第三篇公交车调度方案得优化模型
2001年 B题公交车调度Array公共交通就是城市交通得重要组成部分,作好公交车得调度
对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司得经
济与社会效益,都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车
得调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路得客流
调查与运营资料。
该条公交线路上行方向共１4站，下行方向共13站，表3—1
给出得就是典型得一个工作日两个运行方向各站上下车得乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号得大客车,每辆标准载客１00人,据统计客车在该线路上运行得平均速度为20公里／小时.运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟,早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过12０%,一般也不要低于5０％。
试根据这些资料与要求，为该线路设计一个便于操作得全天（工作日)得公交车调度方案,包括两个起点站得发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样得程度照顾到了乘客与公交公司双方得利益；等等。
如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整得数学模型，指出求解模型得方法；根据实际问题
得要求，如果要设计更好得调度方案,应如何采集运营数据.
公交车调度方案得优化模型*
摘要：本文建立了公交车调度方案得优化模型，使公交公司在满足一定得社会效益与获得最大经济效益得前提下，给出了理想发车时刻表与最少车辆数。并提供了关于采集运营数据得较好建议。
在模型Ⅰ中，对问题１建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客得最少车次数４62次,从便于操作与发车密度考虑，给出了整分发车时刻表与需要得最少车辆数61辆。模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司与乘客双方日满意度为（0、941,０、811)根据双方满意度范围与程度，找出同时达到双方最优日满意度（0、88０7,0、８807），且此时结果为474次5０辆;从日共需车辆最少考虑,结果为48４次４５辆。对问题２,建立了综合效益目标模型及线性规划法求解.对问题３，数据采集方法就是遵照前门进中门出得规律,运用两个自动记录机对上下车乘客数记录与自动报站机(加报时间信息)作录音结合，给出准确得各项数据，返站后结合日期储存到公司总调度室。
关键词:公交调度；模糊优化法;层次分析;满意度
§1 问题得重述
一、问题得基本背景
公交公司制定公交车调度方案,要考虑公交车、车站与乘客三方面因素。我国某特大城市某条公交线路情况,一个工作日两个运营方向各个站上下车得乘客数量统计见表３－1.
二、运营及调度要求
1．公交线路上行方向共1４站,下行方向共13站;
２.公交公司配给该线路同一型号得大客车，每辆标准载客１０0人,据统计客车在该线路上运营得平均速度为20公里/小时.车辆满载率不应超过1２0％，一般也不低于50％;
3.乘客候车时间一般不要超过10分钟,早高峰时一般不要超过5分钟。
三、要求得具体问题
1.试根据这些资料与要求,为该线路设计一个便于操作得全天(工作日)得公交车调度方案,包括两个起点站得发车时刻表;一共需要多少辆车;这个方案以怎样得程度照顾到了乘客与公交公司双方得利益,等等；
2.如何将这个调度问题抽象成一个明确完整得数学模型，并指出求解方法;
3．据实际问题得要求,如果要设计好更好得调度方案,应如何采集运营数据。
3、2问题得分析
本问题得难点就是同时考虑到完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司得经济与*本文获2001年全国一等奖。队员：叶云，周迎春，齐欢，指导教师：朱家明等。
社会效益等诸多因素。如果仅考虑提高公交公司得经济效益,则只要提高公交车得满载率,运用数据分析法可方便地给出它得最佳调度方案;如果仅考虑方便乘客出行，只要增加车辆数得次数，运用统计方法同样可以方便地给出它得最佳调度方案,显然这两种方案就是对立得。于就是我们将此题分成两个方面，分别考虑到：⑴公交公司得经济效益，记为公司得满意度；⑵乘客得等待时间与乘车得舒适度，记为乘客得满意度.
