五年级奥数第二讲
平面图形的面积(一)——图形的等分
例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？
练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？
例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。
练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。
例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。求阴影部分面积。
巧数图形 分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。 以AB为底边的三角形ABC中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 以ED为底边的三角形CDE中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 所以共有三角形6＋6=12(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个； 由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个； 由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例4右图中有多少个三角形？
数立体图形善智知识点： 认真思考，结果要用算式表达出来? 数图形，按顺序，先数小，再数大 立体的，有隐藏，分层数，再相加 课堂共同练习： 1. 下图有（）个正方形? 2. 下图有（）个长方形?
5. 数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形状. 6. 用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见? 一共（）个 看见（）个看不见 （）个 一共（）个 看见（）个 看不见（）个 LW 一共（）个看见 （）个 看不见 （）个 7. 数一数下面每个立体图形各有几个小正方体. 4.数图形: (［个 ）牛
8. 数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的? 10.数一数下面物体中各有几个小正方体. 12.数一数，下图中一共有（ ）个正方体 A.6个 B.7 个 C.8 个 9.给下列图形，再添加（ ）个小正方体，就能组成一个大正方体 ( )个 11.数一数下面物体中各有几个小正方体. （ ）个 （ ）个
课后自我提升: 1. 数一数下图分别有几个图形？ 田m ()个正方形()个长方形 2. 数一数，下图有几个三角形? (1) ________________________ 按层数：下面一层有 __________ 个正方体，中间一层有 _________ 个正方体，上面一层有_______________________ 个正方体. (2) ________________________ 按前后排数：前排有 ____ 个正方体，后排有个正方体. (3) _____________ —共有个正方体. 5.数一数下列物体是由几个小正方体拼成的 ( )个( )个( )个
五年级奥数第六讲 ———平面图形面积的计算 一、知识要点 1. 基本平面图形特征及面积公式 特征 面积公式 正方形 ①四条边都相等。 ②四个角都是直角。 ③有四条对称轴。 S=aa 长方形 ①对边相等。 ②四个角都是直角。 ③有二条对称轴。 S=ab 平行四边形 ①两组对边平行且相等。 ②对角相等，相邻的两个角之和为180° ③平行四边形容易变形。 S=ah 三角形 ①两边之和大于第三条边。 ②两边之差小于第三条边。 ③三个角的内角和是180°。 ④有三条边和三个角，具有稳定性。 S=ah ÷2 梯形 ①只有一组对边平行。 ②中位线等于上下底和的一半。 S=(a+b)h ÷ 2 2. 基本解题方法： 由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。 【典型例题】 【例1】 已知平行四边表的面积是28平方厘米， 求阴影部分的面积。 【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的 平行四边形，需要用多少厘米铁丝？ （单位：厘米）
【例2】求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米） 【练一练】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【例3】如图所示，甲三角形的面积比 乙三角形的面积大6平方厘米，求CE 的长度。 【练一练】平行四边形ABCD 的边长 BC=10厘米，直角三角形BCE 的直角 边EC 长8厘米，已知阴影部分的面积比 三角形EFG 的面积大10平方厘米。 求CF 的长。 【例4】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：厘米） 【练一练】下面的梯形ABCD 中，下底是 上底的2倍，E 是AB 的中点，求梯形ABCD 的面积是三角形EDB 面积的多少倍？ 【练一练】 【练一练】计算下面图形的面积。 一个长方形的草坪，中间有两个人行道。高是14 求草坪的面积。 (单位：厘米) 32 28 B
