第1讲：特殊三角形的性质与判定
一、知识回顾：
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边对等角
等角对等边等边三角形的性质与判定
(1 )等边三角形的每个内角都等于60°。
(2) 3个内角都相等的三角形是等边三角形。
如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。
直角三角形的性质与判定
直角三角形两锐角互余
有两个内角互余的三角形是直角三角形
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。直角
(简写为“ H L”
三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理
勾股定理逆定理四、典型例题分析：
1、已知：如图/ EAC是△ ABC的外角，AD平分/ EAC且AD// BC 求证：AB=
AC
D
2、在上图中，如果AB= AC, AD// BC,那么AD平分/ EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？
3:A ABC 中AD丄BC 于D , AB=3, BD=2, DC=1,贝U AC 等于
4:A ABC
中，BD 丄AC 与 D , AB=6,AD=4,BC=5,DC=
5,^ABC 中，/ C=90°, AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5，贝U AC 等于
第五题图
&△ ABC 中，AB=AC=10, BD 丄 AC 于 D , CD=2，贝
U BC 等于
达标训练
1、 如果等腰三角形的周长为
2、 如果等腰三角形有两边长
为 3、 如果等腰三角形有一个角
等于
4、 如果等腰三角形有一个角等于
5、 在^ ABC 中，/ A = 40°，当/ B 等于多少度数时，△ ABC 是等腰三角形?
6、如图，△ ABC 中，AB= AC,角平分线 BD CE 相交于点 0, 求证：
0B= 0C
7、如图，在△ ABC 中，/ B =/ C = 36°,/ ADE ^/ AED= 2/ B ,由这些条件你能得到哪些 结论？请证明你的结论。
12, 一边长为5,那么另两边长分别为.
2和5，那么周长为 ______ 50°,那么另两个角为_
120 °，那么另两个角为.
8、已知：如图，△ ABC是等边三角形，DE// BC,分别交AB AC于点D E。求证：
△ ADE是等边三角形。
C
9?在△ ABC内部取一点P使得点卩到^ ABC的三边距离相等，则点P应是△ ABC的哪三条线交
点.
(A)高
10.已知，个 (
(1) AD平分/
(A) 1 个
11.如图，在△
则需要加条件
( )
(B)角平分线(C)中线(D)边的垂直平分线
如图，△ ABC中，AB=AC AD是角平分线，BE=CF则下列说法正确的有几
)
EDF; (2 )△ EBD^A FCD ( 3)
(B) 2 个(C) 3 个
ABC^n^ ABD中，/ C=/ D=90
_______ 或
BD=CD (4) ADI BC.
(D) 4 个
，若利用“ AAS证明△ ABG^^ ABD
; 若利用“ HL”证明△ ABC^^ ABD 则需
要加条件
x
Q
B
12.如图，有一个直角△ ABC / C=90°, AC=1Q
AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=
13.如图，在^ ABC中，/ C= 90 ° , AG= BC AD平分/ CAB
=6 cm，则△ DEB的周长为____________ cm.
