2020-2021学年江西省宜春三中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．＝B．÷2＝2
C．＝3+4＝7D．＝2
2．（3分）在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．3，4，5C．13，14，15D．8，15，17 3．（3分）在端午节到来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
4．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则下列判断正确的是（）A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b＜0D．k＜0，b＞0 5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）当x时，在实数范围内有意义．
8．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝cm．
9．（3分）如图，已知函数y＝ax+m和y＝bx的图象相交于点A（2，3），则不等式ax+m≥bx的解集为．
10．（3分）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是m．
11．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k 互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．
12．（3分）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D 的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为．
三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）+（﹣1）2﹣（）0；
（2）先化简，再求值：（1﹣）?，其中a＝﹣1．
14．（6分）如图，?ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．求证：BE∥DF．
15．（6分）如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
16．（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
17．（6分）已知x＝﹣，y＝+．
（1）x+y＝，xy＝；
（2）求x3y+xy3的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表
甲789710109101010
乙10879810109109
（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；
（2）计算甲队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是哪个队？
19．（8分）如图，直线l1：y＝kx﹣2（k≠0）与y轴交于点A，直线l2：y＝x+1与y轴交于点B，且直线l1，l2相交于点P（2，m）．
（1）求点P的坐标和直线l1的解析式；
（2）求△ABP的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
20．（9分）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号载客量租金单价
A30人/辆380元/辆
B20人/辆280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？
21．（9分）已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O，若BF⊥AE．
（1）求证：BF＝AE；
（2）连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明．
2020-2021学年江西省宜春三中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．＝B．÷2＝2
C．＝3+4＝7D．＝2
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）与不是同类二次根式，不能合并，故A错误．
（B）原式＝，故B错误．
（C）原式＝＝5，故C错误．
故选：D．
2．（3分）在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．1，1，B．3，4，5C．13，14，15D．8，15，17
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为12+12＝（）2，所以能组成直角三角形；
B、因为32+42＝52，所以能组成直角三角形；
C、因为132+142≠152，所以不能组成直角三角形；
D、因为82+152＝172，所以能组成直角三角形．
故选：C．
3．（3分）在端午节到来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：D．
4．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则下列判断正确的是（）A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b＜0D．k＜0，b＞0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：D．
5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（）
A．B．C．D．
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．
【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴×2＝AE，
∴AE＝，
故选：D．
6．（3分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；
D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）当x≥时，在实数范围内有意义．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0时，
即x≥，二次根式有意义．
8．（3分）如图，在?ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝2cm．
【分析】由?ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC＝∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE＝CD，由AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm即可求出BE．
【解答】解：∵?ABCD
∴∠ADE＝∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE＝∠CDE
∴∠DEC＝∠CDE
∴CD＝CE
∵CD＝AB＝6cm
∴CE＝6cm
∵BC＝AD＝8cm
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2cm．
故答案为2．
9．（3分）如图，已知函数y＝ax+m和y＝bx的图象相交于点A（2，3），则不等式ax+m≥bx的解集为x≤2．
【分析】利用函数图象，找出直线y＝bx在直线y＝ax+m的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据函数图象，当x≤2时，ax+m≥bx．
故答案为：x≤2．
10．（3分）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是16m．
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10（米）．
所以大树的高度是10+6＝16（米）．
故答案为：16．
11．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k 互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为1．
【分析】根据题意可以得到相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
解得，，
故答案为：1．
12．（3分）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D 的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离
之比为1：3，则点A'的坐标为（，3）或（，1）或（2，﹣2）．
【分析】由已知得出∠A＝90°，BC＝OA＝4，OB＝AC＝7，分两种情况：（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，当A'E：A'F＝1：3时，求出A'E＝1，A'F＝3，由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，∠OA'D＝∠A＝90°，在Rt △OA'F中，由勾股定理求出OF＝＝，即可得出答案；
②当A'E：A'F＝3：1时，同理得：A'（，1）；
（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，由A'F：A'E＝1：3，则A'F：EF＝1：2，求出A'F＝EF＝BC＝2，在Rt△OA'F中，由勾股定理求出OF＝2，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（0，4），B（7，0），C（7，4），
∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7，
分两种情况：
（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：
①当A'E：A'F＝1：3时，
∵A'E+A'F＝BC＝4，
∴A'E＝1，A'F＝3，
由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝，
∴A'（，3）；
②当A'E：A'F＝3：1时，同理得：A'（，1）；
（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E＝1：3，则A'F：EF＝1：2，
∴A'F＝EF＝BC＝2，
由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝2，
∴A'（2，﹣2）；
故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．
三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分）
13．（6分）计算
（1）+（﹣1）2﹣（）0；
（2）先化简，再求值：（1﹣）?，其中a＝﹣1．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）+（﹣1）2﹣（）0
＝2+2﹣2+1﹣1
＝2；
（2）（1﹣）?