第三讲数数与计数（二） 例1 数一数，图3－1中共有多少点？ 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数： 第一层 1个 第二层 2个 第三层 3个 第四层 4个 第五层 5个 第六层 6个 第七层 7个 第八层 8个 第九层 9个 第十层 10个
第十二层 8个 第十三层 7个 第十四层 6个 第十五层 5个 第十六层 4个 第十七层 3个 第十八层 2个 第十九层 1个 总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数 第一层 1个 第二层 3个 第三层 5个 第四层 7个 第五层 9个
第七层 13个 第八层 15个 第九层 17个 第十层 19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）. 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
第17讲平面图形的计算（一） 例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 例2．计算右图的面积。（单位：厘米） 例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。 例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分 米） 例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）
练习与思考 1．求图中阴影部分的面积。 2．求图中阴影部分的面积。 3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。 4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？
6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。 9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。
简便计算作业（12月23日）： 1.996+19.97+199.8 2.89?4.68+4.68?6.11+4.68 75?4.7+15.9?25 平均数问题作业（12月23日）： 1.已知九个数的平均数是7 2.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？ 2.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？ 3.五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 4.把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三
平面图形的面积（全套的哦！） 五（）班姓名：学号 1、看一看，想一想，什么图形与什么图形相减，可求出各图中阴影部分的面积？ 2.如图，大正方形的边长为15 厘米，小正方形的边长为8厘米。 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是______，底是______。 3.如图由两个平行四边形组成： 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是______，底是______。 4.如图，由三个正方形并排在一起： 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，上底是______， 下底是 ______，高是______。 5、如图空白部分是平行四边形，面积为30 平厘米。如果要求阴影部分面积，根据已知条件，可求出这个平行四边形的高是______，即求出阴影部分这个三解形的高是______，底是______。 6、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。 7、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。 8、右图是由4块直角边分别为5厘米和9厘米的直角三角形，拼成一个中间有一方孔的正方表。从图中可看出：小方孔的边长是______厘米。
9.选择。 （1）仔细观察后想一想：要求下图的面积应选择的两个数据是：( ) A．7 和6B．8 和6C．8 和7 （2）哪条高，不是指定边上的高？请在图形下 的（）里打上“×”。 （3）在右面平行四边形中，BC 边上的高是（）。 A．线段C F B．线段D E C．线段D H D．线段B F （4）判断下面每个三角形中（阴影部分）AB 边上的高。以下判断，第（）种是错误的。 A.只有图2的高不是大正方形的边长。 B.图2和图3的高是相等的。 C.图4和图5的高是相等的。
