分式方程及分式化简
【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：
x x x --+=121
1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根
解：方程两边都乘以()()x x +-11，得
x x x x x x x x x 222211121232
3
2
--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程
x x x x x x x x +++++=+++
++1267235
6
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-
++6756231
2
方程两边通分，得
1671
236723836
9
2
()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=
++++=++=-∴=-
所以即
经检验：原方程的根是x =-92
。
例3. 解方程：
1210433234892423871619
45
x x x x x x x x --+--=--+
-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：31434289328741
45
--++-=--++
-x x x x 即28928628102
87
x x x x ---=--
-
于是
，
所以解得：经检验：是原方程的根。
189861
810878986810871
1()()()()
()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==
例4. 解方程：612444444
0222
2y y y y y y y y +++---++-=2
分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：62222222022
2
()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-=
约分，得
62222202
y y y y y y +-+-++-=()()
方程两边都乘以()()y y +-22，得 62202
2
()()y y y --++=
整理，得经检验：是原方程的根。
216
8
8y y y =∴==
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解： 例1．若解分式方程2111
x x m x x x x
+-++=
+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或
B. -12或
C. 12或
D. 12或-
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：
x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：
60662
x x =
+
601206620
20222
x x
x x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时
由题意，得8042740707x y x y
x y x y
++-=++-=???????
解得：经检验：是原方程的根
x y x y ==??
?==???
17
3
17
3
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2. m 为何值时，关于x 的方程
2243
2
x mx x x -+-=
+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=- 整理，得()m x -=-110
当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根
m x m x x x x m m x m m m ≠=-
--===-=-
-=∴=-=---=-∴==-1101
40221210
124
2210
1
26
3462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A.
S
a b
+
B.
S av b - C. S av a b -+ D. 2S
a b
+ 2. 如果关于x 的方程2313
x m
x m -=--有增根，则的值等于（）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 3
3. 解方程：
（）
(11101121231)
9102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()
（）
2112141024
x x x x x x x
x
-++++++=
4. 求x 为何值时，代数式293132
x x x x
++---的值等于2？
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2
3
，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
分式化简
已知234x y z
==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．
【巩固】已知345x y y z z x
==
+++，则222
x y z xy yz zx ++++=__________. 【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c d
a b c d
-+-+-+的值.
【例1】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，
求分式222(1)(1)(1)
(1)(1)(1)
bc ca ab a b c ++++++的值.
【例2】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，
则733x y z u +++=___________． 【例3】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==
，求()()()
x y y z z x xyz +++的值. 【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u x
z u u x x y y z
+++++++
++++的值． 【例4】 已知9p q r ++=，且222
p q r
x yz y zx z xy
==---，则 px qy rz
x y z
++++的值等于（ ）A. 9 B.10 C. 8 D.
7
【例5】 已知2220(0)x yz y zx z xy
xyz a b c
---==≠≠，求证：
222a bc b ca c ab x y z ---==. 【例6】 已知()()()()()()222222
222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，
求
()()()
()()()
2
22111111xy yz zx x
y z ++++++的值。
【例7】 已知2
0x x -=，求222
141
2211
x x x x x x --?÷+-+-的值. 【例8】 已知，12ab a b =-+=，，则_______.b a
a b
+＝
【巩固】已知1
,12
x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.
【例9】 已知210a b +-=，求代数式22()(1)()a
a b a b a b
-+÷-+的值．
【巩固】已知224a a +=，求1
21
11112
2+-+÷--+a a a a a 的值． 【例10】 已知3a b
a b -=+，求代数式
2()4()3()a b a b a b a b +---+的值 【例11】 已知：2
380x x +-=，求代数式21441
212x x x x x x -+-?-
-++的值． 【例12】 已知：12xy =-，4x y +=-，求11
11x y y x +++++的值. 【巩固】已知210x y xy +=，求代数式4224x xy y
x xy y
++-+的值.
