绝密★启用前 试卷类型：A
2015年广东省深圳市高考数学二模理科试卷
2015．4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为Sh V =；
如果随机变量X 服从正态分布),(2
σμN ，则,()()d b
a
P a X b x x μσφ<≤=
?
，
其中22
()2,()x x μσμσφ--=，),(∞+-∞∈x ，μ为均值，σ为标准差．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是
符合题目要求的．
1．设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
2．平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =-b ，若a // b ，则x 等于 （ ）
A ．4
B ．4-
C ．1-
D ．2 3．下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是 （ ）
A ．2
x y = B ．x
y 2= C ．x y 2log = D ．x y 2sin =
4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） （ ） A ．π8+ B ．π48+
C ．π16+
D ．π416+
图1
1正视图 侧视图
俯视图
5．若实数x ，y 满足约束条件13
11
x y x y ≤+≤??
-≤-≤?,则2x y +的取值范围是 （ ）
A ．[0,6]
B ．[1,6]
C ．[1,5]
D ．[0,5]
6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入
3a ，2a ，1a ，0a 的值依次是1，3-，3，1-，
则输出v 的值为 （ ） A ．2- B ．2
C ．8-
D ．8
7．从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个， 组成五位数，则不同的五位数共有 （ ）
A ．50个
B ．60个
C ．100个
D ．120个
8．设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义}),(|)1,1{(*X y x x y X ∈--=．若X X =*，则称点集X “关于运算*对称”．
给定点集}1|),{(22=+=y x y x A ，}1|),{(-==x y y x B ，}1|||1||),{(=+-=y x y x C ， 其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．
10．已知随机变量X 服从正态分布),1(2σN ，若(01)0.3P X <≤=，
则=≥)2(X P ．
11．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线2
4y x =的准线围成的三角形面积为
1，则此双曲线的离心率等于 ．
12．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．
图2
13．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2
ab c >”是“π3
C <
” 的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s y s =+??=-?（s 为参数）与曲线C ：2
3x t y t
=+??=?（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=?，
6BC =，则⊙O 的半径为 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设函数)2cos()(?+=x x f （其中π0<
1
)0(-=f ． （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若角θ满足)()3
πsin(θθf =+，且π0<≤θ，求角θ的值．
图3
A
深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．
（1）证明：OB OA =；
（2）证明：平面⊥PAB 平面POC ； （3）若PA =，OP =，求二面角B OA P --的余弦值．
O
图
4
B
C
P
M
?
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-?-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列． （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）求数列2n n a ??
?
???
的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a …12<++n
a n ．
20．（本小题满分14分）
已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，
122
1
k k m =-
(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）是否存在同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；
②过点N
；③直径AB =．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．
已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1
()(=+x
f x f ， 其中b a ,为常数．
（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；
（2）已知10< (2 >a f ； （3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围． 2015年广东省深圳市高考数学二模理科试卷 答案及评分标准 一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题 两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．[]2,3- 10． 0.2 11． 12．66 13． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14． 15．（几何证明选讲选做题）三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)f x A x =+?（其中0A >，0π< 6 x = 时，()f x 取得最小值2-． （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求π sin()3 θ+ 的值． 解：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =． …………………………………………1分 因为π ()26f =-，所以π cos( )13 ?+=-， ……………………………………………………2分 由0π< ππ4π333?<+< ，所以π π3 ?+=， ………………………………………3分 充分非必要 所以2π 3 ?