统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率

{}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q +=

(),()E X np Var X npq ==

()()tX t n E e q pe =+其中t -￥<<￥

解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率

几何分布()Geo p p 为成功概率

()x P X x pq ==

2(),()E X q p Var X q p ==

()(1),ln tX t E e p qe t q =-<-

解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次

负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率

1{}x k x k x P X x C p q +-==

2(),()E X kq p Var X kq p ==

()(),ln 1tX k t p E e t q qe

=<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率

泊松分布()P l

{},0!

x

P X x e x l l l -==> (),()E X Var X l l ==

(1)()t

tX e E e e l -=，t -￥<<￥

解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数

均匀分布(,)U a b

1

(),X f x a x b b a =<<-；(),X x a

F x a x b b a -=<<-

2

()(),()212a b

b a E X Var X +-==

11

()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+-

正态分布2(,)N m s

2

1)

2()x X f x m s --

=

2(),()E X Var X m s ==

22

1

2()t t tX E e e m s +=

对数正态分布2log (,)N m s

2

1

ln ()

2()x X f x m s --=2

221

22(),()(1)E X e Var X e e m m s s ++==-

22

1

2()t t t E X e m s +=

解释：如果X~2log (,)N m s ,则logX ～2(,)N m s

指数分布()Exp l

()x X f x e l l -=，()1x X F x e l -=-

21

1

(),()E X Var X l l ==

(1)

()r r r E X l G +=

1()(1,X t

M t t l l -=-<

伽马分布(,),0,0Gamma a l a l >>；形状参数，规模参数

1()()

x X f x x e a

a l l a --=G 2(),()E X Var X a a l l =

= ()()()r r r E X a l a G +=G ()(1,X t M t t a l l

-=-< 解释：

帕累托分布(,),0,0Pareto a l a l >>；比例参数，规模参数 1(),0()X f x x x a a al l +=>+ ()1(X F x x

a l l =-+ 2

2(),1;(),21(1)(2)

E X Var X l al a a a a a =>=>---(1)()(),()r r

r r E X r l a a a G +G -=>G 韦伯分布(,)Weibull c r

1(),0;()1r r

r cx cx X X f x crx e x F x e ---=>=-2121121(1)(1)(1(),()(r r r r r r E X Var X c c c G +G +G +==- (1)()r

r E x c w w

w G += 解释：对于指数分布，用r

x 替代x 则得到韦伯分布

2c 分布2n c 自由度n 112221

()2()2n x X n f x x e n --=G

2()2(),()2,()(2

r r n r E X n Var X n E x n G +===G 21()(12),2n tx E e t t -=-< 解释：n 个独立的标准状态分布随机变量的平方和服从2c 分布。2c 分布是伽马分布的特例

2n c ＝1(,)22

n Gamma 。2c 分布常用来作检验对分布的拟合是否恰当（非参数检验）。

贝塔分布(,),0,0Beta a b a b >>

11()()(1),01()()

X f x x x x a b a b a b --G +=-<

E X Var X a ab a b a b a b ==++++ ()()()()()r r E X r a b a a b a G +G +=

G ++G 解释;n 个取自（0，1）上均匀分布的随机样本的r 阶统计量服从(,1)Beta r n r -+ T 分布n t 自由度

n

1221(

)2()(1)(2

n

X n x f x n n +-+G =+ ()0,1;(),22n E X n Var X n n =>=>- 解释：如果1(0,1)X N :和22n X c :相互

n t :。例如取自正态母体的样本均値标准化后服从t 分布。

F 分布,m n F m 为分子的自由度，n 为分母的自由度 1222(

)2()()(1)()()22m m m n X m n m mx f x x m n n n

+--+G =+G G 22

2(2)(),2;(),42(4)(2)n n m n E X n Var X n n m n n +-=>=>--- ()()()22(),2((22

r r n m n r r m E X n r m n +G -=>G G 解释：如果21m X c :和22n X c :相互独立，则1,2m n X m F X n