【例13】 已知：
111x y x y +=
+，求y x
x y +的值. 【巩固】设1114x y -=，求2322y xy x
y x xy +---
【例14】 设113x y -=，求3237y xy x
x xy y
+-+-的值
【巩固】如果235x y y x
+=-，求
22
22410623x xy y x y +++的值. 【例15】 已知111m n -=，求575232m mn n
n mn m
+---的值.
【例16】 已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求
abc
ab bc ca
++. 【例17】 已知13x x +=，则代数式221
x x +的值为_________．
【巩固】已知：1x x -=，求221
x x +的值.
【巩固】已知：2213a a +=，求1
a a -的值.
【巩固】设1x x -1
x x +的值.
【巩固】若11a a -=，求1
a a
+的值.
【例18】 若1
2x x +=，求2421x x x ++的值.
【巩固】若13x x +=，则334
41
713
x x x x
+
+++=___________ 【例19】 已知a 是2
310x x -+=的根，求54322
25281a a a a a -+-+的值. 【巩固】设21
x
a x x =++，其中0a ≠，则24
2
1x x x =++ 【巩固】设211
x
x mx =-+，求36
331x x m x -+的值. 【例20】 已知：2
510a a -+=，求4221a a a ++的值.
【巩固】已知：2310x x -+=，求221
x x
+的值.
【巩固】若2
310x x -+=，则74843231x x x x x ++=++________．
【例21】 已知2
410a a ++=，且42321533a ma a ma a
++=++，求m .
【例22】 已知代数式25342
()
x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为1，求该代数式当1-=x 时的值．
【例23】 已知10x y z m n p m n p x y z
++=++=，，求222
222x y z m n p ++的值。
【例24】 已知()30x y z a a ++=≠，
那么
()()()()()()
()()()
222
x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值为__________。
【巩固】若1x y z y z z x z y
++=+++，则
222
x y z y z z x x y +++++=______． 1. 已知
232332234a b c b c a c a b +--+++==
，则2332a b c
a b c -++-=____________. 2. 已知x y z
b c a c a b a b c
==
+-+-+-，求()()()b c x c a y a b z -+-+-的值. 3. 当220x x +-=时，求代数式32331x x x x +??
+÷ ?+?
? 的值．
4. 已知x 为实数，且12x x +=，则441
x x
+=__________．
5. 已知：210x x --=，求4
5
21
x x x ++
6.
已知：2
10a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-
+-，求x 的值. 化简求值
先化简代数式???
??-++222a a a
÷4
12-a ，然后选取一个合适．．的a 值，代入求值．（7分） 解: 方法一： 原式＝4
1
)2)(2()2(2)2)(2()2(2
-÷????
??
-+++-+-a a a a a a a a
＝
)2)(2()
2)(2(4
2-+-++a a a a a ＝42
+a
…………………………5分
（注：分步给分，化简正确给5分．） 方法二：原式＝)2)(2(222-+??
?
??-++a a a a a
＝)2(2)2(++-a a a
＝42
+a
…………………………5分
取a ＝1，得 …………………………7分 原式＝5 …………………………7分 （注：答案不唯一．如果求值这一步，取a ＝2或－2，则不给分．）
考点训练： 1、化简：2
21
93
m m m -=-+
2、化简： （12-a a
-1
+a a ）·
a a 12-
3、先化简，再求值：2
32224
x x x x x x ??-+
?+--??，其中4x =-
4、先化简,再求值：2
2
2344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ．
5、先化简，再求值：11a b a b ??-
?-+??÷22
2b a ab b
-+，其中，21-=b
6、先化简，再求值：22
321
113
x x x x x x x +++---+ ，其中1x ．
7、先化简，再求值：
244
(2)24
x x x x -++-，其中x =
8、先化简，再求值：
222a+2b 2b a b a b ＋＋－，其中a ＝－2，b ＝1
3