= ． ……………………………………………………………………………………4分 故)(x f 的解析式为2π ()2cos(2)3 f x x =+ ． …………………………………………………5分 （2）（法1）由（1），得)3 π 22cos()3πsin(+=+θθ， 即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3π sin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分 所以1)3πsin(-=+θ或2 1 )3πsin(=+θ． ………………………………………………10分 又0πθ≤<，所以 ππ4π 333 θ≤+< ． …………………………………………………11分 所以2 1 )3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分 （法2）由（1），得)3 π 22cos()3πsin(+=+θθ， 即)3 π 22cos()6πcos(+=-θθ． ………………………………………………………8分 所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6 π π23π22k ，Z ∈k ． …………………………10分 即6π3π2-=k θ或6 5ππ2-=k θ，Z ∈k ． 又0πθ≤<，所以2 π =θ． …………………………………………………………11分 所以2 1 )3πsin(=+θ． ………………………………………………………………………12分 【说明】本题主要考查cos()y A x ω?=+的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力． 17．（本小题满分12分） 深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示： （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为： 50150010=、150350010= 、3006 50010 =． ………………………………………2分 所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为： 110110?=人、310310?=人、6 10610 ?=人． ……………………………………4分 （2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为6500 300 10=?人， 所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为 7 3 410 2 4 26= C C C ． …………………………………6分 （3）4=n ，ξ的可能取值为4,3,2,1,0． ………………………………………7分 因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为5 1 1000200==p ，……………8分 所以，随机变量ξ服从二项分布，即ξ～)5 1 ,4(B ． …………………………………………9分 62525651151)0(4004=?? ? ??-??? ??==C P ξ，62525651151)1(3 114=??? ??-??? ??==C P ξ， 6259651151)2(2224=??? ??-? ?? ??= =C P ξ，625 1651151)3(1 334= ??? ??-??? ??==C P ξ， 625151151)4(0 4 44=?? ? ??-? ?? ??==C P ξ． 即ξ的分布列为： ……………………………………………………………………………11分 ξ的数学期望为：5 4 514=? ==np E ξ． …………………………………………12分 【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力． 18．（本小题满分14分） 如图4，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，△ABC 为等边三角形， M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =． （1）证明：OB OA =； （2）证明：平面⊥PAB 平面POC ； （3 ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（1）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+． 又△ABC 为等边三角形，BC AC =， 所以=+22OC OA 22OC OB +， 故OB OA =． …………………………………………………………………………3分 （2）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以，??? ? ??? ?=⊥⊥OAB OB OA O OB OA OB OC OA OC 平面, ⊥?OC 平面OAB ， 而?AB 平面OAB ，所以OC AB ⊥． …………………………………………………………5分 取AB 中点D ，连结OD ，PD ． 由（1）知，OB OA =，所以OD AB ⊥． 由已知PB PA =，所以PD AB ⊥． 所以，??? ? ??? ?=⊥⊥POD PD OD D PD OD PD AB OD AB 平面, ⊥?AB 平面POD ， 而?PO 平面POD ，所以PO AB ⊥． …………………………………………………7分 所以，??? ? ??? ?=⊥⊥POC PO OC O PO OC PO AB OC AB 平面, ⊥?AB 平面POC ， 又PAB AB 平面?，所以，平面⊥PAB 平面POC ． …………………………………………9分 解：（3）（法一）由（2）知AB ⊥平面POD ， 所以平面OAB ⊥平面POD ， 且平面OAB 平面POD OD =， 过点P 作PH ⊥平面OAB ，且交OD 的延长线于点H ，连接AH ， 因为OC PA 5= ，OC OP 6=， 由（1）同理可证OC OB OA ==， O B C P M ?D 在△POA 中，222 OP PA OA =+， 所以OA PA ⊥，又因为PH ⊥OA ， 所以OA ⊥平面PAH ， 所以PAH ∠为二面角B OA P --的平面角， ………………………………………………11分 在直角△PHA 中，cos AH PAH PA ∠= ， ……………………………………………………12分 由（2）知45AOD ∠=?，所以△OAH 为等腰直角三角形， 所以AH OA OC == ，所以cos 5 AH PAH PA ∠= =， 所以，二面角B OA P -- 的余弦值为 5 ． …………………………………………………14分 （法2）如图6，以OA ，OB ，OC 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 由（1）同理可证OC OB OA ==， 设1===OC OB OA ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C ， (1,0,0)OA =，(1,1,0)AB =-． 设),,(z y x P ，其中0>x ，0>y ，0>z ． 由(,,)OP x y z =，(1,,)AP x y z =-． 由（2）知OP AB ⊥ ，且5PA OC ==，6 OP OC ==得()222 222 (1)0615x y x y z x y z ?-?+=??++=??-++=?? ． 解之，得1x y ==，2z =． ……………………………11分 所以，(1,1,2)OP = 设平面POA 的法向量为),,(1111z y x =n ， 由1OA ⊥n ，1OP ⊥n ，得1111 020x x y z =??++=?． 取11=z ，得12y =-，1(0,2,1)=-n ． 由（2）知，平面OAB 的法向量为2(0,0,1)OC ==n ， ………………………………………13分 记二面角P OA B --的平面角为θ，由图可得θ为锐角， 所以12cos |cos ,|θ=??= = n n ． 图6 P z 所以，二面角B PC A -- 的余弦值为 5 ． ……………………………………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分） 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-?