七 年级（下）数学教案系列 编号14011 班级： 姓名：
课题：构造三线八角基本图
主备：谢 华 审核：七年级备课组 时间：2014年 2月 第 3 周
[学习目标] 熟练掌握平行线的性质和判定的应用，能从较复杂的几何图形中找出平行线三
线八角的基本图形.
[教学重难点] 在较复杂的几何图形中构造辅助线完成平行线的性质和判定的应用. 【课堂前置】
如图1，木杆AB 与CD 平行，木杆的两端B 、C 用一根橡皮筋连接，现将图1中的橡皮筋拉成图2所示的形状，判断∠B 、∠BPC 、∠C 之间有何数量关系？试说明理由.
思考：你试着想象拉动橡皮筋你还能变出不同于图2的新图形吗？如果能，画出图形并探究图2中的结论是否还成立？它们的解决方法是类似的吗？
图1
D
C
B
A
P
A
B
C
D
图2
【拓展练习】
1.已知：如图，AB∥DE,求证：∠B+∠D-∠BCD=180o.
2.如图，AB∥CD,∠1=∠B, ∠2=∠D,求证：BE⊥DE.
3.如图，AB∥GF，∠C+∠F=∠ABC,求证：CD∥EF.
2
1
E
D C
B A
E
D
B
A
G
F
E
D
C
B A
“三线八角”识别方法 两条直线被第三条直线所截，可得到“三线八角”，并通过这些角的关系研究平行线的概念、平行线的性质及平行线的判定方法，进而利用平行线的概念、性质、判定方法进行说理，这是推理证明的初级阶段，是几何入门的难点之一，因此教会学生准确识别“三线八角”显然很有必要。 在“三线八角”的教学中，由于学生刚开始接触几何图形，观察能力较弱，特别是在不规则图形中，被截线和截线模糊不清，各个角的位置错综复杂，为数不少的学生形成识别困难，因此如何采用适当方法，帮助学生化解认知上的难点，便是我们教学组织者的首要问题。下面笔者结合自己教学实践，谈谈“三线八角”的识别方法。 方法一：联想英文字母识别角，即“F”型的同位角、“Z”型的内错角、“U”型的同旁内角。 仔细观察“三线八角”中各个角的位置特征，就可联想英文字母F、Z、U相似的形象，这样可帮助学生更方便快捷地识别“三线八角”。 同位角、内错角、同旁内角
分析：（1）将∠1与∠5 分离出来，如图②所示，可以看出∠1∠5是不规则的翻折的“F A B 、CD 被直线EF 同理，图①中的∠4与∠8是正立的“型，是同位角．∠2与∠6到的“F ”型，是同位角．∠ 3与∠7翻折的“F ”型，是同位角。 （2）将∠3与∠5从图①中分离出 来，如图③所示，可以看出∠3与∠5 呈不规则正立的“Z ”型，是直线A B 、CD 被直线EF 所截构成的内错角；同 理，图①中的∠4与∠6是翻折的不规 则“Z ”型，是内错角。 (3) 将∠4与∠5从图①中分离出 来，如图④所示，可以看出∠4与∠5 呈旋转的不规则的“U ”型，是直线A B 、CD 被直线EF 所截构成的同旁内角；同 理，图①中的∠3与∠6呈旋转的不规则 的“U ”型， 是同旁内角。 方法二：利用概念识别角。
平行线与相交线（1） 、知识概述 （一）从台球桌面上的角，弓I出有关角的概念1、两角互余、互补的概念及性质 （1）定义： 如果两个角的和是180° 那么这两个角互为补角.（如图）简称互补. 如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.（如图）简称互余. 说明：①互余、互补是指两个角的关系 ②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关③用数学语言表述为: 若/a+ /3=180 °，则/a与互补；反之，若/a与互补，则/a+/B =180°. 若/a+/B =90。，则/a与/B互余；反之若/a与/B互余，则/a+ /3 =90 °. （2）性质: ①同角或等角的补角相等 ②同角或等角的余角相等2、对顶角的概念 （1）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 / 1和/ 3,/ 2和/ 4是对顶角. .如图中的
由对顶角的位置特点也可将其描述为: ①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角 说明：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的 ③对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线 （2）对顶角的性质：对顶角相等. （二）探索直线平行的条件 1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则 不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角 如图所示，直线AB、CD被直线EF所截, 形成了 （1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角如/ 1 和/ 5,/ 3 和/ 7,/ 4 和/ 8,/ 2 和/ 6. （2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角例如/ 3和/ 5,/ 4和/ 6. （3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.例如/ 4和/ 5,/ 3和/ 6. 2、两条直线平行的条件: 两条直线被第三条直线所截，如果 （1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行 二、重难点知识剖析 1、互为补角和互为邻补角的关系.互为补角是两个角的和为 它们的和为180。有关，又与位置有关，不要混淆. 180°,与它们的位置无关. 而互为邻补角既与 2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解, 即学会用代数法解几何题的方法 3、证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而