学生课程讲义 例题1 在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，上底15厘米，下底25厘米，求梯形面积。 随堂练习1 如图，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积。 梯形的上底5厘米，高6 厘米。 例题2 如图，将长为9厘米，宽为6厘米的长方形，划分成四个三角形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=S2=S3+S4，求S4。 随堂练习2 如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且△ADC 、四边形DEBF 及△CDF 的面积相等，求三角形EBF 的面积。 A B E D F C
例题3 如图，AE=5厘米，CF=2厘米，AB=6厘米，CD=4厘米，∠B=∠D=90度，求四边形AFCE 的面积。 随堂练习3 如图，四边形ABCD 中，AE=5厘米，AB=10厘米，FC=12厘米，DC=15厘米，∠B=∠D=90度，求四边形AFCE 的面积。 例题4 如图，在大正方形ABCD 里有一个内接长为6厘米，宽为1厘米的长方形，而且长方形的对称轴与正方形的对角线重合，求正方形的面积。 随堂练习4 如图，正方形的面积为18.75平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线的线段，将正方形平均分为面积相等的三份，A E B F C D A E D B F C A H D E C B G A
求平行线段AB 的长。 例题5 如图，平行四边形ABCD 的边长BC=10厘米，直角三角形BCE 的的直角边EC 长8厘米。已知△BAG 和△FDC 面积的和比三角形FEG 的面积大10平方厘米，求CF 的长。 随堂练习5 如图，正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 的长度的2倍。求 1) △DEF 的面积 2) CF 的长。 例题6 如图，长方形ABCD 与三角形EBC 重叠。已知三角形EFD 的面积比ABF 的面积大6平方厘米，且CD=4厘米，BC=6厘米。求ED 的长。 B A D B C G F E A B C F D E E A F D
课前活动 课 同学们，你们都玩过积木吗？课前准备 下面这些柱体你都认识吗？让我们一起来看看吧！ 长方体个面个顶点条棱 6个面，8个顶点，12条棱。 至少四面长方形，对棱平行且相等。 上下可正也可长二面相对大小同 上下可正也可长，二面相对大小同。 正方体6个面，8个顶点，12条棱。 六面都是正方形，平行相对又相等。 圆柱体高高立，横倒在地能滚动。上下两面为圆形平行相对又相等上下两面为圆形，平行相对又相等。 这些图形有特点上下都是样粗这些图形有特点，上下都是一样粗，课前准备 认识锥体 柱体的头变成尖尖的——锥体
课前准备 认识球体 将实物与中间对应的图形连接起来。 “我是球，我圆圆的脑袋，圆圆的脸，我站不稳，我跑得快。篮球排球都是我， 娱乐健身好伙伴！” 小提示： 球是可以滚动的立体的球是球体的简称 球是可以滚动的，立体的，球是球体的简称。 圆是不能滚动的，平面的，可以用球体来画出圆。 【拓展】(★★) 左边的两堆方块拼起来，是右边的哪一堆？用线连起来。【例2】(★★★) 找不同，把下图中不同于其它类的立体图形圈起来。
上面的这些图形可以拼成下面的哪种立体图形呢？连一连。从下面的立体图形中能找到哪些平面图形？请你连一连。 大圆变小圆 在一张纸上画了一个大圆，聪明的小朋友们，你能够将这张纸折叠，使大圆变成一个小圆吗？快来试一试吧！ 乐乐老师答疑互动群【铺垫】(★★)我会数方块 同学们，你知道下图一共有多少个方块吗？【例5】(★★★★) 下图由正方体堆成，数一数共有多少个正方体？
【拓展】(★★★★) 数一数，下图的图形各用几个方块堆成的？【例6】(★★★★★) 下面的塔是由几块小方块堆成的？ 【拓展】(★★★★) 数一数，下图的图形各用几个方块堆成的？ 二、(常见)的立体图形 三、立体图形与平面图形的转换 ①立体图形→→平面图形 ①图拆平图
平面图形的面积归纳与练习 班级______姓名_______ 一、平面图形面积的公式及其推导 1、沿着平行四边形的（）将它剪成（）和（），然后把剪下的图形平 2、移拼成一个（）。拼成的图形的（）和平行四边形的（）相等，（）和平行四边形的（）相等。因为长方形的面积=（）×（）， 3、所以平行四边形的面积=（）×（）。用字母表示为： 2、将两个（）的三角形拼成一个（），拼成的图形的（）和三角 形的（）相等，（）和三角形的（）相等，每个三角形的面积是拼成图 形面积的（）。因为平行四边形的面积=（）×（），所以一个三角形的面积=（）×（）○（）。用字母表示为： 3、将两个（）的梯形拼成一个（），拼成的图形的（）和梯形 的（）相等，（）和梯形的（）相等，每个梯形的面积是拼成图形 面积的（）。因为平行四边形的面积=（）×（），所以一个梯形的面积 =（）×（）○（）。用字母表示为： 目前我们所学过的平面图形面积公式的推导过程，可以用以下图形来表示其中的关系。 二、平面图形的面积公式的应用 基础题型一、直接应用面积公式求图形的面积。 易错点：（1）平行四边形、三角形的面积公式中“底和高必须是想对应的”；（2）三角形、梯形的面积中不要忘了“除以2”。 1、求下面图形的面积 2、计算下面图形的面积 3、量出所需要的数据，再求图形的面积。 基础题型二、面积公式在生活中的运用。