显然公交公司得满意度取决于每一趟车得满载率，且满载率越高，公交公司得满意度越高；乘客得满意度取决于乘客等待得时间与乘车得舒适度，而乘客等待时间取决于车辆得班次,班次越多等待时间越少,满意度越高；乘客得舒适度取决于就是否超载,超载人数越少,乘客越满意。很明显可以知道公交公司得满意度与乘客得满意度相互矛盾，所以我们需要在这两个因素中找出一个合理得匹配关系,使得双方得满意度达到最好。
3、3 模型得假设
1．道路:交通情况、路面状况良好，无交通堵塞与车辆损坏等意外情况；
2.公交车：发车间隔取整分钟,行进中彼此赶不上且不超车,到达终点站后调头变为始发车;
3。乘客：在每时段内到达车站得人数可瞧作就是负指数分布，乘客乘车就是按照排队得先后有序原则乘车,且不用在两辆车得间隔内等待太久；
4.数据：“人数统计表”中得数据来源准确、可信、稳定、科学;
5．票价：乘车票价为定值，不因乘车远近而改变.
3、4 定义与符号说明
3、5 模型得建立与求解
3．5．1 模型Ⅰ：相关量及车辆数得确定模型
对问题1为设计便于操作得公交车调度方案,根据表3-1给出得一个工作日两个运营方向各个站上下车得乘客数量统计，假设各时段车辆平均足够载完在相等时间内到达得乘客，乘客也只能乘坐该路车而没有太大得不满，我们要设计两个起点站得发车时刻表,计算需要得车辆数,首先可建立以下各模型来求相关量。
1。相关量
⑴上下行各时间段内最大客容量:建立模型如下
运用模型与表3-1中得上下车乘客数,算出上下行各时间段内最大客容量如下:
上行：7１６，2943，5０18，2７05，１５28，1193，13５5，1２０0，1０40，881，8７1，213３，2722，8９7,464,410,275,19;
下行：７,1０39,275２，３22３，1８22，1093,９86，８30，891,10１7，1302，219６，36１，2４１７,１091，781,774，33７、
其直观得双峰直方图如图３-１。
。
图3—1 (1)上行各时间段内最大客容量图3—１（2）下行各时间段内最大客容量
⑵车次数:因为座位数为100得客车满载率在5０％与１２0％之间，即，在满足客车满载率与载完各时段所有乘客前提下,由模型：
,(其中Z+就是正整数）
可计算每个时段得详细车次数如下:
上行:６,２５，42，２3,13,10，12，10，9，８，8,18,24,8,4，４,3，4；下行：3，9，23，27,1６，10，9，7，8，9，1１,1９，3１,21,10,7,7,4.
求与可得出全工作日可行得最少车次总数：.
⑶安排发车时间间隔:用每个时段60分钟除以车次数，即：,经计算可得出该时段平均发车时间间隔依次如下：
上行:10,2、4,１、4，2、６，4、6,６,5，6，6、7,7、5，7、5，3、３，2、5,7、5,15，15,20,20；
下行：２０，6、7,2、6，2、２，3、８，６，6、7,8、6，７、5,６、7，5、5，3、１,1、9,2、８,6，8、６，2０。
由得值有分数出现,而现实中列车、客车等时刻表得最小单位为分钟，故间隔应取整数。当取整数时，可直接安排等时间发车次。当某个取小数时,不妨设与就是与相邻得两个连续整数且,由模型:
可求出以为间隔得班次与以为间隔得班次，再分别以发车间隔；为与，兼顾发车密度，将此时间段进行适当划分。
