课堂中的“空白”艺术
所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。
教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。
[片段一]
课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。
师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。
学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下：
第一种用符号表示：……
第二种用画图表示：……
第三种用实物表示：小棒、学具卡片……
第四种用数字表示：1、2、3、……
第五种用“正”字表示。
学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。
[评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。]
[片段二]
课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？
学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？
师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？
生：因为有一双鞋就等于有一个人。
师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？
生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。
生2：你们应该做文明的好孩子。
生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。
[评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。]
以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动
发展，这不正是新课程理念的生动体现吗？可见，只要课堂空白留得恰当，不仅不用担心学生理解不了，而且学生的理解还会在这个过程中不断得到提高。从心理学角度对上述两个片段进行分析结论如下：
1、整堂课都是知识的传授，极易导致学生产生生理和心理的疲劳，引起学生的“分心”现象；而留下空白点，学生可以从中得到积极地休息，由听转为思。
2、从记忆原理看，“满堂灌”的教法，学生并不容易记住，因为缺乏学生自己的理解；而留下空白点的课，学生由被动的接受者成为了主动的参与者，实际记忆效果好。
3、从创造和想象原理来说，留下空白点的课更容易使学生荡起想象的浪花，激起好奇的涟漪。
总之，画家作画巧妙布白，给欣赏者以遐想的空间；教师上课在细针密线处留有余地，会引发学生去思考、去探究、去发现。在课堂上学生不再是观众，而是积极的参与者；不再是被动接受知识，而是一位思想活跃的探索者。在“空白”中，学生有浮想联翩，有思潮如涌，有顿悟感叹，在思维运动中训练着思维，于是乎，“空白”艺术变成了训练思维的“体操”。
二年级上册排列组合专题讲解 题型一：衣裙搭配 美羊羊为了参加比赛，她准备了2件上衣和2条裙子，你们猜一猜会有几种不同的穿法？ 题型二：排数问题： 用0、1、2可以组成几个不同的两位数？用2、3、4中的两个数组成两位数有多少种? 为什么用2、3、4中的两个数组成两位数有6种，用0、1、2中的两个数组成两位数却只有4种？ 题型三：比赛场数 比赛快开始了，沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三位运动员进场了，村长遇到了个难题，“每两只羊进行一场比赛，一共要比几场呢？ 排数时用了3个数字，比赛时也是3个选手，为什么得到的结果不一样呢？ 小结：两个人比赛，只能算一次，和顺序无关。排数，交换数字的位置，就变成另一个数了，这和顺序有关。 题型四：握手次数、打电话问题 比赛即将结束了，喜羊羊获得了冠军，沸羊羊获得了亚军，懒羊羊获得了季军，在颁奖典礼上沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三只小羊要相互握手祝贺对方。那么这三只小羊，每两只小羊握一次手，一共需要握几次？ 如果他们三个打算合影照相，排队站成一排，请问一共有多少种不同的站法？ 一、摆一摆、写一写。 (1)用2、3、4能摆成( )个两位数，它们分别是( )。 (2)用0、3、5能摆成( )个两位数，它们分别是( )。 二、每两人进行一场比赛，四个人一共要比赛几场? 三、下面有4种球，每班可以借其中的两种，有多少种不同的搭配方法?(把它们的编号写在横线上) ①②③④
四、东东的口袋里装了一枚1元、一枚5角和一枚1角的硬币，随便从口袋拿出两枚硬币， 拿出来的硬币有几种可能? 排队问题 二、做一做： 从前往后数，小红排在第7位，从后往前数，小红排在第5位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 2、从前往后数，小红排在第5位，从后往前数，小红排在第8位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 3、从前往后数，小红排在第8位，从后往前数，小红排在第3位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 4、从前往后数，小红排在第6位，从后往前数，小红排在第2位，请问这一排一共有多少位小朋友？
