戈德菲尔德-匡特检验的讨论

戈德菲尔德-匡特检验的讨论

张荷观

(江南大学 商学院，江苏 无锡 214063)

摘要：本文通过对G-Q 检验的分析，指出了G-Q 检验所存在的问题，并提出了解决的方法.

关键词：线性回归模型 异方差 G-Q 检验

一、引言

在目前流行的国内外经济计量学教材中，例如Greene(2000)、Gujarati(2000)、贺铿(2000)和高炜宇(2002)等，都把戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验(以下简称G-Q 检验)作为异方差检验的主要方法. 并且，近期仍有学者对其进行推广(龚秀芳，2005).

为便于讨论，考虑一元线性回归模型

n i x b b y i i i ,,2,1,10 =++=ε (1)

并假定模型满足古典假定. 当

n i Var i i ,,1,0,)(22 =≠=εσσε (2)

即随机项ε 不满足等方差的假定时，则称随机项ε 存在异方差. 若回归模型的随机项存在异方差，不仅回归系数的最小二乘估计不再具有最优性，并且回归系数显著性检验时的t 检验也不再适用. 因而，异方差的检验是经济计量学的一个重要内容.

本文通过对G-Q 检验的分析，指出了G-Q 检验在理论上所存在的问题，同时提出了解决的方法.

二、G-Q 检验犯第一类错误的概率与略去的数据c 有关

G-Q 检验的主要步骤如下:

(1) 把解释变量x 按从小到大的顺序排列，而被解释变量y 保持原对应关系. 略去位于中间的c 对数据后，把数据等分为前后两组，分别称为较小组和较大组. 一般取

3

4n c n ≤≤ 且使n-c 为偶数，即较小组和较大组各包含(n-c )/2对数据.

(2) 假定较小组和较大组的随机项都具有等方差，分别记为21σ和23σ. G-Q 检验的

原假设为

23

210:σσ=H (3) 即假定回归模型(1)满足等方差. 并对较小组和较大组数据分别采用最小二乘法建立样本回归方程，较小组和较大组的残差平方和分别记为1RSS 和3RSS .

(3) 用RSS 大表示1RSS 和3RSS 中的较大者，而用RSS 小表示其中的较小者，则G-Q

检验统计量为

=F RSS 大/RSS 小 (4) 当)22

,22(

---->c n c n F F α时，G-Q 检验拒绝0H ，认为线性回归模型(1)的随机项存在递增(或递减)异方差. 否则，就认为随机项不存在异方差，即随机项满足等方差. G-Q 检验实际上按解释变量的大小把数据划分为三组，可分别称为较小组、中间

组和较大组. 并假定各组的随机项满足等方差，若分别用21σ、22σ和23σ表示较小组、

中间组和较大组的随机项方差，则G-Q 检验的原假设(3)式可改写为

23

22210:σσσ==H (5) (5)式与(3)式都表示线性回归模型(1)的随机项满足等方差，即(5)式与(3)式等价. 并且，当残差平方和递增时，1RSS 和3RSS 就是这三组数据中残差平方和的最小值和最大值，即1min RSS RSS ==RSS 小，3max RSS RSS ==RSS 大. 于是根据(4)式，当残差平方和递增时

有

m a x m i n

m a x ?F R S S R S S F == (6) 即这时的G-Q 检验统计量为最大残差平方和与最小残差平方和之比. 特别，当3n c =，即三组数据个数都相等时，则(6)式实际上就是哈特利(Hartley)的最大F 比检验统计量. 这就是说，当已知残差平方和递增且n c =时，那么G-Q 检验统计量和最大F 比检验

统计量相同. 而根据最大F 比检验，当)23

,3(max max ->n F F α时拒绝0H ，可以认为随机项存在异方差. 否则，就认为随机项不存在异方差，即满足等方差. 根据最大F 比检验的

临界值表(Sachs 1984)，对于给定的显著性水平α，总有)23,23(--n n F α)23

,3(max -

,23(--n n F α作检验时，必使G-Q 检验犯第一类错误的概率超过规定的显著性水平α(当残差平方和递减时可得相同结

论). 表1给出了G-Q 检验的临界值)23,23(--n n F α和最大F 比检验的临界值)23

,3(max -n F α的比较表.

表1 )2

,2(--n n F α和)2,3(max -n F α的比较表

例 1 30户家庭收入x (单位:美元)与消费支出y (单位:美元)的数据如下(Gujarati ，2000). 已知残差平方和递增，试检验随机项是否存在异方差.

表2 30户家庭收入x 与消费支出y 的数据

已知30=n ，取c =10，即较小组和较大组各包含10对数据. 求得

03.1204,45.516,91.292321===RSS RSS RSS

则根据(4)式得

11.491

.29203.1204==F 在05.0=α时，查F 分布表得临界值44.3)8,8(05.0=F . 由于)8,8(05.0F F >，从而根据G-Q 检验认为随机项存在异方差. 但事实上，由于本例的残差平方和递增且103

==n c ，则

F R S S R S S F ===91

.29203.1202min max max 即这时G-Q 检验统计量和最大F 比检验统计量的取值相等. 从而在05.0=α时，根据表

1可得最大F 比检验的临界值00.6)8,3(max 05.0=F . 因

则根据最大F 比检验应接受0H ，可以认为随机项不存在异方差，即满足等方差.