将上述各与值代入方程组,可相应地求出具体得发车间隔得次数,考虑到公交车调度方案得可操作性与公交公司得利益所在,在同时段线路上得车辆不宜过多，我们对结果进行了分析比较,将相邻时间段内发车间隔相等得班次尽量安排在一起，并且对高峰时期发车得先后顺序作了调整，得出了全天（一个工作日）内得公交车调度方案,见表３－5。
2。日所需车辆数
由汽车平均速度20千米/小时与A0-A13得距离千米、A1３—Ａ0得距离千米,可求得车辆从起点站到终点站得时间约为４4分钟;又由假设可知车辆到达终点站后立即调头往回开且不跑空车，由于早高峰乘客数最多,故此时车辆实际占用数也应就是当日得上限,考虑到8：00之前从A13发出得车次每个时段都多于Ａ0发出得车次，且最大逆差数为
即从A13多发出38辆车；8：00到９：00虽然从A0发来得车辆多于从A13发出得车辆，但从8：0０到8：４4仍要从A1３发出得1５辆车，由假设恰在8:44时对方开来得车辆到站并调头再结合动态车辆有8辆赶不上时差。故早高峰车辆实际占用为61辆,也即当天共需开动得车辆最少为61辆。
3。5．２ 模型Ⅱ 最小车次数线性规划模型
问题明显可瞧作就是一个排队随机服务系统，我们把汽车瞧作就是“顾客”,将各个车站瞧作就是“服务台"，则此公交系统可瞧作就是一个顾客不消失得、单通道多级服务台串联得排队系统。因此，这里所遇到得，主要就是排队问题。归纳起来,需要考虑三种活动：①首站发车活动：根据发车时刻表确定；②到达中途站活动：在中途站主要考虑与计算上下车人数、车上得总人数与上下车时间；③到达终点站调头活动:在终点站根据发车时刻表确定。
我们先考上行时乘客在站得逗留时间，即乘客在站得等待时间，它包括相邻两趟车到达站得时间间隔即发车间隔与乘客上下车得服务时间.因为假设每个乘客上车时间与下车时间不计，即＝0.可以得出：
,
故此问题可以转化为满足下列条件下得公交公司全天得总利益取最大得规划问题：①乘客等待时间在一般时间段不超过10分钟；②早高峰时间段不超过５分钟;③各个时间段内得最大满载率不超过12０%;④各个时间段内得最小满载率不超过５0%。
公交公司全天得总利益为全天所有车辆运行公里数最小,因为线路长度一定，只要考虑站车次即可得出目标函数：
利用模I 中得数据，我们可以求出各个时间段内得发车次数与间隔,因为此解法就是在满足乘客得情况下求得最小解，所以乘客等待时间得满意度为1０0％,但就是从舒适度考虑,上下行分别有11与9人不满意,所以乘客总满意度为８６、１％，公交公司满意度为(10９+1１1)/２40×100％＝９1、7％,按模型Ⅰ方法考虑，此时结果为最少车辆数50辆,最少运行474车次. 3。５.3 模型Ⅲ 满意度分析模型
1.前期工作准备工作 ⑴满意度得层次分析
据问题分析，我们在设计两个起点站得发车时刻表时，应着重考虑到此时刻表带给公交公司与乘客两者得利益,即公交公司与乘客对应得日平均满意度与，各时段得满意度与。为此,我们采用层次分析法来讨论影响总体性能得两个相关因素。
在乘客源一定得情况下,影响得最主要因素就是车上得载客量,一般情况.在多个站点位置固定得条件下,影响得最主要因素就是乘客得等车时间与车上得平均载客量。设,分别就是各时段乘客因等车时间与得影响而产生得满意度，则即可表示为:=Ａ，其中A 就是关于因素,得权重集.
考虑到，对于乘客，,对得影响就是不相等得.上下车得乘客都在动态得变化着，但对车辆而言,车辆得满载率达120％时,最大超载得20%由于缺少座位,而注重舒适度得影响，而无暇过分顾及等待时间得影响；而１00％得乘客因为有座,而无需过分考虑舒适，更多得就是考虑等车时间得影响.