数学广角 一、教学内容： 人教版<义务教育课程标准实验教科书数学>第三册第99页例1：简单的排列、组合 二、教学目标与策略选择： 本节课我力图从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面出发，有效地整合教学目标，体现以“学生发展为本”的理念。因些，我制定了以下教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作等活动，能找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、学生形成初步的观察、分析能力及有序地、全面地思考问题的意识。 3、通过活动学生形成一定的合作交流意识，感受数学与生活的紧密联系，树立学生学好数学的信心。 鉴于以上的目标定位，本课设计时基于“在教学中要以人为本，强调要从儿童的经验出发，借助一定的数学问题情境和探究性的实践活动，让学生在数学活动中，用数学的眼光去观察事物，用数学的方式去思考问题，用数学的语言去解释现象，用数学的观点去认识世界……从而使学生有效地学会数学地思考。”的总体思路。为此，主要采取了以下教学策略： 1、创设生动有趣的教学情景。 2、采用活动化的教学方式。 ……
…… 师：好，下面我们就来研究这个问题，请同学们试着写一写，如果你觉得直接写有困难的话可以借助手中的数字卡片摆一摆。在摆之前，想一想怎样摆才能既不重复也不遗漏，每摆出1个两位数就把它写在你的本子上。开始。 生：摆、写数活动 师：好，三人小组交流一下： 1、你是怎么摆的？ 2、推荐一种好的摆法，准备汇报，在汇报时说一说你小组为什么要推荐这种方法，它好在哪里？ 生：小组交流、推荐 师：我想，每个小组都已推出一种好方法。哪个小组愿意来汇报。 师：你们组是怎么摆的，请上来边摆边说边写 生:我们组摆出12，然后再颠倒就是21；再摆23，颠倒后是32；再摆13，颠倒后是31。一共可以摆出
课堂中的“空白”艺术 所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。 教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。 [片段一] 课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。 师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。 学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下： 第一种用符号表示：…… 第二种用画图表示：…… 第三种用实物表示：小棒、学具卡片……
第四种用数字表示：1、2、3、…… 第五种用“正”字表示。 学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。 [评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。] [片段二] 课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？ 学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？ 师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？ 生：因为有一双鞋就等于有一个人。 师：（数出人数后）你们想对屋里的小朋友说些什么吗？ 生1：你们乱放鞋子，出门时容易被鞋子拌倒，不安全。 生2：你们应该做文明的好孩子。 生3：你们要养成把东西摆放整齐的好习惯。 [评析：作为变式统计练习，这里一方面留有学生逻辑推理的空白，即“有一双鞋就等于有一个人”，渗透“透过现象看本质”的辨证思想；另一方面又留有学生情感、态度的空白，即“你们想对屋里的小朋友说些什么吗？”，由题及事，以事为载体，培养学生正确看待问题的态度以及要做文明好孩子的情感。] 以上两个片段，在教师的巧妙布白之中，学生们各抒己见，主动
教学内容：书98页例2及做一做。 教学目标： 1、借鉴排列问题的学习经验，通过摆一摆、写一写、画一画等活动 找出组合数。 2、在排列问题与组合问题的对比中，感悟两类问题的联系与区别， 进一步体会解决问题的策略和方法。 3、培养学生有序、全面思考问题的意识。 教学过程 （一）复习旧知，引入新知 上节课学的知识你们还记得吗？那老师来考考你们，一起来看这道题！1．课件出示：有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成两位数，一共能组成几个？ 师：谁来读读题？那一共能组成几个呢？ （1）请你们自己认真思考,把答案写在学习单上。 （2）选择不同想法的学生汇报。(投影展示) 刚才我们用调换位置\固定十位\固定个位这三种方法都能组成6个两位数。这是我们上节课学习有关搭配的知识。 2．导入新课： 今天我们继续学习搭配的问题！板书课题：搭配。 大家一起来看这道题。 （二）自主探究、获取新知 1．小组交流，初步感知