＝
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
14．（6分）如图，?ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．
求证：BE∥DF．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF．
15．（6分）如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
【分析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝5，
∴S△ACD＝6，
在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴Rt△ABC的面积＝30，
∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．
16．（6分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，垂直平分线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点；以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，弧线经过的格点即为等腰三角形的第三个顶点．
（2）将点A沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B也按相同的方法平移，最后连结点A、B及点B、A的对应点即可．
【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；
（2）如图③所示，?ABFE即为所求．
17．（6分）已知x＝﹣，y＝+．
（1）x+y＝2，xy＝1；
（2）求x3y+xy3的值．
【分析】（1）计算x+y值时，直接代入对应数值进行加减运算即可，计算xy运用平方差公式即可；
（2）先分解因式，而后代入对应数值进行计算．
【解答】解：（1）x+y＝﹣++＝2，
xy＝（）2﹣（）2＝1；
（2）x3y+xy3
＝xy（x2+y2）
＝xy[（x+y）2﹣2xy]
＝1×[（2）2﹣2×1]＝10．
故答案为：2，1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表甲789710109101010
乙10879810109109
（1）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分；
（2）计算甲队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是哪个队？
【分析】（1）利用中位数的定义以及众数的定义分别求出即可；
（2）首先求出平均数进而利用方差公式得出即可；
（3）先求出乙队的方差，再利用方差的意义进而得出即可．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2＝9.5（分），
则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：9.5，10；
（2）甲队的平均成绩和方差；＝（7+8+9+7+10+10+9+10+10+10）＝9，＝×[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（7﹣9）2+…+（10﹣10）2]
＝（4+1+4+0+1+1+0+1+1+1）
＝1.4；
（3）乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）＝9，
则方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]＝1．
∵乙队方差小于甲队方差，
∴乙队成绩较为整齐．
19．（8分）如图，直线l1：y＝kx﹣2（k≠0）与y轴交于点A，直线l2：y＝x+1与y轴交于点B，且直线l1，l2相交于点P（2，m）．
（1）求点P的坐标和直线l1的解析式；
（2）求△ABP的面积．
【分析】（1）把P（2，m）代入y＝x+1求得m＝3，得到P（2，3），然后代入y＝kx﹣2，根据待定系数法求得即可；
（2）根据坐标轴上的点的坐标特征求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝x+1经过P（2，m），
∴m＝2+1＝3，
∴P（2，3），
∵直线l1：y＝kx﹣2（k≠0）经过（2，3），
∴3＝2k﹣2，
解得k＝，
∴直线l1的解析式为y＝x﹣2；
（2）∵直线l1：y＝kx﹣2（k≠0）与y轴交于点A，直线l2：y＝x+1与y轴交于点B，∴A（0，﹣2），B（0，1），
∴AB＝3，
∴S△ABP＝＝3．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
20．（9分）某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号载客量租金单价
A30人/辆380元/辆
B20人/辆280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？
【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．
∵30x+20（62﹣x）≥1441，
∴x≥20.1，
又∵x为整数，
∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；
（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，
∴x≤45.8，
∴21≤x≤45，
∴共有25种租车方案，
x＝21时，y有最小值＝19460元．
即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．
21．（9分）已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O，若BF⊥AE．
（1）求证：BF＝AE；
（2）连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明．
【分析】（1）如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF 即可；
（2）延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
（2）OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF（AAS），
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD＝AG＝AD＝AB．