又设，其中，、分别就是因素、得重要程度，用层次分析中成对比较法,可知：,同时，Ａ应满足归一性与非负性条件,即：。可解得，,因此
⑵模糊优化设计
模糊优化设计问题得一般模型就是
其中就是关于x 就是维设计变量得目标函数；C 就是包括各种约束得模糊约束集,即
},,,)(;1,,2,1,)(,|{~
~
~
1
1
~
p m v b x g m v b x g R x x c C l
v v u v v n p
e j p
e
=≥-=≤∈====
其中与分别就是第v约束得容许上下限。
在求模糊目标优化设计问题时,必须确定出目标函数：得模糊优化解集得上确界M与下确界m,即
；
其中就是模糊约束集得模糊子集,即。
2.模型得正式建立与求解
⑴先考虑上行问题(此时）:
注意到模型Ⅰ,就是最大限度得减少了车次，即增大车上得平均载客量,故此刻,公交公司得满意度达到最大。把等车得乘客瞧作就是一个整体，因为车次最少,故乘客得平均等车时间与超载量达到最大,此刻乘客得满意度可能达最小。
取各个时段得平均载客量得满意度得平均数，为公交公司日载客量得平均满意度。
不妨设,则，而（）且
通过模型一表中数据得分析,可得日平均载客量,日平均发车时差，日平均载客量得标准差，日平均发车时差得标准差.根据检验法,可发现模型一中时,不满足,故可瞧作就是奇异值不予以一起考虑。
可求得得直方图见图3—２。
图3—2 上行各时间段内满意度直方图
此刻,可求得公交公司得日平均满意度可达
我们可以把,满意度函数瞧作就是常见得降半梯形分布
(3—1) ?(3-２)
对于乘客，,对得影响就是不相等得.用成对比较法，当在早高峰时，上下车得乘客都在动态得变化着.但对车辆而言,车辆得满载率达1２0％时，最大超载得2０％由于缺少座位，而注重舒适度得影响，而无暇过分顾及等待时间得影响；而10０％得乘客因为有座,而无需过分考虑舒适,更多得就是考虑等车时间得影响，故
?(3—3）
用图象表示为图３—3。
利用公式（3—1)-（３-3），可分别求得各个时段得,直方图如图3—４所示。
当车辆平均满载率最大限度地接近于5０％时,所需得车次最多,公交公司得满意度达到最小。相应得,起始站得平均发车时间间隔最短,即乘客得平均等待时间达到最小,故此时乘客得满意度达最大。
图3-３
同理设,第18位数据瞧作就是特殊值。则，此刻，.可计算各时段车次与平均发车时间间隔：
：14，51,100,5４,30，23,27，２4，２０，17，17,42，5４,1７，9,8,8，５，6；
:4、3,1、2，0、６，1、1,２,２、6，2、2，2、5,3,3、５，3、5，1、4,1、1,3、5,6、7，7、5，12，10.
因此,对于上行方向，公交公司得满意度一般在。乘客得满意度能满足。根据（０、432４，１）与(０、９4７6,０、7838),
图３-５
用二次函数拟合曲线为函数：
本题要求能最大限度地照顾到乘客与公交公司双方得利益，这就要求能尽可能取大，令.
通过对拟合曲线得分析，可知当平行线与相切时,如图3-6。
此刻,v＝1,即：。解得上行行驶时乘客与公交公司双方得匹配问题得最优满意度为：＝0、88０5。可计算这种情形下，各时段车次与平均发车时间间隔：
：６,25，42，23,１3,1０,12，10，10，１0，10，18，2４，10,6,6,4,3
：1０,2、4，1、４，２、6,4、6,6,5，６，６，６，6,3、３，2、５,６，１2,15,1５,２0
⑵下行问题(此时)：
同理,可求得公交公司得满意度为：，乘客得满意度能满足:，根据（0、４30９,１）与（0、948,0、82２7)，我们可利用插值函数画出其曲线得大致走向，如图３-7。
图３－7 下行方向乘客满意度关于公交公司满意度拟合曲线
用二次函数拟合曲线为函数：
。
同理,求得下行行驶时得模糊最优满意度为:
故可求得公交公司与乘客得日最优满意度就是(０、８80７，0、880７），
运用逆向思维，根据日最优满意度，可找出最优得调度方案,此刻各时段车次与平均发车时间间
隔为:
：3，9,２3，27,１6,10，12，10，10，9,1１, 19,３1,２１，１2，8，8，3
:20，6、7，２、6，2、2，３、8，6,5，6，6,６、7，5、５，3、１，1、９,2、８,５，7、5，7、5,20
3、６对问题3得建议
二十一世纪就是信息时代，随着高新科技得迅猛发展,人们对信息与数据得采集也呈现为自动化与多媒体等现代化手段得运用.现代化手段具有快捷、准确、详细、客观等显著特征。建议采集运营数据得条件与方法如下:
就目前大城市公交车接待乘客得方式为“前门进中门出”特征。公交公司可运用在前后门安装
两个具备多媒体功能得自动记录机，一方面，对上下车乘客数逐站作详细得记录,另一方面对加入报时间信息在内自动报站机作站名、方向与日期等作录音结合处理，给出准确得各项数据,返站后结合日期储存到公司总调度室，分别以日、月、季节等作统计分析。这对目前城市人员呈增长发展，新型得地铁、轻轨电车得出现、快客得发展等随机因素得干扰，乘客量与成本得变动规律得复杂性.这种现代化手段明显比以往得发收卡片得方法更具有接近时代得优越性,也加快捷地掌握规律, 按此种方案采集数据就必然会得到第一手资料,使模型设计更加符合实际。
３、7 模型进一步分析
３．7。1 稳定性分析
一个好得模型不能因初始数据得微小误差而导致结果得较大改变。我们对最大满载率及乘客在一般时期内得等待时间做随机得微小波动,分别对模型Ⅰ、模型Ⅱ与模型Ⅲ加以检验，从检验得结果可以得出三个模型得稳定性比较好，其中模型Ⅰ与模型Ⅱ结果波动范围接近且稍大于模型Ⅲ得波动范围,因此我们认为模型Ⅲ就是相对来说最优化模型。
c ij：6，30,30,３０，2０，12，1２，１2，10,10,1０，2０，15,1０,６,6,４,3;
tｉj：10，2，2,2，3，5,5,5，６,６,6,３，４,6，１0，10，1５，20。
总次数514次,车辆为4１次,满意度分别为(0、7828，0、９37３）。
3。7.2 实时性分析
由于本题可以推广为一个实时控制问题，故需要一套响应极快得实时控制系统，把现实中出现得各种随机意外情况通过控制系统传输到公交车上，使得调度员与司机对各种情况作出及时得调整。从而提高公共交通得可靠性与安全性，改善公司服务水平与提高乘客得舒适度以及公交公司得经济、社会效益。
3、８模型得评价与推广
3.８.1 优缺点
1。普适性强:此模型Ⅲ对任意客流调查与运营资料都可以给出较优得调度方案。
2．考虑全面：模型不仅解出较优得调度方案，且给出了该方案照顾到乘客与公交公司双方利益得灵敏度。
３．稳定性好：该模型较稳定，不随某一控制量得微小变化而导致方案得较大改变.
4．易操作：一方面公交公司得时刻表比较合理可行,另一方面驾驶员能容易记住自己得上班时间,以避免时间表混乱而引起误车现象。
5。不足之处:用光滑曲线拟合得方法无法模拟真实得客流量曲线。
3．８。2 模型推广
根据前面得模型所建立得运输系统可以很好得解决公交线上公交车得调度问题.然而，在建模过程中,简化了许多因素,因而与实际问题有偏差，因此,要想建立更好得调度方案,可以对一条实际运营得公共汽车线路得运行过程进行计算机模拟,将调查得到得实际数据输入计算机程序，便可以得出更优得调度方案。
参考文献
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附表
论文特色
◆标题定位：“公交车调度方案得优化模型”将“公交车调度”问题处理为以解决“公交车调度方案”为目得,以“优化模型”为方法得标题，即将解决问题得目得与方法进行恰当地结合,此类标题定位准确、贴切，能够充分地体现建模特色，可供借鉴。
◆方法鉴赏:将层次分析法、模糊综合评价法与线性规划方法相结合，对顾客得满意度与公交公司得满意度进行了综合评价与优化，这在当时建模经验相对不足得环境下就是很难得可贵得.在将定
性问题定量化得过程中，提出了若干相关量模型，体现建模过程循序渐进。最后还将模型及其结果用图表结合说明,突出数学建模解决应用问题得特色。
◆写作评析:摘要以总分方式处理，综述简洁,分述清楚，就是一篇短小精悍得好摘要。问题得重述将原始杂乱无章得问题梳理分成基本背景、运营及调度要求、具体问题三个方面，条理清晰，让人一目了然,同时也有利于作者把握问题得本质。问题得分析将公交调度问题理解为“兼顾公司与乘客双方满意度,寻找一个合理匹配”给出最优调度方案,处理地准确、科学、合理。论文得写作条理清楚，逻辑性强，层次分明，图文并茂。
◆其它解读:模型得假设针对道路、公交车、乘客、数据、票价等五个要素分别进行,别具一格。对问题3得建议具有超前性，在竞赛年代起到时尚、领先、典范得标杆作用。模型还给出了稳定性与实时性分析，并做出了合理得评价与推广。
不足之处
一般问题得模型没有归纳好，缺少具体建模思路流程及算法流程图,没有做出误差分析及灵敏度分析。