（1）理解题意。 ①课件出示第98页的例2。 有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，得数有几种可能？ ②指定学生读题。 问：你知道了什么？（审题和分析问题的能力） 追问：“其中2个”是什么意思？ “求和”是什么意思？ 那我们要解决什么问题是什么？生回答。 “得数有几种可能”又是什么意思？ 谁能完整地说一说题目的意思？（用5、7、9这三个数，两个两个相加，看看得数有几种可能？） （2）自主探究，小组探讨。 ①猜一猜：得数有几种可能呢？先请大家猜一猜。 ②摆一摆：到底得数有几种可能呢？下面就请大家用写一写或画一画的方法，探究一下得数有几种可能。 师：得数有几种可能？你是怎样想的？和同桌说一说你的想法。（3）交流方法。 ①学生汇报，师巡视，选取典型的案例展示。 现在，谁来向大家汇报一下，得数有几种可能？你是怎样想的？（学生回答。投影展示） 方法预设如下：
二年级数学《排列组合》教学反思二年级数学《排列组合》教学反思（精选4篇） 身为一名到岗不久的老师，课堂教学是重要的任务之一，对学到的教学技巧，我们可以记录在教学反思中，写教学反思需要注意哪些格式呢？下面是我们为大家收集的二年级数学《排列组合》教学反思（精选4篇），欢迎阅读与收藏。 二年级数学《排列组合》教学反思1 根据学生认知特点和规律，在本节课的设计中，我遵照《课标》的要求和低年级学生学习数学的实际，着眼于学生的发展，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、动手操作、游戏活动等方式组织教学。 1、创设情境活用教材 我对教材进行了灵活的处理，课一开始，老师就创设了和三只小动物参观数学乐园，充分地调动了学生的学习兴趣，同时也将学生知识很好地融合到生活中去。整堂课教师就是围绕这个大情景来教学的。在一个又一个的活动情境中渗透排列和组合的思想方法，让学生亲身经历探索简单事物排列和组合规律的过程，在活动中主动参与，在活动中发现规律。课的设计比较适合低年级学生的年龄特点。 2、关注合作促进交流
以同桌或小组合作的形式贯穿全课，充分应用同桌,分组合作、共同探究的学习模式，在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会了知识，体验了学习的乐趣，思维活动也更加活跃。 3、练习题的设计力求游戏化 使学生在快乐愉悦的氛围中愉快的学习知识，如抽奖游戏从而大大提高了学习的兴趣。 教后反思： 1、教师对学生的小组合作学习指导不够，有个别学生还不能有效参与。 2、对教材的理解不够透彻,对学生的指导不够细致，不够具体，如在抽奖游戏过程中，由于时间关系，没有让学生板演，或说出自己的想法，草草收场。 3、教师语言不够精练,放手不够到位。如排列教学中，没有留给学生更多的思维空间，让学生自己找出不同摆法。 4、今后应加强理论学习，不断改进课堂教学，提高教学效率。 二年级数学《排列组合》教学反思2 排列与组合的思想方法在生活中运用非常广泛，不但是后面学习概率统计知识的基础，同时也是培养和发展学生抽象的逻辑
2 组合 一课时 教学内容 组合。(教材第98页) 教学目标 1. 使学生通过观察、操作、猜测等数学活动,找出简单事物的组合数。 2. 培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3. 使学生感受数学在现实生活中的应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。重点难点 重点:经历探索简单事物组合规律的过程。 难点:初步理解简单事物排列与组合的不同。 教具学具 课件、数字卡片。 教学过程 一创设情境，铺垫孕伏 师:同学们,老师要带你们去一个非常有趣的地方——“数学广角”,你们想去吗?要想进入“数学广角”,首先要买门票。票价是每人5角,老师为每位同学准备了1张5角、2张2角、5张1角的人民币,你知道有几种付钱方法吗? 学生汇报5角钱的付法。 师:买好了门票,我们可以顺利进入“数学广角”了。 【设计意图:根据低年级学生的年龄特点,创设游玩情境,激发学生的学习兴趣。课始,将“做一做”中的“买5角钱拼音本”改为“买票价5角的门票”,利用学生已有的知识经验,让学生初步感知5角钱的几种不同组合方式】 二合作探究，体验新知 1.师:大家在“数学广角”里这么快就学会了一项新本领,老师提议每组的3位同学每两个人握一次手,互相加油,争取在下面的活动中有更精彩的表现。 (1)猜一猜:3人中每两个人握一次手,一共握几次? (2)各小组3个同学互相握一握,验证猜想。 (3)指名演示,感受方法。 (4)小结:3个人握手时,可以先确定一个人和另外两个人分别握一次,剩下的两个人再互相握一次,一共握3次。 【设计意图:让小组3人互相握手,亲身体验组合,有助于学生在接下来的学习中理解排列与组合的不同】 师:上节课我们用1、2、3三个数字能组成6个两位数,而3个同学每两个人握一次手,只握了3次,这是为什么呢? 学生小组讨论后汇报交流。