14.如图，在^ ABC中，已知D是BC中点，DEI AB, DF丄AC
证：AB=AC
BC=5 一条线段PQ=AB P.Q两点分别在 _
时，才能使△ ABC^A PQA. 交BC
于D,DE 丄AB 于E ,且AB
垂足分别是E、F, DE= DF 求
15.已知：如图，AC平分/ BAD CE1 AB于E, CF丄AD于F, 你
能说明BE与DF相等吗？
且BC= DC
第2讲：垂直平分线与角平分线
知识点：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 到线段两端点距离相
等的点在这条线段的垂直平分线上
三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等 角平
分线上的点到角两边的距离相等
在角的内部，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的平分线上
三角形的三个角的角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等
例题精讲
例1、已知：如图，DE 是△ ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交 AB 、 BC 于
D 、
E , AE 平分/ BAC 若/ B=300
,求/ C 的度数。 例2、如图，已知
ABC 的角平分线，/ B=90° DF 丄AC,垂足为F , 求证BE=CF 例 3、厶 ABC 中, AC=BC, / C=90, AD 是^ ABC 的角平分线,
当堂训练：
1、 已知：线段AB
2、 已知：如图，/ 平分线交 BC 于D 则
/ ADC= ___________________________ O
3、 A ABC 中，/ A=5C 0
, AB=AC,AB 的垂直平分线
交AC 于D 则/ DBC 的度数 △、△ ABC 中，DE 、FG 分别是边 AB AC 垂直平分线，则/ B_/ BAC=126，则/ EAG= (1) 已知: CD=4cm 求 AC 长 求证: AB=AC+CD DEI AB 于 E 。
及一点P , PA= PB ,则点P 在
BAC=120, AB=AC,AC 的垂直
BAE / C — / GAF ，若
/ DE=DC
C
5、如图，△ ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分 AB ，则△ BCD 的周长是
6、有特大城市 A 及两个小城市 B C ,这三个城市共建一个污水处理厂，使得
该厂到 两城市的距离相等，且使 A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
到三角形三个顶点的距离是
11、在^ ABC 中/ C=90°,/ A 的平分线交 BC 于 D, BC=CM BD ： DC =4: 3,
的距离为 12、在RTA ABC 中，/ C=90°, BD 平分/ ABC 交AC 于D, DE 是是斜边 AB 的垂直平分线, 且 DE=1CM 则 AC= ___________________ .
13、OM 平分/ BOA P 是OMh 的任意一点， PDI OA PEX OB 垂足分别为 D E ,下列结论 中错误的是（
A: PD=PE B OD=OE C / DPO=^ EPO / OAC=
15、与相交的两直线距离相等的点在（
16、至L 个角的两边距离相等的点在 17、A ABC 中，/ C=90, / A 的平分线交 BC 于
D,BC=21cm,BD:DC=4:3,贝U DU
AB 的距离为 18、Rt △ ABC 中, AB=AC,BD 平分/ ABC DEI BC 于 E , AB=8cm 则
DE+DC= 19、A ABC 中，/ ABC 和/ BCA 的平分线交于 O,则/ BAO 和/ CAO 的大小关系
B 、C
7、在三角形内部，有一点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点
A 、三角形三条角平分线的交点；
B 、三角形三条垂直平分线的交点； 三角形三条中线的交点； D 、三角形三条高的交点。
已知△ ABC 的三边的垂直平分线交点在△ ABC 的边上，则△ ABC 的形状为（ 锐
角三角形；B 、直角三角形； C 钝角三角形；D 、不能确定 等腰Rt △ ABC 中，
AB=AC,BC=a 其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点
P —定是
C 、 & A 则点O
则点 D : PD=OD
14、A ABC 中，/ ABC / ACB 的平分线交于点
O,连结 AQ 若/ OBC=25 , / OCB=30，则 A: —条直线上 B :一条射线上 C :两条互相垂直的直线上 D :以上都不对
cm o
20、Rt △ ABC中，/ C=9rf, BD平分/ ABC CD=n AB=m 则^ ABD的面积是
21、已知：OP是/ MON内的一条射线，AC丄OM,ADL ON,BE± OM,BH ON垂足分别为C、D E、F, 且AC=AD求证：BE=BF
1、
为
2、（2013?雅
安）
（）
A. 50°
（2013?遂
宁）
如图, AB // CD, AD 平分/ BAC，且/ C=80 ° 则/ D 的度数
B.
如图,
60 ° C . 70 ° D . 100 °
在△ ABC中，/ C=90° / B=30 °以A为圆心，任意
A
P,连结AP并延长交BC于点
）V
长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心, 大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点
D，则下列说法中正确的个数是（
①AD是/ BAC的平分线；
④ S DAC : ABC=1 : 3 .
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
②/ ADC=60 :③点D在AB的中垂线上；
3、（2013?曲靖）如图，直
线 / COE，则/ AOE= .
4、（2013成都市）如图,
NACD二A
AB、CD相交于点O,若/ BOD=40 ° OA平分
N B =30°，若AB // CD , CB 平分N ACD，则匸
5、(2013?湘西州)如图，RtAABC 中，/ C=90° AD 平分/ CAB , DE
丄AB 于E，若AC=6 , BC=8 , CD=3 .
(1 )求DE的长；
(2)求^ADB的面积.
O A