三线八角练习姓名 １.填空, (1)如图１－1,∠１和∠4是AB、被 所截得的角，∠３和∠5是、 被所截得的角,∠2和∠５ 是、被所截得 的角,AＣ、BC被AB所截得的同旁内角是． （2）如图1-2，AＢ、ＤC被BD所截得的内错角 是 ,ＡB、ＣＤ被AC所截是的内错角 是 ,AＤ、BＣ被BＤ所截得的内错 角是，AD、BC被ＡC所截得的内 错角是 . 2.如图③,同旁内角有（ )对 A.4对 B.3对 Ｃ.2对 D．1对③ 3.如图④,同位角共有( ) A．1对 B.2对 Ｃ．3对 D.4对④ 4.如图⑤,内错角共有（ )对 A．１对Ｂ.２对 Ｃ.3对 D.４对⑤５．如图,是同位角关系的是（） A.∠3和∠4 Ｂ.∠1和∠4 C.∠2和∠4 Ｄ.不存在 ６.如图，内错角共有( ) A．１0对 B.8对 Ｃ.６对 D.4对 7.如图，∠１与∠2是角. ∠3与∠4是角. 8.如图，直线ＡD，ＢＣ被ＣE所截:∠Ｃ的同位 角是∠_＿____，同旁内角是∠＿____＿， ∠1与∠2是两条直线＿_＿___和＿___＿＿被第三条直线 ＿_＿_ __所截成的＿＿＿___角． 直线AB和CD被AD所截,∠A的内错角是∠_＿＿＿__,∠A与∠AＤC是_______角, 直线AB和CD被BD所截,∠______和∠_＿__＿_是内错角. 9.如图,已知ＡB,ＣＤ被EＧ截于F，G. 则∠1的同位角是∠___＿_＿,∠1的内错角是∠____＿_， ∠1的同旁内角是∠＿_＿___,∠1的邻补角是∠_____＿. D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 --
三线八角练习 姓名 1.填空, （1）如图1-1，∠1和 ∠4是AB 、 被 所截得的 角，∠3和∠5是 、 被 所截得的 角，∠2和∠5是 、 被 所截得的 角，AC 、BC 被AB 所截得的同旁内角是 . （2）如图1-2，AB 、DC 被BD 所截得的内错角 是 ，AB 、CD 被AC 所截是的内错角 是 ，AD 、 BC 被BD 所截得的内错角是 ，AD 、BC 被AC 所截得的内错角是 . . 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (4)∠A 与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠5与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. 3.如图③,同旁内角有( )对 A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 ③ 4.如图④,同位角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） ⑥ A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 7.如图⑦内错角共有( ) A.10对 B.8对 C.6对 D.4对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. ⑧ 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是 ∠______,∠ADE 与∠DGC ⑨ 是两条直线______和______被直线______所 截成的_______角. 10.如图⑩,直线AD,BC 被CE 所截:∠C 的同位 角是∠______,同旁内 ⑩ 角是∠______,∠1与 ∠2是两条直线______和______被第三条直线 ______所截成的______角.直线AB 和CD 被AD 所截,∠A 的内错角是∠______,∠A 与∠ADC 是 _______角,直线AB 和CD 被BD 所截,∠______和∠ ______是内错角. 11.如图[11],已知AB,CD 被EG 截于F,G.则∠1的 同位角是∠______,∠1的 内错角是∠______,∠1的 同旁内角是∠______,∠1的 [11] 邻补角是∠______. 12.如图[12]已知AB,CB 被DG 截于E,F 两点,则∠1的同位角 是∠______,∠1的内错角是 ∠______,∠1的同旁内角是 ∠_____, ∠1的对顶角是 ∠______,∠1的邻补角 是∠______. [12] 13.如图[13],DE 经过 点C,则∠A 的内错角 是∠______,∠A 的同 旁内角是∠______和 ∠______. [13] 14.如图[14]三条直线 B C A D E 1 2 3 7 6 5 4 D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E F G A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 A B D E F C G 1 A B C D E L1 L2