1、有一块平行四边形菜地，底是240m，宽是125m，在这块地里共收油菜吨。这块菜地有多少公顷平均每公顷收油菜多少吨 2、有一块麦田的形状是平行四边形。它的底是250m，高是84m，共收小麦吨。这块菜地平均每公顷收小麦多少吨 3、一块玻璃的形状是一个三角形，它的底是，高是。每平方米玻璃的价格是68元，买这块玻璃要用多少钱 4、小雨的书房需要用一些同样大小的平行四边形地砖铺地，每块砖的第是7dm，高是4dm，每平方米地砖的价格是元，小雨带了200元钱去建材城买地砖，他最多能买多少块这样的地砖 5、一架滑翔机模型的尾翼是由两个完全相同的梯形组成的。它的面积是多少 6、一个果园的形状是梯形。它的上底是160米，下底是180米，高是50米。如果每棵果树占地10平方米，这个果园共有多少棵果树 7、如图，靠墙围成一个花坛，围成花坛的篱笆长46米，求这个花坛的面积 8、有一块梯形地，上底长64米，比下底短16米，高50米。平均每15平方米种一棵果树，这块地共种多少棵果树 基础题型三、已知周长，求平面图形的面积。 注：“已知周长，求图形的面积这一类题型”，我们先要根据“周长”，求出计算“面积”所需要的条件，再代入面积公式计算。另外，在求计算面积所需要的条件时，列方程来求解可以降低出错率。
数立体图形善智知识点： 1.数平面图形：先数小，再数大（不能看到几个就是几个） 2.数立体图形注意：. 一层一层数，每一层都不能遗漏被挡住的个数. 认真思考，结果要用算式表达出来 数图形歌3.. 数图形，按顺序，先数小，再数大. 立体的，有隐藏，分层数，再相加 课堂共同练习： 1.下图有（）个正方形？ 下图有（）个长方形？2. ）个三角形？下图有（3. 1 4.数图形：
）个正方形）个长方形（）个三角形（（ 5.数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形 状． 用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见？6. 一共（）个一共（一共（）个）个看见（看见（看见（）个）个）个）个看不见（）个看不见（）个看不见（ 7.数一数下面每个立体图形各有几个小正方 体．
2． 8.数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的？ . ）个小正方体，就能组成一个大正方体给下列图形，再添加（ 9. 10.数一数下面物体中各有几个小正方 体． ）个（）个（ 11.数一数下面物体中各有几个小正方 体．
（）个（）个. ）个正方体12.数一数，下图中一共有（ 个个A.6 B.7 C.8个 3 课后自我提升：数一数下图分别有几个图形？1. ）个三角形（（）个正方形（）个长方形数一数，下图有几个三角形？2. ）个）个（（ .
3.摆一摆，数一数．下面每个图形分别是由几个小正方体组成的 4.数一数，填一填 个正方体．个正方体，中间一层有（1）按层数：下面一层有个正方体，上面一层有 （2）按前后排数：前排有个正方体，后排有个正方体．个正方体．3（）一共有 . 数一数下列物体是由几个小正方体拼成的5. （）个（个）（）个 4． 6.数一数下面物体中各有几个小正方 体． 个）（）个（（）个
第2讲 巧数图形 知识要点 同学们，我们经常会遇到数图形的问题，对于较复杂的图形，经常会出现数重复或数漏掉的错误。怎样才能不重复也不遗漏地数出图形的个数呢？这节课，我们将一起来寻找好的方法。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 精典例题 例1: 数出下图中有多少条线段？ 模仿练习 数一数，每种图形有多少个？ 有（ ）条线段 有（ ）个三角形 有（ ）个角 有（ ）个长方形 有（ ）个正方形 例2: 数出图中共有多少个三角形？ 模仿练习 数一数，每幅图里有多少个三角形？ （1） （2） 有（ ）个三角形 有（ ）个三角形 例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学 解题技能展示大赛试题） 模仿练习 数一数，图中共有几个正方形？（2010武汉明心数学资优生水平测试题） 精典例题 例4: 数出下图中有多少个长方形？多少个正方形？ 从短的线段入手，再两条两条拼接起来数，你发现规律了吗？ 还能用刚才的方法来数吗？ 三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。
前面学习的数长方形的方法还有用吗？怎么能用上呢？ 模仿练习 1.数一数，图中有多少个长方形？ 2.数一数图中有多少个正方形？ 家庭作业 1.数一数每幅图里面图形的个数（能计算的写出算式）。 （1）（2）有（）条线段有（）个角 2.右图中有多少个三角形？ 3.图中有多少个长方形？（把你的想法分享给你的爸爸妈妈听，你能教会他们吗？分享后让爸爸妈妈给你打星，最多5颗星） 4.数一数，右图中有多少个正方形？ 5.数一数，其中共有多少个包含“”的三角形？（2011年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）