:。例如两个取自正态母体的样本方差之比服从F 分布。F 分布用于检验对方差的估计。

布尔分布(,,)Burr a l g

1

1()()X x f x x a g g a agl l -+=+

1

11

()(1)1

(),()E X l l a g g a a g

G -G +=>G 2

222

()(1)

2

()[()],()Var X E X l l a g g a a g G -G +=->G ()(1)

(),()E w

l w w

w

l a w

g g l a a g G -G +=>G

广义帕累托分布(,,)Pareto k a l

1

()()()()()k X k k x f x k x a a a l a l -+G +=G G + 22(1)

(),1;(),21(1)(2)k k k E X Var X l l a a a a a a +-=>=>---()()

(),()()r r r k r E X r k l a a a G +G -=>G G

统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1. 三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 (Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量2222 12n =+X X χ++…X 为 服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n αχχ，对给定的实数 ),10(<<αα称满足条件: αχχαχα==>? +∞ ) (222 )()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量 T = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n . t 分布的密度函数为

常用医学统计学方法汇总

选择合适的统计学方法 1连续性资料 1.1 两组独立样本比较 1.1.1 资料符合正态分布,且两组方差齐性,直接采用t检验。 1.1.2 资料不符合正态分布，（1）可进行数据转换,如对数转换等,使之服从正态分布,然后对转换后的数据采用t检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.1.3 资料方差不齐，（1）采用Satterthwate 的t’检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.2 两组配对样本的比较 1.2.1 两组差值服从正态分布，采用配对t检验。 1.2.2 两组差值不服从正态分布，采用wilcoxon的符号配对秩和检验。 1.3 多组完全随机样本比较 1.3.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用完全随机的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey 法，Scheffe法，SNK法等。 1.3.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Kruscal－Wallis法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用成组的Wilcoxon检验。 1.4 多组随机区组样本比较 1.4.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用随机区组的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey 法，Scheffe法，SNK法等。 1.4.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Fridman检验法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用符号配对的Wilcoxon检验。 ****需要注意的问题： （1）一般来说，如果是大样本，比如各组例数大于50，可以不作正态性检验，直接采用t 检验或方差分析。因为统计学上有中心极限定理，假定大样本是服从正态分布的。 （2）当进行多组比较时，最容易犯的错误是仅比较其中的两组，而不顾其他组，这样作容易增大犯假阳性错误的概率。正确的做法应该是，先作总的各组间的比较，如果总的来说差别有统计学意义，然后才能作其中任意两组的比较，这些两两比较有特定的统计方法，如上面提到的LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。**绝不能对其中的两

《概率统计学》答案

单项选择题： 1.D 对以往数据分析的结果表明，机器在良好状态时，生产的产品合格率为90％，而当机器在有故障状态时，产品合格率为30％，每天开机时机器良好的概率为75％。当某天开机后生产的第一件产品为合格品时，机器是良好状态的概率等于（）。 A、0.9 B、0.75 C、0.675 D、0.525 2.D 袋中有5个球（3个新球，2个旧球）。现每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取到新球的概率是（）。 A、3/5 B、3／4 C、1／2 D、3／10 3.B 已知在10个电子元件中有2只是次品，从其中取两次，每次随机的取一只，做不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（）。 A、1／45 B、1／5 C、16／45 D、8／45 4.A 已知P（A）＝P（B）＝P（C）＝1／4，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝3／16，则事件A，B，C全不发生的概率等于（）。 A、7／16 B、3／4 C、1／4 D、9／16 5.D 6.C

7.B 8.B 甲、乙两袋内都装有两个黑球和两个白球，现从甲、乙两袋中各摸取一个球，记事件A为“从甲袋中摸出白球”，B为“从乙袋中摸出白球”，C为“摸出的两个球颜色不同”，则有（）。 A、A，B，C相互独立 B、A，B，C三个事件两两独立 C、A，B，C三个事件两两互不相容 D、AB与C互不相容 9.D 10.C 对于任意两个事件A与B，则有P（A－B）为（） A、P（A）－P（B） B、P（A）－P（B）＋P（AB） C、P（A）－P（AB） D、P（A）＋P（AB） 11.C