三线八角练习姓名 1.填空, （1）如图1-1，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、被所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 . （2）如图1-2，AB、DC被BD所截得的内错角 是，AB、CD被AC所截是的内错角 是，AD、BC被BD所截得的内错角 是，AD、BC被AC所截得的内错角 是 . 2.如图③,同旁内角有( )对 A.4对 B.3对 C.2对 D.1对③ 3.如图④,同位角共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对④ 4.如图⑤,内错角共有( )对 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对⑤5.如图，是同位角关系的是（） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 6.如图，内错角共有( ) A.10对 B.8对 C.6对 D.4对 7.如图，∠1与∠2是角. ∠3与∠4是角. 8.如图,直线AD,BC被CE所截:∠C的同位 角是∠______,同旁内角是∠______, ∠1与∠2是两条直线______和______被第三条直线 ____ __所截成的______角. 直线AB和CD被AD所截,∠A的内错角是∠______,∠A与∠ADC是_______角, 直线AB和CD被BD所截,∠______和∠______是内错角. 9.如图,已知AB,CD被EG截于F,G. 则∠1的同位角是∠______,∠1的内错角是∠______, ∠1的同旁内角是∠______,∠1的邻补角是∠______. D A B C E F 1 2 3 4 A B C E F A B C D 1 2 3 4 A B C D E 1 2 A B C D E F G 1 １
相交线 1.判断题（对的打“√”，错的打“×”） (1）没有公共边的两个角是对顶角.( ） （2）有公共顶点的两个角是对顶角．（) （3）两条直线相交所成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角.( ) （4)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.( ) (5）对顶角的补角相等．( ) ２．填空 （１)对顶角的重要性质是． (2)一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是 . (3)两个角互为邻补角,它们的平分线所成的角是度. （4）如图2—1１,直线ＡＢ、CＤ、ＥF相交于点Ｏ,则∠AOＣ的对顶角是，∠AOD的对顶角是，∠ＢO Ｃ的邻补角是和，∠BOE的邻补角是 和 . ３.如图2—12直线AB、CD、EF相交于点O,且∠１＝∠2,试说明OE是∠AOC的平分线. 4.选择题 (１）下列说法正确的是( ) A.有公共顶点，且方向相反的两个角为对顶角 B.有公共顶点,且又相等的角为对顶角 C．角的两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角为对顶角 D.有公共顶点的两个角为对顶角． (2）下列说法正确的是( ） Ａ.不是对顶角就不相等 B.相等的角为对顶角 C．不相等的角不是对顶角 D.上述说法都不对 （３）下列各图中∠1和∠2为对顶角的是（) (4）如果两个角的平分线相交成９0°的角,那么这两个角是( ) A.对顶角 B.互补的两个角 C.互为邻补角 D.以上答案都不对 5.已知直线AＢ、CD相交于点O,∠AOＣ+∠BOD=23０°，求∠BOC的度数. ６.如图2—14,已知直线AB、ＣD、ＥF相交于点O,∠1:∠2:∠３＝２：3：4,求∠4的度数. --
-- 10756894 321 (1) D C A B N M P (2) Q l a 75684321 b (3)4 2 1D C A B (5)O F E 56 4321 A B N M P (4)O Q 7．如图2—1５,已知直线ＡＢ、CD 相交于点O ，O Ｅ平分∠BOD,且∠BOD=１0°,求∠AO Ｃ的度数. 【素质优化训练】 1.如图２—１6，点Ｏ是直线A Ｂ上的一点,O Ｃ、O Ｄ是两条射线且分别在ＡB 的两侧,∠AO Ｃ＝∠ＢＯD (1）求∠COD 的度数； （2）∠AOC 与∠BOD 是对顶角吗?为什么? 一、判断(每题１分，共1０分) １.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.( ) 2.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角,就称这两条直线互相垂 直.( ) ３.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离．( ) 4．如图1，∠2和∠8是对顶角.( ) 5．如图1,∠2和∠4是同位角.( ) 6.如图1,∠1和∠3是同位角.（ ） ７.如图１,∠9和∠1０是同旁内角,∠1和∠7也是同旁内 角．( ） 8.如图1，∠2和∠10是内错角．( ) ９．O 是直线AB 上一点,Ｄ分别在ＡＢ的两侧,且∠DO Ｂ=∠AOC ， 则C,O,D?三点在同一条直线上．( ) 10.如图2，其中共有４对同位角，４对内错角,４对同旁内 角.( ) 二、填空(每空1分，共29分) 11.如图3,直线L 截直线a,b 所得的同位角有___＿__对,它们是_ _____;?内错角有＿__对,它们是_____ _;同旁内角有___＿__对，?它们是____＿ _；?对 顶角＿＿_＿_?对，?它们是__＿__ _. 12.如图4,∠1的同位角是___＿____，∠１的内错角是________,∠1?的同旁内角是_______. 13.如图５，直线ＡB,CD 相交于O,O Ｅ平分∠ＡOD,FO ⊥ＯD 于O,∠1=40°,则∠2=?___ _＿,∠4=_＿___＿. 14.如图6,AB ⊥ＣD 于O,ＥF 为过点O 的直线,M Ｎ平分∠ＡOC ，若∠EO Ｎ=100?°,?那么 ∠E ＯB=_____ ,∠BOM=_____ . １5.如图7,A Ｂ是一直线,OM 为∠A ＯC 的角平分线,ON 为∠BOC 的角平分线, 则ＯM,ON 的位置关系是＿______． 16.直线外一点与直线上各点连结的线段中,以__＿_＿____为最短.