初中数学题典网 https://www.doczj.com/doc/2b2486983.html,/ 1 第二十九讲 平面图形的面积(2) 告诉你本讲的重点、难点 这一讲研究曲线图形，如圆的面积及与圆相关图形的面积．我们知道圆的面积的计算公式是,2r S π= 但在很多时候，题目所给的条件隐蔽、曲折，我们要抓住图形的特点，巧妙解题． 看老师画龙点晴，教给你解题诀窍 【例l 】 已知图中圆的面积是18.84平方厘米，求圆内最大正方形的面积．分析与解连接正方形的对角线，正方形的对角线就是圆的直径，正方形的面积是,222r r r =?而圆的面积是,2r π可见，正方形和这个圆的面积的比是2：π于是,:284.18:π=x 得1214.3284.18=÷?=x （平方厘米）． 所以，圆内最大正方形的面积是12平方厘米， 【例2】 图中环形的面积为25.12平方厘米，求阴影部分的面积？如果阴影部分的面积为40平方厘米，那么环形的面积是多少平方厘米？ 分析与解 看起来题目给的条件很少，我们可以从环形面积的计算方法入手，找到环形面积和阴影部分面积的关系．由于环形面积),(22r R -=π而图中阴影部分面积=),(22r R -所以阴影部分面积为 814.312.25=÷（平方厘米）． 如果阴影部分面积为40平方厘米时，那么环形面积为6.12514.340=?（平方厘米）． 【例3】如图，四个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积. 分析与解 因为四个圆的周长相同，所以这四个扇形阴影的半径是相同的，那么这四个扇形就可以合成一个大扇形，而这个大扇形的圆心角的大小正好是四边形的内角和，即.360 这样我们不难算出阴影部分的总面积. 圆的半径为4214.312.25=÷÷（厘米），于是阴影面积为=?2414.324.50（平方厘米）． 【例4】 如图，在长方形ABCD 中，AB=6厘米，BC=4厘米，求阴影部分的面积． 分析与解 由图可知
1 学生课程讲义 例题1 在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，上底15厘米，下底25厘米，求梯形面积。 随堂练习1 如图，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积。 梯形的上底5 厘米，高6 厘米。 例题2 如图，将长为9厘米，宽为6厘米的长方形，划分成四个三角形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=S2=S3+S4，求S4。 随堂练习2 如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15厘米，且△ADC 、四边形DEBF 及△CDF 的面积相等，求三角形EBF 的面积。 A B E D F C
2 例题3 如图，AE=5厘米，CF=2厘米，AB=6厘米，CD=4厘米，∠B=∠D=90度，求四边形AFCE 的面积。 随堂练习3 如图，四边形ABCD 中，AE=5厘米，AB=10厘米，FC=12厘米，DC=15厘米，∠B=∠D=90度，求四边形AFCE 的面积。 例题4 如图，在大正方形ABCD 里有一个内接长为6厘米，宽为1厘米的长方形，而且长方形的对称轴与正方形的对角线重合，求正方形的面积。 A E B F C D A E D B F C A H D E C B F G
3 随堂练习4 如图，正方形的面积为18.75平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线的线段，将正方形平均分为面积相等的三份， 求平行线段AB 的长。 例题5 如图，平行四边形ABCD 的边长BC=10厘米，直角三角形BCE 的的直角边EC 长8厘米。已知△BAG 和△FDC 面积的和比三角形FEG 的面积大10平方厘米，求CF 的长。 随堂练习5 如图，正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 的长度的2倍。求 1) △DEF 的面积 2) CF 的长。 例题6 B A A D B C G F E A B C F D E
奥数中的数图形个数 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
第三讲数数与计数（二） 例1 数一数，图3－1中共有多少点 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：第一层 1个 第二层 2个 第三层 3个 第四层 4个 第五层 5个 第六层 6个 第七层 7个 第八层 8个 第九层 9个 第十层 10个 第十一层 9个 第十二层 8个 第十三层 7个 第十四层 6个 第十五层 5个 第十六层 4个 第十七层 3个 第十八层 2个 第十九层 1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） =55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数 第一层 1个 第二层 3个 第三层 5个 第四层 7个 第五层 9个 第六层 11个 第七层 13个 第八层 15个 第九层 17个 第十层 19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）. 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2