第四章 生成函数 1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（） （2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?????=4 1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2 1 1x -. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生 成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ? ???????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1)x x -=0 k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成 函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= () 1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
第三讲排列组合问题 例题精讲 在日常生活中，我们经常会碰到许多排列组合问题。 例1从晓明家到博迪教育共有三条路可走，从博迪教育到西湖有两条路可走，那么从晓明家到西湖有多少路可走？ 分析：对这种问题的题目分析，可以先画一个简单的示意图： 可以这样想，从晓明家到博迪如果走①，那到鼓楼后，可有甲、乙两条路可走，如果走②、③的话，到博迪后，分别有两条路可以走，所以从晓明家到西湖共有3×2=6（条）路可走。 例2 幼儿园有3种不同颜色（红、黄、蓝）的上衣，4种不同颜色（黑、白、灰、青）的裙子，请问可以搭配出多少套衣服？ 分析：按照次序思考，如果穿红色上衣，就会有四种颜色的裙子可以搭配，同样，如果是黄色、蓝色上衣，同样也有四种颜色的裙子可以搭配，因此 可供搭配的种类有3×4=12（种）。所以，总共有12种搭配方法。
例 3 小红昨天去文三路上一家火锅店吃火锅，她准备在牛肉、羊肉和鱼丸中挑选一个肉类，青菜、生菜、香菜、白菜和菠菜中挑选一个蔬菜，在蘑菇、香菇和金针菇中挑选一个菌类，那总共有多少种不同的搭配方法？ 分析：肉类三选一，是3；蔬菜五选一，是5；菌类三选一，是3，相乘是45. 例3 从杭州到北京共有5个车站（包括杭州和北京）。每个汽车站售票处要为这条线路准备多少不同的车票？ （杭州-上海-苏州-南京-北京） 分析：我们将车站编号为A，B，C，D，E.那么A号站到其他车站的车票共有4种，即A→B，A→C，A→D，A→E。同样，B号站到其他车站的票号也有4种，即B→A，B→C，B→D，B→E。（这里A→B和B→A的车票是不一样的，出发站和终点站不一样）所以每个站都必须准备4种不同的车票。所以总有车票的数量是：4×5=20（种）
组合数学与图论复习题及答案 1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2. 从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。 任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到 2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。 2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100. 设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj ＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。 3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。 鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质 4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q). 令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。 在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有 R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤ R(p,q-1)+R(p-1,q) 5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。 从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。 若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats? 6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。 7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?
小学二年级数学排列组 合题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学二年级数学排列组合题一、关于数字 （1）3、6、8三个数字，任意两个数字相加，会有几个答案任意两个数字组合，可以得到几个两位数 （2）3、0、8三个数字，任意两个数字相加，会有几个答案任意两个数字组合，可以得到几个两位数 （3）2、5、7、9四个数字，任意两个数字相加，会有几个答案任意两个数字组合，可以得到几个两位数 （4）2、5、0、9四个数字，任意两个数字相加，会有几个答案任意两个数字组合，可以得到几个两位数 （5）1、3、0、7、9五个数字，任意两个数字相加，会有几个答案任意两个数字组合，可以得到几个两位数 二、关于币值 （1）以下3枚硬币，可以形成几种币值？ （2）以下4枚硬币，可以形成几种币值？
