问题。 2.2 应力应变云图分析 在针对不同压力条件下穿孔局部应力应变云图技术分析可以知道，在穿孔位置的外壁边缘出现了应力-应变最大值，而且在天然气管道的径向方向上分布着较大的应力-应变。 当天然气管道内压达到16.0MPa的情况下，整个天然气管壁开始出现屈服现象，当内压进一步缓慢增加的时候，天然气管道关键部位最大应力应变出现了快速的增加现象，穿孔位置周边较大的应变分布范围也在迅速扩大；当内压达到19.0MPa的情况下，应变值超过0.026的分布范围外边缘与穿孔位置的距离已经非常远；当内压进一步增加，达到20.0MPa的时候，天然气管道的绝大部分管壁的应变值已经超过了0.026，沿着厚度方向天然气管道应变值分布在0.077~0.231和范围内[3]，由此也可以知道，天然气管道的穿孔开裂首先会从关键点开始，对沿着管壁的厚度方向逐渐形成贯穿性裂纹。 3 管道各参数对最大附近应变影响分析 3.1 穿孔尺寸影响 当天然气内压在20.0MPa情况下，分析最大应变于穿孔半径的关系趋势可以发现，随着穿孔孔径的逐渐增加，最大应变值在逐渐减小，当穿孔孔径超过一定数值的时候，最大塑性应变波动呈现出复杂化。这主要是因为，当穿孔半径相对比较小的时候，仅仅在穿孔的外壁边缘位置出现最大塑性应变，而当其超过某一个数值时，发生最大塑性应变的位置也会逐渐向着中间移动，这样就导致应变值的变化更加复杂。 3.2 管道壁厚对最大塑性硬件影响 天然气管道的壁厚对管道本身承载能力的影响非常大，因此天然气管道穿孔局部应力-应变分布状况也必然会受到管道壁厚的巨大影响。针对内压为20.0MPa情况下不同管道壁厚下最大应变与和穿孔距离较远位置的应变变化趋势分析可以知道。在壁厚不断增加的情况下，穿孔局部最大促进应变会出现明显下降，而且与距离穿孔位置较远位置的管壁应变变化状况相比较，穿孔局部实际发生的最大促进应
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
§3－3机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后 确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现 和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设： 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得： ???????????????????????? (3－2) 这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用 于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]： 段：????????? 段： 段：???????? 段： 根据内力计算应力，则得： 段：????????? 段：
段： 最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为 危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴 向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下， 长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ??????????????????? （3－3） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压） 刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无 量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（3－3）式可改写为：????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则 横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹 性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。
岩石力学－第三讲：弹性力学基础（一、应力应变分析） 教学备忘录
大多数物质在受到外力时发生变形，在外力撤除后又能恢复到原来的形状。我们把物质的这种性质称之为弹性。弹性是岩石力学的基础，外力和相应的变形间呈线性关系是最简单的情况。当在外力的作用下，物质发生的变形足够小，那么这种关系几乎总是线性的。因此，线弹性是所有弹性问题的基础。1.1介绍了固体物质的线弹性特性。 在实际情况下，线弹性的有效区域经常被超越。1.1中介绍了一些岩石非线性行为的一般特征。在石油工程岩石力学中，更多的兴趣集中在那些具有有效孔隙和渗透性的岩石上。固体材料的弹性理论不能完全描述这种介质，因此，应该引入多孔弹性的概念。岩石的弹性反应也可能是与时间相关的，因此，介质的变形也是随着时间而变化的，甚至在外力不变的情况下也是这样。1.3节和1.4节分别介绍了多孔物质的弹性特性和随时间变化效应。 