第2课时图形的认识与测量 【教学内容】平面图形的面积及阴影部分面积。 【教学目标】 1.使学生掌握平面图形的面积的含义，掌握已学过的平面图形面积的计算公式。 2.应用所学知识解答阴影部分面积的方法及计算，培养学生借助直观图进行合理推理的能力。 【重点难点】 1.掌握平面图形面积的含义及其计算公式。 2.理解平面图形面积的不同含义；根据平面图形之间的相互联系构建知识网络。 【教学准备】多媒体课件，实物挂图。 【谈话导入】 揭示课题。 教师：从动作猜一猜所表示的是什么平面图形。 平面图形面积的有关知识对于我们来说是不陌生的，怎样系统地认识平面图形和面积呢？ 学生议论，说说自己的想法。这就需要我们共同回顾与整合。（板书课题：平面图形的面积与阴影面积） 【复习回顾】 1.面积的含义。 （1）面积
教师:能举例说明什么是平面图形的面积吗？ 学生思考、回答。 指名学生说一说。 使学生明确并板书：物体的表面或围成平面的大小，叫做它们的面积。教师：常用的单位有哪些？ 学生思考、回答。 指名学生回答。 学生可能回答：平方米、平方分米、平方厘米等。 （3）比较平面图形和面积。 教师：半径为1㎝的圆的周长比面积大，这种说法对吗？ 学生议一议，相互交流。 学生结合问题计算回答。 可能有两种答案： ①周长比面积大。 ②无法比较，这种说法是错误的。 综合学生回答，使学生明确：周长和面积的意义不同，单位不同，不能比较大小。 2.面积的计算公式。学生在学习卡上完成。 （1）教师：我们学习了六种图形的周长和面积的计算，想一想，最早学习的是哪个图形的面积的计算？它的计算公式是怎样推导出来的？
一年级数学《认识立体图形》教学设计 教材分析： 《认识图形》是人教版《义务教育课程标准实验教科书.数学》（一年级上册）P34--P35。是学生学习“空间与图形”知识的开始，主要从形状这一角度来使学生初步认识物体和图形。这一单元包括：立体图形的初步认识和平面图形的初步认识。因为现实生活中孩子们接触的大多是立体图形，所以教材把认识立体图形排在平面图形之前。教材在这部分内容的编排上体现了新课标的两大理念：注重知识与生活的联系；注重在活动中学习知识，通过学生亲自动手操作，自然地完成学习过程，掌握知识。 设计思想： 力求创设一种轻松、自如、和谐的教学氛围，以“学生为主体，教师为主导”为教学理念，倡导学生“自主、合作、探究”的学习方法，努力培养学生的实践能力和创新能力。 教学目标： 知识与技能： 能初步认识四种立体图形，知道它们的名称，会辨认和区别这四种立体图形。 过程与方法： 通过操作和观察，使学生初步认识长方体、正方体、圆柱、球；知道它们的名称；会辨认这几种物体和图形；培养学生动手操作及观察能力，建立空间观念。 情感、态度与价值观： 通过学生活动，激发学生兴趣，培养学生的合作探究和创新意识。 教学重点： 初步认识长方体、正方体、圆柱和球的实物与图形。 教学难点： 建立初步的空间观念 教学方法：
谈话法、活动法、观察法 学法指导： 仔细观察、合作探究、讨论交流 教学准备： 多媒体、各种立体图形的实物、学生学具 教学过程： 一、情境导入 师说：同学们，我们每组都有一个装满东西的袋子，这是老师送给你们的礼物，想知道是什么礼物吗？把袋子里的东西倒出来看一看。老师还提出一个要求，把形状相同的物体放在一起。 二、操作感知 1、分一分，揭示概念。 （1）分组活动。让学生把形状相同的物体放在一起，老师巡视。 （2）小组汇报。问：你们是怎样分的？为什么这样分？ （3）根据学生的回答，揭示概念。 老师拿出位置、大小、颜色不同的实物直观揭示长方体、正方体、圆柱和球的概念，并板书名称。 2、摸一摸，感知特点。 （1）让学生动手摸一摸长方体、正方体、圆柱和球的实物，然后把自己的感受和发现在小组内交流。 （2）汇报交流，感知特点 长方体：是长长方方的，有平平的面。 正方体：是四四方方的，有平平的面。 圆柱：是直直的，上下一样粗细，两头是圆的，平平的。 球：是圆圆的。 三、形成表象，初步建立空间观念 1、由实物抽象实物图形。 多媒体出示实物图“鞋盒”，引导学生说出它的形状是长方体，然后抽象出长方体图形。
平面图形的面积关系 三峡小学黎国英 教学目标： 1、通过已学知识梳理，学生能自主地解答长方形、平行四边形、三角形与梯形面积的问题。 2、通过经历画画、说说、想想等数学，学生能主动理解梯形的面积公式对于长方形、平行四边形、三角形的面积计算也是适用的。 3、通过对长方形、平行四边形、三角形与梯形的面积公式的沟通，学生能主动地解决一些相关问题，以此促进数学推理能力的提升。 4、通过数学探索活动，学生感受事物间的相互联系，并感受数形结合看问题的内在魅力，从而激发数学学习的兴趣。 教学过程： 一、出示课题，谈话导入 今天我们一起来研究《平面图形的面积关系》，看了这个课题，你觉得我们今天研究的重点是其中的哪个词？ 二、复习回顾，引入线索 1、媒体出示，说一说以下几种平面图形的面积计算公式 2、边说边展示 S长方形=a×b S平行四边形=a×h S三角形=a×h÷2 S梯形=(a+b)×h÷2 3、老师可以用其中一个公式，计算这所有图形的面积，你们信吗？