（3）以下4种纸币，可以形成几种币值？ 三、关于比赛 （1）学军小学二（1）、二（2）、二（3）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （2）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （3）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）、二（5）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （4）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）、二（5）、二（6）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ 四、服装搭配 （1）小明有两件外套、两条长裤，他有几种穿法？ 小明有三件外衣，两条长裤，两条围巾，他共有几种穿法 五、关于买书 （1）小明有25元钱，下面3本书，他最多可买几本有几种买法 12元 12元 12元 （2）小明有40元钱，下面这些书，小明至少要买一本，共有几种买法？各花了多少钱？ 12元 12元 10元 35元 5元 六、关于排队
二年级数学《简单的排列与组合》教案 二年级数学《简单的排列与组合》教案 教学目标： 1．使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。 2．培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3．引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。 4．培养学生的合作意识和人际交往能力。 教学重点：自主探究，掌握有序排列、巧妙组合的方法，并用所学知识解决实际生活的问题。 教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏。 教学准备：三只小动物的头像、两顶小雨伞图片、上锁的大门图片、纸条、实物投影仪等。 教学过程： 一、以故事形式引入新课 师：同学们，今天老师为大家带来了3只可爱的小动物，你们看它们是谁呀？（边说边贴出动物头像：小刺猬、小鸭、小鸡）小刺猬、小鸭和小鸡三个好朋友今天准备到企鹅博士家去做客呢，可是刚走了一半路，突然下起雨来，可是三只小动物只有两把伞,怎么办呢？ ▲（学生可能出现的答案有：①小鸡和小刺猬拼一把伞，小鸭自己打一把伞。②小鸭和小刺猬拼一把伞，小鸡自己打一把伞。③小鸭和小鸡拼一把伞，小刺猬自己打一把伞。） ▲当学生在回答以上方法时，教师根据学生的回答把相应的动物头像帖在伞的下面。 师：大家想的办法都不错。的确，三只小动物都和你们一样试了上面这三种方法，可最后它们却选择了第③种方法，你们知道这是为什么吗？原来呀，当它们开始用前面两种方法时，可没走几步，小刺猬身上的刺就把小鸭和小鸡给刺疼了，所以只能选择第③种方法。 （教学设计意图：不拘泥于教材，创设学生感兴趣的故事引入新课，
引起学生的共鸣。同时又渗透了简单组合及根据实际情况合理选择方法的数学思想，起到了一举两得的作用。） 二、用开密码锁的方法进行数的排列活动 师：三只小动物到了企鹅博士家的数学城堡，却发现大门紧闭，门上还挂着一把锁。想要开锁就要找到开锁的密码。锁的密码提示是：请用数字1、2、3摆出所有的两位数，密码就是这些数从小到大排列中的第4个。──企鹅博士留。） 师：三只小动物都犯傻了，怎么办呢？同学们能不能给他们帮帮忙？（生略） 师：那么我们就先每人拿出数字卡片，自己摆一摆，边摆边记，完成后，再小组内交流汇总，组长把整个小组摆出的数全写出来，当然重复的数字不用再写，然后全组同学一起把这些两位数从小到大排列起来，找到密码。 ▲ 学生先自己摆、记，然后小组汇总、排列、交流，教师进行巡视 并作适当指导。 （教学设计意图：以帮小动物开密码锁的方法来进行数的排列教学，使学生在充满兴趣的情感中不知不觉地进入了摆数活动，让学生在体验中感受，在活动操作中成功，在交流中找到方法，在学习中应用。这里先让学生独立思考，调动学生自主学习的积极性，再小组合作，让学生在宽松民主的气氛中，参与学习过程。同时从学生已有的知识基础出发，适当增加了难度，让这个密码出现在所有的两位数从小到大排列的第4个，这也是做到了“下要保底、上不封顶”的设计意图。）师：你们找到密码了吗？是多少？你们是怎么找到的呢？ ▲请几个小组的学生汇报找密码的过程。（略） 师：那么刚才你们摆两位数时，你摆出了几个呢？请用手势表示一下。▲学生举手后，问没摆全的学生是怎么摆的，问全摆出的学生又是怎么摆的，学生出现的情况可能有：有把1、2组成12，然后再交换位置变成21；1、3组成13，交换位置后是31；2、3组成23，交换位 置后是32。或者是随便摆一个看一个的。或者是这样摆12、13、23、21、31、32等。对这些摆法可让学生去比较一下，得出这两种方法 都是可行的。