12.D 13.A 14.C 15.B

spss教程常用的数据描述统计：频数分布表等统计学

第二节常用的数据描述统计 本节拟讲述如何通过SPSS菜单或命令获得常用的统计量、频数分布表等。 1．数据 这部分所用数据为第一章例1中学生成绩的数据，这里我们加入描述学生性别的变量“sex”和班级的变量“class”，前几个数据显示如下（图2－2），将数据保存到名为“2-6-1.sav”的文件中。 图2－2：数据输入格式示例 1．Frequencies语句 （1）操作 打开数据文件“2-6-1.sav”，单击主菜单Analyze /Descriptive Statistics / F requencies…，出现频数分布表对话框如图2-3所示。 图2－3：Frequencies定义窗口 把score变量从左边变量表列中选到右边，并请注意选中下方的Display frequency table复选框（要求

显示频数分布表）。如果您只要求得到一个频数分布表，那么就可以点OK按钮了。如果您想同时获得一些统计量，及统计图表，还需要进一步设置。 ①Statistics选项 单击Statistics按钮，打开对话框，请按图2-4自行设置。有关说明如下： （ⅰ）在定义百分位值（percentile value）的矩形框中，选择想要输出的各种分位数，SPSS提供的选项有： ●Quartiles四分位数，即显示25%、50%、75%的百分位数。 ●Cut points equal 把数据平均分为几份。如本例中要求平均分为3份。 Percentile显示用户指定的百分位数，可重复多次操作。本例中要求15%、50%、85%的百分位数。(ⅱ) 在定义输出集中趋势（Central Tendency）的矩形框中，选择想要输出的集中统计量，常用的选项有： ●Mean 算术平均数 ●Median 中数 ●Mode 众数 ●Sum 算术和 （ⅲ）在定义输出离散统计量（Dispersion）的矩形框中，选择想要输出的离散统计量，常用的选项有： ●Std. Deviation 标准差 ●Variance 方差 ●Range 全距 ●Minimum 最小值 ●Maximum 最大值 ●S.E. mean 平均数的标准误 （ⅳ）描述数据分布（Distribution）的统计量 ●Skewness 偏度，非对称分布指数。 ●Kurtosis 峰度，CASE围绕中心点的扩展程度。 另外，频数过程（Frequence）除了能够提供上面常用的统计量外，还可以对分组数据计算百分位数和中数（Values are group midpoints），即对于已经分组的数据，并且数据中的原始数据表示的是组中数的数据计算百分位数的值和中位数。

三大抽样分布

三大抽样分布 众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2 分布、t布和F分布。这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。 三大抽样分布的研究意义 c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”这句话一语道破统计学的重要性。三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。 X2分布 x2的早期发展 由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。1891年，X2分布首次被作为统计量的分布导出。Pizzetti在求线性 模型最小二乘估计残差平方和的分布时，通过富氏分析法得出了X2的分布。随着时代的发展，正态分布理论的局限更加明显，更加推动了偏态分布的发展。KarlPearson是对偏态分布贡献最大的人，成为了一代统计学巨人。按照他的观点，统计学应该把在模型基础上对观测数据进行有效预测作为基本任务，所以他开创了一族曲线对观测数据进行拟合，使得分布拟台数据的应用范围进一步扩大。 X2模型

(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍 2分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后 用理论说明2分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件 MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.1 2分布 2（n ）分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 （Benayme ）赫尔默特（Helmert ）、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发 现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量X 1,X 2,…X n 相互独立，且都来自正态总体 N （0,，）,则称 统计量 2 =x ； X ；…+X ；为服从自由度为n 的2分布，记为 2 2 ~ （n ）. 2 分布的概率密度函数为 1 x e 2 x 0 J x 0 其中伽玛函数（X ） e t t x 1dt,x 0， 2 分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图? x 2 n 2° f(x; n)

