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浅谈初中数学中的“分类思想”
作者：沈小英
来源：《新课程·教育学术》2010年第08期
《数学新课程标准》中明确要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程,不宜集中体现”,这就要求我们教师在教学中应注重对学生的观察、操作、分析、思考能力的培养,更应不断地渗透数学思想方法,并将此作为教学的核心,为学生以后的学习打下坚实的基础,从而让学生终生受益。
初中数学中体现出来的数学思想有很多,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和数
学建模思想等。其中,分类讨论思想是初中数学中体现比较多的一种既重要又应用广泛的数学
思想。
分类是根据教学对象的本质属性的异同将其划分为不同种类,即根据教学对象的共同性与
差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段,在教学中如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有系统性和条理性。
初中数学教材在不少问题的处理上都是采用分类讨论的思想来加以叙述的。例如,代数中,实数分为有理数和无理数;整式分为单项式和多项式;方程分为整式方程和分式方程,整式方程又分为一元一次方程、一元二次方程等;函数分为一次函数、二次函数和反比例函数;投影分为平行投影与中心投影。几何中,角分为平角、周角、直角、锐角、钝角;三角形按角分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形,按边分为等边三角形、等腰三角形(有两边相等)和不等边三角形(三边都不等);点与圆的位置关系分为点在圆外、点在圆上、点在圆内;直线与圆的位置关系分
为直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交;圆与圆的位置关系也分为五种等等,都渗透着分类讨论的数学思想,我们在平时的练习中也随处可见。
例1.若m-n=n-m,且m=4,n=3,则(m+n)2= 。
分析:绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念。
(1)因为m-n=n-m,所以当m-n为负数或零时成立,所以m-n≤0
(2)m=4,n=3,以m=±4,n=±3
得正确答案:(1)m=-4,n=3 (2)m=-4,n=-3
∴(m+n)2=1或49
例2.已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm,这两个圆的圆心距是。