小学二年级数学排列组合题 一、关于数字 （1）3、6、8三个数字，任意两个数字相加，会有几个答案？任意两个数字组合，可以得到几个两位数？ （2）3、0、8三个数字，任意两个数字相加，会有几个答案？任意两个数字组合，可以得到几个两位数？ （3）2、5、7、9四个数字，任意两个数字相加，会有几个答案？任意两个数字组合，可以得到几个两位数？ （4）2、5、0、9四个数字，任意两个数字相加，会有几个答案？任意两个数字组合，可以得到几个两位数？ （5）1、3、0、7、9五个数字，任意两个数字相加，会有几个答案？任意两个数字组合，可以得到几个两位数？
（1）以下3枚硬币，可以形成几种币值？ （2）以下4枚硬币，可以形成几种币值？ （3）以下4种纸币，可以形成几种币值？
（1）学军小学二（1）、二（2）、二（3）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （2）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （3）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）、二（5）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？ （4）学军小学二（1）、二（2）、二（3）、二（4）、二（5）、二（6）班要举行足球赛，每两个班之间都要比一场，一共要踢几场球？
四、服装搭配 （1）小明有两件外套、两条长裤，他有几种穿法？ 小明有三件外衣，两条长裤，两条围巾，他共有几种穿法
（1）小明有25元钱，下面3本书，他最多可买几本？有几种买法？ 12元12元12元 （2）小明有40元钱，下面这些书，小明至少要买一本，共有几种买法？各花了多少钱？ 12元12元10元35元5元
二年级数学上册排列组合同步学案新人教版 新人教版生活中有许多有趣的问题都跟排列组合有关，比如：用3张卡片摆成不同的三位数，看能摆成多少个不同的三位数；用几种颜色的衣服与几种颜色的裤子进行搭配，算算有多少种不同的搭配方法，等等。在解决这类问题时，要有顺序的思考，做到不重复、不遗漏。 【例题1】 用 2、6能摆成几个不同的两位数？用 2、6、7呢？ 【思路导航】 用数字排列组成数，按照一定的顺序先确定位上的数，然后考虑个位上有哪些数可以与其搭配，注意不重复、不遗漏、有顺序，写出所有情况。 解答（1）可以摆成 62、 26、（2）确定位上的数是2，摆成 26、27 确定位上的数是6，摆成 62、67 确定位上的数是7，摆成 72、76 答：一共可摆成6个不同的两位数，分别是 26、
27、 62、 67、 72、 76、跟踪训练1用下面的三张卡片能摆成几个不同的两位数？分别是多少？583 跟踪训练2用 4、2、8这三个数，可以组成多少个不同的两位数？ 【例题2】 小明有黄、红两种颜色的衣服各一件，蓝、黄两种颜色的裤子各一条，他有几种不同的穿法？ 【思路导航】 用衣服搭配组成不同的穿法，可以先固定衣服，用一种颜色的上衣与另外两种两种颜色的裤子进行搭配，再用另外一种颜色的上衣分别去搭配。也可以先固定裤子，用每种颜色的裤子和上衣分别去搭配。 解答用黄上衣可以和蓝裤子搭配，也可以和黄裤子搭配，有两种穿法。 用红上衣可以和蓝裤子搭配，也可以和黄裤子搭配，有两种穿法。 一共是4种穿法。跟踪训练1小红从家到邮局有2条路可走，从邮局到书店有3条路可走，小红从家经过到书店一共有多少种不同的走法？跟踪训练2小丽有两件毛衣：一件黄的，一件
组合数学练习题 第一章排列组合 1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？ 本题分为四种情况: 1位整数有4个: 2, 4, 6, 8 2位整数有4*4种方案, 有16个 3位整数有4*4*3种方案, 有48个 4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个 总共有4+16+48+96=164个这样的整数. 2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 (1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学 没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另 外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3 名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名 同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加 起来就是结果. C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+ C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9) (2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14 名同学中把省下的5名同学选出来, 然后再按照坐在不同排的情况进行计算, 同样分5 种情况考虑; 1) 从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学 