E 65?O A D C B 同位角内错角 同旁内角与平行线 1、（1）如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数. 解：∵∠BOD与∠AOC是对顶角 ∴＝＝°（） ∵与是邻补角 ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130° ∵与是对顶角 ∴∠BOC＝∠AOD＝130°（） （2）、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数. （3）下列说法中正确的是（） A．有且只有一条直线垂直于已知直线。 B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。 C．互相垂直的两条直线一定相交。 D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。 2．如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 _________________________________________. 3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______． 4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于…………（） （A）150°（B）160°（C）170°（D）180° 5．如图，如果D是BC的中点，那么B、C两点到直线AD的距离相等．试写出已知，求证，并补全图形（不证明）． 一、三线八角 1.中国最早的风筝据说是由古代哲学家墨翟制作的，风筝的骨架构成了多种关系的角。 50? O A D C B 第2题第3题第4题 第5题
第一讲 有关三线八角的几何证明 一．三线八角模型 两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）： 同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角； 内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角； 同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 二．平行线判定定理： 如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？ 两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行 如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD 平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行 如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行 如图所示，只要满足∠5+∠2＝180?（或者∠6+∠4＝180?），就 可以说AB//CD 平行线判定定理4：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行 三．平行线的性质定理 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。 概念巩固 1. 如图，下面结论正确的是（） A. ∠∠12和是同位角 B. ∠∠23和是内错角 C. ∠∠24和是同位角 D. ∠∠14和是内错角 2. 如图，图中同旁内角的对数是（） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. 如图，能与α构成同位角的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，图中的内错角的对数是（）
A B C.∠2 和∠4 D. 不存在 3 A B C.6 对 D.4 对 C 角是∠______,同旁内角是∠______, 1 D ____ __所截成的______角. B 2 B 三线八角练习 姓名 1.填空,（1）如图 1-1，∠1 和∠4 是 AB 、 被 所 截得的 角，∠ 3 和∠ 5 是 、 被 所截得的 角，∠ 2 和∠ 5 是 、 被 所截得的 角，AC 、BC 被 AB 所截得 的同旁内角是 . （ 2 ）如图 1-2 ， A B 、 D C 被 BD 所截得的内错角 是 ， A B 、 C D 被 AC 所截是的内错角 是 ，AD 、BC 被 BD 所截得的内错角 是 ，AD 、BC 被 AC 所截得的内错角 是 . 2.如图③,同旁内角有( )对 A.4 对 B.3 对 C.2 对 D.1 对 ③ 3.如图④,同位角共有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 ④ 4.如图⑤,内错角共有( )对 D A.1 对 B.2 对 C C.3 对 D.4 对 ⑤ F E 学习必备 欢迎下载 5.如图，是同位角关系的是（ ） 1 A.∠3 和∠4 B.∠1 和∠4 2 4 E 6.如图，内错角共有( ) A.10 对 B.8 对 F 7.如图，∠1 与∠2 是 角. A 1 D ∠3 与∠4 是 角. 3 2 4 C E 8.如图,直线 AD,BC 被 CE 所截:∠C 的同位 A ∠1 与∠2 是两条直线______和______被第三条直线 C 直线 AB 和 CD 被 AD 所截,∠A 的内错角是∠______,∠A 与∠ADC 是_______角, 直线 AB 和 CD 被 BD 所截,∠______和∠______是内错角. 9.如图,已知 AB,CD 被 EG 截于 F,G. 则∠1 的同位角是∠______,∠1 的内错角是∠______, E ∠1 的同旁内角是∠______,∠1 的邻补角是∠______. A B F 1 C G D
