二.幂的乘方与积的乘方知识点1. 幂的乘方
1.幂的乘方的运算性质:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
公式(a m)n=a mn(m,n都是正整数)
注意:底数a可以是单项式或多项式
指数相乘
示例(x2)3=x2×3=x6
底数不变
例题(10)
解析★103×5=1015
计算-x)5]4 -y)3]6m-1)2 =(-x)20=(x-y)18=x2(m-1)
=x20=x2m-2
知识点2. 幂的乘方的运算性质的逆用
1.幂的乘方的运算性质的逆用:a mn=(a m)n=(a n)m(m,n都是正整数)例题已知a n=3,a m=2,求a2n+3m
解析★因为a n=3,a m=2
所以a2n+3m=a2n·a3m=(a n)2·(a m)3=32×23=9×8=72
2.计算题:乘方与同底数幂的乘法的综合运算(易错).
○1(-X3)2·(-X2)3 ○2(2×102)3×(-103)4
=x6·(-x6) =8×106×1012
=-x12=8×1018
○3[(a2)3+(2a3)2]2○4(-3a3)2·a3+(-a2) ·a7-(5a3)3 =(a6+4a6)2=(-3)2·(a3)2·a3+(-a)9-53(a3)3 =(5a6)2=9a6·a3-a9-125a9
=25a12=9a9-a9-125a9
=-117a9
知识点3. 积的乘方
1. 积的乘方的意义:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如(ab)3.(ab)n 等.
2. 积的乘方的运算性质:积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
3. 公式中的a,b 可以是单项式,也可以是多项式.
n
4. 示例(2x)2=22×x 2=4x 2
ab a n b n
◎积的积方的运算性质也适用于三个或三个以上的因式的积的乘方，即 （abc ）n =a n ·b n ·c n (n 是正整数)
例题 (-3x)3
解析★(-3x)3＝(-3)3·x 3＝-273
5. 计算:
-xy 2)4 =(-1)4·x 4(y 2)4=x 4y 8
2)n =3n ·(a 2)n =3n a 2n
3)2=42×(103)2=16×106=1.6×107
知识点4 积的乘方的运算性质的逆用
1.积的乘方的运算性质的逆用:a n b n =(ab)n
◎由于积的乘方的运算性质可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方,所以逆用时也可以进行推广,即a n ·b n ·c n =(abc)n (n 是正整数)
示例 ○1(-9)3×(-2 3)6×(1?13)3 ○2 (-0.2)2020×(-5)2021
解析★(-9)3×(- 23)6×(1- 13)3 =(-0.2)2020×(-5)2020×(-5) =(-9)3×[(- 23)2]3×(23)3 =[(-0.2) ×(-5)]2020×(-5) =-93×(49)3×(23)3 =12020×(-5)
=-(9×49×22)3 =-5
= - 8333
=-
51227
题型练习解析
题型1 幂的乘方与积的乘方的运算性质的逆用★★★
x m·x2m=3 求X9m的值
因为x m·x2m=3
所以X3m=3
所以X9m=(X3m)3=33=27
题型2 逆用积的乘方的运算性质进行简便运算★★★
2018×41010-(0.125)2020×82021 (解题秘诀:逆用积的乘方公式a n b n=(ab)n求解)
=(-0.5)2018×41009×4-(0.125)2020×82020×8
=(-0.5)2018×(22)1009×4-(-0.125)2020×82020×8
=(-05)2018×22018×4-(-0.125)2020×82020×8
=(-0.5×2)2018×4-(0.125×8)2020×8
=1×4-1×8
=-4
题型3 综合利用幂的乘方和积的乘方的运算性质求代数式的值★★★★1已知n为正整数,且X2n=3,求(3X3n)2-4(X2)2n的值(解题秘诀:先运用积的乘方和幂的乘方的
运算性质将待求式整理成含有已知条件的式子,然后整体代入求值)
(3X3n)2-4(X2)2n
=9X6n-4X4n→运用积的乘方和幂的乘方的运算性质
=9(X2n)3-4(X2n)2 →逆用幂的乘方的运算性质
=9×33-4×32→整体代入,因为:已知X2n=3
=243-36
=207
题型4 幂的乘方和积的乘方在实际问题中的应用★★★★
1000个棱长为2×103mm的正方体油箱,求这些油箱的容积共是多少(厚度忽略不计)(解释秘诀:利用正方体的体积公式和幂的乘方与积的乘方的运算性质即可求出1000个油箱的容积)
解:正方体的体积V=a·a·a=a3
1000×(2×103)3=103×23×109=8×1012(mm3)
答:这些油箱的容积共是8×1012(mm3)
题型5 利用幂的乘方的性质比较大小
◆底数比较法 ★★★★
3555,4444,5333的大小(解题秘诀:化成同指数幂,比较底数大小即可)
3555=(35)111=243111;4444=(44)111=256111;5333=(53)111=125111 →化为同指数幂 因为 125<243<256 →比较底数的大小 所以 125111<243111<256111
结论 即5333<3555<4444
a 3=2,
b 5=3,试比较a.b 的大小.(解题秘诀:先将a 3和b 5分别乘方,化成同指数幂然后比较底数的大小)
(a 3)5=a 15=25
(b 5)3=b 15=33因为32>27,所以a 15>b 15-
所以a>b
◆指数比较法 ★★★★
a=166, b=89,c=413 ,试比较a,b,c 的大小(解题秘诀
:将这三个数化成同底数幂,比较指数大小即可)
a=166=(24)6=224 b=89=(23)9=227 c=413=(22)13=226
因为24<26<27
所以224<226<227
即a ◆放缩比较法 ★★★★★ 245与511的大小(解题秘诀:底数24接近25.采用放缩法比较大小) 因为245<255 =(52)5=510<511 所以245<511 综合测试(含答案) (B) A.(-2)3=8 B.(a2)3=a6 C.a2·a3=a6 D.4x2-2x=2x ( A ) A.(ab)2=a2b2 B.a2+a2=a4 C.(a2)3=a5 D.a2·a3=a6 (-2a)3的结果是( A ) A.-8a3 B.-6a3 C.6a3 D.8a3 (C ) A.(-x2)3=-x5 B.x2+x3=x5 C.x3·x4=x7 D.2x3-x3=1 : ○1x5+x5=x10○2x5-x4=x ○3x5·x5=x10○4[(-m3)2]5=-m30○5(x5)2=x25○6(-x4)5=-x20其中计算结果正确的有 2 个 X2n=3,则(3X3n)2=32·(X3n)2=9·(x2n)3=9×33=9×27=243 2x+5y-3=0,则4x·32y的值为8 . 因为2x+5y-3=0.所以2x+5y=3 4x·32y =22x·25y=22x+5y=23=8 8.计算 (1)(x3)4·x2(2)2(x2)n-(x n)2(3)a3·a4·a+(a2)4+2(a4)2 =x12·x2=2x2n-x2n=a8+a8+2a8 =x12+2 =x2n=4a8 =x14 (4)x3y2 ·(-xy3)2(5)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7 =x3y2·x2y6=2x6·x3-27x9+25x2·x7 =x3+2y2+6=2x9-27x9+25x9 =x5y8=0 (6)(x3)4·(-x2)3+2[(-x)2]4·(-x5)2 =x12·(-x6)+2x8·x10 =-x18+2x18 =x18
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