2(n2) ,X!,X2相互独立，则X! X2~ 2g n2); 性质3: n 时，2(n) 正态分布; 性质4:设2~ 2(n),对给定的实数 (0 1),称满足条件： P{ 2 2(n)} 2(、f(x)dx (n) 的点2(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数. 简称为上侧分位数.对不同的与n,分位 数的值已经编制成表供查 分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'笔名 布在数理统计中也占有重要的位置. 1), Y?2(n), X,Y相互独立，，则称统计量T —X VY/ n 分布，记为T~t( n). 为 性质1: E( 2(n)) n,D( 2(n)) 2n ; 性质2:若X! 2(nJ,X2

统计学常用分布及其分位数

§1、4 常用得分布及其分位数 1、 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。 当X 1、X 2、… 、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑i i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布,记作Z ～2χ(n),它得分布 密度 p(z )=??? ????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1, ?? ? ??Γ21=π。2χ分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ～2χ(n ),Z ～2χ(m ),则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2、 t 分布 若X 与Y 相互独立,且 X ～N(0,1),Y ～2χ(n ),则Z =n Y X 得分布称为自由度等于n 得t 分布,记作Z ～ t (n ),它得分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。 请注意:t 分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t

统计学统计学概率与概率分布练习题

第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2(

5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。

统计学三大分布及正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量222 212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布， 记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n α χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条 件:αχχα χα ==>?+∞ ) (2 22)()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查 用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名 首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/T Y n = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .

统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率 {}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q += (),()E X np Var X npq == ()()tX t n E e q pe =+其中t -￥<<￥ 解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率 几何分布()Geo p p 为成功概率 ()x P X x pq == 2(),()E X q p Var X q p == ()(1),ln tX t E e p qe t q =-<- 解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次 负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率 1{}x k x k x P X x C p q +-== 2(),()E X kq p Var X kq p == ()(),ln 1tX k t p E e t q qe =<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率 泊松分布()P l {},0! x P X x e x l l l -==> (),()E X Var X l l == (1)()t tX e E e e l -=，t -￥<<￥ 解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数

均匀分布(,)U a b 1 (),X f x a x b b a =<<-；(),X x a F x a x b b a -=<<- 2 ()(),()212a b b a E X Var X +-== 11 ()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+- 正态分布2(,)N m s 2 1) 2()x X f x m s -- = 2(),()E X Var X m s == 22 1 2()t t tX E e e m s += 对数正态分布2log (,)N m s 2 1 ln () 2()x X f x m s --=2 221 22(),()(1)E X e Var X e e m m s s ++==- 22 1 2()t t t E X e m s += 解释：如果X~2log (,)N m s ,则logX ～2(,)N m s 指数分布()Exp l ()x X f x e l l -=，()1x X F x e l -=- 21 1 (),()E X Var X l l == (1) ()r r r E X l G += 1()(1,X t M t t l l -=-<

统计学三大分布与正态分布的差异

申请大学学士学位论文 大学 学士学位论文 统计学三大分布与正态分布的差异年级专业： 学生： 指导教师：

统计学三大分布与正态分布的差异 中文摘要 统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策者提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。而对数据的分析过程中就需要利用到数据的分布来研究分类。 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。而由正态分布构造的三大分布在实际中有广泛的应用，因为这三大分布不仅有明确的背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，研究三大分布与正态分布有助于研究实际事例，比如经济安全与金融保险领域、人口统计等。 本文讨论了三大分布与正态分布，并将它们之间的密度函数进行比较说明. 第二章介绍了正态分布的定义、性质，三大分布的定义、性质。 第三章介绍了正态分布与三大分布的密度函数，并将它们之间的密度函数进行比较关键词：正态分布；三大分布；密度函数 The Difference between the Three Statistical Distributions and the Normal Distribution Abstract Statistics is a branch of applied mathematics, the mathematical models are mainly established by the probability and statistics theory based on the collecting