相交线 １．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）没有公共边的两个角是对顶角．（） （2）有公共顶点的两个角是对顶角.（) (３）两条直线相交所成的四个角中，不相邻的两个角是对顶角.（）(4）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.( ） （5）对顶角的补角相等．（ ) ２.填空 (1)对顶角的重要性质是 . (2)一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角是 . （３)两个角互为邻补角，它们的平分线所成的角是度. (4）如图2—１1,直线AＢ、CD、EF相交于点O,则∠AOC的对顶角是，∠ＡＯD的对顶角是 ,∠BOC的邻补角是和，∠BＯE的邻补角是 和 . 3.如图２—12直线AＢ、CD、EF相交于点O,且∠1=∠2，试说明OＥ是∠AOC的平分线. ４．选择题 (1)下列说法正确的是（ ) A．有公共顶点,且方向相反的两个角为对顶角 Ｂ．有公共顶点，且又相等的角为对顶角 C．角的两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角为对顶角 D.有公共顶点的两个角为对顶角. （2）下列说法正确的是( ) A．不是对顶角就不相等Ｂ．相等的角为对顶角 C.不相等的角不是对顶角 D.上述说法都不对 (3)下列各图中∠１和∠２为对顶角的是（) （4)如果两个角的平分线相交成90°的角，那么这两个角是（）A．对顶角 B.互补的两个角 C.互为邻补角 D．以上答案都不对 5．已知直线AB、CＤ相交于点Ｏ，∠AOC+∠BOD=23０°,求∠BOC的度数. 6．如图2—14，已知直线ＡB、CＤ、EF相交于点O，∠1：∠2:∠3=2：3：4,求∠４的度数. --
-- 10756894 321 (1) D C A B N M P (2) Q l a 75684321 b (3)4 2 1D C A B (5)O F E 56 4321 A B N M P (4)O Q 7.如图2—15,已知直线AB 、CD 相交于点Ｏ，ＯE 平分∠ＢO Ｄ,且∠ＢOD=10°，求∠ＡOC 的度数． 【素质优化训练】 １.如图2—16,点O 是直线AB 上的一点,OC 、OD 是两条射线且分别在AB 的两侧，∠AO Ｃ=∠BOD （１）求∠ＣOD 的度数； (2）∠ＡOC 与∠B ＯD 是对顶角吗？为什么? 一、判断（每题1分，共１0分) １.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.( ） 2.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直. （ ） 3.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离.（ ) ４．如图1,∠2和∠8是对顶角.( ) 5．如图1,∠2和∠4是同位角.（ ) ６．如图1,∠1和∠３是同位角.( ) 7.如图１,∠9和∠1０是同旁内角,∠1和∠7也是同旁内 角.( ) 8.如图1,∠2和∠１０是内错角.( ） 9.Ｏ是直线ＡB 上一点,D 分别在AB 的两侧,且∠DOB ＝∠AOC, 则C,Ｏ,D?三点在同一条直线上.（ ) １0.如图2,其中共有4对同位角,4对内错角,4对同旁内 角．( ) 二、填空(每空1分，共29分） 1１．如图3,直线L 截直线a,ｂ所得的同位角有__＿___对,它们是＿ _＿＿__;?内错角有___对，它们是＿_＿_＿ _;同旁内角有____＿_对,?它们是_____ _；?对顶角＿____?对,?它们是__＿__ _. 12.如图４,∠1的同位角是________,∠1的内错角是_____＿__,∠1?的同旁内角是＿_＿＿__＿. 13.如图5，直线AB,CD 相交于O,OE 平分∠A ＯD ，ＦO ⊥O Ｄ于O,∠1=４0°,则∠２=?_＿_ __,∠4=_＿＿___. 14.如图６,ＡB ⊥CD 于Ｏ,E Ｆ为过点O 的直线,M Ｎ平分∠AOC,若∠EON ＝1０0?°,?那么 ∠ＥOB=__＿_＿ ,∠BOM=_＿_＿_ . 15.如图7,AB 是一直线,ＯM 为∠A ＯC 的角平分线,ON 为∠BO Ｃ的角平分线, 则OM,O Ｎ的位置关系是＿______. 16.直线外一点与直线上各点连结的线段中,以___＿____＿为最短.
1.填空, ∠2与∠3∠2与∠4∠5与∠7是 角. ∠2与∠5是 角. ∠3与∠8是 角. ∠1与∠5是 角. ∠4与∠8是 角. ∠2与∠6是 角. ∠3与∠7是 角. ① ∠3与∠5是 角. ∠2与∠8是 角. 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线 ________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (4)∠A 与∠B 是两条直线 ________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (7)∠3与∠B 是两条直线 ________和______被第三条直线 7 6 B C A D E 1 2 3 7 6 54 七年级三线八角 练习题