三、提出任务，实践探究 1、独立操作，完成以下任务，有困难可以和其他同学合作。 下面的梯形高为4厘米，面积是20平方厘米 要求： （1）请你在格子纸上画出一个和它高一样，面积一样，形状不一样的梯形。（2）所画梯形的上底是多少？下底是多少？你是怎样想的？ （3）想一想，还可以怎样画？ 2、汇报交流： 预设一：4和6：预设二：3和7：预设三：2和8：预设四：1和9 四、问题引导，沟通联系 1、上下底之和是10，高是4的梯形只能画这四幅吗？ 2、如果上底和下底是小数，你能举个例子吗？ 3、有多少种情况呢？ 4、仔细观察，梯形的上底越变越短、越变越短，最后会产生什么样的结果？ 5、有机整合，沟通联系：这时候三角形的面积怎么计算呢？ 6、那么梯形的面积公式也适用于三角形的面积，不过这时候梯形的上底是0 五、整体沟通，推理应用 1、刚才梯形从左往右看，上底越变越短。如果梯形的上底不断变长，梯形又可能
数立体图形善智知识点： 1.数平面图形：先数小，再数大（不能看到几个就是几个） 2.数立体图形注意： 一层一层数，每一层都不能遗漏被挡住的个数. 认真思考，结果要用算式表达出来. 3.数图形歌 数图形，按顺序，先数小，再数大. 立体的，有隐藏，分层数，再相加. 课堂共同练习： 1.下图有（）个正方形？ 2.下图有（）个长方形？ 3.下图有（）个三角形？
4.数图形： （）个长方形（）个三角形（）个正方形5.数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形状． 6.用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见？ 一共（）个一共（）个一共（）个 看见（）个看见（）个看见（）个 看不见（）个看不见（）个看不见（）个 7.数一数下面每个立体图形各有几个小正方体．
8.数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的？ 9.给下列图形，再添加（）个小正方体，就能组成一个大正方体. 10.数一数下面物体中各有几个小正方体． （）个（）个 11.数一数下面物体中各有几个小正方体． （）个（）个 12.数一数，下图中一共有（）个正方体. A.6个 B.7个 C.8个
课后自我提升： 1.数一数下图分别有几个图形？ （）个正方形（）个长方形（）个三角形 2.数一数，下图有几个三角形？ （）个（）个 3.摆一摆，数一数．下面每个图形分别是由几个小正方体组成的. 4.数一数，填一填 （1）按层数：下面一层有个正方体，中间一层有个正方体，上面一层有个正方体．（2）按前后排数：前排有个正方体，后排有个正方体． （3）一共有个正方体． 5.数一数下列物体是由几个小正方体拼成的. （）个（）个（）个
平面图形的面积计算 例1：如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米） 例2：已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。 例3：如图，ABCD是边长为4分米的正方形，长方形 DEFG的长是5分米，求长方形DEFG的宽。 例4：如图，已知四边形ABCD被它的两条对角线分成四个三角形，其中甲的面 积是1，乙的面积是2，丙的面积是3，求丁的面积。 思维点拨：可以利用蝴蝶原理解决，甲×丙=丁×乙。 蝴蝶原理：任意的一个四边形，两对角线连接， 相对的两块面积乘积相等。 A B C D E 甲 丁乙 丙 A B C E F G F A E D C B G
两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，已知两个三角形的面积，求另两个 三角形的面积。 练习： 1,如右图，长方形ABCD中，BE=4厘米，CE=3厘米，长方形的面积是多少平方厘 米。 2、一个等腰直角三角形，最长的边是20厘米，这个三角形的面积是多少平方厘 米。 3、如下图，是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条 宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分） 的面积有多大 4、如图，求四边形的面积是是平方厘米。（单位：厘米） 3D立体影片格式介绍 1. 双色3D，包括红蓝、红绿等。 2. 偏振3D，包括左右格式影片，上下格式。 3. 分时3D，也叫电子快门式3D。 这三种要带不同的眼镜观看，后两种还需要播放设备的支持。 3D立体影片格式主要分为两种，我们经常俗称为真3D和伪3D 以下分别解释一下，也是分为A、B两种，A为立体电影，B为互补色影片。大家可以套用上述俗称，不 A C D E 45° 3 A B C D O 4 8