统计学名词解释

名词解释 1.统计学：是应用概率论和数理统计的基本原理和方法，研究数据的收集、整 理、分析、表达和解释的一门科学。 2.医学统计学：是应用统计学的基本原理和方法，研究医学及其有关领域数据 信息的搜集整理、分析、表达和解释的一门科学。 3.抽样：是从研那个研究总体抽取少量有代表性的个体，称为抽样。 4.统计推断：是根据已知的样本信息来推断未知的总体，是统计分析的目的， 包括参数估计和假设检验。 5.总体：是根据研究目的确定的同质研究对象的全体。 6.概率：是随机事件发生可能性大小的数值度量。 7.同质：是指所研究的观察对象具有某些相同的性质或特征。 8.变异：是同质个体的某项指标之间的差异，即个体差异。 9.正态分布：频数分布的高峰在中间，两端基本对称，逐步减少，这种分布称 为近似正态分布，如果两端完全对称则称为正态分布。 10.医学参考值范围：又称正常值范围，医学上常将包括绝大多数正常人的某指 标值的波动范围称为该指标的正常值范围。 11.动态数列（dynamic series）：是按照一定的时间顺序，将一系列描述某事 物的统计指标依次排列起来，观察和比较该事物在时间上的变化和发展趋势，这些统计指标可以为绝对数、相对数或平均数。 12.人口金字塔：将人口的性别与年龄资料结合起来以图形的方式表达人口的性 别与年龄结构，以年龄为纵轴，人口百分比为横轴，左侧为男，右侧为女，两个对应的直方图，其形似金字塔。 13.负担系数（dependency ratio）:又称抚养比或抚养系数，是指人口中非劳 动年龄人数与劳动年龄人数之比。 14.标准化死亡比(SMR):实际死亡人数与期望死亡人数之比称为标准化死亡比。

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解: 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 由表格知X 并且，361)12()2(= ===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36 5)8()6(= ===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36 | 7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据 1)(0 ==∑∞=k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即 111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则 12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为： 2016 .06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

贾俊平《统计学》(第5版)课后习题-第6章 统计量及其抽样分布【圣才出品】

第6章　统计量及其抽样分布一、思考题 1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此 样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。 （2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。 （3）统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。 2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？ 1121021210310410()/10 min() T X X X T X X X T X T X μ μσ =+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。

3．什么是次序统计量？ 答：设12n X X X ，， …，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本 12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序 (1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。 4．什么是充分统计量？ 答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。 5．什么是自由度？ 答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。 6．简述2 χ分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系。答：（1）随机变量X 1，X 2，… X n 相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和21 n i i X =∑服从自由度为n 的2 χ分布。（2）随机变量X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的2 χ分布，且X 与Y 独立，

统计学常用分布及分位数

§1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、… 、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i i X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分布密度 p(z )=??? ????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ?? ? ??Γ21=π。2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X 的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=???? ?????>++-??? ??Γ??? ??Γ??? ??+Γ?。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z 1～F (m ,n )。 4. t 分布与F 分布的关系 若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。 证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=??? ??Γ?? ? ??+Γ221n n n π2121+-???? ??+n n x 。 Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y0时，F Y (y ) =P{-y

概率统计学答案

读书破万卷下笔如有神 单项选择题： 1.D 对以往数据分析的结果表明，机器在良好状态时，生产的产品合格率为90％，而当机器在有故障状态时，产品合格率为30％，每天开机时机器良好的概率为75％。当某天开机后生产的第一件产品为合格品时，机器是良好状态的概率等于（）。 A、0.9 B、0.75 C、0.675 D、0.525 2.D 袋中有5个球（3个新球，2个旧球）。现每次取一个，无放回的抽取两次，则第二次取到新球的概率是（）。 A、3/5 B、3／4 C、1／2 D、3／10 3.B 已知在10个电子元件中有2只是次品，从其中取两次，每次随机的取一只，做不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（）。 A、1／45 B、1／5 C、16／45 D、8／45 4.A 已知P（A）＝P（B）＝P（C）＝1／4，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝3／16，则事件A，B，C全不发生的概率等于（）。 A、7／16 B、3／4 C、1／4 D、9／16 5.D