-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列． （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）设2 n n n a b = ，*N ∈n ，求数列{}n b 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有++2143a a (12) <++n a n ． 解：（1）由已知，得??? ??-=+-=+=+. 68,20, )()42(32 12122131a a a a a a a a a …………………………………………2分 解之，得41=a ，242=a ，963=a ． …………………………………………………4分 （2）（法1）因为4231-?-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(21-?--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……② ①_x0001_ ②，并整理得212)1(2++?++=n n n n a a ，2≥n ， (6) 分 即12(1)n n b b n +=++，2≥n ． 所以，3243123242n n b b b b b b n -=+?? ?=+?? ?????????=+? 相加，得()()223n b b n n =+-+． ……………………………8分 由（1）知242=a ，所以26b =，所以2≥n 时，()1n b n n =+， ……………………9分 又41=a ，12b =也符合上式， 所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分 （法2）因为423 1-?-=++n n n n a S ，*N ∈n ， ……① 所以42)1(2 1-?--=+-n n n n a S ，其中2≥n ． ……② ①_x0001_ ②，并整理得212)1(2++?++=n n n n a a ，2≥n ， 即12(1)n n b b n +=++，2≥n ． ……………………………………………………………6分 由（1）知22141??==a ，2223224??==a ，3 324396??==a ． 可得1212b ==?，2623b ==?，31234b ==?． 猜想()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………………………………8分 以下用数学归纳法证明之： （i ）当1=n 时或2=n 时，猜想显然正确． （ii ）假设k n =（2≥k ）时，猜想正确，即()1n b k k =+． 那么1+=k n 时，12(1)k k b b k +=++ (1)2(1)k k k =+++ (1)(2)k k =+?+． [](1)(1)1k k =+++ 即1+=k n 时，猜想也正确． 由（i ）（ii ），根据数学归纳法原理，对任意的*N ∈n ，猜想正确． 所以，数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+，*N ∈n ． …………………………………10分 （3）对一切正整数n ，因为 n n n n n n n n n a n 2)1(1 212)1(221?+- ?=?++=+-， …………12分 所以，++2143a a …+ ??+??=++2 12324 22132n a n …n n n n 2)1(2?+++ +??? ???-?+??? ???-?=2110231221221211 …???????+-?+-n n n n 2)1(1211 12)1(1 1 n ． ………………………………………14分 【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理n S 与n a 的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 20．（本小题满分14分） 已知动点(,)M x y 和定点(0,1)N ， MN 的中点为P ．若直线MN ，OP 的斜率之积为常数λ (其中O 为原点，10λ-<<)，动点M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）曲线C 上是否存在两点A 、B ，使得△NAB 是以N 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由． 解：（1）设直线MN ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，因为1 (, )22 x y P +， ………………1分 所以11 y k x -= （0x ≠），21 22 y k x += （0x ≠）， ……………………………………3分 由12k k λ=可得： ()1122 y y x x λ+?? -? ? ??=?（0x ≠） ， ……………………………………4分 化简整理可得22 1x y λ-+=（0x ≠）， 所以，曲线C 的方程为2 2 1x y λ-+=（0x ≠）． ………………………………………5分 （2）由题意()0,1N ，且NA NB ⊥，当直线NA 的斜率为0，则N 与A 重合，不符合题意， 所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0，设直线NA 的斜率为k ， 所以直线NB 的斜率为1 k - ，不妨设0k >， 所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB 的方程为1 1y x k =- +，………………………6分 将直线NA 和曲线C 的方程联立，得22 1 1 y kx x y λ=+??-+=?，消y 整理可得()2220k x kx λ-+=， 解得2 2A k x k λ =- - ，所以22k NA k λ=-， 以k 1 - 替换k ，可得2 22211k NB k k λλ==--， …………………………8分 由NA NB = 22 221k k k λλ=--， ………………………………9分 所以3 2 0k k k λλ+--=，即()()2 110k k k λλλ??-+++=??，……………………………10分 （1）当 1 13 λ-<<- 时， 方程()2 10k k λλλ+++=有()()()2 2 143110λλλλ?=+-=-+-<， 所以方程()()2 110k k k λλλ??-+++=??有唯一解1k =； ……………………………11分 （2）当1 3λ=-时，()()211k k k λλλ??-+++=??()3 1103 k - -=，解得1k =； ………12分 （3）当103 λ- <<时，方程()210k k λλλ+++=有()()()2 2143110λλλλ?=+-=-+->， 且()2111310λλλλ?++?+=+≠， 所以方程()()2 110k k k λλλ??-+++=??有三个不等的根． 综上，当 113λ-<≤- 时，有一个圆符合题意；当1 03 λ-<<时，有三个符合题意的圆． ……………………………………………………………………………………14分 （注：（3）也可直接求解： 当103 λ- <<时， 方程()210k k λλλ+++=，因为()()()2 2143110λλλλ?=+-=-+->， 所以1,2k = ()2111310λλλλ?++?+=+≠， 所以1,21k ≠，故方程()()2 110k k k λλλ??-+++=??有三个不等的根． ） 【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 21．（本小题满分14分） 已知函数x b ax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1 ()(=+x f x f ， 其中b a ,为常数． （1）若)(x f 的图象在1=x 处的切线经过点)5,0(-，求a 的值；