2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期
开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 设全集U =R ，已知集合{}
2
|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则
(
)U
A B ?=
（ ） A. {}1,0,1- B.
1,0,1,2
C. {}1,1-
D. {}1,2-
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出集合A 以及集合A 的补集
U
A ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】因为(){}
{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U
1|2A x x -=≤≤，
即有
(
){}U
1,0,1,2A B ?=-．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}
23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）
A. {}
13x x -<≤
B. {}23x x -<<
C. {}
32x x -≤≤
D.
{}33x x -≤≤
【答案】D 【解析】 【分析】 根据A
B A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为集合B 满足A
B A =，所以A B ?，又{}23A x x =-≤≤，
A 选项，{}
13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}
23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；
C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}
32x x -≤≤的子集，不满足题意，
D 选项，{}
33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.
【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.
【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{
}2
430P x x x =-+≤，{
}
2
40Q x x =-<，则(
)R
P Q =（ ）
A {}
23x x ≤≤
B. {}
13x x <<
C. {}
23x x <≤
D.
{2x x ≤-或}1x ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出{}
13P x x =≤≤，再求出
R
{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求(
)R
P
Q 即可.
【详解】解：因为{}
2
430P x x x =-+≤，所以{}
13P x x =≤≤， 因为{
}2
40Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则
R
{|2Q x x =≤-或2}x ≥，
所以(
){R
2P Q x x ?
=≤-或}1x ≥，
【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题. 5. 命题“?a ，
b >0，a ＋1b
≥2和b ＋1
a ≥2至少有一个成立”的
否定为（ ）
A. ?a ，b >0，a ＋
1b
<2和b ＋1
a <2至少有一个成立
B. ?a ，b >0，a ＋1b
≥2和b ＋1
a ≥2都不成立
C. ?a ，b >0，a ＋1b
<2和b ＋1
a <2至少有一个成立
D. ?a ，b >0，a ＋1b
≥2和b ＋1
a ≥2都不成立
【答案】D 【解析】 【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到. 【详解】“?a ，b >0，a ＋
1b
≥2和b ＋1
a ≥2至少有一个成立”的否定为：
?a ，b >0，a ＋1b
≥2和b ＋1
a ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =.下列结论：①0abc <；②30a c +>；③()2
20a c b +-<.其中结论正确的个数为（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C 【解析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；
从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12b
a
-
=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；
当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()2
2+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}
1A x x =≥-，1212B x a x a ??
=≤≤-????
，若A B ?≠?，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥
B. 23
a ≥
C. 0a ≥
D.
203
a ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}
1A x x =≥-，1212B x
a x a ??
=≤≤-????
， 若A B ?≠?，则只需211a -≥-，解得0a ≥
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-
B. 2y x 2x 3=-++
C. 223y x x =--+
D.
223y x x =++
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意先将抛物线2
23y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再
将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为2
23y x x =--+，最后给出答案即可.
【详解】解：先将抛物线2
23y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到
2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；
再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2
()2()3y x x =--+-+，整理得
223y x x =--+；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为2
23y x x =--+. 故选：C
【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =?，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.
【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23
PB PD
==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，
①当点P在线段OA上时，如图.
因为菱形ABCD的边长为6，60
C=?，所以3
OD=，33
OA=，
又因为23
PD=，在Rt PDO
△中，223
OP PD OD
=-=，此时23
AP=，
②当点P在线段OC上时，如图.
因为菱形ABCD的边长为6，60
C=?，所以3
OD=，33
OA=
又因为23
PD=Rt PDO
△中，223
OP PD OD
=-，此时3
AP=
故选：D.
【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10. 设集合{}
1,3,5,6,9
M=，
1
S，
2
S，，
k
S都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}
,
i i i
S a b
=，{}{}
()
,,,1,2,3,,
j j j
S a b i j i j k
=≠∈都有
max,max,j j
i i
i i j j
a b
a b
b a b a
??
????
≠
????
??
????
（()
max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注
意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ??????
≠??????????
（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把
握，即可得答案．
【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，
{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，
但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】
本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找
出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}
2
|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数
m =_____.
【答案】-3 【解析】
【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.
12. 集合A 满足{}1,3 **15
,,A x y x N y N x ???=
∈∈????