由于已知例1的残差平方和递增， 因而也可采用斯皮尔曼(Spearman)等级相关检验. 根据表1求得 33

.1243.012

30243.012243.0)130(30340461)

1(619466.0,6378.02903.9?22

223012

2=--=--==-?-=--==+=∑=s s i i s r n r t n n d r R x y

在05.0=α时，查t 分布表得临界值048.2)28(2

05.0=t ，从而同样可以认为随机项满足等

方差. 由于当残差平方和递增且n c =时max F F =，即这时G-Q 检验和最大F 比检验统

计量的取值相等. 但因总有)23

,3()23,23(max -<--n F n n F αα，所以这时采用G-Q 检验会使犯第一类错误的实际概率大于规定的显著性水平α. 对于例1，最大F 比检验的临界值应为6.00，但G-Q 检验却取3.44作为临界值，则使G-Q 检验增大了犯第一类错误的概率. 这就是说，对于例1，当G-Q 检验规定0102.0=α，即取临界值为6.00时犯第一类错误的实际概率才是0.05.

显然，当残差平方和递增(或递减)时， 略去的数据c 愈多，则G-Q 检验的F 值愈大，从而愈容易发现递增(或递减)异方差，但同时也使G-Q 检验犯第一类错误的概率愈大.

三、G-Q 检验犯第二类错误的概率与异方差类型有关

当残差平方和先随x 的增加而增大，然后又随x 的增加而减小(或残差平方和先随x 的增加而减小，然后又随x 的增加而增大)时，这时2max RSS RSS =(或2min RSS RSS =). 但只要31RSS RSS ≈，即1≈F ，根据G-Q 检验，则仍认为随机项不存在异方差. 这就是说，不管1RSS 、2RSS 和3RSS 之间的差别有多大，只要31RSS RSS ≈，G-Q 检验就认为不存在异方差. 因而，G-Q 检验不能识别复杂异方差. 于是，在不了解异方差类型时

采用G-Q 检验又会增大犯第二类错误的概率.

例2 30名学生的数学成绩x (单位:分)与统计学成绩y (单位:分)的数据如下，试检验是否存在异方差.

表3 30名学生的数学成绩x 与统计学成绩y 的数据

仍略去中间的10对数据(c=10)，即较小组和较大组各包含10对数据. 同样可得 04.523,79.162,08.1011321===RSS RSS RSS

于是由(4)式得

93.104

.52308.1011==F 在05.0=α时，由于)8,8(05.0F F <，从而G-Q 检验认为随机项为等方差. 但根据最大F 比检验则有

21.679

.16208.1011min max max ===RSS RSS F 于是)8,3(max 05.0max F F >，从而根据最大F 比检验可认为随机项存在异方差.

实际上，例2的数据显示随机项存在复杂异方差现象，但G-Q 检验不能识别复杂异方差从而误认为等方差. 所以在不了解异方差类型时采用G-Q 检验，又会增加犯第二类错误的概率.

四、结语

由于递增(或递减)异方差是一种常见的异方差类型，从而使G-Q 检验成为一种常用的异方差检验方法.

但因为G-Q 检验不能识别复杂异方差，从而在随机项可能存在复杂异方差时采用G-Q 检验会增大犯第二类错误的概率. 所以，当随机项可能存在复杂异方差时，不宜采用G-Q 检验，例2给出了这种情况的一个实例.

G-Q 检验的统计量表明，G-Q 检验适用于检验递增(或递减)的异方差. 但这时的G-Q 检验统计量已成为最大残差平方和与最小残差平方和之比的最大F 比，从而这时

G-Q检验犯第一类错误的概率会随c增加而增大. 一般，当c很小，即0

c时，G-Q

≈

检验是适用的. 而当c较大，例如4

n

c=时，

c≥时，G-Q检验不再适用. 特别，当3

n

G-Q检验统计量和最大F比检验统计量相同(见例1). 所以，当c较大时，为避免G-Q 检验增大犯第一类错误的概率，可以采用Hartley的最大F比检验或Cochran的最大方差检验.

参考文献

[1] William H. Greene，Econometric Analysis，4th ed. Prentice-Hall International Inc.，2000

[2] Damodar N. Gujarati，林少宫译，《计量经济学》(第3版)，中国人民大学出版社，2000.

[3] 贺铿，《经济计量学教程》，中国统计出版社，2000.

[4] 高炜宇、谢识予，《高等计量经济学》，高等教育出版社，2002.

[5] 龚秀芳，《戈德菲尔德-匡特检验的推广》，《数理统计与管理》，2005年第1期.

[6] Lothar Sachs，Applied Statistics，A Handbook of Techniques[M]，Springer-Verlag，New York, 1984

研究领域：经济计量学、应用统计学

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