1.1 线性弹性理论 弹性理论建立在应力和应变这两个概念之上，在1.1.1和1.1.2节中对应力和应变分别做了介绍。1.1.3节和1.1.4节分别介绍了各向同性介质和各向异性介质应力和应变之间的线性本构方程 1.1.1 应力 考虑图1.1所示（见多媒体）的情况，一个重物加在柱子的顶部。由于重物的重量，一个作用力施加在柱子上，同时柱子会产生一个大小相等、方向相反的力。而柱子本身支撑在地面上，因此，施加在柱子顶部的作用力必然会通过柱子的任意横截面。 a)处横截面的区域如A 所示。如果施加在横截面上的力为F ，则该截面处的应力σ定义为： A F = σ （1.1） 应力经常用Pa(=Pascal=N/m 2 )、 bar 、atmosphere 、 psi(=lb/sq.inch.)或 dynes/cm 2 等单位来表示。在理论计算中，国际单位Pa 是最合适的单位，而其它单位大多应用于工程计算。 应力符号σ不仅表示受力面的物理性质，而且已经依照惯例进行了定义。在岩石力学中，符号惯例规定：压应力为正。历史原因在于：岩石力学涉及到的应力几乎都是压应力。当符号惯例被一直使用时并没有引发问题，但是，记住一些其它科学，包括弹性力学使用相反的符号惯例是重要的。 正如公式（1.1）所表明的那样，应力被一个力和一个截面（或通常来说是一个平面）所定义，力是被施加的。看看b)处的截面，施加在截面上的力等于施加在截面a)处的力（忽略柱子本身的重量）。然而，b)处横截面的区域A ′明显小于A 。因此，b)处的应力σ′＝F/A ′大于a)处的应力，即在受力试件中，应力随位置变化而变化。我们可以将a)处截面分为无数个小单元ΔA ，总力F 的一个无限小单元力ΔF 施加在这个小单元ΔA 上（图1.2）。不同的小单元，力ΔF 也不同。设想一小单元i ，其包含一点P 。当其面积Δai 趋近于零时，点P 处的应力被定义为Δfi/Δai 的极限，即： i i A A F i ??=→?lim σ （1.2）
第八章 弹性体的应力和应变 本章引言：前面学习了质点力学、刚体力学→实际情况两类 物体的大小形变不能忽略 举例 物理现象本身是形变引起 声现象 →研究物体在力的作用下的形变规律必不可少 →连续体 的形状体积的变化均能消失 充满空间的连续媒质 弹性体：能发生弹性形变的物体 均匀弹性体 均匀、各向同性的弹性体 模型意义 弹性体的四种形变 拉伸、压缩 剪切 两种基本形式 扭转 弯曲 可视为前两种形变组成 §8.1 弹性体的拉伸和压缩 研究连续体力学的方法：不再视为一个“离散的质点，而是取‘质元’”→dv dm ρ= 力不是作用在一个个离散质点上，而是看成作用在质元的表面上→引入“应力”概念 一、外力、内力、应力 1．外力：外界作用在弹性体上的力，作用：使弹性体发生形变→导致弹性恢复力 2．内力：通过弹性体内部一假想平面，弹性体两部分间的相互作用 特例：若两端为拉伸力，内力表现为相互拉力（见P 240 图（8.1）a ） 若两端为压缩力，内力表现为压缩力（见P 240 图（8.1）b ） 3．应力：通过单位面积物体中各部分之间相互作用内力→被动力→大小方向取决于外力，一般而言：取S ?假想截面，将物体分为两部分1，2 两部分间相互作用为f ?及f ?-则： ds f d s f S =??=→?0lim σ —→ 正应力：ds dF n =⊥σ或s F n I =σ?????<>⊥⊥⊥ ⊥反向压缩应力 与方向一致拉伸应力与n n ?,0?,0 σσσσ 本教材：σσ→⊥ 剪切应力σ∥ 即σ的切向分量 本教材 σ∥ →τ 由于S ?取向任意f ?一般不与s ?垂直，可以分解：
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。 一应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况 图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点， J ?为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中二=E ；, 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段， CDE 为强化阶段，应变 强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载， 本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量 J 、y 、z 、?邓* zx 只有一个不为零, 六个应变分量 1-
例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' II OA其中 00'为塑性应变；p，DG为弹性应变；e，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，0D为后继弹性阶段，Cs'.为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，、二s . - ；「s_，而在强化阶段DOD'，匚_，称为Bauschinger效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示：