______所截构成的_______角. (8)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (9)∠B 与∠BDE 是两条直线________和______ ______所截构成的 3.如图③,同旁内角有 ( )对对 对 对 对 ③ 4.如图④,同位角共有 ( )对对 对 对 对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 ⑥ 7.如图⑦内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. ⑧ 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是∠ D A B C E F B C D 2A B C D E F G
例、如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4． 例、如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37°，求∠D 的度数． 例、如图，AB ，CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A ，C 两点，点E 是橡皮 筋上的一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A ，∠AEC ，∠C 之间具有怎样的关系并说明理由。(提示：先画出示意图，再说明理由)提示： 这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论。本题可分为AB ，CD 之间或之外。 结论：①∠AEC ＝∠A ＋∠C ②∠AEC ＋∠A ＋∠C ＝360°③∠AEC ＝∠C －∠A ④∠AEC ＝∠A －∠C ⑤∠AEC ＝∠A －∠C ⑥∠AEC ＝∠C －∠A ． 例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ） A 、80 B 、50 C 、30 D 、20 例、将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ） A 、43° B 、47° C 、30° D 、60° 例、如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN ． （1）如图1，连结AB ，则∠CAB +∠ABD = ； （2）如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、1BP ．求证： BD P B AP CAP 111∠+∠+∠=360°； （3）如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连结1AP 、21P P 、B P 2． 试求BD P B P P P AP CAP 221211∠+∠+∠+∠的度数； （4）若按以上规律，猜想并直接写出+∠+∠211P AP CAP …BD P 5∠+的度数（不必写出过程）． A M B C N D P 1 A M B C N D 图2 P 1 P 2 A M B C N D 图3
5.1.3预习检测10道题 一、单选题 1.在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( ) A. B. C. D. 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是( ) A.∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 3.如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（） A. 与是同位角 B. 与 C. 与是是内错角 同旁内角 D. 与是同旁内角 4.如图，直线l1、l2、l3两两相交，则对于∠1、∠2，下列说法正确的是（） A. ∠1、∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同位角 B. ∠1、∠2是直线l1、l3被直线l2所截得的同位角 C. ∠1、∠2是直线l2、l3被直线l1所截得的同位角 D. ∠1、∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同旁内角 5.两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下列三幅图依次表示（） A. 同位角、同旁内角、内错角 B. 同位角、内错角、同旁内角 C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角