6.C 读书破万卷下笔如有神 7.B 8.B 甲、乙两袋内都装有两个黑球和两个白球，现从甲、乙两袋中各摸取一个球，记事件A为“从甲袋中摸出白球”，B为“从乙袋中摸出白球”，C为“摸出的两个球颜色不同”，则有（）。 A、A，B，C相互独立 B、A，B，C三个事件两两独立 C、A，B，C三个事件两两互不相容 D、AB与C互不相容 9.D 10.C 对于任意两个事件A与B，则有P（A－B）为（）

A、P（A）－P（B） B、P（A）－P（B）＋P（AB） C、P（A）－P（AB） D、P（A）＋P（AB） 11.C 读书破万卷下笔如有神 12.D 13.A 14.C

统计学习题答案 第3章 概率与概率分布

第3章 概率与概率分布——练习题(全免) 1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？ 解:设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6 （4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2 2. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A ）的概率()P A 。 考虑逆事件A =“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。据题意，有： ()(10.2)(10.1)(10.1)0.648P A =---= 于是 ()1()10.6480.352P A P A =-=-= 3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。试求任一参考人员成绩优秀的概率。 解:设A 表示“合格”，B 表示“优秀”。由于B ＝AB ，于是 )|()()(A B P A P B P ＝＝0.8×0.15＝0.12 4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 解:设A ＝第1发命中。B ＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝ ＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9 脱靶的概率＝1－0.9＝0.1 或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1 5.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？

如何合理选择统计方法——常用统计学方法汇总

01如何选择合适的统计学方法？ 1连续性资料 1.1 两组独立样本比较 1.1.1 资料符合正态分布,且两组方差齐性,直接采用t检验。 1.1.2 资料不符合正态分布，（1）可进行数据转换,如对数转换等,使之服从正态分布,然后对转换后的数据采用t检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.1.3 资料方差不齐，（1）采用Satterthwate 的t’检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.2 两组配对样本的比较 1.2.1 两组差值服从正态分布，采用配对t检验。 1.2.2 两组差值不服从正态分布，采用wilcoxon的符号配对秩和检验。 1.3 多组完全随机样本比较 1.3.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用完全随机的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。 1.3.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Kruscal－Wallis法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用成组的Wilcoxon检验。 1.4 多组随机区组样本比较 1.4.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用随机区组的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。 1.4.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Fridman检验法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni 法校正P值，然后用符号配对的Wilcoxon检验。 ****需要注意的问题： （1）一般来说，如果是大样本，比如各组例数大于50，可以不作正态性检验，直接采用t检验或方差分析。因为统计学上有中心极限定理，假定大样本是服从正

统计学常用分布及其分位数知识讲解

统计学常用分布及其 分位数

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 §1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的 分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分 布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时， Z=∑i i X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～ 2χ (n)，它的分布密度 p(z )=???????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的?? ? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ??? ??Γ21=π。2χ分布是非对称分布，具有可加性， 即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互 独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X 的分布称为自由度 等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ? ?+n n z 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30 时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～ 2χ(m )， 则Z=m Y n X 的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=?????????>++-??? ??Γ??? ??Γ??? ??+Γ?。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z ～F (n , m )时， Z 1～F (m ,n )。 4. t 分布与F 分布的关系 若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。 证：X ～t(n )，X 的分布密度 p(x )=??? ??Γ?? ? ??+Γ221n n n π2121+-???? ??+n n x 。 Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y0时，F Y (y ) =P{-y