重庆市2010年初中毕业暨高中招生考试
数 学 试 卷
（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(a
b a
c a b --，对称轴公式为a b
x 2-=．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．3的倒数是（ ） A ．
31 B ．3
1
- C ．3 D ．-3 2．计算232x x ?的结果是（ ）
A ．x 2
B ．52x
C ．62x
D ．5x
3．不等式 的解集为（ ）
A ．3>x
B ．x ≤4
C ．43< D ．3＜x ≤4 4．如图，点B 是△ADC 的边AD 的延长线上一点， AC DE //．若?=∠50C ，?=∠60BDE ，则CDB ∠的度数等于（ ） A ．70o B ．100o C ．110o D ．120o 5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A ．对全国中学生心理健康现状的调查 B ．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查 C ．对我市市民实施低碳生活情况的调查 D ．对我国首架大型民用直升机各零部件的检查 6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若?=∠70ABC ，则AOC ∠的度数等于（ ） A ．140o B ．130o C ．120o D ．110o 7．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是（ ） 4题图 B 6题图 B 8．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①~图④中相同的是（ ） A ．图① B ．图② C ．图③ D ．图④ 9．小华的爷爷每天坚持体育锻炼．某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ） 10．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ．若AE=AP=1，PB =5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB = 61+；⑤S 正方形ABCD =64+． 其中正确结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上． 11．上海世界博览会自2010年5月1日开幕以来，截止到5月18日，累计参观人数约为324万人，将324万用科学计数法表示为 万． 12．“情系玉树 大爱无疆”．在为青海玉树的捐款活动中，某小组7位同学的捐款数额（元）分别是：5，20，5，50，10，5，10．则这组数据的中位数是 ． 13．已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2︰3，则△ABC 与△DEF 的周长比为 ． 7题图 D. C. B. A. ?????? 图④ 图③ 图② 图① A ． B ． C ． D ． 10题图 D C E 14． 已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是 ． 15．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点Ｐ的横坐标，将该数的平方作为点Ｐ的纵坐标，则点P 落在抛物线522++-=x x y 与x 轴所围成的区域内（不含边界）的概率是 ． 16．含有同种果蔬但浓度不同的Ａ，Ｂ两种饮料，Ａ种饮料重40千克，Ｂ种饮料重60千克.现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同重量是 千克． 三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 17．计算：102010)5 1 ()5(97)1(-+-?+---π． 18．解方程：.11 1=+-x x x 19．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的2 3 倍．（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论） 已知： 求作： 20．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3.点D 为BC 边上一点，且BD=2AD ，∠ADC=60°.求△ABC 的周长．（结果保留根号） O A 19题图 B B C 20题图 A D 四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21．先化简，再求值：x x x x x 24)44(2 22+-÷-+，其中1-=x ． 22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （-2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO ，若S △AOB =4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式； （2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积． 23．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图： （1）求该班团员在这个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整； （2）如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学．现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“传箴言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 条数 所发箴言条数扇形统计图 4条 5条 1条 2条3条 25%23题图 24．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90o．点Ｅ是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF=AD ，MF=MA ． （1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB ； （2）求证：∠MPB=90°-2 1∠FCM ． 五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25．今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表： 进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克，且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++- =2 20 1． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.14 1 +=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为25 1 +-=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？ （3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值． （参考数据：1369372 =，1444382 =，152139 2 =，1600402 =，1681412 =） 26．