二、填空题 6.如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与________是内错角；∠B与________是同位角；∠ACB与________是同旁内角． 7.如图，直线BD上有一点C，则： （1）∠1和∠ABC是直线AB，CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE，AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线________所截得的角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线所截得的________角． 8.如图所示，能与∠1构成同位角的角有________个． 9.如图所示，AB与BC被AD所截得的内错角是________；DE与AC被AD所截得的内错角是________；∠1与∠4是直线________被直线________截得的角，图中同位角有________对． 10.如图，在∠1到∠6的六个角中，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．
平行线与三线八角 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如图，直线a与直线b互相平行，记作“a ∥b”。念为a平行于b。 1.根据所学的知识，在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？ 两种：平行或相交。 2.利用直尺和三角板画已知直线的平行线。 （1）工具：直尺、三角板 （2）方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线。 例1：请你根据上述方法练习画平行线： 已知:直线a ，,点B,，点C. （1）过点B画直线a的平行线,能画几条? （2）过点C画直线a的平行线,它与过点B且与直线a平行线的直线平行吗? 思考：上图中，①过点B画直线a的平行线，能画条； ②过点C画直线a的平行线，能画条； ③你画的两条直线有什么位置关系？。 练习： 1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中的一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一条必__________.
c b a 2.两条直线相交,交点的个数是______,两条直线平行,交点的个数是_____个. 3.在同一平面内，与已知直线L 平行的直线有 条，而经过L 外一点，与已知直线L 平行的直线有且只有 条。 平行公理及推论 ①公理内容： 。 ②比较平行公理和垂线的第一条性质： 共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外, 垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外. 例2、下列命题： （1）长方形的对边所在的直线平行； （2）经过一点可作一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交； (4)经过一点可作一条直线与已知直线垂直． 其中正确的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、推论： 。 ①符号语言：∵b∥a，c∥a（已知） ∴b∥c（如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行） 例3、（1）下列推理正确的是 （ ） A 、因为a//d, b//c,所以c//d B 、因为a//c, b//d,所以c//d C 、因为a//b, a//c,所以b//c D 、因为a//b, d//c,所以a//c （2）在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 （3）下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD; ④若a ∥b,b ∥c,则a 与c 不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.填空,如图① " ∠2与∠3是 角. ∠2与∠4是 角. ∠5与∠7是 角. ∠2与∠5是 角. ∠3与∠8是 角. ∠1与∠5是 角. ∠4与∠8是 角. ∠2与∠6是 角. ∠3与∠7是 角. ① ∠3与∠5是 角. ∠2与∠8是 角. 2.如图② (1)∠B 和∠1是两条 直线______和_______ 被第三条直线_______ 所截构成的_______角. ② (2)∠2和∠4是两条直线________ 和______被第三条直线______所截构成的_______角. (3)∠ACB 与∠6是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. & (4)∠A 与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (5)∠3与∠5是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (6)∠与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (7)∠3与∠B 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (8)∠2与∠7是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. (9)∠B 与∠BDE 是两条直线________和______被第三条直线______所截构成的_______角. 3.如图③,同旁内角有 ( )对对 对 对 对 ③ 4.如图④,同位角共有 } ( )对对 对 对 对 ④ 5.如图⑤,内错角共有 ( )对 @ 对 对 对 对 ⑤ 6.如图⑥是同位角关系 的是（ ） A.∠3和∠4 B.∠1和∠4 C.∠2和∠4 D.不存在 ⑥ 7.