进行全排列、另外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5 名同学中选出3名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名 同学中选出1名同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐 法安排数全部加起来再乘以从14名同学中任选出5名同学方法的数就是结果. C(14,5)*[P(9,9)*P(9,5)+P(9,8)*P(9,6)+P(9,7)*P(9,7)+P(9,6)*P(9,8)+ P(9,5)*P(9,9)] 3, n对夫妇,要求排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下， 又有多少种不同的方案？围一圆桌而坐且要求每对夫妇坐在一起,又有多少种方案? (1)本问中, 男女各有n名, 分别进行全排列各有n!种方案, 将他们交叉排列就有(n!)2种 方案, 同时男在女前或女在男前又是不同的方案, 所以要乘以2, 所以 方案数为--- 2 (n!)2 (2)本问较第一问要去掉变为圆周排列后的重复度, 总的人数为2n, 用第一问的方案数 除以2n, 所以 方案数为--- (n!)2/n (3)本问中, 每对夫妇交换位置坐的方案数为2n, 再把每对夫妇看成单个元素进行圆周 全排列, 方案为n!/n, 最后把两种方案数相乘, 所以 方案数为--- 2n n!/n 4, 有16名选手，其中6名只能打后卫，8名只能打前锋，2名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？ 根据2名既能打前锋也能打后卫选手的不同情况来计算方案
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。 解：()() ++++++=++++++=n n n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780 ()0464143213 13 =+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a 左右同乘再连加： 0464:0 464:0 464:0464: 4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x 母函数：()()42 162036-+-=x x x x G 2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。 解：1(1) n x -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1) x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x --+,求序列{ n a } 解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=) 61()91(x B x A ++- 从而有： ???-==????=-=+4 778963B A B A B A G （X ）=) 61(4)91(7x x +-+- G （X ）=7)999x (13322 ++++x x - 4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x x
n a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156x x x ---，求对应的序列{}n a 。 解：母函数为239()156x G x x x -= --39(17)(18)x x x -=+- A B G(x)17x 18x A(18x)B(17x)39x = ++--++=-令 A B 38A+7B=9+=??--? 解得：A=2 B=1 所以 i i i 0i 0 21G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑ n n n a 2*(7)8=-+ 2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。证明：0321=+---n n n G G G ， n =2，3，4…。求},,,{210 G G G 的母函数。 解：设 ++++=332210)(x G x G x G G x H ，则 44332210)(x G x G x G x G G x H ++++= ……① ++++=43322103333)(3x G x G x G x G x xH ……② +++=4231202)(x G x G x G x H x ……③ ①-②+③，得： ()x G x G G x H x x 01023)(31-+=+- 又已知 n n F G 2=，则 000==F G ，121==F G 所以，)2 53)(253(31)(2x x x x x x x H ---+=+-= 设x B x A x H --+-+=253253)(，则可列出方程组：