平面图形的面积（全套的哦！） 五（）班：学号 1、看一看，想一想，什么图形与什么图形相减， 可求出各图中阴影部分的面积？ 2.如图，大正方形的边长为15 厘米，小正方形的 边长为8厘米。 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是 ______，底是______。 3.如图由两个平行四边形组成： 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是______，底是______。 4.如图，由三个正方形并排在一起： 通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，上底是______，下底是 ______，高是______。 5、如图空白部分是平行四边形，面积为 30 平厘米。如果要求阴影 部分面积，根据已知条件，可求出这个平行四边形的高是______， 即求出阴影部分这个三解形的高是______，底是______。 6、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。 7、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。 8、右图是由4块直角边分别为5厘米和9厘米的直角三角形，拼成一个 中间有一方孔的正方表。从图中可看出：小方孔的边长是______厘米。 9.选择。 （1）仔细观察后想一想：要求下图的面积应选择的两个数据是：( ) A．7 和6B．8 和6C．8 和7 （2）哪条高，不是指定边上的高？请在图形下的（）里打上“×”。 （3）在右面平行四边形中，BC 边上的高是（）。 A．线段C F B．线段D E C．线段D H D．线段B F （4）判断下面每个三角形中（阴影部分）AB 边
上的高。以下判断，第（）种是错误的。 A.只有图2的高不是大正方形的边长。 B.图2和图3的高是相等的。 C.图4和图5的高是相等的。 （5）下图是一个 梯形，上底和下 底分别是（）。 A．a 和b B．b 和d C．b 和c D．a 和c 10.判断。 （1）下图中，没有不是梯形的。??（） （2）下图长方形中的两个阴影部分都是梯形。? ?（） （3）下图是大小两个正方形拼成的，阴影部分是一个钝角三角形，它的高 是a，底是a-b。??（） （4）下图平行四边形中有三个三角形，它们的面积关系是：A+B=C。??（ ）。 11.下面各图都是由边长分别是8厘米和4厘米的两个正方形并排而成，图中的阴影部分都是三角形。这些三角形的形状、方向、位置都在变化，请比一比它们的面积是不是全部一样？
小学奥数数图形练习题 因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例1 下面两根线段中各有多少条线段？ 解由一条基本线段构成的线段有： AB、BC、CD、DE，共4条； 由两条基本线段构成的线段有： AC、BD、CE，共3条； 由三条基本线段构成的线段有： AD、BE，共2条； 由四条基本线段构成的线段只有AE1条。 因此共有线段： 4+3+2+1 =×4÷2=10 可以采用同样的解法：由一条基本线段组成的线段有6条， 由两条基本线段组成的线段有5条，由三条基本线段组成的线段有4条，由四条基本线段组成的线段有3条，由五条基本线段组成的线段有2条，由六条基本线段组成的线段有1条， 共有线段： 6+5+4+3+2+1 =×6÷2
=21 答中有10条线段。中有21条线段。 这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。 由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为++?+3+2+1=n×÷2。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。 例在∠AOB内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？ 解这问题类似于例1， 10×9÷2=45 答图中有45个角。 解数一数，图6－3一共有几个长方形？ 分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，图中共有3个长、3个宽， 解 3×3＝9 答图中共有9个长方形。 这一类型的问题在后面还要专门讨论。
例如图6－4。 如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？ 现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？ 分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，→16”的关系。而2＝4，33=9，44＝ 16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得： 下层有11个小三角形，共有 11×11= 121 因为1×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。 练习 1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？ 2．下图中共有多少个三角形？ 3 ．把长2厘米、宽1 厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。 如果叠5层，周长是厘米。 如果周长是120厘米，共有层。 知识要点：数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、