如图⑦内错角共有 ( )对 对 对 对 对 ⑦ 8.如图⑧ ∠1与∠2是 角. ∠3与∠4是 角. 9.如图⑨,∠BDE 的同 位角是∠______,∠BDE 的内错角是∠______, ∠BDE 的同旁内角是∠ ______,∠ADE 与∠DGC ⑨ 是两条直线______和 | ______被直线______所 截成的_______角. 10.如图⑩,直线AD,BC 被CE 所截:∠C 的同位 角是∠______,同旁内 ⑩ 角是∠______,∠1与 ∠2是两条直线______ 和______被第三条直线 ______所截成的______ 角.直线AB 和CD 被AD 所截,∠A 的内错角是∠ ______,∠A 与∠ADC 是 [11] 】 _______角,直线AB 和CD 被BD 所截,∠______和∠______是内 1 2 3 4 8 7 6 5 B - C D E 1 2 3 7 6 5 . 4 七年级三线八角 练习题 D A B C E F 1 2 3 4 、 A B C E F } B D ￥ A \ C D E F G B E A B C D \ E F G 1
O C D B A D C B A 三线八角作业 1、已知：如图所示的四个图形中，∠1和∠2是对顶角的图形共有（ ） 1 2 2 1 2 1 2 1 A 0个 B 1个 C 2个 D3个 2、如图，直线a 、b 相交于点O,若∠1=0 40，则∠2等于 （ ） A 0 50 B 0 60 C 0 140 D 0 160 3、平面上三条不同的直线相交最多能构成对顶角的对数是（ ） A 4对 B5对 C 6对 D7对 4、如图直线A B 、CD 交于点O ，∠AOD+∠BOC=2600 ， 则∠BOD 的度数（ ） A 700 B600 C500 D1300 5、如图所示,下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 6、如图下列条件中能判断AB//CD 的是（ ） (A) ∠BAD=∠BCD B ∠1=∠2 C ∠3=∠4 D ∠BAC=∠ACD 7、如图能判定AB//CD 的条件是（ ） A ∠B=∠ACD B ∠A=∠DCE C ∠B=∠ACB D ∠A=∠ACD 8、下列图形中线段PQ 的长度表示点P 到直线a 的距离的是（ ）。 1 2 b a O 2 1 A C A E C D
9、如图，∠1和∠2是内错角的是 （ ） 10、下列说法：①一条直线只有一条垂线；②画出点P 到直线l 的距离；③两条直线相交就是垂直；④线段和射线也有垂线。其中正确的有＿＿＿＿。 11、A 为直线l 外一点，B 为直线l 上一点，点A 到l 距离为3cm ，则AB ＿＿＿＿3cm,根据是＿＿＿＿。 12、判断 （1）一条直线的垂线只有一条（ ）（2）两直线相交所构成的四个角相等，则两条直线互相垂直（ ）。（3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离（ ）。（4）过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直（ ）。 13、如图直线DE 和直线BC 被第三条直线AB 所截， 和 是同位角， 和 是同旁内角。 写出图中直线DE 和直线BC 被其它第三条直线所截的同位角、内错角和同旁内角。 14、如图两条直线a 、c 被第三条直线所截，若∠1的同旁内角是140度，则∠1的同位角是多少度？ 15、一个人从A 点出发向北偏东0 60方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西0 15方向走到C 点，求出∠ABC 的度数.
12121221三线八角和平行线定义 【例题讲解】 1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、图，直线a,b 相交， 451=∠，求4,3,2∠∠∠的度数。 【轻松试一试】 已知，如图， 80,35=∠=∠COF AOC ，求：DOF AOD ∠∠和的度数 【例题讲解】 1、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AOE ∠的对顶角是 ，COF ∠的邻补角是 若AOC ∠：AOE ∠=2：3， 130=∠EOD ，则BOC ∠ = 【轻松试一试】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ， 30,90=∠=∠=∠AOC FOB COE 则=∠EOF
A B C D O 余角、补角的应用（互为邻补角的两个角平分线_________） 【例题讲解】 AC 为一直线，O 是AC 上一点，且∠AOB=120°，OE 、OF 分别平分∠AOB 、∠BOC 。 （1） 求∠EOF 的大小 （2） 当OB 绕O 点旋转OE 、OF 仍为∠AOB 和∠BOC 的角平分线，问OE 、OF 有怎样的位置 关系？ 【轻松试一试】（邻补角在折叠问题中的应用） 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，试判断∠CBD 的度数是多少？ 二、垂线及其性质（重点） （一）垂线的定义： 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 如图，直线AB 、CD 互相垂直，记作CD AB ⊥，垂足为O 。 1、 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。 2、掌握如下的推理过程：（如上图） . (90(垂直定义）已知）， ?=∠=∠=∠=∠∴⊥AOD BOD COB AOC CD AB 反之， 已知）(90AOC ?=∠