已知：如图（1），在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在 24题图 C M x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC=AC ，∠C =120°．现有两动点Ｐ，Ｑ分别从Ａ，Ｏ两点同时出发，点Ｑ以每秒1个单位的速度沿ＯＣ向点Ｃ运动，点Ｐ以每秒3个单位的速度沿A→O→B 运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止． （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN =60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转(0°＜旋转角＜60°)，使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化? 重庆市2010年初中毕业暨高中招生考试 数学试题参考答案 一、选择题 1—5 ABDCD 6—10 ABBCD 二、填空题 11． 2 1024 .3? 12．10 13. 2：3 14 相离 15 5 3 16.24 三、解答题 17．解：原式=1-7+3×1+5 =2. 18． 解：方程两边同乘)1(-x x ，得)1(12 -=-+x x x x ． 整理，得12=x ． 解得2 1= x ． 经检验，21=x 是原方程的解，所以原方程的解是2 1 =x ． 19． 已知：∠AOB 求作：∠AOC=2 3 ∠AOB 作图如下： 20．解：在Rt △ADC 中， ∴BD=2AD=4. ∵tan ∠ADC= DC AC ， ∴BC=BD+DC=5. 在Rt △ABC 中，7222=+= BC AC AB . ∴△ABC 的周长=3572++=++AC BC AB . 四 、解答题： 21．解：原式=)2()2)(2(442+-+÷ -+x x x x x x x =) 2)(2() 2()2(2-++? -x x x x x x =2-x ． 当1-=x 时，原式=-1-2=-3. 22．解:(1)由A(-2，0)，得OA=2. ∵点B(2，n)在第一象限，S △AOB =4. ∴.42 1 =?n OA ∴4=n ∴点B 的坐标是（2，4）． 设该反比例函数的解析式为)0(≠= a x a y . 19题答图 C D B A O 将点B 的坐标代入，得,2 4a =∴8=a . ∴反比例函数的解析式为：x y 8 =. 设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y . 将点A ，B 的坐标分别代入，得?? ?=+=+-. 42, 02b k b k 解得? ??==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为.2+=x y （2）在2+=x y 中，令,0=x 得.2=y ∴点C 的坐标是（0，2）.∴OC=2 ∴S △OCB = .2222 1 21=??=?B x OC 23．解： (1)该班团员人数为：3÷25%=12（人）. 发4条箴言的人数为：12-2-2-3-1=4（人） . 该班团员所发箴言的平均条数为： 312 5 144332212=?+?+?+?+?（条）. 补图如下： (2)画树状图如下： （或列表： 条数 由上得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为.12 7 =P 24．证明：（1）连接MD. ∵点E 是DC 的中点，ME ⊥DC ，∴MD=MC. 又∵AD=CF ，MF=MA ，∴△AMD ≌△FMC. ∴∠MAD=∠MFC=120°. ∵AD ∥BC ，∠ABC=90°. ∴∠BAD=90°，∴∠MAB=30°. 在Rt △AMB 中，∠MAB=30°， ∴BM= 2 1 AM ，即AM=2BM. （2）∵△AMD ≌△FMC ，∴∠ADM=∠FCM. ∵AD ∥BC ，∴∠ADM=∠CMD. ∴∠CMD=∠FCM. ∵MD=MC ，ME ⊥DC ，∴∠DME=∠CME=2 1 ∠CMD. ∴∠CME= 2 1∠FCM. 在Rt △MBP 中，∠MPB=90°-∠CME =90°-2 1∠FCM. 五、解答题： 25．解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为8.12.0+=x y . 把8.2,1==y x 和4.2,2==y x 分别代入c bx x y ++- =2 20 1，得 ?????=++?-=++-4 .22420 1,8.2201 c b c b 解得?? ?=-=.1.3, 25.0c b ∴五月份y 与x 满足的函数关系式为.1.325.005.02 +--=x x y （2）设4月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为1W 元，5月份第x 周销售此种蔬菜一千克的利润为2W 元. .6.005.0)2.14 1 ()8.12.0(1+-=+-+=x x x W ∵-0.05＜0，∴1W 随x 的增大而减小. ∴当1=x 时，1W 最大=-0.05+0.6=0.55. 2W ==+--+--)25 1 ()1.325.005.0(2x x x .1.105.005.02+--x x ∵对称轴为,5.0) 05.0(205 .0-=-?-= x 且-0.05＜0， ∴x ＞-0.5时，y 随x 的增大而减小. ∴当x=1时，2W 最大=1 所以4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元. （3）由题意知：()[]().1004.2%8.014.22%1100?=+?+-a a 整理，得0250232 =-+a a .解得2 1529 23±-= a . ∵1521392=，1600402 =，而1529更接近1521，∴391529≈. ∴31-≈a （舍去）或8≈a . 答：a 的整数值为8. 26．解：(1) 过点C 作CD ⊥OA 于点D.(如图①) ∵OC=AC ，∠ACO=120°， ∴∠AOC=∠OAC=30°. ∵OC=AC ， CD ⊥OA ， ∴OD=DA=1. 在Rt △ODC 中， （i ）当3 2 0< t AP OA OP 32-=-=. 过点Q 作QE ⊥OA 于点E. (如图①) 在Rt △OEQ 中，∵∠AOC=30°， ∴2 21t OQ QE == . ∴S △OPQ =t t t t EQ OP 21432)32(21212+-=?-=?. 即.2 1 432t t S +-= OC=OD cos ∠AOC =1cos30?=23 3 . （ii ）当 3 3 232≤ ∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，∴∠POQ=90°. ∴S △OPQ =.2 3 )23(21212t t t t OP OQ -=-=? 即t t S -= 2 2 3. 故当320< 1 432+-=， 当 3 3 232≤ 或)0,332(或)0,32(或)3 3 2,34(. （3）△BMN 的周长不发生变化. 延长BA 至点F ，使AF=OM ，连接CF. (如图③) ∵∠MOC=60°=∠FAC=90°，OC=AC ， ∴△MOC ≌△FAC. ∴MC=CF ，∠MCO=∠FCA. ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA =∠MCO+∠NCA =∠OCA-∠MCN=60°. ∴∠FCN=∠MCN. 又∵MC=CF ，CN=CN ， ∴△MCN ≌△FCN.∴MN=NF. ∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4. ∴△BMN 的周长不变，其周长为4.
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