，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】
根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.
【详解】解：因为{}1,3 **15
,,A x y x N y N x ???=
∈∈????
， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ?，
所以{}13,5
A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3
【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}
121B x m x m =-<<+，若A B ?，则m 的取值范围是________.
【答案】][(
,21,2?-∞-?-?． 【解析】 【分析】
先化简确定集合A ，再根据A B ?分B =?和B ≠?两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．
【详解】解：因为{}
116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ?，所以B 是A 的子集，
当B =?时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；
当B ≠?时，则12
215121m m m m -≥-??
+≤??-<+?
，解得12m -≤≤，符合题意；
综上所述，m 的取值范围是][(
,21,2?-∞-?-?． 故答案为：][(
,21,2?-∞-?-?．
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()2
12111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】
先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()2
2121116138115x x x ---++=?-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-?--+=. 故答案为：15.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.
15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α?的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】1
02
m -≤≤ 【解析】 【分析】
先由题意，得到:13x α?≤≤，根据β是α?的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α?≤≤；
又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α?的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，
因此11243
m m +≤??+≥?（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.
故答案为：1
02
m -
≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.
16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}
3x x a x a ∈≤≤，都有
{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.
【答案】2 【解析】 【分析】
先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.
【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，
因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}
3x x a x a ∈≤≤，都有{}
2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，
所以1231a ca a ca =+??=+?
，解得：2a =
故答案为：2.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17. 已知{}2
40A x x x =+=，(){}
2
2
2110B x x a x a =+++-=，若B A ?，求a 的取值
范围.
【答案】{
1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】
求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ?可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】
{}
{}2404,0A x x x =+==-，(){}
222110B x x a x a =+++-=，
对于方程()2
2
2110x a x a +++-=，()()
()2
2
414181a a a ?=+--=+，且B A ?.
①当B =?时，?<0，可得1a <-，合乎题意；
②当集合B 中只有一个元素时，0?=，可得1a =-，此时{}
{}2
00B x x A ===?，合乎
题意；
③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()2
21410
a a ?+=?
-=?，解得1a =.
综上所述，实数a 的取值范围是{
1a a =或}1a ≤-.
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
18. 已知{
}
2
8200A x x x =--≤，{}
2B x x m =-≤. （1）当1m =时，求集合B ；
（2）若“x A ?∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；
（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）{}
13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8]. 【解析】 【分析】
（1）先化简得到{}
22B x m x m =-≤≤+≠?，再将1m =代入求集合B 即可； （2）先化简得到{}
210A x x =-≤≤和{}
22B x m x m =-≤≤+≠?，再转化已知条件得到A B ?≠?，最后建立不等式求m 的取值范围；
（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围.
【详解】解：因为{}
2B x x m =-≤，所以{}
22B x m x m =-≤≤+≠?， （1）当1m =时，解得{}
13B x x =-≤≤；
（2）因为{
}
2
8200A x x x =--≤，所以{}
210A x x =-≤≤， 因为“x A ?∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ?≠?， 所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤， 所以m 的取值范围是[4,12]-，
（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件， 假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A 所以210
22m m +≤??
-≥-?
，解得08m ≤≤，
当0m =时，{}
22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}
610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8]. 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据
必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
19. 设全集I R =，集合{
}2
20,A x x x m m R =-+<∈，{
2
440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()
I
A B ≠?，求实数m 的范围.
【答案】(3,)-+∞ 【解析】 【分析】
先由题意求出{}
10B a a =-<<，再化简得到
{}
2(1)1,I
A x x m m R =-≥-∈，最后分
1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围.
【详解】解：因为{
2
440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.，
所以2
0(4)4(4)0a a a
-?-
40
a =??-
2
20,A x x x m m R =-+<∈，所以{}
220,I
A x x x m m R =-+≥∈
则
{}2
(1)1,I
A x x m m R =-≥-∈
当10m -=即1m =时，{}1I
A x x =≠，此时()I A
B ≠?成立，符合题意；
当10m -<即1m 时，I
A R =，此时()I A
B ≠?成立，符合题意；
当10m ->即1m <时，
{
1I
A x x =≥或1x ≤，使得()I A
B ≠?成
立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<； 综上所述：3m >-， 故答案为：(3,)-+∞.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.