人教版二年级上册数学教学设计（第8单元数学广角-搭配（一）） 第2课时简单的组合 教学内容 教材第98页例2及“做一做”。 内容简析 例2 紧密结合学生已有知识,让学生从3个数中任取2个求和,确定得数的种类数。两个数相加之和与数的位置无关,是组合问题。其编排层次有2层,第一层次是找出所有满足条件的和,第二层次是数出满足条件的和的个数。 教学目标 1.让学生在摆一摆、写一写、画一画等活动中了解并发现最简单事物的组合数的基本思路和解决方法,培养学生有序、全面地思考问题的意识,初步体会组合的思想方法。 2.在发现最简单事物的组合数的过程中,培养学生初步的观察、分析、推理能力,以及恰当地进行数学表达的能力。 3.在排列问题和组合问题的对比中,感悟两类问题的联系与区别,进一步体会解决问题的策略与方法。 4.使学生初步感受组合的思想方法在日常生活中的应用,初步感受数学与生活的密切联系。 教学重难点 经历探索最简单事物的组合过程,并掌握其解决方法。 教法与学法 1.基于学生已有的排列问题的解题策略和方法,让学生在操作中探究组合问题的解决方法,引导学生有序、全面地思考问题,在解法交流的过程中体会解法多样化,同时能比较出排列问题和组合问题的相同点和不同点。 2.通过操作、观察、猜测等活动,使学生了解发现最简单事物的排列数和组合数的基本思路、基本方法。 承前启后链 复习:最简单事物学习:探索最简单事延学:发现图形排
教学过程 一、情景创设,导入课题 复习导入: 1.复习“排列”。 师:用数字卡片1、2能摆出几个不同的两位数? 生:能摆出两个不同的两位数:12和21。 2.引出“组合”。 师:如果把这两张数字卡片上的数字相加,和会有几种呢? 学生讨论汇报。 师:因为是求两张卡片的和,调换位置的和都是3,和不会变化,得数只有一种。这种不受位置影响的方式叫“组合”。(板书:组合)今天我们就来研究“简单的组 合”。(把板书补充完整) 【品析 ．．．．．．．．．．．,．并通过两张 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．调动学生已有的知识经验 ．．．:．让学生回顾解决排列问题的策略和方法 数字卡片求和引出“组合” ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．突出强调“组合”与“排列”的不同点 ．．．．．．．．．．．．．．．．．:．不受位置影响。】谈话导入: 同学们,在前面的学习中,我们发现平时的吃饭、穿衣、走路中都蕴含着搭配、排列等数学问题。通过有序思考,我们将它们一一解决了。今天我们继续走进数学广角,探索简单的组合知识。(板书:简单的组合) 【品析 ．．．．．．．．．．,．鼓励学生以积极的态度投入新课的学习。】 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．:．通过谈话激发学生兴趣 情景导入: 1.师:今天这节课,数学广角里的数学小精灵来了,她今天将带领我们在数学广角里学习、游戏。你们高兴吗?(高兴) 师:不过,要进“数学广角”必须得买门票,儿童票5元一张。如果你能用1张5元、2 张2元、5张1元的钱币说出5元钱的几种不同的付法,就可以免费到数学广角去玩。 2.学生小组合作:展示学生的不同付法。 …… 师:真了不起!想出了这么多种付钱方法,有重复或遗漏的吗?真棒,全员免费进入
简单的组合教学设计 教学内容：教材第98页，例2级练习二十四部分习题。 教学目标： 1.知识与能力：借鉴排列问题的学习经验，通过摆一摆、写一写、画一画等活动找出组合数。 2.过程与方法:在排列问题与组合问题的对比中，感悟两类问题的联系与区别，进一步体会解决问题的方法与策略。 3.情感态度与价值观：用数学方法解决生活中的问题，感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣，培养学生有序全面的思考。 教学重难点： 重点：经历探索简单事物的组合数的过程。 难点：初步感受排列与组合的区别。 课前准备 教师准备PPT课件 教学过程 一复习旧知，引入新知 课件出示题目：有3个数字5、7、9，任意选取其中2个组数组成没有重复数字的两位数，能组成几个两位数？分别是哪几个两位数？ 1、明确问题，交流思路。 自己读一读 2、独立完成此题。
同学们，你可以用摆一摆、画一画、列表等方法找到问题的答案。 3、汇报交流解题思路 二.小组合作，探索新知 ⊙新知探究 1．课件出示教材98页例2。有3个数5、7、9，任意选取其中2个求和，得数有几种可能？ 2．理解题意。(1)任意选取其中2个求和。(2)问得数有几种可能。3．自主探究。(1)写一写、算一算有几种可能。(2)摆一摆、议一议，说一说思考过程。 4．汇报交流。师：谁来说一说你是怎样想的、怎样做的？得数有几种可能？预设生1：我是用列表的方法做的。得数有3种可能。生2：我也是用列表的方法做的。我也是先取5和7，再取5和9，最后取7和9，因为交换两个加数的位置，和不变，所以我只列了3组数据，得数有3种可能。如下表：加数加数和 5 7 12 5 9 14 7 9 16我是通过列算式计算的方法得出得数有3种可能。5＋7＝12，7＋5＝12；5＋9＝14，9＋5＝14；7＋9＝16，9＋7＝16。生4：我用连线的方法，5和7连一次，5和9连一次，7和9连一次。思路和第二位同学一样，得数也有3种可能。…… 5．比较。(1)方法比较。师：上面几种方法，你最喜欢哪一种？为什么(2)知识比较。①上节课学过的例1和本节课学习的例2有什么区别？(例1是用1、2、3三个数字组成没有重复数字的两位数；例2是从5、7、9三个数字中任取两个求和) ②同样是三个数字，为什